todon ∈Nyx∈X. As´ı, decir que la serieP
fnconverge uniforme-
mente significa que la sucesi´on (sn) converge uniformemente, y es
equivalente a afirmar que la sucesi´on de funcionesrn:X →R(“res-
tos” de la serie), definidas mediantern(x) =fn+1(x) +fn+2(x) +· · · converge uniformemente a 0. En efectom basta observar que rn =
f −sn.
2. Propiedades de la convergencia uniforme
Teorema 1. Si una sucesi´on de funciones fn : X → R converge
uniformemente a f : X → R y cada fn es continua en el punto
a∈X entonces f es continua en el punto a.
Demostraci´on: Dadoε >0, existen0 ∈Ntal quen > n0⇒ |fn(x)−
f(x)| < ε/3 para todo x∈X. Fijemos un n´umero natural n > n0. Como fn es continua en el punto a, existe δ > 0 tal que x ∈ X,
|x−a|< δ⇒ |fn(x)−fn(a)|< ε/3, de donde
|f(x)−f(a)| ≤ 1fn(x)−f(x)|+|fn(x)−fn(a)|+|fn(a)−f(a)|
< ε 3 + ε 3 + ε 3 =ε. Lo que prueba el teorema.
Ejemplo 5. La sucesi´on de funciones continuas fn(x) = xn no
puede converger uniformemente en [0,1], pues converge puntual- mente a la funci´on discontinua f : [0,1] → R, f(x) = 0 si 0 ≤ x <1,f(1) = 1. Por otra parte, la sucesi´on de funciones continuas fn(x) =xn(1−xn) converge puntualmente a la funci´on 0 en el in-
tervalo [0,1], que es continua, sin que esto implique la convergencia uniforme. La misma observaci´on se puede hacer a prop´osito de la sucesi´on de funciones continuas fn : R → R, fn(x) = x/n. De es-
to trata el pr´oximo teorema. Antes de demostrarlo, daremos una definici´on.
Se dice que una sucesi´on de funciones fn : X → R, converge
mon´otonamente a f : X → R cuando, para todo x ∈ X, la suce- si´on de funciones (fn(x))n∈N es mon´otona y converge a f(x). Por
ejemplo, las funciones de los Ejemplos 1 y 3 convergen mon´otona- mente.
176 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
Es claro que sifn →f mon´otonamente enX, entonces|fn+1(x)− f(x)| ≤ |fn(x)−f(x)| para todox∈X y todo n∈N.
Teorema 2. (Dini). Si la sucesi´on de funciones continuas fn :
X →Rconverge mon´otonamente a la funci´on continua f :X →R en un conjunto compacto X entonces la convergencia es uniforme.
Demostraci´on: Dado ε >0, escribimos, para cada n ∈ N, Xn =
{x ∈ X : |fn(x)−f(x)| ≥ ε}. Como fn y f son continuas, cada
Xnes compacto. A su vez, la monoton´ıa de la convergencia implica
X1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ · · ·. Finalmente, como l´ım
n→∞fn(x) = f(x) para
todo x∈X, vemos que T∞
n=1Xn =∅. Del Teorema 9, Cap´ıtulo 5,
se deduce que alg´un Xn0 (y por tanto todo Xn tal que n > n0) es
vac´ıo. Esto significa quen > n0 ⇒ |fn(x)−f(x)|< ε, sea cual fuere
x∈X.
Ejemplo 6. La sucesi´on de funciones continuas fn : [0,1) → R,
fn(x) =xn, converge mon´otonamente a la funci´on (continua) id´enti-
camente nula en el conjunto [0,1), que no es compacto; sin embargo, la convergencia no es uniforme. En efecto, dado 0 < ε < 1, para todo n ∈ N existen puntos x ∈ [0,1) tales que xn > ε, ya que
l´ım
x→−1x
n= 1 > ε.
