Conclusions

3.3

Análisis de fiabilidad

3.3.1

Modelo completo

Determinación de la carga admisibleq_adm

Es necesario establecer un valor límite que determinará el umbral del dominio de fallo y el dominio de seguridad para poder realizar el análisis de fiabilidad. En nuestro caso este valor fue determinado por el cálculo propuesto en la norma EN 1993-1-3 [7], explicado previamente en el apartado 2.3. Debido a que no se sabe con certeza como pandeará el panel rigidizado es imprescindible calcular las cargas críticas de pandeo tipo placa y tipo columna, además de verificar tanto para el eje x como para el eje y.

Empleando las ecuaciones para determinar la carga crítica de pandeo tipo placa, se determino que esta carga corresponde a un valor de 127.88 MN para el eje x, debido a que la inercia en el otro eje se puede concluir que la carga crítica será mayor. Siguiendo con los cálculos para un pandeo tipo columna se determinó que la carga crítica para el eje x es igual a 83.37 MN y para el eje y es igual a 22.88 MN. Debido a que la estructura pandeará con respecto al eje y el tipo cuya carga sea correspondiente a la menor resistencia que en este caso es igual a 22.88 MN (tipo columna y eje y). Además, se puede ver en la Fig. 2.6 obtenida del programa de elementos finitos que los rigidizadores son los elementos que pandean primero.

Una vez determinado el valor admisibleq_admigual a 22.88 MN se obtiene de las ecuación (2.63) la función de estado límite:

g(xxx) =M(xxx)−22.88 (3.3)

Método FORM

Resolviendo el problema de minimización planteado para el método FORM para obtener el valor del índice de fiabilidad de Hasofer-LingβHL empleando el programa informático UQLab se tiene que este índice converge en un valor igual a 4.408 como se observa en la Fig. 3.27. Esto significa que la distancia entre el origen y el punto más cercano al dominio de fallo se encuentra a 4.408, en un espacio normal estándar.

Una vez estimado el valor deβHLse puede calcular la probabilidad de fallo que nuestra estructura. Para este método se tiene una probabilidad de fallo de 0.521× 10−5. Cabe destacar que fueron necesarias 40 iteraciones para obtener los resultados los cuales no tengan variaciones significativas para las iteraciones posteriores.

Fig. 3.27 Convergencia deβHLpara el método FORM del metamodelo.

Simulaciones Monte Carlo

Es necesario, para este método, obtener valores de respuesta del modelo, debido a que este método nos exige una gran cantidad de evaluaciones. Se optó por emplear el metamodelo construido previamente. En nuestro caso el número de evaluaciones que necesitó el programa fue de más de catorce millones.

Este método obtiene directamente la probabilidad de fallo contando las respuestas que se encuentran en el dominio de fallo entre el número de muestras utilizadas. Para este método se tiene una probabilidad de fallo de 2.851× 10−5.

El valor deβMCes hallado por la relación entre la raíz cuadra de la varianza Var(Pˆf)y la media_E(Pˆ_f)de la probabilidad de fallo, cuyo valor es proporcionado inicialmente (para este cálculo un coeficiente igual a 0.05).

Como se puede ver en la Fig. 3.28 el valor medio obtenido es aproximadamente 2.851×10−5, además se puede ver que la probabilidad de fallo oscila entre 2.571 y 3.130 del orden de 10−5.

De igual manera se obtiene que el valor medio paraβMC es igual a 4.025 y puede variar entre 4.003 y 4.049, como se observa en la Fig. 3.29.

Muestreo de importancia

3.3 Análisis de fiabilidad 71

Fig. 3.28 Convergencia de la probabilidad de falloP_f (simulaciones MC).

Fig. 3.29 Convergencia deβMC (simulaciones MC).

en el estado límite del método FORM. Este punto nos permite enfocar la muestra que se utilizará cerca al dominio de fallo y reducir el número de muestra necesaria.

pocos valores en el dominio de fallo. A medida que la muestra aumenta, la probabilidad de fallo aumenta drásticamente, esto se da porque nos encontramos obteniendo datos muy cerca del dominio de fallo por lo que se tiene varios puntos dentro de este dominio. Finalmente, cuando la muestra utilizada es representativa la probabilidad de fallo comienza a tender a un valor casi horizontal, cuando ocurre esto se puede determinar el valor medio dePf que es igual a 0.401× 10−5para nuestro modelo.

