Achieving Optimum Quality

Para la caracterización probabilística de variables aleatorias a partir de una muestra de datos se debería seguir el siguiente. Para relacionar este procedimiento con los datos obtenidos, se aplicará a modo de ejemplo con el parámetro “Turbiedad”:

1) En una hoja de Excel, con la aplicación de Crystal Ball activada, se organiza la información a analizar en una sola columna. Determinar el máximo y mínimo de los valores encolumnados.

Figura 6: Paso 1 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

2) Para definir la distribución de probabilidad que caracteriza a la variable aleatoria se debe activar cualquier celda. Se recomienda activar la celda final a continuación de los datos ordenados.

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Figura 7: Paso 2 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

3) Una vez definida la celda se aplica el icono “Definir Supuesto”. El programa automáticamente desplegará la galería de modelos probabilísticos.

Figura 8. Paso 3 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

4) Como no se conoce cuál de los modelos de distribución probabilística disponible en la galería, es el que mejor se ajusta con la muestra, debemos probarlas todas mediante una “Prueba de bondad de ajuste”. El programa muestra en cada una de las gráficas, la comparación entre el modelo probabilístico generado y el histograma de los datos de la muestra. El programa muestra siempre, como primera opción, le mejor distribución de acuerdo a la Prueba de Bondad de ajuste, sin embargo el especialista puede escoger la que mejor convenga.

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Figura 9: Paso 4 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

Figura 10: Paso 4, Sub-actividad 1 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

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Figura 11: Paso 5, Opción 1 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

Figura 12: Paso 5, Opción 2 Fuente: Autora ͳ‡”ƒ‘’…‹×†‡ˆ‹‹†ƒ …‘Žƒ’”—‡„ƒ†‡ „‘†ƒ††‡ƒŒ—•–‡ǣ ‹•–”‹„—…‹× ‘‰‘”ƒŽ ʹ†ƒ‘’…‹×†‡ˆ‹‹†ƒ …‘Žƒ’”—‡„ƒ†‡ „‘†ƒ††‡ƒŒ—•–‡ǣ ‹•–”‹„—…‹×ƒƒ

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Figura 13: Paso 5, Opción 3 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

5) Se recomienda validar el dominio de la variable, es decir, truncar la distribución probabilística con los valores máximos y mínimos, con la finalidad de desechar valores que físicamente no son posibles.

Figura 14: Paso 6 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

6) En la celda definida, el programa arroja un número que es el valor que más se ajusta a la muestra de datos, bajo la distribución probabilística escogida, sea por medio de la prueba de bondad de ajuste o por la decisión del especialista, acompañado (a modo de comentario) de las variables probabilísticas más representativas.

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Figura 15: Paso 7 – Análisis estadístico con Crystal Ball Fuente: Autora

1.6 Distribución Lognormal, BetaPert, Normal, Beta, Weibull; Parámetros estadísticos: Media, Desviación Estándar.

La distribución Log normal es una distribución probabilística que se aplica sobre variables aleatorias cuyo logaritmo está normalmente distribuido, es decir, si la variable es X (aleatoria) tiene una distribución normal, exp (X) tiene una distribución lognormal.

La distribución log normal, tiende a la función densidad de probabilidad, de la siguiente manera:

Ecuación 1 Para x > Ϭ, μ y σ son la media y la desviación estándar del logaritmo de la variable. El valor esperado es:

Ecuación 2 Y la varianza es

ͶͲ

La distribución log normal tiene relación con la media geométrica y la desviación estándar geométrica. Si una muestra de datos determina que proviene de una población que sigue una distribución log normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza, de la misma manera como la media aritmética y la desviación estándar se usa para determinar los intervalos de confianza de una muestra que esté distribuida normalmente. (UNAL, 2007)

La distribución Beta Pert, está definida por la estimación de una distribución Beta como modelo para su utilización en el Método Pert.

