Binding commitments

El modelo lineal para un diseño en cuadrado latino viene dado por la siguiente ecuación:

siendo

Yij(t)= una observación de la filai en la columna j para el tratamiento t.

µ = la media general del experimento. α(t)= el efecto de los tratamientos.

βi= el efecto de las filas. kj= el efecto de las columnas.

Las esperanzas de los cuadrados medios para un Cuadrado Latino resultan:

Esperanzas de los cuadrados medios

Fuente de variación Grados de libertad Modelo I Modelo II (Efectos fijos) (Efectos aleatorios)

Filas r-1

Columnas r-1

Tratamientos r-1

Error (r-1)(r-2)

DISEÑO Y ANÁLISIS DE VARIANZA

Una disposición en cuadrado latino con 4 tratamientos podría ser la siguiente:

A D C B

B C A D

D A B C

C B D A

donde cada tratamiento es atribuido aleatoriamente a cada parcela elemental dentro de cada fila y de cada columna. Esto puede hacerse de varias maneras; por ejemplo, pueden sorte- arse los tratamientos dentro de cada fila y luego sortear las columnas.

El análisis de varianza en el Cuadrado latino sería:

Fuente de Variación gl SC CM F

Tratamientos r-1 SCTR CMTR CMTR/CME

Filas r-1 SCF CMF CMF/CME

Columnas r-1 SCC CMC CMC/CME

Error (r-1)(r-2) SCE CME

Total r2_{-1 SCT}

siendo:

El factor de corrección:

Como ejemplo, se va a analizar un experimento realizado con cuatro variedades de maíz en el que se sospechaba que había un gradiente de fertilidad en un sentido y otro gradiente pro- ducido por la forma en la que se tenía que regar la parcela. Los datos correspondientes al rendimiento de las variedades de maíz se presentan en la Tabla 8.1.

Columnas

Filas

Tabla 8.1.- Rendimiento (t/ha) de cuatro variedades de maíz (A, B, C y D) en cada parcela elemental de un Cuadrado Latino. Las filas se han dispuesto siguiendo el gradiente de fertilidad y las columnas siguiendo el gradiente de riego.

C D B A 10,5 7,7 12,0 13,2 B A C D 11,1 12,0 10,3 7,5 D C A B 5,8 12,2 11,2 13,7 A B D C 11,6 12,3 5,9 10,2

La resolución de este experimento de una forma convencional se haría exactamente igual que la de un bloques al azar, con la particularidad de que habría que añadir un sumando más a la descomposición de la suma de cuadrados total, pues en este caso se disponen de dos blo- ques: filas y columnas. Se disponen los datos en filas y en columnas como se presenta en la Tabla 8.2.

Tabla 8.2.- Tabla de datos en filas y columnas del Cuadrado Latino.

Columna

Fila 1 2 3 4 _{Suma (Fi)}

1 10,5 7,7 12,0 13,2 43,4

2 11,1 12,0 10,3 7,5 40,9

3 5,8 12,2 11,2 13,7 42,9

4 11,6 12,3 5,9 10,2 40,0

Suma (Cj) 39,0 44,2 39,4 44,6 167,2

A continuación se disponen los datos como en la Tabla 8.3 para recoger las sumas y medias de tratamientos.

Tabla 8.3.- Totales y medias de tratamientos del Cuadrado Latino.

Tratamientos

(Variedades) A B C D Suma

Total (Tt) 48,0 49,1 43,2 26,9 167,2

Media 12,0 12,27 10,8 6,72 10,45

La tabla del análisis de varianza quedaría, pues: Fuente de variación gl SC CM F Variedades 3 78,925 26,308 58,07** Filas 3 1,955 0,65 1,43NS Columnas 3 6,8 2,27 5,01* Error 6 2,72 0,453 Total 15 90,4

En la Tabla A2 de los valores de F se observa que los valores tabulados para 3 grados de li- bertad del numerador y 6 del denominador son 4,76 para un nivel de P=0,05 y 9,78 para P=0,01. El valor de F de los tratamientos (58,07) supera ampliamente estos valores, lo que permite rechazar la hipótesis nula y asumir que las diferencias entre variedades son alta- mente significativas. El valor de F correspondiente a filas es inferior a los valores tabulados, lo que indica que la fertilidad del suelo, en este caso, no parece contribuir realmente al error experimental, pero sí lo hace la forma de riego, pues la F de columnas es mayor que la F ta- bulada al nivel de probabilidad del 5%.

Si se realiza la separación de medias por la mínima diferencia significativa (MDS), tenemos que:

MDS_0,05= t_0,05* siendo

t_0.05= valor tabulado de t para los grados de libertad del error (Tabla A1).

, el error estándar de la diferencia entre dos medias. s2_{= varianza del error (CME).}

r = número de observaciones por media. En el ejemplo tenemos:

MDS = 2,447 * 0,4759 = 1,1645

Si se vuelve a la Tabla 8.3, que recoge la media de los tratamientos, se observa que, de acuerdo con la MDS, las variedades A y B no difieren estadísticamente en sus resultados, pero

sí lo hacen de las variedades C y D y, a la vez, estas últimas también muestran diferencias significativas entre sí.