Como se sabe este método es más eficiente que el método de Monte Carlo, permitiéndonos llegar a un valor utilizando 1 804 016 evaluaciones.

Fig. 3.30 Convergencia de la probabilidad de falloP_f para el método IS.

Simulación subconjunta (SS)

El método de simulación de subconjuntos divide el problema en varios subdominios y determina la probabilidad de fallo mediante la intersección de estos. La probabilidad de fallo

P_f que nos da este método tiene un valor de 2.599× 10−5, este el coeficiente que varía entre 2.000× 10−5y 3.198× 10−5.

El valor deβ se encuentra entre 3.998 y 4.107. Cuando se tiene convergenciaβ tiene un valor medio igual a 4.047. Valores muy similares a los obtenidos por los otros métodos.

3.3 Análisis de fiabilidad 73

Este método necesita casi 46 mil simulaciones para resolver y obtener valores que converjan, siendo uno de los más caros utilizados en este documento (después del método de simulaciones de Monte Carlo).

Comparación de los métodos

La Tabla 3.8 nos muestra un resumen los principales índices para estimar la fiabilidad del modelo, siendo MCS el método de simulaciones de Monte Carlo; SS el método de simulación de subconjuntos; FORM el método de fiabilidad de primer orden; e IS el método de muestreo de importancia. Como se puede ver en esta tabla el método que tiene una probabilidad de fallo menor es el método de muestreo de importancia con un valor de 0.401× 10−5, pero es uno de los métodos con coste elevado casi llegando a los dos millones de evaluaciones del modelo. El método que presenta la mayor probabilidad de fallo es el método de simulaciones de Monte Carlo con una probabilidad igual a 2.851× 10−5, se debe considerar que este método es el más caro computacionalmente sobrepasando las catorce millones de evaluaciones. El método FORM únicamente necesitó cuatro mil evaluaciones para obtener la convergencia del análisis de fiabilidad estructural y presenta una probabilidad de fallo de 0.521× 10−5. Finalmente, el método de simulación de subconjuntos es un método balanceado donde se obtiene una probabilidad de fallo relativamente alta de 2.599× 10−5para 46 mil evaluaciones.

El estimador de fiabilidadβ esta inversamente proporcional a la probabilidad de fallo, siendo la distancia mayor del origen al punto más cercano del domino de fallo corresponde a la probabilidad de fallo menor. Por lo tanto, el método IS presenta la mayor distancia igual a 4.465 y el método de simulación MC la menor.

El coeficiente de variación (CoV) de la Tabla 3.8 siendo la relación entre la raíz cuadrada de la varianza y la media de la probabilidad de fallo como se muestra en la siguiente ecuación:

CoV =

q

Var(Pˆ_f)

E(Pˆf)

(3.4)

Este coeficiente nos permite analizar el grado de variabilidad de la probabilidad de fallo. Se debe considerar que el método FORM no calcula ninguna desviación por lo tanto no se tiene este coeficiente. El método con menor variabilidad es el método de simulación de MC con un valor de 0.050. Los métodos SS e IS presentan un coeficiente similar con un valor aproximado de 0.120.

Método PPPfff [×10−5] βββ CoV PPP_fff CI [×10−5] βββ CI Evaluaciones del Modelo MCS 2.851 4.025 0.050 2.571 3.130 4.003 4.049 14 030 000 SS 2.599 4.047 0.118 2.000 3.198 3.998 4.107 45 999 FORM 0.521 4.408 - - - 4 016 IS 0.401 4.465 0.117 0.309 0.493 4.420 4.520 1 804 016

3.3.2

Modelo reducido

Se volvió a realizar el estudio de fiabilidad del nuevo modelo (de seis dimensiones) para determinar si existe alguna variación con respecto al modelo anterior (de ocho dimensiones). Debido a que las dimensiones de la placa como de los rigidizadores no varían, se tiene la misma carga admisibleq_adm. Manteniendo la ecuación del dominio de fallo para el estudio igual a la ecuación (3.3) y empleando los mismos métodos utilizados anteriormente.

La probabilidad de fallo calculado por el Monte Carlo tiene una media de 9.804× 10−5, el cual varía en un rango de 8.843× 10−5 hasta 10.765× 10−5, como se muestra en la Fig. 3.31. La distanciaβMC del origen al punto más cercano del dominio de fallo es igual 3.724 y tiene una desviación de±0.025 aproximadamente, como se observa en la Fig. 3.32.

