funciones generalizadas. En primer lugar, en la Ref. [82] se demostró que las partes esencial y absolutamente continua del espectro de la familia de operadores ˆΘ (recorde- mos de nuevo que en la Ref. [82] se los llama H0
APS) son ambas iguales a [0, ∞). Estos resultados, junto con los teoremas Weyl-von Neumann y Kato-Birman [92], nos per- miten llegar a resultados análogos para Ωb2 (o equivalentemente para ˆΘM M O), de nido en cada H±
ε. El primero de los teoremas nos asegura que si un operador autoadjunto le añadimos otro autoadjunto y compacto, la parte esencial de su espectro se preserva; el segundo nos permite a rmar que, si a un operador autoadjunto le añadimos un ope- rador de clase traza, la parte absolutamente continua de su espectro es unitariamente equivalente a la del operador original. Ahora bien, si recordamos, la diferencia de los operadores ( ˆΘ − ˆΘM M O) es un operador simétrico de clase traza, tomando α = 5/3. Teniendo en cuenta la simetría f±(−v) = −f∓(v)del operador Ωb2 bajo la transforma- ción v → −v, y asumiendo la independencia del espectro en la etiqueta ε, concluimos que el operador Ωb2 de nido en H+ε tiene también espectros absolutamente continuo y esencial iguales a [0, ∞).
Además, en la Sección 2.2 veremos que las autofunciones generalizadas de Ωb2 con- vergen a una combinación lineal las autofunciones de su operador análogo en la cuan- tización estándar geometrodinámica de WDW para valores grandes de v. Si añadimos la continuidad del espectro en geometrodinámica cuántica, esto es consistente con que los espectros discreto y singular sean vacíos.
En conclusión, el operador Ωb2 de nido en H+ε es un operador de nido positivo y esencialmente autoadjunto con espectro absolutamente continuo que coincide con R+.
2.2. Autofunciones generalizadas
Para determinar las autofunciones de Ωb2 en el sector de superselección Hε+ consi- derado, partimos de la expansión de estas autofunciones (eε
λ|, que vendrán dadas por estados generalizados, en la base de autoestados del volumen: (eε
λ| = P v∈L+ε e ε λ(v)hv|, donde eε
λ(v) = (eελ|vi y λ ∈ [0, ∞) según hemos visto. La ecuación de autovalores [bΩ2eε λ](v) = λeελ(v)se traduce en f+(v −4)f+(v −2)eελ(v −4)−f 2 +(v) + f 2 −(v) − λ eελ(v)+f−(v +4)f−(v +2)eελ(v +4) = 0. (2.2.1) Teniendo en cuenta que v ∈ L+
ε, la primera relación de consistencia que se satisface es eελ(ε + 4) = f 2 +(ε) + f−2(ε) − λ f−(ε + 4)f−(ε + 2) eελ(ε), (2.2.2)
Utilizando la ecuación de autovalores de manera recursiva, y reordenando las contribu- ciones adecuadamente, es posible llegar a la siguiente expresión para los coe cientes de las autofunciones eελ(ε + 4n) = eελ(ε) Qn−1 i=0 Fi(λ, ε) G1,2n(ε) 1 + M X t=1 n−2t X i1,...,it=0 i1≤...≤it t Y k=1 Pik+2(k−1)(λ, ε) , (2.2.3)
donde M = n/2 si n es par y M = (n − 1)/2 si n es impar, y además Gi,j(ε) = j Y n=i f−(ε + 2n), Fi(λ, ε) = f+2(ε + 4i) + f 2 −(ε + 4i) − λ, (2.2.4) Pi(λ, ε) = − [G2i+2,2i+3(ε)]2 Fi(λ, ε)Fi+1(λ, ε) . (2.2.5)
En la relación anterior, las cantidades Pi(λ, ε) pueden ocasionar problemas cuando su denominador se anula. Pero el productorio que aparece al principio de la expresión (2.2.3) cancela cualquier posible inconsistencia. Además, debe tenerse en cuenta que f+(v) = f−(v + 2).