CÁLCULO CON EL PROGRAMAStatistix (SX)

En el programa SX introducir los datos experimentales definiendo las variables “Filas”, “Co- lumnas”,“Variedades”, y “Rendimiento” teniendo en cuenta que el programa solo admite ca- racteres numéricos en la hoja de datos, por lo que a cada variedad hay que asignarle un número (A=1; B=2; C=3; D=4). La tabla de datos quedaría, pues, de la siguiente forma:

Fila Columna Variedad Rendimiento

1 1 3 10.5 1 2 4 7.7 1 3 2 12 1 4 1 13.2 2 1 2 11.1 2 2 1 12 2 3 3 10.3 2 4 4 7.5 3 1 4 5.8 3 2 3 12.2 3 3 1 11.2 3 4 2 13.7 4 1 1 11.6 4 2 2 12.3 4 3 4 5.9 4 4 3 10.2

Una vez introducidos los datos experimentales, seguir la siguiente secuencia:

Statistic >Linear Models >Analysis of Variance >Latin Square Design

Una vez dentro de esta opción, en el cajetín correspondiente indicar como variable depen- diente “Rendimiento”, como variable de filas (row) “Filas”, como variable de columnas (co- lumns) “Columna” y como variable de tratamientos, “Variedad”. Pulsar OK y se obtiene el siguiente cuadro de análisis de la varianza:

Latin Square AOV Table for Rendimien Source DF SS MS F P Fila 3 1.9550 0.6517 Columna 3 6.8000 2.2667 Variedad 3 78.9250 26.3083 58.03 0.0001 Error 6 2.7200 0.4533 Total 15 90.4000 Grand Mean 10.450 CV 6.44

Tukey’s 1 Degree of Freedom Test for Nonadditivity

Source DF SS MS F P

Nonadditivity 1 0.01412 0.01412 0.03 0.8780

Remainder 5 2.70588 0.54118

Relative Efficiency

Completely Randomized Design 1.89

Randomized Complete Block, Fila 1.87

Randomized Complete Block, Columna 1.04

Means of Rendimien for Variedad

Variedad Mean

1 12.000 2 12.275 3 10.800

4 6.725

Observations per Mean 4

Standard Error of a Mean 0.3367

Std Error (Diff of 2 Means) 0.4761

En este caso se obtiene directamente la probabilidad (P = 0,0001) de obtener un valor igual o superior al de la F (58,03), por lo que efectivamente, no se acepta la hipótesis nula de no diferencia entre variedades. Obsérvese que la salida no incluye los valores de F para filas y columnas, que han de calcularse a mano si se quiere esa información. Como en otros dise- ños, la salida incluye los valores de la media general (10,45), del coeficiente de variación (6,44 %) y el test de Tukey para la no aditividad, que en este caso no existe.

El programa calcula la eficiencia del cuadrado latino sobre un diseño completamente al azar o bien sobre diseños en bloque utilizando únicamente las filas como bloques o bien las co- lumnas. En el ejemplo, el diseño en cuadrado latino es bastante eficiente en comparación con un diseño completamente al azar y también con un diseño en bloques al azar si se hubieran escogido la filas como bloques, consiguiendo una mejora sobre esos diseños del 89 % y del 87%, respectivamente, pero tan solo de un 4% comparado con un diseño en bloques al azar si se hubieran escogido las columnas como bloques. Por último, también se muestranlas me-

Para realizar la separación de medias, seguir la secuencia:

Results >Multiple comparisons >All-pairwise comparisons.

y elegir uno de los métodos ofrecidos para calcular la significación de las diferencias. Si se elige LSD (mínima diferencia significativa) se obtiene:

LSD All-Pairwise Comparisons Test of REND for VAR

VAR Mean Homogeneous Groups

B 12.275 A

A 12.000 A

C 10.800 B

D 6.725 C

Alpha 0.05 Standard Error for Comparison 0.4761

Critical T Value 2.447 Critical Value for Comparison 1.1650

Error term used: FILAS*COLUMNAS*VAR, 6 DF

There are 3 groups (A, B, etc.) in which the means are not significantly different from one another.

Aparecen los valores tomados para t, el valor de y el valor de la LSD (MDS), que separa las medias en tres grupos dentro de los cuales no hay diferencia significativas y entre los cua- les si hay, como se había interpretado anteriormente.

En ciertos programas de mejora genética de plantas, es necesario cribar una gran cantidad de selecciones nuevas de las que se dispone de pequeñas cantidades de semilla. Como parte de ese proceso de cribado, estas selecciones deben ser evaluadas por rendimiento en experimentos preliminares. Los métodos más clásicos para llevar a cabo estas evaluaciones consisten en sembrar estas nuevas selecciones en líneas o surcos individuales junto con sur- cos de uno o varios testigos, que son situados sistemáticamente dentro del experimento. Las nuevas selecciones son evaluadas subjetivamente, comparando su rendimiento con el del testigo más cercano. Sin embargo, como las nuevas selecciones no se han repetido, no es posible realizar un análisis estadístico de los rendimientos.

El diseño aumentado, desarrollado por Federer (1956) y descrito por Federer y Ragavarao (1975), trata de poner el análisis del rendimiento de estos experimentos preliminares dentro de una base estadística más convincente; su objetivo es, pues, la evaluación de un gran nu- mero de selecciones incluyendo análisis estadísticos.

El plan básico del diseño consiste en dividir el área experimental en una serie de bloques que, a su vez, contienen las unidades experimentales o parcelas. Tres o más testigos se asignan al azar a las unidades experimentales de cada bloque y en las unidades restantes se siem- bran las selecciones nuevas que se quieren probar, de manera que en cada bloque se dis- pone un grupo de las nuevas selecciones. Aunque los testigos están repetidos, las nuevas selecciones no lo están, pues se asignan al azar dentro de las unidades experimentales que quedan libres una vez que se han sorteado los testigos. El rendimiento de las selecciones nue- vas es ajustado por las diferencias de bloques, que son estimadas por el rendimiento de los testigos que se repiten en cada uno de ellos.

Los bloques no tienen que contener necesariamente el mismo número de unidades experi- mentales, pero el ensayo es mucho más eficiente si el tamaño de los bloques es idéntico.