Teorema 3. (Paso al l´ımite bajo el signo integral). Si la susesi´on de funciones integrablesfn: [a, b]→R converge uniforme-
mente a f : [a, b]→R entonces f es integrable y
Z b a f(x)dx= l´ım n→∞ Z b a fn(x)dx .
En otra palabras: si la convergencia es uniforme,Rb
af(x)dx= l´ımn→∞
Z b
a
fn.
Demostraci´on: Dadoε >0, existen0 ∈ Ntal quen > n0⇒ |fn(x)−
f(x)| < ε/4(b−a) para todo x∈ [a, b]. Fijemos m > n0, como fm
es integrable exist una partici´on P tal que, si indicamos mediante ωi, ωi′ las oscilaciones de f y fm, respectivamente, en el intervalo
[ti−1, ti] de P, se tiene Pωi′(ti −ti−1)< ε/2. Por otra parte, para cualesquiera x, y ∈[ti−1, ti] se tiene:
|f(y)−f(x)| ≤ |f(y)−fm(y)|+|fm(y)−fm(x)|+|fm(x)−f(x)|
< ωi′+ ε 2(b−a).
Secci´on 2 Propiedades de la convergencia uniforme 177
Por tanto, ωi < ωi′+ε/2(b−a). De donde
X ωi(ti−ti−1) ≤ X ω′i(ti−ti−1) + [ε/2(b−a)] X (ti−ti−1) < ε/2 +ε/2 =ε .
Esto demuestra que f es integrable. Adem´as,
Z b a f(x)dx− Z b a fn(x)dx = Z b a [f(x)−fn(x)]dx ≤ Z b a | f(x)−fn(x)|dx ≤ (b4(b−a)ε −a) < ε si n > n0. En consecuencia, l´ım n→∞ Z b a fn(x)dx= Z b a f(x)dx.
Observaci´on.Si cada fn es continua la demostraci´on se simplifica
considerablemente pues entoncesf tambi´en es continua, y por tanto integrable.
Ejemplo 7. Si una sucesi´on de funciones integrablesfn: [a, b]→R
converge puntualmente af : [a, b]→R, puede suceder quef no sea integrable. Por ejemplo, si {r1, r2, . . . , rn, . . .} es una enumeraci´on
de los n´umeros racionales en [a, b] y definimos fn como la funci´on
que vale 1 en los puntos r1, r2, . . . , rny cero en los dem´as puntos de
[a, b], entonces fnconverge puntualmente a la funci´onf : [a, b]→R
tal que f(x) = 1 si x ∈ Q ∩[a, b] y f(x) = 0 si x es racional. Evidentemente, cada fn es integrable, y sin embargo f no lo es.
Ejemplo 8. Incluso cuando una sucesi´on de funciones integrables fn : [a, b] → R converge puntualmente a una funci´on integrable
f : [a, b] → R, puede suceder que l´ım
n→∞ Z b a fn(x)dx 6= Z b a f(x)dx. Por ejemplo, para cada n ∈ N, sea fn : [0,1] → R definida como
fn(x) =nxn(1−xn). Entonces fn(1) = 0 y 0≤fn(x)< nxn si 0≤
x <1. Ahora bien, l´ım
n→∞nx
n = 0 si 0
≤x <1. Por tantofnconverge
puntualmente en [0,1] a la funci´on id´enticamente nula. Adem´as
R1 0 fn(x)dx=n 2/(n+ 1)(2n+ 1); por tanto l´ım n→∞ Z b 0 fn(x)dx= 1/2 y sin embargo R1 0 f(x)dx= 0.
178 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
Para que se verifique que la derivada del l´ımite sea igual al l´ımite de las derivadas, en vez de suponer que fn converge uniformemen-
te, se tiene que postular que la sucesi´on de las derivadas converja uniformemente.
Teorema 4. (Derivaci´on t´ermino a t´ermino). Sea (fn) una
sucesi´on de funciones de claseC1en el intervalo [a, b]. Si la sucesi´on
formada por los n´umeros (fn(c)) converge para alg´un c ∈ [a, b] y
las derivadas f′
n convergen uniformemente a una funci´on g en [a, b],
entonces(fn)converge uniformemente a una funci´onf, de claseC1,
tal que f′ =g en [a, b]. En resumen: (l´ımf
n)′ = l´ımfn′ siempre que
las derivadas f′
n converjan uniformemente.
