ecuaciones generales de contra y copropagaci´on en medios CKG no conservativos. Comenzando con las ecuaciones para contrapropagaci´on coherente, y consideran- do la expresi´on obtenida para la propagaci´on en medios disipativos/amplificativos (2.64), obtendremos, por generalizaci´on directa y denotando como ψmlas ampli-
tudes progresiva (m = +1) y regresiva (m = −1) respectivamente, la siguiente expresi´on, 2miβ0 ∂ψm ∂z − mα0 ∂ψm ∂z + ∂2ψ m ∂x2 − β 2 0δ(x)ψm+ iβ0α0η(x)ψm +e−mα0zk2[n k(x) + intpa(x)](|ψm|2+ 2|ψ−m|2)ψm= 0, (2.72)
donde se aprecia el cambio de signo, debido al caracter contrapropagante, en los t´erminos con dependencia expl´ıcita de la variable de propagaci´on z y sus derivadas. Para el caso de copropagaci´on incoherente actuamos de forma an´aloga, obte- ni´endose 2iβ0 ∂ψa,b ∂z − α0 ∂ψa,b ∂z + ∂2ψ a,b ∂x2 − β 2
0δ(x)ψa,b+ iβ0α0η(x)ψa,b
+e−α0zk2[n
k(x) + intpa(x)](|ψa,b|2+ |ψb,a|2)ψa,b = 0, (2.73)
Una vez obtenidas las ecuaciones generales de co- y contrapropagaci´on en medios CKG en presencia de efectos disipativos/amplificativos tanto lineales como no lineales, procederemos en el siguiente cap´ıtulo a su resoluci´on, mediante el m´etodo variacional Lagrangiano, y posterior an´alisis de resultados.
CAP´ITULO
3
Resoluci´on variacional de las
ecuaciones de propagaci´on
El fen´omeno ondulatorio se encuentra presente en m´ultiples y diversas ´areas de la f´ısica, tanto en el marco cient´ıfico como tecnol´ogico. Desde la aparici´on de la primera ecuaci´on de ondas formalizada por D’Alembert en 1747, describiendo el comportamiento de una cuerda vibrante, el estudio y resoluci´on de ecuaciones que gobiernan comportamientos ondulatorios en ´areas como el electromagnetismo, hidrodin´amica, ac´ustica o la mec´anica cu´antica ha constitu´ıdo un amplio marco de investigaci´on por parte de la comunidad cient´ıfica.
En la actualidad, el incremento del n´umero de aplicaciones que requieren de la resoluci´on de este tipo de ecuaciones ha suscitado el desarrollo de potentes herramientas matem´aticas tanto desde el punto de vista anal´ıtico como num´erico- computacional. En el contexto de fen´omenos ondulatorios en r´egimen lineal, herra- mientas como el desarrollo en series de Fourier o las t´ecnicas mediante transforma- das o funciones de Green han sido utilizadas de forma satisfactoria en muchos de los campos anteriormente citados; no obstante, cuando los fen´omenos estudiados se encuentran en el r´egimen no lineal, las ecuaciones de propagaci´on, no sujetas al principio de superposici´on, requieren de otras estrategias de resoluci´on anal´ıtica.
