La segunda ley de Newton con frecuencia es escrita como:
𝐹 = 𝑚𝑎
Donde 𝐹 es la fuerza ejercida en un cuerpo de masa 𝑚 y 𝑎 es la aceleración. De manera que una forma más general de la ecuación anterior es:
𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡(𝑚𝑉)
Que reduce la primera ecuación por un cuerpo de masa constante. En esta ecuación 𝑚𝑉 es el momentum de un cuerpo de masa 𝑚. Esta ecuación representa el segundo principio fundamental sobre el cual la dinámica de fluidos teórica está basada.
Principio Físico: Fuerza = Tasa de cambio de momentum.
Se aplicará este principio al modelo de un volumen de control finito fijo en el espacio como en el boceto de la figura 4. El objetivo, es obtener expresiones para ambos lados de la ecuación en términos de variables de campo de flujo 𝑝, 𝜌, 𝑉, etc. Primeramente se concentrará la atención en el lado izquierdo de la ecuación, es decir, obtener una expresión para 𝐹, la cual es la fuerza ejercida en el fluido a medida que fluye a través del volumen de control. Esta fuerza proviene de dos fuentes:
1. Fuerzas de cuerpo: gravedad, fuerzas electromagnéticas, o cualquier otra fuerza que “actúe a la distancia” en el fluido dentro de 𝑣.
2. Fuerzas de superficie: Presión y esfuerzos cortantes actuando en la superficie de control 𝑆.
Dejando a 𝑓 representar la fuerza neta del cuerpo por unidad de masa ejercida en el fluido dentro 𝑣. La fuerza de cuerpo en el volumen elemental 𝑑𝑣 en la figura 4 es por lo tanto:
14 ANDERSON, John. Fundamentals of Aerodynamics: Fundamental Principles. 3º Edición. New
York: McGraw-Hill, 2001. p.111.
Ecuación 20 8
Ecuación 21 8
𝜌𝑓𝑑𝑣
Y la fuerza de cuerpo total ejercida en el fluido en el volumen de control es la suma de los de los elementales de arriba sobre el volumen 𝑣:
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 = ∰ 𝜌𝑓𝑑𝑣
La fuerza de superficie elemental debida a la presión actuando sobre el elemento de área 𝑑𝑆 es:
−𝑝𝑑𝑆
En donde el signo negativo indica que la fuerza es en la dirección opuesta de 𝑑𝑆. Es decir, la superficie de control está experimentando una fuerza de presión la cual es direccionada hacia el volumen de control y la cual se debe a la presión de los alrededores y la examinación de la figura 4 demuestra que esa fuerza dirigida hacia el interior es en la dirección opuesta de 𝑑𝑆15. La fuerza de presión completa
es la suma total de las fuerzas elementales sobre la superficie de control entera:
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 = − ∯ 𝑝𝑑𝑆
En un flujo viscoso, los esfuerzos viscosos cortantes y normales también ejercen una fuerza de superficie. Una detallada evaluación de estos esfuerzos viscosos está más allá del alcance de este documento, por lo cual, simplemente se reconoce este efecto dejando 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 denotar la fuerza viscosa total ejercida en la
superficie de control. Ahora bien, se puede escribir una expresión para el lado 𝐹 de la ecuación de la segunda ley de Newton. La fuerza total experimentada por el fluido a medida que se está extendiendo a través del volumen de control fijo es dada a través de la suma de las fuerzas de cuerpo, la fuerza de presión y las fuerzas viscosas:
𝐹 = ∰ 𝜌𝑓𝑑𝑣 − ∯ 𝑝𝑑𝑆 + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠
Ahora, se considera el lado derecho de la ecuación de la segunda ley de Newton.
