Closing the circle: Input output data and EEIO models

En las últimas décadas diferentes autores han desarrollado diversos puntos de vista en relación a la modelación matemática, entre estos: Araujo, 2002; 2007; 2009; Blum, et al., 2007; Gerosky, 2010; Kaiser y Sriraman, 2006; Kaiser, Sriraman y Blomhoj, 2006a, 2006b. Kaiser, Sriraman, Blomhoj y García, 2007; Trigueros, 2009; Villa-Ochoa, Bustamante, y Berrio, 2010; Villa-Ochoa, Rojas, y Cuartas, 2010; entre otros (citados en Mesa, 2013).

Para identificar las características de varias de las perspectivas que se han perfeccionado con el transcurso de los años, se detallará, teniendo en cuenta el compendio realizado por Mesa (2013), en la siguiente tabla algunas de sus principales características:

Tabla 3

Perspectivas en modelación matemática. Kaiser et al. (2007)

Perspectiva Objetivos Tarea Característica

Modelación realística

Está orientada a objetivos de carácter pragmático y utilitario, enfocada a la solución de problemas y comprensión del mundo real. Promueve el desarrollo de competencias modeladoras.

Crear una estructura de precios para un conductor de taxi.

Esta es una tarea abierta. Tú tienes que crear un modelo y por lo tanto necesitas el ciclo completo de la modelación. Modelación contextual Objetivos psicológicos y relacionados al tema de estudio, por ejemplo problemas de resolución de palabras.

Un taxista tiene un precio fijo de 2,00 € y el precio / km es de 0,15 €. La edad del conductor del taxi es de 43 y su taxi es de 7 años de edad. ¿Cuánto cuesta una unidad de 6 km? Esto es principalmente un problema de palabras. Modelación educativa Objetivos pedagógicos y relacionados con el tema: XIII. Estructura de los

procesos de aprendizaje y su promoción. XIV. Introducción de un concepto y su desarrollo. XV. Desarrollo motivacional y mejoramiento de las actitudes hacia las matemáticas.

XVI. Promoción del pensamiento crítico en los procesos de modelación y desarrollo de modelos.

La misma tarea que en la modelación contextual.

Un profesor puede utilizar una tarea de modelación para explorar las funciones lineales. El profesor utiliza la comprensión del contexto para desarrollar conceptos matemáticos. La cuestión es cómo una tarea debe ser situada en el plan de estudios.

Modelación sociocrítica

Promoción de una comprensión crítica de los procesos de modelación y los modelos desarrollados como objetivo general, relacionado con el reconocimiento de la dependencia cultural de los ejemplos y enfoques desarrollados de modelación.

¿Cómo debe ser pagado un conductor de taxi?

Usted puede pensar sobre diferentes estructuras de precios, pero la intención también es pensar sobre la cuestión social. Se podría argumentar que un taxista debe ser pagado por cada hora que trabaja.

Modelación epistemológica

Promoción de conexiones entre las actividades de modelación y las actividades matemáticas, re conceptualización de las

¿Cuánto dinero gana un taxista al final del día?

En esta pregunta muchos conceptos están ocultos. Usted tiene que pensar

matemáticas y reorganización de las matemáticas escolares desde una perspectiva de la modelación.

sobre la estructura de precios…

¿Cuántos clientes? ¿Cuánta gasolina se necesitó?

¿El costo original del auto?

Para un análisis profundo es necesario considerar varias perspectivas.

Nota. Fuente: Mesa, Y. (2013). El modelo matemático como noción, concepto y categoría. Reflexiones desde la filosofía al campo de la modelación en educación matemática. (p. 20-22). Tesis de maestría.

Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia.

En su investigación, Mesa (2013) destaca que al hablar de modelación las preguntas (perspectivas) más frecuentes y con más despliegue en los medios de divulgación son el cómo y el para qué de la modelación. De igual modo, señala que los propósitos más manifiestos son los pedagógicos, psicológicos y científicos, hallazgo que le permite señalar que la modelación matemática en la escuela permite desarrollar habilidades en los estudiantes para comprender mejor el mundo que los rodea, crear un panorama o estrategia que permita que la formación en matemáticas sea más llamativo en el cumplimiento del currículo escolar y presentar una imagen realista de las mismas como una ciencia, teniendo especial consideración en los contextos extra- matemáticos que pueden traerse al mundo de las matemáticas para su estudio y comprensión.

La pregunta por el cómo de la modelación, señala Mesa, pone en evidencia por lo menos tres enfoques diferentes: proceso, método de enseñanza y aprendizaje, metodología de

investigación. En lo concerniente a la presente investigación, se partira del enfoque que entiende la modelación como proceso, esto, sin poner en detrimento la relevancia de los demás enfoques. Al definir este énfasis, se puede establecer una de las partes indispensables para construir las bases de trabajo y esclarecer más el panorama en las preguntas formuladas sobre modelación y modelo; al respecto Mesa (2013) señala:

Una mirada histórica a las actividades científicas permite identificar la modelación como un proceso que involucra ciertas acciones o actividades que llevan a la construcción o producción de modelos que dan cuenta de los fenómenos estudiados por investigadores o científicos. (p. 27)

En este punto, si bien señala Mesa que al entender la modelación como proceso suele reducircela a mera descripciones con las que se pretende tan solo equiparar y mostrar una conexión válida y amplia entre las matemáticas y lo extra-matemático (mundo real) que permita su estudio, si se pone la atención sobre Blum y Borromeo-Ferri, 2009; Rodríguez, 2010 (citados en Mesa, 2013) nos encontramos que es también posible bajo un enfoque de proceso evidenciar ciclos de modelación o, considerando los niveles de matematización de Freudenthal, evidenciar cuestiones complejas en lo que implican sus categorías, niveles o etapas internas, las relaciones entre estas y el paso o cambio entre una y otra; lo que permite señalar que el enfoque tratado no implica solamente una manera simplista de descripción de serie de pasos.

