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Sea

Q

una variedad diferenciable de dimensión it, TQ su fibrado tangente, y i~Q : TQ —.

Q

la proyección canónica. Denotaremos por {qÁ.1 < A =n} las coordenadas locales en

Q

y por

{qA4A; 1 =A < it> las coordenadas inducidas en TQ.

Sea J la estructura casi tangente canónica y O el campo de vectores de Liouville en TQ.

Sea L TQ —~ IR un lagrangiano regular, es decir, la matriz hessiana

(WAB) =

(

82L

N

8.~Aa~B

es regular. Recordemos, que como L es regular, WL es simpléctica y, en este caso, existe una

unica solución de la ecuación del movimiento ixwr, = dEr, que, además, es unaSODE. Por otro lado, como wr, es simpléctica se define un corchete de Poisson enC~(TQ) definido por:

{f,g}r, =

wr}Xj,X9)

,

Vf,g E C~(TQ),

donde Xj denota el campo de vectores hamiltoniano con energía hamiltoniana

f

(es decir,

= df). Así,

E~

= X~ y {f,Er,}r, =

Supongamos que Lestá sometido a un sistema deni ligaduras no-holonómicas {~j; 1 =i <

ni>, con m < it, que son afines en las velocidades; o lo que es lo mismo, ~j : TQ —+ IR es una función que puede ser localmente expresada como sigue:

= (ji1)4qft~A +h~(q)

,

(6.1.1)

donde (ji~),~y h1 son funciones en

Q.

Aquí, solamente un tipo de movimientos están permitidos: aquellos que satisfacen las relaciones (6.1.1).

Entonces, existen ni 1-formas {jii} y ni funciones {hJ definidas en

Q

tales que

= ¡2~ +

hy,

(1 =i =ni),

con

ji

= (p~1)~dqÁ.

Debemos, además, restringir la dinámica a la subvariedad F1 deTQ definida por la anulación de las funciones q$j. El campo de Euler-Lagrange

E~

es el única solución del sistema lagrangiano libre, pero, en general, ¿r, no es tangente a la subvariedad P1. Sin embargo, la dinámica del sistema con ligaduras debe ser representada por un campo de vectores que sea tangente a

A.

Por otro lado, debemos modificar las ecuaciones del movimiento para obtener el siguiente

sistema de ecuaciones:

{

ixwr,

= dEr, + A’ji~ (6.1.2)

dq~1(X)

= O,

donde

4’

=

r$jii.

Las funciones V son los multiplicadores de Lagrange.

Por lo tanto, las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

{

d OL 8L

— =

~dq (l=A=n).

Para una m-upla A— (A’,...

,

A”’), consideramos el campo de vectores Y,~ dado por

=

E~

+

~Z1

donde Z1 son los campos verticales (véase [25]) definidos por:

y

zziwL =

jiI

Nótese que Y,, verifica la primera ecuación del sistema (6.1.2). También, impondremos que Y,, satisfaga la segunda condición y, así, Y~ tiene que ser tangente a 1’í. Por lo tanto, se obtiene

que

O= d=b5(Y,,) = dsbá(EL + >0Z1)

— {~5,EL}L + A’Z1(~5)

Denotamos por C la matriz de orden ni cuyos elementos son Cjj = Z~(q5~). Si O es regular, entonces, los multiplicadores de Lagrange A están unívocamente determinados en TQ. Por ejemplo, si Les un lagrangiano de tipo mecánico (es decir, L = T— 1/,donde T =

~gABdqÁdqB

es la energía cinética obtenida a partir de una métrica riemannianag en

Q

y t/ :

Q

—~ IR es la

energía potencial) entonces la matriz O es regular (véanse [7, 25]).

Primero, supondremos que la matriz C es regular enTQ. Nuestra intención es construir una

estructura casi-producto en TQ tal que la proyección del campo de vectores de Euler-Lagrange

Q

nos permita obtener la dinámica del sistema. Para hacer esto, consideremos el campo de tensores de tipo (1,1)

Q:

Q

= C’Z.~ ® d~,

directo muestra que = Q. Si definimos 7’ = id— Q, entonces (7’, Q) es una estructura casi-

producto en el espacio de fases TQ. Además, el campo de vectores P(¿r,) es la única solución

de las ecuaciones (6.1.2). En efecto,

P(Ec)

= ¿r, —

lo que implica que P(¿r,) verifica la ecuación (6.1.2) para A’ = —C~1Erj~1). Además, para todo

~¡, (1 =1 =ni), se verifica que

= EL@h) —

—

E~(W)

— ~&Á~I) = O.

