Bag Reconstruction by Kernel Density Estimation

13.4 Ecuaci´on general de la din´amica para un sistema con ligaduras sin rozamiento. 13.5 Fuerzas, trabajo y energ´ıa en coordenadas generalizadas.

Introducci´on

Hasta ahora hemos basado el estudio de la din´amica en magnitudes vectoriales, sin embargo es posible seguir un enfoque diferente en el cual las magnitudes fundamentales son escalares y las ecuaciones funda- mentales se obtienen mediante un proceso sistem´atico de derivaci´on de tales funciones; a este planteamiento se le conoce como mec´anica anal´ıtica.

La mec´anica vectorial y la mec´anica anal´ıtica son m´etodos distintos de resoluci´on de los problemas din´amicos, pero no teor´ıas diferentes de la mec´anica por lo que deben conducir a los mismos resultados. Por otra parte la mec´anica anal´ıtica admite varias formulaciones, en este curso nos centraremos b´asicamente en la formulaci´on lagrangiana.

Una cuesti´on que se suele plantear es la conveniencia de utilizar la formulaci´on vectorial o la anal´ıtica para obtener las ecuaciones del movimiento. No existe una regla fija, con la posible excepci´on de los sistemas din´amicos con ligaduras, donde la formulaci´on anal´ıtica muestra su potencia.

13.1. Ligaduras en sistemas f´ısicos. Definici´on, propiedades y clasificaci´on.

Ya hemos visto que las ligaduras restringen los movimientos de un sistema. Matem´aticamente se expresan como una relaci´on funcional entre las posiciones y velocidades de los puntos del sistema y el par´ametro tiempo. Existen diversos criterios para clasificar las ligaduras, aqu´ı consideraremos:

Ligaduras hol´onomas y no hol´onomas: Son aquellas que conducen a problemas que pueden resolverse formalmente; existe soluci´on general completa. En el caso de ligaduras no hol´onomas no existe un m´etodo general.

Son hol´onomas las ligaduras geom´etricas, es decir aquellas que pueden expresarse mediante una relaci´on funcional de las posiciones de las las part´ıculas (y posiblemente el tiempo) de la forma

f ( #»r1, #»r2, ..., #»rN, t) = 0. Un ejemplo de ligadura geom´etrica es el s´olido r´ıgido, ( #»ri− #»rj)2− c2ij = 0. El caso de una part´ıcula que se mueve ligada a una curva o una superficie es otro ejemplo de ligadura geom´etrica, donde las ecuaciones de la curva o de la superficie act´uan como ecuaciones de ligadura. Sin embargo el problema de una part´ıcula que se mueve por el exterior de la superficie de una esfera de radio a, donde la ligadura se expresar´ıa como una desigualdad, #»r2− a2 ≥ 0, ser´ıa un caso de ligadura

no hol´onoma.

Las ligaduras cinem´aticas, que se expresan como una relaci´on funcional de las velocidades y del tiempo,

f  ˙ #»_{r1, ˙#»r2, . . . , ˙#»r} N, t 

= 0, son en general no hol´onomas; sin embargo aquellas que por integraci´on conducen a una ligadura geom´etrica (cinem´aticas integrables) son tambi´en ligaduras hol´onomas. Un ejemplo de ligadura cinem´atica integrable ser´ıa el caso de un c´ırculo que rueda sin deslizar sobre una recta, la ligadura ser´ıa que la velocidad del punto de contacto A es nula, v_A= v_C− ω r = 0 que puede integrarse dando lugar a una relaci´on entre la coordenada del centro del c´ırculo C y el ´angulo girado

φ, x_C = r φ + cte.

Escler´onomas y re´onomas: Se clasifican as´ı atendiendo a su dependencia temporal. Si en la ecuaci´on de ligadura aparece explicitamente el tiempo la denominaremos re´onoma y en caso contrario escler´onoma.

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13.2. Condiciones de equilibrio y ecuaciones del movimiento en coordenadas generali- zadas.

Para un sistema con ligaduras los desplazamientos de sus part´ıculas no son independientes y por tanto las coordenadas utilizadas para definir la posici´on del sistema tampoco lo son. Cuando todas las ligaduras son hol´onomas (sistemas hol´onomos) la dependencia que existe entre las posiciones de los diferentes puntos del sistema puede evitarse eligiendo unas nuevas coordenadas que sean independientes entre s´ı. Definimos entonces:

Coordenadas generalizadas: Conjunto de variables {q1, . . . , qs} independientes entre s´ı, que definen un´ıvocamente la posici´on del sistema, i. e., #»r_α= #»r_α(q1, . . . , qs, t), siendo s el n´umero de grados de libertad (movimientos independientes) del sistema y α un ´ındice que recorre el n´umero de part´ıculas N . Para un sistema dado, la elecci´on de las coordenadas generalizadas no es ´unica. As´ı, por ejemplo, en el caso del p´endulo doble existen dos ligaduras: x2₁+ y2₁ = 2₁ y (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = 22, y cuatro coordenadas

cartesianas por lo que podr´ıan elegirse 2 coordenadas independientes de m´ultiples formas y en diversas combinaciones siendo todas ellas v´alidas. En este caso lo m´as c´omodo es tomar los dos ´angulos indicados en la figura.

Vamos a escribir el principio del trabajo virtual en t´erminos de las coordenadas generalizadas. Los desplazamientos virtuales (instant´aneos y compatibles con las ligaduras) se expresar´an

δ #»r_α = s  j=1 ∂ #»r_α ∂q_j δqj

y por tanto el trabajo virtual ser´a:

δW = N  α=1 #» F_α· s  j=1 ∂ #»r_α ∂q_j δqj

Denominamos fuerza generalizada Q_j, asociada a la coordenada generalizada q_j a:

Q_j = α

#»

F_α·∂ #»rα ∂q_j

N´otese que, en general Q_j no tiene dimensiones de fuerza pero el producto Q_jq_j siempre tiene dimensiones de trabajo o energ´ıaML2T−2.

En funci´on de las coordenadas y fuerzas generalizadas, el trabajo virtual puede escribirse

δW =

j

Q_jδq_j

y dado que los desplazamientos de las coordenadas generalizadas son independientes, el principio del trabajo virtual quedar´ıa:

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A. J. L´opez 25 de junio de 2011

En sistemas conservativos, ∀α, F#»_α =−∇#»_αV , siendo V = V ( #»r1, #»r2, ..., #»rα, ...) la energ´ıa potencial del sistema, el trabajo es:

dW = α −∇#»αV · d#»rα=−  α  ∂V ∂x_αdxα+ ∂V ∂y_αdyα+ ∂V ∂z_αdzα =−dV y dado que las fuerzas generalizadas se pueden escribir en funci´on del potencial como:

Q_j = α #» F_α·∂ #»rα ∂q_j =− ∂V ∂ #»r_α · ∂ #»r_α ∂q_j =− ∂V ∂q_j

la condici´on necesaria y suficiente para que un sistema conservativo est´e en equilibrio es:

EQU ILIBRIO ⇔ δW = 0, ∀δ #»r_α ⇔ Q_j =−∂V

∂q_j = 0,∀j