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¿Cómo puede el profesor describir sus hipótesis acerca de las actuaciones de los escolares cuando ellos se enfrenten a las actividades de enseñanza y aprendizaje que él les va a proponer? ¿Cuál es la información más relevante que el profesor debe recabar y organizar en el análisis cognitivo para que esta información sea pertinente en el análisis de instrucción? ¿Cómo se relaciona la información que puede surgir del análisis cognitivo con los objetivos de aprendizaje del profesor para la unidad didáctica que quiere diseñar y con el diseño de esa unidad didácti- ca? Simon (1995a) sugirió algunas respuestas a estas preguntas cuando propuso la idea de trayectoria hipotética de aprendizaje (ver Figura 13).

Ide

Objetivo de aprendizaje del

profesor

Plan del profesor para actividades de aprendizaje Hipótesis del profesor sobre el proceso de aprendizaje Trayectoria hipotética de aprendizaje Conocimiento del profesor Evaluación del conocimiento de los estudiantes Constitución interactiva de las actividades de aula

Figura 13. Ciclo de la enseñanza de las matemáticas abreviado (Simon, 1995a, p. 136)

Simon describe su modelo de la siguiente manera (p. 135):

El objetivo de aprendizaje que tiene el profesor indica la dirección de la

trayectoria hipotética de aprendizaje. Utilizo el término “trayectoria

hipotética de aprendizaje” para referirme al camino por el que puede proceder el aprendizaje. Es hipotética en el sentido que la verdadera trayectoria de aprendizaje no se puede conocer de antemano. Caracteri- za una tendencia esperada. El aprendizaje individual de los escolares recorre caminos idiosincráticos, pero frecuentemente similares. Esto su- pone que el aprendizaje de un individuo presenta ciertas regularidades (cf. Steffe, von Glasersfeld, Richards y Cobb, 1983, p. 118), que la co- munidad de la clase condiciona la actividad matemática de maneras fre- cuentemente predecibles, y que muchos de los escolares en la misma cla- se pueden beneficiarse de la misma tarea matemática. Una trayectoria hipotética de aprendizaje le proporciona al profesor criterios para se- leccionar un diseño instruccional particular; por lo tanto, yo tomo mis decisiones de diseño basado en mi mejor conjetura acerca de cómo pue- de suceder el aprendizaje.

Simon aclara que la descripción de los componentes de la trayectoria hipotética de aprendizaje de la Figura 13 no significa que el profesor persigue siempre un único objetivo o que considera solamente una trayectoria hipotética de aprendizaje. Por el contrario, pretende enfatizar el carácter hipotético del pensamiento del profesor durante la planificación y la relación simbiótica entre las hipótesis del profesor sobre el aprendizaje de los escolares y el desarrollo de actividades de aprendizaje: “la generación de ideas para las actividades de aprendizaje depende de las hipóte- sis del profesor sobre el desarrollo del pensamiento y el aprendizaje de sus estu- diantes; la generación posterior de hipótesis sobre el desarrollo conceptual de los estudiantes depende de la naturaleza de las actividades que se prevén” (p. 136).

Más recientemente, Simon y Tzur (2004, p. 93) identifican las principales ca- racterísticas de la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje de la siguiente manera (p. 93):

Una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) consiste en los objeti- vos para el aprendizaje de los estudiantes, las tareas matemáticas que se usarán para promover el aprendizaje de los estudiantes, y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje de los estudiantes (Simon, 1995a). Mientras que el objetivo del profesor para el aprendizaje de los estu- diantes proporciona una dirección para las otras componentes, la selec- ción de las tareas de aprendizaje y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje de los estudiantes son interdependientes. Las tareas se se- leccionan con base en hipótesis acerca del proceso de aprendizaje; las hipótesis sobre el proceso de aprendizaje se basan en las tareas propues- tas. Este constructo se fundamenta en los siguientes supuestos:

1. La construcción de una trayectoria hipotética de aprendizaje se basa en la comprensión del conocimiento actual de los estudiantes que recibi- rán la instrucción.

2. Una trayectoria hipotética de aprendizaje es el vehículo para planifi- car el aprendizaje de unos conceptos matemáticos concretos.

