Los valores de los exponentes x e y pueden ser hallados o bien experimentado con aparatos de pequeña escala o de la literatura. La determinación experimental en un aparato de la forma real que será usada en el prototipo, es probablemente el mejor método siempre y cuando se puedan cubrir con los experimentos un amplia rango de condiciones, de manera tal que se puede verificar que los exponentes no varíen apreciablemente. No obstante, para la mayoría de los procesos físicos y las configuraciones geométricas comunes, están disponibles en la literatura valores de los exponentes que resultan suficientemente buenos para la mayoría de los propósitos.
Además, generalmente los exponentes experimentales son menores que la unidad y por ello un error en los mismos causa sólo un pequeño error en el valor de la función de potencias.
El exponente que es más frecuentemente utilizado en las condiciones de semejanza extrapolada es el que se conoce como índice de Reynolds, o sea el exponente del número de Reynolds en las ecuaciones empíricas de rapidez para la transferencia de calor, masa y momentum por convección forzada. Este exponente ha sido determinado experimentalmente por un número de investigadores para diferentes fluidos, condiciones de operación y configuraciones geométricas y los valores típicos para la transferencia de calor y masa en las configuraciones más usuales se pueden obtener de la literatura especializada y en particular en el Johnstone y Thring (1957), se puede ver una tabla de los valores típicos para procesos de transferencia de calor y masa.
Se ha podido comprobar que en sistemas geométricamente semejantes, los índices de Reynolds tanto para la transferencia de calor como para la de masa son sustancialmente iguales y por ello, en la mayoría de las aplicaciones el índice de Reynolds se denota por x. En los casos que se haga necesario diferenciar entre los índices para los distintos tipos de transferencia, se emplean entonces los valores de x con los subíndices correspondientes: xf para la transferencia de
momentum, xh para la de calor y xm para la de masa.
Cuando los rangos de flujo son moderados el índice de Reynolds para transferencia de momentum, xf es del mismo orden de magnitud que los otros tres índices, con valores entre 0,8-
0,85.Cuando las velocidades son altas, xf diverge de los otros y se aproxima a la unidad, por lo cual en esos casos el efecto del número de Reynolds en los patrones de flujo es despreciable y el coeficiente de presión (
∆p
) es casi constante.v
ρ
2Otro exponente empírico que se emplea para la extrapolación es el exponente z de la ecuación de Lorenz para la transferencia de calor por convección natural. La que fue desarrollada a partir de la ecuación adimensional generalizada para la transferencia de calor, quedando como:
(
hL
k
C Gr
z
=
, Pr)
(2-5)donde C es una constante. El valor teórico del exponente z es 0,25, pero Saunders encontró que el mismo varía algo con la magnitud del término entre paréntesis, el cual es el producto de dos números adimensionales, el de Grashof y el de Prandtl, o sea (Gr, Pr).
Para la evaluación del número de Grashof, la dimensión lineal L que se toma es la de la altura vertical de un serpentín o chaqueta o el ancho medio de una superficie horizontal de calentamiento. En el caso de la transferencia de calor por convección forzada la ecuación de razón de cambio es del tipo de Dittus-Boelter.y cuando se comparan sistemas homólogos, las propiedades físicas y los factores de forma se cancelan y la ecuación (2-3) se reduce a la ecuación de escala:
h
y
L
xh xh
=
1− (2-6)Para convección natural la ecuación de Lorentz, expresada en forma de relación se reduce a su vez a:
(
)
h
T
L
x=
∆
− 2 1 3 (2-7)A su vez la transferencia de masa por convección forzada se describe por una ecuación similar a la de Dittus-Boelter y para sistemas homólogos, la ecuación de escala es:
K
v
L
x x m m=
1− (2-8)Esta ecuación es válida sólo si el área de transferencia de masa es invariable y esto es estrictamente cierto solamente en el caso de la transferencia de masa desde un fluido a un sólido insoluble, o sea en la adsorción. Cuando hay una interfase fluido-fluido, ésta está sujeta siempre a ser alterada y por lo tanto su área cambia por los movimientos relativos de las fases. Incluso en las torres de paredes mojadas, el gas a moderadas velocidades forma rizos en la superficie de la película de líquido. Por consiguiente la ecuación (2-8) es de aplicación menos general, para propósitos de escalado, que las ecuaciones (2-6) y (2-7).
A su vez, la ecuación para fricción de fluido puede ser escrita como:
∆p
v
C
vL
xfρ
ρ
µ
2 1= ′
− (2-9) o también:∆pL
v
C
vL
xfµ
ρ
µ
= ′
(2-10)lo que da lugar a la siguiente ecuación de escala para sistemas homólogos:
∆p v
L
x x f f=
11+− (2-11)Esta relación también es de menos uso que la de transferencia de calor, producto de la variabilidad de xf entre 0.8 y la unidad. Sin embargo, si tanto el modelo como el prototipo operan a
velocidades de fluidos no menors que cuatro veces la velocidad crítica, xf puede ser tomada como
la unidad y la ecuación 2-11 se convierte en:
∆p v=
2(2-12)
Bajo esas condiciones, la caída de presión y el consumo de potencia pueden ser escaladas para condiciones que se apartan de la semejanza dinámica. La ecuación de escala para el consumo de potencia, correspondiente a la ecuación 2-12 es entonces:
P=
L v p
2∆
=v L
3 2(2-13)En todos los casos cuando se emplee el principio de semejanza extendido para escalar, ascendente o descendentemente, es esencial verificar que el régimen permanece igual en el modelo y en el prototipo. Si, por ejemplo, el movimiento del fluido fuera turbulento en el prototipo y laminar en el modelo, la suposición de un índice de Reynolds constante será entonces completamente erróneo.