A continuación, se mostrarán dos de los modelos de los ciclos de modelación

mencionados, los cuales en su estructura o proceso muestran la complejidad de esta actividad en actividades científicas y la enseñanza de las matemáticas escolares:

Ilustración 1.Ciclo de modelación de Rodríguez (2010)

Fuente:Mesa, Y. (2013). El modelo matemático como noción, concepto y categoría. Reflexiones desde la filosofía al campo de la modelación en educación matemática. (p. 28). Tesis de maestría.

Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia .

Ilustración 2. Ciclo de modelación de Blum y Borromeo-Ferri (2009)

Fuente:Mesa, Y. (2013). El modelo matemático como noción, concepto y categoría. Reflexiones desde la

filosofía al campo de la modelación en educación matemática. (p. 30). Tesis de maestría. Universidad de

De estos ciclos es importante resaltar el papel que juega ‘la realidad’ o ‘el mundo real’ como punto de partida y factor clave en el mismo proceso de modelación, trayendo a

consideración y estudio en las matemáticas diferentes aspectos del fenómeno en cuestión, tal como lo expresa Mesa (2013):

Esa “realidad” es asumida generalmente como punto de partida de la actividad de modelación. De esa manera, la modelación matemática, en tanto proceso se inicia en una realidad dada, la cual para ser conocida, descrita, resuelta, interpretada, etc. plantea unas condiciones dadas las cuales son tomadas por el modelador para llevar a cabo su actividad (p. 29)

La matematización, ligada al proceso de modelación, es otro término que ha trascendido en la actividad matemática en tanto que “transforma el modelo real en un modelo

matemático…” (Mesa, 2013, p. 32). Este concepto también es mencionado por Vasco en algunos apartados de sus investigaciones y en documentos curriculares como los lineamientos de

matemáticas en la educación colombiana, y por Freudenthal, quien le da un desarrollo especial en el proceso de modelación propuesto en el marco de la Educación Matemática Realista (EMR), referencia que se tratara posteriormente.

Por último, para adentrarnos en la comprensión de modelación y modelo y su relación con el aprendizaje de la función, retomaremos el marco conceptual del razonamiento

covariacional (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu, 2003). Partiendo de la referencia

mencionada, y siguiendo especilamente a Kaput, 1994 & Rasmussen, 2000 (citados en Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu, 2003), empezaremos por expresar que modelar relaciones

funcionales de situaciones que involucran la razón de cambio de una variable cuando varía continuamente en una relación dependiente con otra variable es indispensable para interpretar modelos de eventos dinámicos.

La concepción sobre modelación en el marco conceptual del razonamiento covariacional se puede asociar a la modelación como proceso, comparando el marco con las características de este enfoque de acuerdo con el trabajo de Mesa (2013). Al partir de una situación real se lleva a cabo el proceso de modelación según Rodríguez, 2010 y Blum y Borromeo-Ferri, 2009 (citados en Mesa, 2103) como lo exponen en sus respectivos esquemas, o de subprocesos de la realidad (Vasco, 2003), por tanto, esta es una característica básica del proceso de modelación. Por consiguiente, el tener como punto de partida eventos dinámicos permite identificar un punto clave en común con la modelación a trabajar por Carlson y colaboradores.

Adentrándose un poco más en el marco conceptual de Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu (2003), en el proceso de modelación de relaciones funcionales asociadas a situaciones dinámicas, el concepto de razón es fundamental. Los investigadores hacen hincapié en el estudio del razonamiento covariacional y, en este, del concepto de razón, al cual está vinculada la

construcción de una imagen de cambio de una cantidad, la coordinación de las imágenes de dos cantidades y la formación de una imagen de covariación simultánea de dos cantidades; por consiguiente, a la vez que se atiende a la covariación se está fortaleciendo y desarrollando el razonamiento covariacional, lo que nos lleva a pensar que si un estudiante tiene un buen dominio de lo anterior, entonces tendrá mayor facilidad para comprender las relaciones funcionales y así crear y conceptualizar funciones (entiéndase ‘crear’ como la actividad de modelación y ‘modelo’ como el producto de ese proceso).

Si bien en el marco conceptual del razonamiento covariacional se hace énfasis en las acciones del estudiante cuando trabaja la covariación de situaciones dinámicas, debe señalarse que estas se desarrollan en concordancia con el proceso de modelación. Entendiendo lo anterior, se puede comprender la pertinencia de este marco conceptual en el desarrollo de la propuesta de

aula de esta investigación, máxime si se tiene en cuenta que en la actividad modeladora que lleven a cabo los estudiantes de las situaciones planteadas será elemento determinante la forma como afronten y ejecuten acciones mentales que se puedan evidenciar, en relación a lo que puedan analizar de la covariación presente y a través de esto alcanzar un desarrollo apropiado del razonamiento covariacional que contribuya notablemente en la modelación de las relaciones funcionales presentes.