Campuzano, S.A., De Santis, A., Pavón-Carrasco, F.J., Osete, M.L., Qamili, E. (2016) Transfer Entropy between South Atlantic Anomaly and Global Sea Level for the last 300 years. Nat. Hazards Earth Syst. Sci. Discuss, doi: 10.5194/nhess-2016-56.
En el año 2012, De Santis et al. (2012) propusieron una relación entre el incremento del área de extensión de la SAA sobre la superficie de la Tierra y el aumento del nivel global del mar (GSL) durante los últimos 300 años (ver Capítulo 2 para más detalles sobre la SAA y este estudio en particular). Ahora, cuatro años más tarde, el objetivo perseguido es comprobar si, usando la Transfer Entropy, los resultados confirman esta relación también en escalas más cortas (el estudio previo se realizó sobre la larga tendencia) y, de ser así, en qué sentido se produce.
Se analizan, por tanto, estas dos series temporales: a) el área de extensión de la SAA en la superficie de la Tierra dada por diferentes modelos geomagnéticos (modelo GUFM1, Jackson et al., 2000; y las últimas modificaciones dadas por Gubbins et al., 2006 y Finlay, 2008), y b) la reconstrucción de la GSL para los últimos 300 años (Jevrejeva et al., 2008).
138 La superficie de extensión de la SAA en la superficie de la Tierra se calcula como el área bajo la línea de contorno de intensidad de 32000 nT (siguiendo a De Santis et al., 2012) a partir de los tres modelos geomagnéticos históricos mencionados en el párrafo anterior, que cubren los últimos 400 años. La diferencia entre estos modelos estriba en el método usado para estimar el primer coeficiente de Gauss (g10) antes del 1840 d.C.,
debido a la falta de datos de intensidad instrumental antes de ese año (ver Capítulo 2 para más detalles). Consecuentemente, las estimaciones de la superficie de extensión de la SAA obtenidos por estos modelos difieren ligeramente para épocas anteriores al año 1840, pero están de acuerdo para el período más reciente (ver Figura 8.1a).
Figura 8.1. Evolución de a) el área de extensión de la SAA en la superficie de la Tierra expresado en 107 km2 calculadas a
partir de tres modelos globales del campo geomagnético (GUFM1, Jackson et al., 2000; y los modelos históricos de Gubbins et al., 2006, y Finlay, 2008), y b) GSL en mm, para los últimos 300 años (1700 - 2000). Las líneas representan los ajustes usando splines cúbicos penalizados: (rojo, verde, azul) SAA calculada de Jackson et al. (2000), Gubbins et al. (2006) y Finlay (2008), respectivamente, y (gris) GSL. De Campuzano et al. (2016).
Para el nivel medio global del mar (GSL), usamos una reconstrucción basada en los registros de mareógrafos más largos disponibles hasta la fecha, desde el año 1700 hasta la actualidad, donde han sido eliminados los efectos del movimiento vertical de la tierra por ajuste isostático glacial de la Tierra sólida (Jevrejeva et al., 2008; http://www.psmsl.org/products/reconstructions/jevrejevaetal2008.php). Jevrejeva et al. (2008)
extendió este registro para épocas anteriores al año 1850 usando tres de los más largos (aunque discontinuos) registros de mareógrafos disponibles, siendo el error de la reconstrucción más alto en esta época (Figura 8.1b).
Para este trabajo se han suavizado las dos series temporales anteriormente descritas usando splines cúbicos penalizados con el objetivo de evitar futuros artefactos matemáticos resultantes de las diferencias en las reconstrucciones antes y después del año 1850. Para ambos registros este ajuste se realizó usando puntos fijos cada 5 años desde 1700 a 2000 y un parámetro de penalización del spline de 10 años4/km4 y 10 años4/mm2 para el
SAA y GSL, respectivamente. Estos valores óptimos fueron estimados calculando el error cuadrático medio (rms), de manera similar a como ya se mostró en el Capítulo 5.
En general, la Transfer Entropy (TE) se aplica sobre series temporales estacionarias (e.g. Marschinski & Kantz, 2002). Sin embargo, como es evidente de la Figura 8.1, tanto la SAA como la GSL no pueden ser asumidas como estacionarias, siendo ambas curvas crecientes. Por esta razón, aplicaremos la TE sobre la anomalía de estas series, después de eliminar la tendencia de largo término que mejor ajusta a los datos (ver Figura 8.2). En nuestro
139 caso, elegimos la función más simple que da cuenta de la evolución temporal de la serie: un polinomio de segundo orden, que parece el mejor compromiso para eliminar la tendencia de más largo periodo y no destruir completamente algunas de las fluctuaciones de corto periodo en ambas series. Así, una anomalía positiva/negativa significará que la extensión del área de la SAA o elevación de la GSL crece más/menos de lo esperado.
Figura 8.2. Las líneas roja, verde y azul corresponden a las anomalías de la SAA calculadas a partir de los modelos históricos
del campo magnético de Jackson et al. (2000), Gubbins et al. (2006) y Finlay (2008), respectivamente. La línea gris corresponde a las anomalías de la GSL. Ver el texto para detalles adicionales. Ambas series temporales han sido normalizadas a media cero y varianza unidad. De Campuzano et al. (2016).
