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Se denominan ligaduras a las condiciones que restringen el movimiento de un sistema y expresan la acci´on de ciertas fuerzas de ligadura. Las ligaduras pueden ser de dos tipos: Ligaduras estructurales o de construcci´on del sistema:Son las ligaduras que est´an determinadas por la forma en que est´a construido el sistema. Sus restricciones se refieren a que los materiales del sistema resultan indeformables o inextensibles. Unos ejemplos son:

Ejemplo 2.1. Veamos la din´amica de un sistema formado por una varilla en la que est´a ensartada una cuenta que se mueve libremente por ella. La propia construcci´on del sistema hace que no sea posible que la cuenta se mueva en las direcciones X y Z, sino s´olo en la direcci´on Y.

Ejemplo 2.2. Estudiemos ahora el movimiento de una part´ıcula sobre una super- ficie semicircular. La ´unica trayectoria que puede seguirla part´ıcula es la de deslizar por la superficie.

2 Fundamentos de la mec´anica lagrangiana

Ejemplo 2.3. Un ejemplo m´as visual puede ser nuestro propio brazo. Aunque el movimiento del conjunto puede cubrir casi todo el espacio gracias a las articula- ciones, si nos fijamos en cada una de las partes del brazo, ´estas s´olo pueden realizar una serie de movimientos. Esto es debido a que cada hueso es indeformable y, por tanto, tienen una determinada estructura que les impide ciertos movimientos. Ligaduras por el modo de activaci´on:Condiciones que de-

terminan la evoluci´on del sistema y que dependen de la forma en que ponemos en funcionamiento el mismo. Es decir, pode- mos encontrarnos con distintos problemas seg´un la forma en que activemos el conjunto.

Ejemplo 2.4. Estudiemos el p´endulo simple. Como podemos ver la din´amica del p´endulo y su evoluci´on depende de si las condiciones ini- ciales hacen que el p´endulo se mueva s´olo en el plano ZY, recorriendo

arcos de circunferencia (p´endulo simple), o que, sin embargo, el sistema se mueva hacien- do circunferencias completas en el plano XY. N´otese que al mismo tiempo que estamos imponiendo una ligadura por activaci´on estas introduciendo otra ligadura estructural que nos indica que el punto de suspensi´on del p´endulo es fijo (p´endulo c´onico).

Ejemplo 2.5. Ahora veamos lo que ocurre con el p´endulo el´astico. En el dibujo se puede observar que dependiendo de las condiciones iniciales el p´endulo puede comportarse como un p´endulo simple, si la

elongaci´on inicial es nula, como un oscilador en una dimensi´on, si la activaci´on es s´olo en el eje z, o como un oscilador tridimensional al tener la posibilidad de oscilar y girar en las tres dimensiones.

2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas

Ejemplo 2.6. Recordemos lo que aprendimos en el tema dedicado al an´alisis de los potenciales. Si suponemos que nos encontramos en un punto de equilibrio inestable inicialmente, el modo de activaci´on

condicionar´a la evoluci´on del sistema. Por ejemplo, ese punto inestable podr´ıa ser la cima de una monta˜na que tiene a los lados dos valles. La forma en que tiremos una piedra determinar´a si esta cae a uno u otro valle.

Antes de continuar debemos distinguir entre dos conceptos que nos ser´an de mucha utilidad, estos son:

Fuerzas de ligadura:Son las fuerzas responsables de las restricciones del sistema. No aparecen directamente en la formulaci´on lagrangiana, aunque est´an de forma impl´ıcita en ella y pueden calcularse mediante m´etodos anal´ıticos (v´ease obtenci´on de las fuerzas de ligadura a partir del m´etodo de los multiplicadores de Lagrange en el Tema 3). En general estas fuerzas, al depender de la posici´on y la velocidad, podemos expresarlas entonces como una funci´on f = f {ri,˙ri, t}= 0

Ejemplo 2.7. (v´ease ejemplo 2.1) En este caso f = f {ri}. Si por alg´un mo-

tivo la cuenta sufriese alguna fuerza en una direcci´on que no fuese la del eje Y aparecer´ıa una fuerza normal que la mantendr´ıa en la varilla, debido a que esta es indeformable.

2 Fundamentos de la mec´anica lagrangiana

Ejemplo 2.8. (v´ease ejemplo2.2) La fuerza de ligadura hace que la part´ıcula se mantenga siguiendo la superficie de la semicircunferencia, ya que es indeformable. N´otese que la fuerza normal a la misma es variable ya que depende de la posici´on de la part´ıcula y de su velocidad f = f {ri,˙ri, t}= 0.

Ejemplo 2.9. (v´ease ejemplo 2.4) De nuevo en este caso la fuerza de ligadura depende tanto de posiciones y como de las velocidades, es por consiguiente f = f {ri,˙ri, t}= 0. Que la cuerda sea inextensible provoca que se cree una tensi´on en

la cuerda seg´un el movimiento de oscilaci´on.

Ecuaciones de ligadura:Describen los efectos de las fuerzas de ligadura, es decir, sus implicaciones sobre la din´amica del sistema al que se aplique una determinada fuerza. Ve´amoslo en los ejemplos anteriores.

Ejemplo 2.10. (de nuevo ejemplos2.1y2.7) La aplicaci´on de la fuerza de ligadura hace que para definir la posici´on de la part´ıcula tengamos la ecuaci´on de ligadura x= z = 0.

Ejemplo 2.11. (similar a 2.2 y 2.8) La imposibilidad de deformar la superficie semicircular hace que la ecuaci´on de ligadura sea, en cartesianas, x2_{+ y}2 _{= cte =}

2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas

Ejemplo 2.12. (como en los casos 2.4 y 2.9) El equilibrio entre la tensi´on, la componente del peso y la componente normal de la aceleraci´on en cada punto hace que la ecuaci´on de ligadura sea r = l = cte. En este caso puede comprobarse que el modo de activaci´on influye notablemente en las ligaduras, ya que si el p´endulo se activa de forma que s´olo oscile en el plano del papel entonces aparece una nueva restricci´on tal que x = 0 es tambi´en una ecuaci´on de ligadura.

Ejercicio 2.1. Determ´ınese las ligaduras estructurales y alguna de las posibles ligaduras por activaci´on de los siguientes sistemas:

1. Plano inclinado de ´angulo α.

2. Movimiento de un pist´on en un cilindro.

3. Movimiento de una cuenta a lo largo de un anillo circular que gira alrededor de uno de los di´ametros.

2.1.2. Clasificaci´on de las ligaduras atendiendo a las ecuaciones de ligadura