Demostraci´on: Por el Teorema Fundamental del C´alculo, para cada n ∈ N y todo x ∈ [a, b], tenemos fn(x) = fn(c) +
Rx
c fn′(t)dt.
Si hacemos n → ∞, vemos por el Teorema 3, que existe f(x) = l´ım
n→∞fn(x) y que f(x) = f(c) +
Rx
c g(t)dt. Adem´as, por el Teorema
1, g es continua, luego (de nuevo por el Teorema Fundamental del C´alculo) f es derivable y f′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b]. En
particular, f′ es continua, esto es, f es de clase C1. S´olo nos falta probar que la convergencia fn →f es uniforme. Ahora bien,
|fn(x)−f(x)| ≤ |fn(c)−f(c)|+
Z x
c |
fn′(t)−g(t)|dt . Como f′
n →g uniformemente, resulta que fn →f uniformemente.
Ejemplo 9. La sucesi´on de funciones fn(x) = sen(nx)/n conver-
ge uniformemente cero en toda la recta. Sin embargo la sucesi´on f′
n(x) = cos(nx) no converge, ni tal siquiera puntualmente, en
ning´un intervalo. (Todo intervalo contiene alg´un n´umero de la for- ma x = mπ/p, con m, p enteros, luego cos(nx) alcanza infinitas veces los valores 1 y −1.
En el caso de una serieP
fnlos teoremas anteriores se formulan
como sigue: 1. SiP
fn converge uniformemente af y cada fn es continua en el
Secci´on 2 Propiedades de la convergencia uniforme 179
2. Si cada t´ermino fn : X → R es una funci´on continua tal que
fn(x) ≥ 0 para todo x ∈ X, y la serie Pfn converge a una
funci´on continua f : X → R en el compacto X, entonces la convergencia es uniforme.
3. Si cada fn : [a, b]→ R es integrable y Pfn converge uniforme-
mente af : [a, b]→R, entoncesfes integrable yRb
a
P
fn(x)dx=
Rb
a f(x)dx.
4. Si cada fn : [a, b] →R es de clase C1, Pfn′ converge uniforme-
mente en [a, b] y P
fn(c) converge para alg´un c∈ [a, b], enton-
ces P
fn converge uniformemente a una funci´on de clase C1 y
(P
fn)′ =Pfn′.
Ejemplo 10. La serie P∞
n=0x2/(1 +x2)n, cuyos t´erminos son fun- ciones continuas definidas en toda la recta, converge a la suma 1+x2 para todo x 6= 0. En el punto x = 0 todos los t´erminos de la serie son nulos, luego la suma es cero. De donde la serie dada converge puntualmente en toda la recta; sin embargo, la convergencia no es uniforme, pues la suma es una funci´on discontinua.
El teorema b´asico sobre convergencia de series de funciones, enunciado a continuaci´on, no tiene an´alogo para sucesiones.
Teorema 5. (Criterio de Weiertrass). Dada la sucesi´on de funciones, fn:X →R, seaPan una serie convergente de n´umeros
reales an ≥ 0 tales que |fn(x)| ≤ an para todo n ∈ N y xd ∈ X.
En estas condicionesm las series P
|fn|y Pfn son uniformemente
convergentes.
Demostraci´on: Por el criterio de comparaci´on, para todo x ∈X la serie P
|fn| (y por tanto la serie Pfn) es convergente. Dado
ε >0, existe n0 ∈N tal que P
n>n0an < ε. Escribiendo Rn(x) = X k>n |fn(x)| y rn(x) = X k>n fn(x),
se tiene inmediatamente que |rn(x)| ≤ Rn(x) ≤ Pk>nak < ε para
todon > n0 luego P
180 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12