3. Las tareas matemáticas proporcionan las herramientas para promo- ver el aprendizaje de unos conceptos matemáticos concretos y, por lo tanto, son un elemento clave del proceso de instrucción.

4. Dada la naturaleza hipotética e inherentemente incierta de este proce- so, el profesor se verá obligado a modificar sistemáticamente cada as- pecto de la trayectoria hipotética de aprendizaje.

Steffe (2004) resalta la relevancia de esta noción dentro de la educación matemá- tica (p. 130):

La construcción de trayectorias de aprendizaje de los niños es uno de los desafíos más urgentes a los que se enfrenta actualmente la educación matemática. Es también uno de los problemas más apasionantes porque es allí donde podemos construir nuestra comprensión de las matemáticas de los niños y cómo nosotros, como profesores, podemos influir en esas matemáticas.

No obstante, y aunque mayoría de los investigadores reconocen los tres elementos centrales de la trayectoria hipotética de aprendizaje (objetivos de aprendizaje, ta- reas matemáticas e hipótesis sobre el proceso de aprendizaje), y aceptan los cuatro supuestos mencionados arriba, cada quien interpreta y usa la noción con propósi- tos y de maneras diferentes.

En el número del Mathematics Thinking and Learning al que hice referencia más arriba, se perciben dos usos claramente diferenciados: como herramienta de investigación y como herramienta para la planificación. Los trabajos de Steffe (2004), Lesh y Yoon (2004) y Clements, Wilson y Sarama (2004) son trabajos esencialmente de investigación en los que se explora la trayectoria hipotética de aprendizaje para temas concretos. Por otro lado, los trabajos de Gravemeijer (2004) y Simon y Tzur (2004), aunque exploran también trayectorias hipotéticas de aprendizaje, se preocupan con mayor énfasis por su uso en la planificación del profesor. Finalmente, el trabajo de Battista (2004) se centra en la evaluación. En todos los trabajos, se desarrollan ejemplos de trayectorias hipotéticas de aprendi- zaje en temas matemáticos concretos. Para ello, los investigadores asumen el pa- pel de profesores en aulas concretas. Aunque hay profesores que participan en al- gunos de los proyectos, ellos no son quienes producen los resultados de las exploraciones. De hecho, algunos de estos trabajos, como el de Steffe (2004) y el de Gravemeijer (2004) ven la construcción de trayectorias hipotéticas de aprendi- zaje como un trabajo del investigador, cuyos resultados pueden apoyar el trabajo del profesor.

Una de las principales diferencias en la interpretación de la noción tiene que ver con el nivel de concreción con el que se usa: desde la planificación de varias sesiones de clase, hasta el trabajo con actividades específicas en una parte de una sesión de clase. Por ejemplo, Gravemeijer (2004) indica que su propuesta de teo-

rías locales de instrucción es “la descripción y fundamentación para la ruta de

aprendizaje prevista en su relación con una colección de actividades de instruc- ción para un tema” (p. 107). Steffe (2004) y Lesh y Yoon (2004) también utilizan la noción para describir el aprendizaje de los escolares a lo largo de varias sesio- nes. Por su parte, Simon y Tzur (2004) ven la trayectoria hipotética de aprendizaje como una herramienta para la planificación de actividades de instrucción en el día a día de un aula. Finalmente, Baroody, Cibulskis, Lai y Li (2004) sugieren que la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje se puede utilizar para promover el “desarrollo micro-conceptual” (p. 234), siendo ésta la actividad central de la ins- trucción en el aula.

¿Qué relación hay entre la actividad diaria del profesor y la noción de trayec- toria hipotética de aprendizaje? En este punto encuentro ciertas discordancias en las propuestas de algunos de los investigadores a los que he hecho referencia. Por un lado, una de las características centrales de la noción tiene que ver con su ca- rácter reflexivo: “hay una relación reflexiva en la que la trayectoria hipotética de aprendizaje es el trasfondo de los juicios y decisiones locales que, a su vez, modi- fican la trayectoria hipotética de aprendizaje” (Gravemeijer, Cobb, Bowers y Whitenack, 2000, pp. 249-250). Simon y Tzur (2004, p. 93), en el cuarto supuesto que indiqué más arriba, enfatizan también el papel del profesor en la construcción y revisión permanente de la trayectoria hipotética de aprendizaje. Pero, ¿cómo