Observación 64.1 El estudio anteriormente realizado, en principio, podría generalizarse para el caso de un sistema lagrangiano sujeto a ligadurasno-Uneales verificando las condiciones de Chetaev (véanse [110, 122, 148]). En este caso, las ligaduras son relaciones de la forma:

f~(q,4) = O

y las ecuaciones del movimiento son:

{

iywr,

= dEr, + >¿J”jdf1),

df1(X)

= O.

El problema que se encuentra es que las 1-formas J*(df1) no son en general linealmente inde- pendientes.

4

Ejemplo 6.1.1 (Véanse, por ejemplo, [108, 123, 25, 130]) Consideremos un disco de radio R rodando sin deslizamiento de modo que se mantiene vertical en el plano ir (véase figura de la

página siguiente). Las coordenadas usuales del espacio de configuración IR x 51 >< 51 son: x,y

las coordenadas cartesianas del centro de masas, p el ángulo que forma la recta tangente al

disco en el punto de contacto y el eje de las

x

y

4>

el ángulo formado por algún diámetro y la vertical.

La dinámica de este sistema está descrita por:

7

o

IT

Al

1/

71

1. el lagrangiano regular:

L= ~(ni±2+niñ2+J#+Í&2)

donde ni es la masa, e 1y Json momentos de inercia;

2. dos ligaduras no-holonómicas:

= ±—(Rcosso)4>=0,

= Ú—(RsinsoYi,b=0.

La 2-forma de Poincaré-Cartan del lagrangiano L es:

WL = mdx A d±+ nidyA dÑ + Jd~A dc,b + Id4> Adg’,

y el campo de vectores de Euler-Lagrange es:

8

8

.8

EL

= ~

Ñ

Se deduce que Z1 = ni

8±

1?

8

+ — cos so—,- 1

84>

=

11+RSinJ

donde

ji~

=

dx

— (Rcosp)d4> y ji2 = dy — (Rsin~)d4> son 1-formas de modo que ¡=j =

= 1,2. Construimos una estructura casi-producto considerando la matriz C definida por

O = (C1) =

(

Z1(~)

Z2Qp,)

Á

— — cos ~ sin ~o

—r

cos ~ sin‘~

1

Á

— W(sin<~)2

)

y el proyector Q es:

Q

= C”Z1 ® d~. ¡77

(Obsérvese que O es regular en todo punto de T(IR2 x S~ x 51)). Finalmente, calculamosP(¿r,)

con 7’ = id —

P(&)

=

E~-Q(E~)

—

Ei. + (mR~b4>

sins~)Zi — (niR,b4>coss~)Z2

-4

Ejemplo 6.1.2 El trineo de Caplygin es un cuerpo que tiene tres puntos de contacto con un plano ir; dos de ellos se deslizan libremente, pero el tercero es una cuchilla sujeta a una

fuerza que no le permite velocidades transversales. El espacio de configuración es

Q

= IR x S~.

Elegimos coodenadas (x,y) para el punto de contacto de la cuchilla y ~ es el ángulo entre el

eje de abcisas y la tangente a la cuchilla (véase figura de la página siguiente). El sistema viene descrito por:

1. El lagrangiano

L(x,y,~) = ~(i2 +_¡Y2) + _!j~2 —gy

donde J es un momento de inercia.

2. y la ligadura no-holonómica

= ¡Y — ±tg~.

Del lagrangiano L obtenemos

Fr, =

~(±

12

+Ñ)+~Jsb2—9v~

2 1

WL = dxAd±+dyAdÑ+Jd~Ad@,

.8 .8 .8 8

Consideremos la 1-forma ji = — tg9dx. El campo de vectores Z tal que izwr, = ji~ es

r

rl

Calculamos la matriz 1.

x

1 C= (Z(~)) = (—(1 + tg2 cp)). El proyector Q está definido por la expresión: y 1 (8

2i~

® (dj¡

Q(Er,)

— ____________ 1+tg2’p

La solución de la dinámica sujeta a la ligadura ~ es

(tg44).

P(Er,) = EL—Q(EL) .8 .8 .8 — xw+

v~-+~~-

____________ 2 ±~~—1

8

í+tg2~

Si únicamente podemos asegurar que la matriz O = (Z1(~5)) es regular en

Éí

entonces

construimos un campo de tensores (1,1) a lo largo de Pí; es decir,

P(x) : T~(TQ) —* TX(TQ), Vx E E,,

definido como sigue:

= (id — C”Z5 ®

En este caso, podemos determinar los multiplicadores de Lagrange A’ solamente para puntos

x en P~. La proyección P((E~)~~) nos define un campo de vectores tangente a 1% que va a determinar unívocamente la dinámica del sistema lagrangiano sometido a las ligaduras ~í. Es

In document Mitigating significant risks pertaining to the implementation of cognitive computing (Page 74-78)