Por otra parte, el continuo desarrollo de las t´ecnicas computacionales ha con- tribu´ıdo notablemente a la obtenci´on de soluciones num´ericas a la propagaci´on de ondas, lo cual ha servido en muchos casos como gu´ıa y t´ecnica de evaluaci´on de m´etodos anal´ıticos de resoluci´on de problemas de propagaci´on no lineal como es el caso del M´etodo de Scattering Inverso (ISM) [Gar67, Zak72]. Este m´etodo
consiste en la transformaci´on de ecuaciones no lineales en una secuencia de proce- sos de resoluci´on de ecuaciones lineales; no obstante, el ISM presenta limitaciones en cuanto al n´umero de ecuaciones no lineales susceptibles de ser resueltas por dicho m´etodo, destacando entre ellas, la ecuaci´on no lineal de Korteweg-De Vries y la ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger. Asimismo, la dificultad en el tratamien- to matem´atico de las soluciones obtenidas mediante el ISM, limita sobremanera la extracci´on de informaci´on expl´ıcita sobre el estado del sistema no lineal ba- jo diferentes condiciones iniciales y de contorno, lo cual es esencial para estudios de dise˜no y simulaci´on basados en las propiedades generales de las soluciones del problema de propagaci´on non lineal correspondiente, tal y como es el caso de la presente memoria. Esta limitaci´on es en parte atribu´ıble tambi´en a los m´etodos n´umericos en la resoluci´on de problemas de propagaci´on no lineal (basados en estrategias iterativas [Che05], m´etodos espectrales [Jin04, CP01], diferencias fini- tas [Ism01] etc.), ya que la resoluci´on num´erica si bien establece de forma muy precisa la exactitud de las soluciones obtenidas, ´estas son a menudo dif´ıcilmente manejables en las circunstancias a las que hac´ıamos referencia.
La decisi´on, en cuanto a la utilizaci´on de un determinado m´etodo de resoluci´on depende, en gran medida, de los objetivos que se pretenden alcanzar mediante la obtenci´on de dicha soluci´on. As´ı pues, ecuaciones no lineales de un elevado nivel de complejidad, donde el objetivo primordial es la obtenci´on de soluciones cuasi-exactas que permitan la extracci´on de informaci´on acerca de nuevos efectos o fen´omenos f´ısicos, a menudo hacen uso de m´etodos de resoluci´on estrictamente n´umericos capaces de obtener soluciones con una gran precisi´on; sin embargo, es habitual que la resoluci´on de problemas de propagaci´on no lineal constituya un paso previo al dise˜no de dispositivos donde las caracter´ısticas generales de dicha propagaci´on forman parte esencial de su funcionamiento. En este caso, la utilizaci´on de un m´etodo de resoluci´on aproximado que aporte una informaci´on m´as expl´ıcita y manejable acerca de la soluci´on a la propagaci´on no lineal, es m´as conveniente para aplicaciones de dise˜no de dispositivos donde la desviaci´on de la soluci´on aproximada respecto de la exacta no sea un factor que distorsione, de forma apreciable, el funcionamiento real de los mismos.
En consecuencia, existen m´etodos aproximados num´ericos y anal´ıticos tales como el calculo Variacional Lagrangiano, que permiten la obtenci´on de solucio- nes aproximadas al problema de propagaci´on no lineal, donde la inexactitud de las soluciones obtenidas, se ve compensada con la obtenci´on de conjuntos de so- luciones aproximadas que, por una parte, proporcionan una visi´on clara de los procesos f´ısicos que describen y que, por otra parte, aportan resultados expl´ıci- tos y matem´aticamente manejables de gran utilidad en el dise˜no y simulaci´on del funcionamiento de dispositivos basados en la propagaci´on ´optica no lineal.
Finalmente y en cuanto a los contenidos del presente cap´ıtulo se refiere, co- menzaremos con la formulaci´on del m´etodo general de resoluci´on de las ecuaciones deducidas en el cap´ıtulo anterior; de este modo, en las secciones 3.1 y 3.2, se in- troducir´a y aplicar´a respectivamente, un m´etodo variacional Lagrangiano disipa- tivo∗ basado en la resoluci´on secuencial del problema de propagaci´on desacoplado
refractivo-disipativo en tramos de longitud reducida. Finalmente, en la secci´on 3.3 se expondr´an y discutir´an algunos de los resultados m´as relevantes en cuanto a mono, contra y copropagaci´on, haciendo hincapi´e en las propiedades que confieren a la propagaci´on no lineal tanto las gu´ıas monomodo CKG, aqu´ı propuestas, como los efectos disipativos.
3.1.