La tasa de tiempo de cambio de momentum del fluido a medida que se extiende a través del volumen de control fijo es la suma de dos términos:
𝐺
≡ 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑆
15 ANDERSON, John. Fundamentals of Aerodynamics: Fundamental Principles. 3º Edición. New
York: McGraw-Hill, 2001. p.112. Ecuación 22 8 Ecuación 23 8 Ecuación 24 8 Ecuación 25 8 Ecuación 26 8
y 𝐻
≡ 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑐𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑣 Considerando el término denotado por 𝐺, el flujo tiene cierto momentum a medida
que este entra en el volumen de control en la figura 4, y en general, tiene un momento diferente a medida que este deja el volumen de control (Debido en parte a la fuerza 𝐹 ejercida en el fluido a medida que este se está extendiendo a través 𝑣). El flujo neto de momentum saliendo del volumen de control a través de la superficie 𝑆 es simplemente esta salida de flujo menos la entrada de momentum a través de la superficie de control. Este cambio de momentum es denotado por 𝐺. Para obtener una expresión para 𝐺, se trae de vuelta que el flujo de masa a través del área elemental 𝑑𝑆 es (𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆); por tanto, el flujo de momentum por segundo a través 𝑑𝑆 es:
(𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆)𝑉
El flujo neto de momentum saliendo del volumen de control a través de 𝑆 es la suma total de las contribuciones de los elementales anteriores, específicamente:
𝐺 = ∯(𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆)𝑉
En esta ecuación, se trae de vuelta que los valores positivos de (𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆) representan el flujo de masa saliendo del volumen de control, y los valores negativos representan el flujo de masa entrando hacia el volumen de control16. Por
tanto, en la ecuación anterior la integral sobre la superficie de control entera es una combinación de contribuciones positivas (Salida de flujo de momentum) y contribuciones negativas (Entrada de flujo de momentum), con el valor resultante de la integral representando la salida neta de flujo de momentum. Si 𝐺 tiene un valor positivo, hay más flujo de momentum saliendo del volumen de control por segundo que entrando en él; y por el contrario, si 𝐺 tiene un valor negativo hay más flujo de momentum entrando en el volumen de control por segundo que saliendo de él.
Ahora, se considera 𝐻. El momentum del fluido en el volumen elemental 𝑑𝑣 mostrado en la figura 4 es:
(𝜌𝑑𝑣)𝑉
16 ANDERSON, John. Fundamentals of Aerodynamics: Fundamental Principles. 3º Edición. New
York: McGraw-Hill, 2001. p.113. Ecuación 27 8 Ecuación 28 8 Ecuación 29 8 Ecuación 30 8
El momentum contenido a cualquier instante dentro del volumen de control es luego:
∰ 𝜌𝑉𝑑𝑣
Y su tasa de tiempo de cambio es debida a fluctuaciones inestables es:
𝐻 = 𝛿
𝛿𝑡∰ 𝜌𝑉𝑑𝑣
Combinando las ecuaciones correspondientes a 𝐺 y 𝐻, se obtiene una expresión para la total tasa de tiempo de cambio de momentum a medida que este se extiende a través del volumen de control fijo, el cual a su vez representa el lado derecho de la ecuación de la segunda ley de Newton:
𝑑
𝑑𝑡(𝑚𝑉) = 𝐺 + 𝐻 =∯(𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆)𝑉 + 𝛿
𝛿𝑡∰ 𝜌𝑉𝑑𝑣
Así se demuestra que la ecuación de la segunda ley de Newton: 𝐹 = 𝑑
𝑑𝑡(𝑚𝑉)
Aplicada a un flujo de fluido es: ∰ 𝜌𝑓𝑑𝑣 − ∯ 𝑝𝑑𝑆 + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 =
𝛿
𝛿𝑡∰ 𝜌𝑉𝑑𝑣+ ∯(𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆)𝑉
La ecuación anterior, es la ecuación de momentum en su forma integral. Se denota que es una ecuación vectorial. Justo como en el caso de la forma integral de la ecuación de continuidad, esta ecuación tiene la ventaja de ser relacionada con el fenómeno aerodinámico sobre una región finita del espacio sin concernir precisamente los detalles que están ocurriendo en distintos puntos dados en el flujo17.