hacer compatible el propósito de que sea el profesor quien construya y revise la trayectoria hipotética de aprendizaje con el hecho de que la totalidad de los ejem- plos que se tienen de trayectorias hipotéticas de aprendizaje han sido desarrolla- dos por investigadores que han asumido el papel de profesores? De hecho, pro- puestas como las de Steffe (2004) y Lesh (2004) son tan complejas y técnicas que resultan poco prácticas para la mayoría de los profesores. Por otro lado, las pro- puestas de Simon (2004) y Gravemeijer (2004) tienen un carácter esencialmente preceptivo. Finalmente, Baroody, Cibulskis, Lai y Li (Baroody et al., 2004, p. 233) nos recuerdan que la validez ecológica se logra a costa de la falta de univer- salidad: si se comprueba que una trayectoria hipotética de aprendizaje es válida en una circunstancia particular (en un contexto y con unos estudiantes y un profesor concretos), esto no quiere decir que esa trayectoria hipotética de aprendizaje tenga sentido en otras circunstancias. Esta observación resalta la necesidad de que sea el profesor, con el conocimiento que tiene de sus alumnos, quien construya o adapte la trayectoria hipotética de aprendizaje que corresponde al objetivo que se ha im- puesto, teniendo en cuenta las características del contexto concreto en el que tiene lugar la instrucción45.

Gravemeijer 2004 (2004, p. 107) aborda estas cuestiones y reconoce la difi- cultad que tendrían los profesores para construir trayectorias hipotéticas de apren- dizaje como las que producen los investigadores. Pero, esto no quiere decir que lo único que se les pueda entregar sean secuencias de instrucción listas para usar. Él sugiere dos elementos que pueden ser útiles para los profesores:

♦ un marco de referencia y

♦

Pero, ¿qué puede hacer un profesor con esta información? ¿Cómo puede él usarla para producir y revisar sistemáticamente su propia trayectoria hipotética de apren- dizaje para un tema, un contexto y unos escolares concretos?

Para responder a estas preguntas, a continuación, profundizo en uno de los componentes de la trayectoria hipotética de aprendizaje: las hipótesis del profesor sobre el proceso de aprendizaje. El análisis cognitivo se puede caracterizar como el procedimiento en virtud del cual el profesor identifica, describe y organiza sus hipótesis sobre el proceso de aprendizaje de los escolares ¿Qué carácter deben te- ner estas hipótesis? ¿Cómo debe el profesor identificarlas y describirlas? ¿Qué herramientas puede utilizar el profesor para recabar y organizar la información que le permitirá formular sus conjeturas? Si, como argumenta Steffe (2004), “de- ben ser los profesores, al participar directamente en las actividades de construc- ción de los niños, quienes deben producir sus trayectorias hipotéticas de aprendi- zaje” (p. 155), ¿qué capacidades debe tener el profesor para ello? ¿Qué se puede hacer en la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria para desarrollar esas capacidades?

La formación inicial debe ser la ocasión en la que los futuros profesores co- miencen a desarrollar capacidades para construir trayectorias hipotéticas de

45 _{Si se asume una posición sociocultural con respecto al aprendizaje, entonces el contexto en el}

que éste tiene lugar es trascendental. Ver, por ejemplo, Valero (2002, p. 546) y Gravemeijer (2004, p. 246).

aprendizaje que les permitan diseñar actividades de instrucción. Sin embargo, los futuros profesores que participan en este tipo de programas no tienen experiencia docente y, en general, no tienen acceso a la práctica en aulas de matemáticas. Por consiguiente, ellos no pueden “participar directamente en las actividades de cons- trucción de los niños”. En lo que sigue, sugiero una adaptación de la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje que tiene en cuenta estas restricciones. Para ello, considero tres niveles de expectativas del profesor con respecto al aprendiza- je de sus escolares. Introduzco, en primera instancia, las nociones de competencia y capacidad, para después caracterizar el concepto de objetivo de aprendizaje en términos de estas nociones.