Formulaci´on variacional de la propagaci´on
Uno de los m´etodos anal´ıticos aproximados que m´as satisfactoriamente ha sido utilizado para la resoluci´on de ecuaciones de propagaci´on no lineal es el m´etodo variacional. Introducido por Gerald B. Witham en 1974 y basado en la formula- ci´on variacional Lagrangiana de las ecuaciones de propagaci´on y una resoluci´on mediante el procedimiento de optimizaci´on Rayleigh-Ritz, el m´etodo variacional Lagrangiano ha sido utilizado en m´ultiples y variados trabajos relacionados con el estudio del comportamiento de ondas propag´andose en r´egimen no lineal.
En el contexto de la ´optica no lineal, el m´etodo variacional fue formalizado de forma expl´ıcita para la resoluci´on de la Ecuaci´on No Lineal de Schr¨odinger (NLSE) por Dan Anderson (1983) en el art´ıculo Variatonal approach to nonlinear propagagation in optical fibers, a partir del cual, dicho m´etodo ha contribu´ıdo, de una forma concisa y elegante, a la obtenci´on de soluciones aproximadas al problema de propagaci´on no lineal en m´ultiples trabajos, tanto de investigaci´on b´asica como aplicada.
Una de las ´areas donde dicho m´etodo ha aportado una mayor contribuci´on es la que concierne al estudio de solitones ´opticos; a este respecto cabe desta- car, entre otras, la contribuci´on del m´etodo variacional al estudio de propaga- ci´on de solitones 1D+1 [And83, Afa98], interacci´on y din´amica de solitones 1D+1 [Ued90, Boa95, Par90], din´amica, propagaci´on y estabilidad de campos autoatra- pados en 2D+1 [Des91, Des98, Pie99], solitones vectoriales [Mal94], solitones mag- neto´opticos [Boa97] o solitones oscuros (dark solitons) [Kiv95]. Asimismo, estudios comparados entre los resultados variacionales y num´erico-exactos (elementos fini- tos Ritz-Galerkin, BPM) han sido realizados para casos de propagaci´on descritos
∗Por simplicidad y en lo sucesivo, se denotar´a el m´etodo como disipativo aunque sus resultados
por la NLSE, mostr´andose la validez del m´etodo variacional tanto para la propaga- ci´on de solitones en medios de ´ındice gradual [Rag00] as´ı como para la interacci´on de solitones (NLSEs acopladas)[Ako98].
El m´etodo variacional ha sido aplicado en la resoluci´on de diversos proble- mas no lineales de propagaci´on conservativa; no obstante, en el caso de ecua- ciones no conservativas, es decir, ecuaciones de propagaci´on en medios disipati- vos/amplificativos, dicho m´etodo no ha sido utilizado con frecuencia. Adem´as, en los casos donde se ha aplicado, el m´etodo variacional se formaliza mediante la utilizaci´on de t´erminos perturbativos de la absorci´on (rec´uerdese la generalizaci´on de la ecuaci´on (2.64) respecto de la ecuaci´on perturbativa (2.65)) para el estudio de estabilidad de campos autoatrapados, y nunca, hasta donde conoce el autor de esta memoria, y tal vez por lo tedioso de la formulaci´on, se aplic´o y formaliz´o de forma no perturbativa al estudio din´amico de haces ´opticos no lineales contra y copropagantes como los que se tratar´an m´as adelante en este trabajo.
Consecuentemente, se generalizar´a el c´alculo variacional convencional, citado en anteriores referencias, con el objeto de obtener soluciones aproximadas de las ecuaciones de propagaci´on no lineal en medios disipativos/amplificativos. Dicha generalizaci´on, o reformulaci´on del m´etodo variacional, que se explicitar´a m´as ade- lante, se basa en la separaci´on local (es decir en intervalos de corta distancia de propagaci´on) de las contribuciones refractivas y disipativas/amplificativas de las ecuaciones generales de propagaci´on y su resoluci´on secuencial iterativa.