3.3 Análisis de fiabilidad 75

Fig. 3.32 Convergencia deβMC.

La probabilidad de fallo más alta corresponde al método de simulación de subconjuntos con valor medio de 10.940× 10−5. A lo largo del cálculo se obtuvo un intervalo de 8.571× 10−5 y 13.309× 10−5 en el cual se encuentra dentro la probabilidad de fallo del sistema. También se obtuvo el valor deβ igual a 3.696 y se encuentra entre los valores de 3.646 a 3.758 para los cálculos realizados. Fue necesario realizar 36 997 simulaciones para que este método converja.

De la misma manera que se calculó los índices de fiabilidad del método FORM para el modelo completo, se determinó la probabilidad de fallo del nuevo modelo con un valor de 3.060× 10−5obtenido del índice de fiabilidad de Hasofer-LingβHL igual a 4.008, como se puede ver en la Fig. 3.33. Para obtener estos resultados se empleó 3 824 evaluaciones del modelo, pero se puede resaltar que este valor se obtiene ya en la iteración 150. Este método no considera ninguna desviación en sus resultados.

Por último, se realizó el análisis de fiabilidad por el método de muestreo de importancia (IS), como se sabe este método utiliza el estudio realizado por el método FORM para obtener los datos muestrales. En este método se calculó una probabilidad de fallo del 5.195× 10−5y una distanciaβ igual a 3.881. La probabilidad de fallo varía entre los valores 4.042× 10−5y 6.347× 10−5, como se ve en la Fig. 3.34. La desviación para el estimadorβ es del±0.050 aproximadamente.

Fig. 3.33 Fiabilidad método FORM para el modelo reducido.

3.3 Análisis de fiabilidad 77

Table 3.9 Resultados del análisis de fiabilidad para el modelo reducido.

Método PPPfff [×10−5] βββ CoV P PP_fff CI [×10−5] βββ CI Evaluaciones del Modelo MCS 9.804 3.724 0.050 8.843 10.765 3.700 3.750 4 080 000 SS 10.940 3.696 0.110 8.571 13.309 3.646 3.758 36 997 FORM 3.060 4.008 - - - 3 824 IS 5.195 3.881 0.113 4.042 6.347 3.832 3.942 1 803 824

3.3.3

Análisis de resultados de la fiabilidad

Analizando los resultados obtenidos en el análisis de fiabilidad, se observa que las probabili- dades de fallo obtenidas por todos los métodos son muy pequeñas, del orden de 10−4−10−5. Este resultado es coherente con haber considerado como valor límite de la función de fallo la carga crítica de pandeo de un rigidizador funcionando como una columna, sin tener en cuenta los mecanismos resistentes tridimensionales que desarrolla la estructura completa (que tiene los desplazamientos coaccionados en los contornos) y que aparecen de forma natural en la simulación numérica. Si analizamos los distintos métodos utilizados, vemos que el método MCS y SS dan resultados, muy parecidos tanto para el modelo completo como para el modelo reducido, a juicio del autor son los resultados más confiables. Estos resultados se han calculado imponiendo que el estimador de la probabilidad de fallo tenga un coeficiente de variación de 0.05 y 0.1 respectivamente. Sin embargo, el método FORM parte de asumir una linealidad de la función de fallo del modelo que puede no ser cierta y el método IS ha presentado un comportamiento con saltos en la solución conforme actualizaba el punto central de muestreo de las simulaciones. Dado el elevadísimo coste del método de MCS, se puede concluir que el método más óptimo por calidad de sus resultados y por su, relativamente, bajo coste numérico es el método SS.

Si comparamos las probabilidades de fallo, que dan el modelo completo y reducido, observamos que, para el modelo completo son del orden de 3·10−5 y, para el modelo reducido son del orden de 10−4(con los métodos MCS y SS). El modelo reducido da, por tanto, una probabilidad de fallo tres veces mayor que el modelo completo, aunque en ambos casos se trata de valores muy pequeños.

Se debe resaltar la eficacia de los modelos surrogados para estimar probabilidades de fallo muy pequeñas en el análisis de fiabilidad. Tomando como ejemplo la metodología SS para estimar la probabilidad de fallo, para el modelo completo se han necesitado 46000 simulaciones y 37000 simulaciones para el modelo reducido. Este análisis habría sido imposible de realizar si en vez de un modelo surrogado, muy barato computacionalmente, se