Aplicamos la metodología explicada en el Capítulo 3, Sección 3.3. El análisis del logaritmo de [3.54] (log posterior) en función del número de bins proporciona información útil sobre: a) si ambas series temporales son suficientemente largas para aplicar la TE, y b) la selección del número óptimo de bins de acuerdo con el máximo de la función log posterior (ver Figuras 8.3a-b). El log posterior de las anomalías de la SAA (Figura 8.3a) aumenta abruptamente con el número de bins considerado, alcanzando un pico que corresponderá con el número óptimo de bins (S = 5) y, a continuación, decrece. Este comportamiento significa que la serie posee un número de datos suficientemente alto como para realizar este análisis. Respecto a las anomalías de la GSL (Figura 8.3b), el log posterior también decrece gradualmente, pero el máximo no se produce tan claramente. Este comportamiento indica que aunque se tenga una cantidad de datos suficiente para aplicar la TE, los efectos debidos a la finitud de la serie temporal podrían ser importantes. Debido a la falta de un pico obvio en la serie temporal de la GSL, establecemos un acuerdo entre la curva dada por el log posterior y las principales características del histograma de la serie temporal (Figuras 8.3c-d). A la vista de la Figura 8.3d, consideramos que con S = 4 se captura la información más relevante de la serie de anomalías de la GSL. Finalmente, y con el objetivo de evitar futuros sesgos en el cálculo de la TE, elegimos el mismo número de bins S para ambas series temporales, i.e. S = 4 (ver Tabla 8.1) ya que los tamaños de bin más amplios (S más pequeños) son normalmente favorecidos en la literatura ya que son capaces de mostrar las características más destacadas de las series temporales de manera más clara (Sandoval Jr., 2014).
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Figura 8.3. Curvas del log posterior en función del número de bins S: a) para las anomalías de la SAA calculadas con el
modelo histórico para el campo magnético de Jackson et al. (2000) y b) para las anomalías de la GSL. Los gráficas c) y d) representan, en naranja y cian respectivamente, la discretización óptima elegida (S = 4) teniendo en cuenta los resultados dados en a) y b), así como las características fundamentales de la densidad de probabilidad de ambos sistemas (ver el diagrama de barras en rojo y azul en c) y d)). Las barras de error indican la desviación estándar de las alturas de los bins. De Campuzano et al. (2016).
Como se indicó en el Capítulo 3, la selección del parámetro de encapsulado k para ambas series es una de las elecciones más importantes en un estudio de TE. Para estimarlo de una manera adecuada, se calcula la información mutua dada por [3.55]. Los resultados se muestran en la Figura 8.4a-b y están resumidos en la Tabla 8.1 y C1b del Apéndice C.
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Figura 8.4. Información mutua a) para las anomalías de la SAA calculadas a partir del modelo de Jackson et al. (2000) y b) para las anomalías de la GSL. Las flechas indican el primer mínimo, que representa la dimensión de encapsulado óptima k. La función de autocorrelación simple se muestra en c) para las anomalías de la SAA calculadas a partir del modelo de Jackson et al. (2000) y d) para las anomalías de la GSL. De nuevo, las flechas indican la dimensión de encapsulado óptima dada por el primer cero de la función de autocorrelación. De Campuzano et al. (2016).
Para la serie de la GSL, la dimensión óptima se obtiene para kGSL = 13, mientras que para la SAA se
obtienen 3 valores diferentes teniendo en cuenta los 3 modelos usados para calcularla (24 para la anomalía de la SAA calculada con el modelo de Jackson et al., 2000; y 26 para las otras dos series). No obstante, dado que las diferencias en las dimensiones de encapsulado pueden llegar a generar sesgos en la TE (Kraskov et al., 2004), hemos fijado la dimensión de kSAA = 26 para todas las series de la SAA, ya que un ligero sobre-encapsulado no
compromete la detección de TE significativas (Lindner et al., 2011). Para corroborar la diferencia entre los distintos valores de la dimensión k entre la serie de la GSL y la SAA, hemos determinado también la función de autocorrelación (Figura 8.4c-d), dado que la estimación más simple de este parámetro es, sencillamente, el primer cero de esta función (Abarbanel, 1996; Kantz & Schreiber, 1997). Aunque este procedimiento es más sencillo que el cálculo de la información mutua, estas estimaciones generalmente producen valores demasiado amplios de k en sistemas dinámicos estocásticos (Ragwitz & Kantz, 2002). De hecho, el primer mínimo obtenido para las anomalías de la SAA usando la función de autocorrelación se produce en kSAA = 29, y para las anomalías de la
GSL en kGSL = 17 (Figura 8.4c-d). Sin embargo, tanto en los resultados de k dados por la información mutua
como los proporcionados por la función de autocorrelación se observa una memoria menor en la serie de las anomalías de la GSL que en las 3 series de la SAA.
Tabla 8.1. Selección del número óptimo de bins S y de la dimensión de encapsulado k para las anomalías de la SAA y de la
GSL.
Con el objetivo de evaluar cómo la selección de estos parámetros (S, k) afecta a los resultados, hemos desarrollado varias pruebas usando diferentes conjuntos de ellos. Estos resultados se detallan en el Apéndice C junto con la Tabla C1 y C2. Los resultados confirman que la selección del número de bins y del parámetro de encapsulado no afectan significativamente a nuestros resultados, aunque pueden afectar al nivel de significancia con el que se obtiene la TE.
Para los parámetros elegidos (Tabla 8.1), los resultados de la TE [3.53] se resumen en la Tabla 8.2 y en las Figuras 8.5 y 8.6.