Para esta base de autofunciones generalizadas, (eε
λ|elegimos la condición de norma- lización
(eελ|eελ0) = δ(λ − λ0), (2.2.6)
donde, como consecuencia directa de la continuidad del espectro deΩb2, δ(x) es la delta de Dirac en R+. Por tanto, podemos obtener una resolución espectral de la identidad en el espacio H+
ε mediante esta base: I =
Z
R+
dλ|eελ)(eελ|. (2.2.7)
Es importante recalcar ciertos aspectos que podrían pasar desapercibidos. El primero es el hecho de que, antes de proceder a su normalización, podemos determinar cada autofunción completamente a partir de su dato inicial eε
λ(ε). Esto nos permite concluir, entre otras cosas, que el espectro deΩb2 no es degenerado: cada autovalor está asociado a una única autofunción. En segundo lugar, la condición (2.2.6) ja el dato inicial eε
λ(ε) salvo una fase global irrelevante que eliminaremos introduciendo la condición eελ(ε) > 0. De este modo concluimos que los coe cientes eελ(v) son todos reales (ya que las funciones f±(v) lo son). Estas propiedades de las autofunciones son la clave para probar los resultados en relación al rebote cuántico y su carácter genérico, y que explicaremos al nal de este capítulo.
2.2. AUTOFUNCIONES GENERALIZADAS 47
2.2.1. Límite asintótico o de WDW
El comportamiento asintótico de las autofunciones va a tener un papel fundamen- tal para comprender el paradigma de rebote cuántico. Por esto, debemos prestar cier- ta atención a ese límite en el que la cuantización de lazos comparte muchas de las propiedades de una cuantización de tipo WDW. A parte del Apéndice A, vamos a utilizar los métodos aplicados en las Refs. [50,91].
La cuestión que tenemos intención de probar es que las autofunciones eε
λ(v)conver- gen a una combinación lineal de autofunciones del operador Ωb
2
de la teoría de WDW para v su cientemente grande. Para ello nos basaremos en el método propuesto en las Refs. [50, 91] y que hace uso de matrices de transferencia. En primer lugar, vamos a introducir la siguiente notación
~eλε(v) = e ε λ(v) eε λ(v − 4) ! , (2.2.8)
que nos permite escribir la ecuación de las autofunciones en forma matricial, mediante una matriz de transferencia A(v), es decir,
~eλε(v + 4) = A(v)~eλε(v) = f2 +(v)+f−2(v)−λ f−(v+4)f−(v+2) − f+(v−4)f+(v−2) f−(v+4)f−(v+2) 1 0 ! eε λ(v) eε λ(v − 4) ! . (2.2.9)
Por otro lado, las autofunciones (reales) eε
λ(v) siempre admiten la siguiente descom- posición ~eε λ(v) = B(v) ~ψ(v), con B(v) = ek(v) e−k(v) ek(v − 4) e−k(v − 4) ! , y ψ~k(v) = ψk(v) ψk∗(v) ! , (2.2.10)
y donde ψk(v) es un número complejo (aquí, el símbolo ∗ indica conjugación com- pleja) que codi ca el ritmo de convergencia de los coe cientes eε
λ(v) a sus análogos en la teoría de WDW. Por tanto, se asume que este número varía más lentamente que e±k(v) en el límite v → ∞.2 Con todo esto, podemos pasar desde el estudio de la matriz de transferencia A(v) de los coe cientes ~eε
λ(v) a la matriz de transferencia M (v) = B−1(v + 4)A(v)B(v) de los coe cientes ~ψk(v). Es posible ver que esta matriz de transferencia tiene el límite asintótico [50,91]
M (v) = I + O(v−3), (2.2.11)
2Recordemos que las autofunciones de WDW son esencialmente ondas planas en el logaritmo del
donde el símbolo O denota el siguiente orden en la expansión asintótica. Por tanto existe un límite bien de nido
ψk= l´ım v→∞ψk(v). (2.2.12) En conclusión eελ(v)−−→ ψv 1 keω(v) + ψ ∗ ke−ω(v), (2.2.13)
donde ψk se puede escribir en términos de su módulo r (independiente de k), que hace las veces de constante de normalización, y de su fase φε(k). Se ha comprobado numéricamente que [91]
φε(k) = T (|k|) + cε+ Rε(|k|), (2.2.14) donde T es una función sólo de |k|, cε es una constante y l´ımk→0Rε(|k|) = 0.
La conclusión de este análisis asintótico es que cada autofunción deΩb2, en el límite v → ∞, es una combinación lineal de las dos autofunciones de WDW, cada una de ellas con el mismo peso.