La distribución beta,

β(a,b,p,q)

, se utiliza como modelo probabilístico en un gran número de problemas económicos: fidelidad a una marca, análisis de inversiones, valoración, duración de un trabajo complejo, etc..., debido, entre otras cosas, a su tremenda maleabilidad para representar situaciones muy diferentes. (Murcia, 2002)

Así la distribución uniforme o rectangular es un caso particular de distribución beta _;

1

q

p=

=

_{Ϳ͕también se obtienen las distribuciones triangulares ;}

p=1

_LJ

q=2

_ſ

p=2

_LJ

q=1

Ϳ͕la distribución parabólica con máximo en el punto (0,5 ; 1,5) se obtiene para

p=q=2

y en el caso de que

6

5

q

p=

=

resulta una distribución que tiene una densidad tipo bañera. ;DƵƌĐŝĂ͕ϮϬϬϮͿ

La distribución beta utilizada en el método PERT, como modelo probabilístico, para la duración de un tarea ó para modelizar el flujo neto de una inversión, está completamente especificada, por las condiciones que se imponen y sus parámetros son͗p=3# 2 LJ

2 3

q= ± _{͕según sea la estimación subjetiva de la moda suministrada por el experto:}

m

0_с

c

2

b

a

=

+

͕centro del intervalo recorrido de la variable, esto es, según sea su asimetría. (Murcia, 2002)

Curiosamente esta distribución es la intersección común de cuatro familias de distribuciones beta: a) las de varianza constante, caracterizadas porque la varianza de la variable estandarizada

b

a

a

X

Z

−

−

=

͕ ĞƐ

36

1

͘b) las mesocúrticas, que como su propio nombre indica, se caracterizan porque el coeficiente de curtosis, tanto de la variable original X, como de la variable estandarizada Z, es nulo, las que constituyen la familia Caballer, caracterizadas porque sus parámetros p y q son de la forma͗p=h# 2LJq=h± 2͕y d) las betas de primeraespecie caracterizadas porque

p≥1

LJ

q≥1

con la condición adicional de que sus parámetroscumplan la relación

pq=p+q+1

͘

La distribución Normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, es una de las distribuciones de probabilidades de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. (UNAL, 2007)

Ͷͳ

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto a un determinado parámetros estadístico. Esta curva se conoce como la campana de Gauss. (UNAL, 2007)

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. También es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados. (UNAL, 2007)

Está definida de la siguiente manera:

Ecuación 4

Por lo tanto, la función distribución de la normal estándar es:

Ecuación 5

Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error, de la siguiente manera:

Ecuación 6 Y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:

Ecuación 7 La distribución Beta, es una distribución de probabilidad continúa con dos parámetros a y b, cuya función de densidad es para valores 0 ” x ” 1 es:

Ecuación 8 Aquí Γ es la función gamma.

Ͷʹ

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con la distribución Beta son:

Ecuación 9

Un caso especial de la distribución Beta es cuando a=1 y b=1 que coincide con la distribución uniforme en el intervalo [0,1]. (WIKIPEDIA, Distribuación Beta, 2015)

La distribución Weibull, es una distribución continua. Fue aplicada por primera vez para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas. (UNAL, 2007)

Ecuación 10 Donde k > 0 es el parámetro de forma y λ > 0 es el parámetro de escala de la distribución. (UNAL, 2007)

La distribución modela la distribución de fallos, es sistemas, cuando la tasa de fallas es proporcional a una potencia del tiempo: k < 1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo; k = 1, la tasa de fallos es constante en el tiempo; k > 1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo. (UNAL, 2007)

La media aritmética, también llamada promedio o media de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos o el valor esperado; se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumados. (VITUTOR, 2005)

Ecuación 11 La media geométrica de una muestra de x números, es la raíz n-ésima del producto de todos los números. El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable. (Académica, 2001)

Ͷ͵

Ecuación 12 La desviación estándar, es la media de dispersión para variables de razón y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada de la varianza de la variable. Es la medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es el promedio o variación esperada con respecto a la media aritmética. (DITUTOR, 2006)

Ecuación 13

Adicional a los datos proporcionados por el programa Crystal Ball, acerca de la media y desviación aritmética, el posible también obtener los percentiles (10, 50 y 90) de una distribución log normal.

In document O'Reilly MP3 The Definitive Guide pdf (Page 169-171)