De la ecuación anterior se procederá a la ecuación parcial diferencial la cual relaciona las propiedades del campo de fluido en un punto en el espacio. Tal ecuación es un equivalente para la forma diferencial de la ecuación de continuidad. Se aplica el teorema del gradiente al segundo término del lado izquierdo de la segunda ley de Newton aplicada a un fluido:
− ∯ 𝑝𝑑𝑆= − ∰ 𝛻𝑝𝑑𝑣
17 ANDERSON, John. Fundamentals of Aerodynamics: Fundamental Principles. 3º Edición. New
York: McGraw-Hill, 2001. p.114. Ecuación 31 8 Ecuación 32 8 Ecuación 33 8 Ecuación 34 8 Ecuación 35 8 Ecuación 36 8
También, porque el volumen de control es fijo, la derivada del tiempo puede ser ubicada dentro de la integral. Por tanto, la ecuación de la segunda ley de Newton aplicada a un fluido puede ser escrita de la siguiente manera:
∰ 𝜌𝑓𝑑𝑣− ∰ 𝛻𝑝𝑑𝑣+ 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 =∰ 𝛿(𝜌𝑉)
𝛿𝑡 𝑑𝑣+ ∯(𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆)𝑉
Evocando que la ecuación anterior es una ecuación vectorial, es conveniente escribir esta ecuación como tres ecuaciones escalares, usando las coordenadas cartesianas, donde:
𝑉 = 𝑢𝒊 + 𝑣𝒋 + 𝑤𝒌 El componente x de la ecuación anterior será:
∰ 𝜌𝑓𝑥𝑑𝑣− ∰ 𝛿𝑝
𝛿𝑥𝑑𝑣+ (𝐹𝑥)𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 =∰ 𝛿(𝜌𝑢)
𝛿𝑡 𝑑𝑣+ ∯(𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆)𝑢
[Nota: En la ecuación anterior, el producto (𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆) es una escalar y por lo tanto no tiene componentes]. Aplicando el teorema de la divergencia a la integral de superficie en el lado derecho de la ecuación anterior se tiene:
∯(𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆)𝑢 = ∯(𝜌𝑢𝑉) ⋅ 𝑑𝑆 = ∰ 𝛻 ⋅ (𝜌𝑢𝑉)𝑑𝑣 Sustituyendo, se tiene que:
∰[−𝜌𝑓𝑥+𝛿𝑝
𝛿𝑥− (𝐹𝑥)𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 + 𝛿(𝜌𝑢)
𝛿𝑡 +𝛻 ⋅ (𝜌𝑢𝑉)]𝑑𝑣 = 0
Donde (𝐹𝑥)𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 denota la forma propia del componente 𝑥 de los esfuerzos cortantes viscosos cuando se ubican dentro de la integral de volumen. Por las mismas razones establecidas con anterioridad, el integrando de la ecuación anterior es idénticamente cero en todos los puntos en el flujo18; por lo tanto:
𝜌𝑓𝑥−𝛿𝑝
𝛿𝑥+ (𝐹𝑥)𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 = 𝛿(𝜌𝑢)
𝛿𝑡 +𝛻 ⋅ (𝜌𝑢𝑉)
Esta ecuación es el componente 𝑥 en la ecuación de momentum en su forma diferencial. Ahora aplicando los mismos principios para las componentes 𝑦 y 𝑧, se obtiene una tendencia similar respectivamente:
18 ANDERSON, John. Fundamentals of Aerodynamics: Fundamental Principles. 3º Edición. New
York: McGraw-Hill, 2001. p.115. Ecuación 37 8 Ecuación 38 8 Ecuación 39 8 Ecuación 40 8 Ecuación 41 8 Ecuación 42 8
𝜌𝑓𝑦 −𝛿𝑝 𝛿𝑦+ (𝐹𝑦)𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 = 𝛿(𝜌𝑣) 𝛿𝑡 +𝛻 ⋅ (𝜌𝑣𝑉) y 𝜌𝑓𝑧− 𝛿𝑝 𝛿𝑧+ (𝐹𝑧)𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 = 𝛿(𝜌𝑤) 𝛿𝑡 +𝛻 ⋅ (𝜌𝑤𝑉)
Donde los subíndices 𝑦 y 𝑧 en 𝑓 y 𝐹, denotan las componentes 𝑦 y 𝑧 del cuerpo y las fuerzas viscosas, respectivamente. Las tres ecuaciones anteriormente enunciadas, son las componentes escalares 𝑥 , 𝑦, y 𝑧 de la ecuación de momentum respectivamente; ellas son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan las propiedades del campo de flujo en cualquier punto en el flujo. Estas ecuaciones de momentum son llamadas las ecuaciones de Navier-Stokes. Se denota que la ecuación de momentum, tanto vectorial, como en sus tres componentes aplican para flujo no estacionario tridimensional de cualquier fluido, compresible o incompresible, viscoso o no viscoso. En el caso especial de un flujo estacionario (𝛿
𝛿𝑡 ≡ 0), no viscoso (𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑢𝑠 = 0), sin fuerzas de cuerpo (𝑓 = 0),
estas ecuaciones se convierten en:
− ∯ 𝑝𝑑𝑆 = ∯(𝜌𝑉 ⋅ 𝑑𝑆)𝑉 y −𝛿𝑝 𝛿𝑥 =𝛻 ⋅ (𝜌𝑢𝑉) −𝛿𝑝 𝛿𝑦= 𝛻 ⋅ (𝜌𝑣𝑉) −𝛿𝑝 𝛿𝑧 = 𝛻 ⋅ (𝜌𝑤𝑉)
Las anteriores ecuaciones de momentum para un flujo no viscoso, son llamadas
las ecuaciones de Euler19.