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Monti propone aplicar secuencialmente los siguientes pasos para obtener una ecuación esta- dística que recoja la probabilidad de encontrarnos por debajo de un margen de error determi- nado. La secuencia a seguir es:

Paso 1. Desarrollo de un modelo teórico.

Dado un problema físico dependiente de unas variables, el primer paso consiste en identificar las variables relevantes de las que depende la solución del problema para, a continuación ela- borar un modelo matemático consistente dependiente de la interrelación de estas variables. Es muy frecuente en ingeniería aplicar el problema a la inversa, es decir, a partir de una serie

de resultados obtener una formulación adecuada mediante un estudio de regresión estadísti- ca.

La modelización se puede representar como: . ( )

t t

r b g X= (5.1)

siendo rt las ecuaciones de diseño que se desea optimizar, ( )g Xt el modelo representativo del

fenómeno, Xtodas las variables de las que el modelo predictivo depende y b son los coeficien- tes que optimizan la capacidad predictiva del modelo teórico. Estos coeficientes b introducidos tendrán en cuenta factores como:

• Interacción de otros fenómenos secundarios no incluidos en la modelización • Simplicidad intencionada del modelo

Paso 2. Medición de las variables fundamentales a través de ensayos.

Después de haber definido un modelo teórico, se evaluará su fiabilidad mediante ensayos ex- perimentales. Para dichos ensayos se miden todas las variables que se precisen. Las variables geométricas no suelen presentar problema para ser evaluadas, sin embargo, otras, como las propiedades intrínsecas de los materiales, por ejemplo la resistencia media del hormigón fcm ,

sí pueden ser problemáticas, por lo que se recurrirá para variables de este tipo a ensayar pro- betas normalizadas del material y extraer el valor medio de los resultados obtenidos. Para que este valor medio sea representativo deben aplicarse a su vez consideraciones estadísticas (número de muestras suficientemente elevado, pequeño margen de error de la media, etc.)

Paso 3. Ajuste fino del modelo teórico con los resultados experimentales.

Es en este momento cuando se lleva a cabo la estimación de los coeficientes b que ajustan las ecuaciones de tal forma que se aproximen lo más posible a los datos experimentales obteni- dos. Para calcular estos coeficientes se puede aplicar un método de ajuste por mínimos cua- drados, o cualquier otro método matemático válido.

En esta tesis, a partir de las ecuaciones de diseño teóricas de partida, el ajuste del modelo (cálculo de los coeficientes b) se ha realizado mediante la Optimización Multiobjetivo, a través del algoritmo genético NSGA-II.

Paso 4. Definición de un modelo probabilístico a partir del modelo matemático.

Es preciso introducir un modelo probabilístico para estimar el error cometido por el modelo predictivo aunque ya haya sido ajustado en el paso anterior. Para ello, se multiplicarán las ecuaciones de diseño ya optimizadas por un coeficiente δ que permita obtener los valores experimentales r:

. . ( ).

t t

r r= δ =b g X δ (5.2)

en donde δ va a introducir el modelo de error; se trata de una variable aleatoria distribuida normalmente, con valor medio δm = 1 y desviación típica σδ (Figura 5.1)

Los valores de esta función de error se definen para cada ensayo k como:

. ( ) km km km e e k t t r r r b g X δ = = (5.3)

donde re_kmy rtkmson los valores medios obtenidos experimentalmente l y mediante las ecuacio-

nes de diseño, respectivamente, para cada ensayo k .

La desviación típica se puede estimar (considerando δ = 1) mediante:

(

)

∑

siendo n el número de ensayos.

Paso 5. Estimación de la media y la varianza del modelo optimizado.

Si se asume que el modelo sigue una distribución normal, la media de la función probabilística definida en 5.2 , rm, vendrá dada en primera aproximación por:

( ) . ( )

m t m

r =E r b g X≅ (5.5) donde se ha tenido en cuenta que δm = 1.

Análogamente, la varianza de la distribución Var r( ) se obtendrá en primera aproximación co- mo:

2 2

( ) i. ( )i . ( ) n i. j ( i j)

i i i j

Var r c Var X c Varδ δ c c Cov X X

≠

   

=

∑

∑∑

donde cise define como:

, m m i i X r c x _δ ∂ = ∂ (5.7) y cδ : , m m X r cδ δ δ ∂ = ∂ (5.8)

La ecuaciones (5.7) y (5.8) representan las derivadas parciales de las ecuaciones del modelo optimizado particularizadas en los valores medios de las variables Xi y δm (recuérdese que δm= 1).

El valor de la covarianza Cov X X( i j) es nulo si las variables Xi yXj son estadísticamente indepen- dientes, como se asume en nuestras ecuaciones de diseño.

Paso 6. Estimación probabilística del modelo optimizado.

Con los parámetros estimados anteriormente se puede establecer ya una fórmula de cálculo que estime el valor predicho por el modelo con una probabilidad de cometer un error menor que un porcentaje determinado mediante:

[

]

2 . ( )

k m

r r= −p Var r (5.9)

donde p es una constante estadística que depende del percentil que se fije. Para los percenti- les más habituales los valores de p se muestran en la Tabla :

Nótese que el valor de p aumenta conforme el percentil disminuye, lo cual significa que el mo- delo se vuelve más conservador conforme se desea que la probabilidad de que se cometa un error sea menor.

Paso 7. Comprobar que la función de error sigue una distribución normal.

Inicialmente se ha supuesto esta distribución gaussiana del error. Lo habitual es que sea así, pero si se desea comprobar que la hipótesis es correcta se podría, entre otros procedimientos, o bien dibujar la gráfica de frecuencia acumulada de error δ y ver su ajuste a la gráfica de fre- cuencia acumulada correspondiente a una función normal (Figura 5.2), o bien someter la dis- tribución de error δ a algún test estadístico, como el de Kolmogorov – Smirnov [117] [118] [119-121], o el Chi-cuadrado (_χ2_{) [122-124].}

Percentil (%) p

5 1,64

0,5 2,58 0,1 3,08

5.4.Aplicación del análisis estadístico a las ecuaciones de diseño obtenidas por optimización