Discussions of the influence of the implementation of NIR on PSC inspection

Las distribuciones discretas de probabilidad que se estudian en el presente trabajo han demostrado ser modelos adecuados para muchos fenomenos interesantes y utifes de manera practica. A pesar de que estas distribuciones son similares entre si, cada una de ellas posee caracteristicas distintas que brindan al estudiante la informacion necesaria para una selection apropiada. Tambien debe tomarse en cuenta que si un fenomeno no presenta todas las propiedades de una distribucion determinada es suficiente para excluirla como modelo de probabilidad adecuado para ese fenomeno aleatoric.

Las distribuciones binomial, de Poisson, geometrica y binomial negativa involucran una serie de pruebas identicas e independientes, las cuales pueden generar uno de dos resultados en el muestreo que se Neva a cabo con reemplazo. En la distribucion binomial, el muestreo se Neva a cabo con un numero fijo de pruebas que tienen una probabilidad de exito o fracaso constante. En la distribucion de Poisson el numero de pruebas es de tal manera infinito que la ocurrencia o no de un evento es constante en un periodo de tiempo o region especifica. En la distribucion geometrica, el muestreo se continua hasta observar el primer exito y el numero de pruebas puede ser infinito. En la distribucion binomial negativa, al igual que en la distribucion geometrica, el muestreo se continua hasta obtener un numero determinado de bxitos y el numero de pruebas puede ser tambien infinito. Por lo tanto, esta distribucion es una alternativa factible de la distribucion Poisson cuando la frecuencia de ocurrencia no es constante en un periodo de tiempo o region especifica. En la distribucion hipergeometrica las pruebas no son independientes puesto que el muestreo se lleva a cabo sin reemplazo. No solo el tamaho de la muestra es fijo, sino que se supone que la poblacion es fmita y, muchas veces relativamente pequeha.

La distribucion de probabilidad binomial tiene muchas aplicaciones, ya que el experimento binomial ocurre en el muestreo de productos defectuosos en el control de calidad industrial, en el muestreo de preferencias del consumidor o poblaciones de votantes y en otras muchas situaciones de problemas de la vida real.

La distribucion de probabilidad geometrica, se usa frecuentemente como modelo para las distribuciones de la longitud de tiempo de espera. Por ejemplo, supongamos que se da mantenimiento periodico al motor de un avion comercial de tal manera que sus diferentes partes se cambian en distintos momentos y por eso tiene tiempos de servicio diferentes. Entonces, puede ser razonable suponer que la probabilidad p, de falla del motor durante cualquier intervalo de una hora de operation, es igual para cualquier otro intervalo de una hora. El tiempo hasta la falla del motor es entonces igual al numero de intervalos de una hora, hasta el

La aplicacion primaria de la distribution binomial negativa es una altemativa adecuada para el modelo de Poisson cuando la frecuencia de ocurrencia no es constante sobre el tiempo o en una region especifica. Tambien se emplea de manera frecuente para modelar las estadisticas de accidentes, datos psicologicos, compras del consumidor y otras situaciones similares en donde la frecuencia de ocurrencia entre grupos o individuos no se espera que sea la misma. Por ejemplo, las estadisticas de accidentes automovilisticos indican de manera consistente que los conductores jovenes tienen mas accidentes que los de mas edad, y que los hombres tienen un mayor numero de accidentes que las mujeres. Desde este punto de vista no debe tomarse la distribution binomial negativa en terminos de cuantos ensayos se necesitan para alcanzar un determinado numero de exitos. Mas bien, debe considerarse como el numero de ocurrencias en el tiempo o en una region especifica cuando la frecuencia de estas no es constante.

Un area muy fructifera en aplicaciones para la distribution hipergeometrica es el control estadistico de calidad y la aceptacion de muestreo. Por ejemplo, puede utilizarse para calcular la probabilidad de que tres de 12 amas de casa prefieran al detergente marca A al de marca B si se las selecciona entre 200 amas de casa, 40 de las cuales actualmente prefieren la marca A a la marca B. Puede emplearse asimismo con respecto al problema de seleccionar diamantes industrials, algunos de los cuales tienen cualidades superiores y otros no, en el problema de muestrear declaraciones de impuestos, donde entre N declaraciones registradas, k contienen deducciones discutibles, etc.

La distribution de Poisson se emplea para modelar el numero de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante ya sea en un periodo de tiempo o en una regibn especifica. Se ha empleado de manera extensa para el estudio de linea de espera, confiabilidad y control de calidad. Es tambien una forma limite de la distribucibn binomial y la aproxima de manera adecuada para valores grandes de n y pequenos de p. Sin embargo, debe aplicarse cuidadosamente la distribucibn de Poisson a situaciones en las que las condiciones de independencia y rapidez constante de ocurrencia son dudosas. Por ejemplo, considerese la distribution del numero de infracciones recibidas por los automovilistas en un periodo de diez anos. Puede argumentarse que la distribution de Poisson es el modelo de probabilidad adecuado, pues la probabilidad de retibir una infraccibn en un dia cualquiera es pequeha y hay muchos dias en diez afios. Sin embargo, no es comun que las condiciones de independencia y rapidez constante sean vblidas. La independencia es dudosa debido a que si un automovilista en particular recibe una infraction, es razonable pensar que manejara de manera mas cuidadosa. En grupos de distinta edad esta frecuencia puede variar, ya que las compaflias aseguradoras sostienen que los conductores de mayor edad respetan mas los limites de velocidad que los conductores jovenes.

8.4Ejercicios propuestos.

1. Use la distribucion Poisson para aproximar la probabilidad binomial 6(3;100,0.03)

2. Sea X una variable aleatoria binomial. Para n = 20, calcular las probabilidades puntuales binomiafes y comparelas con las correspondientes probabilidades de Poisson para p = 0.5,0.3,0.1 y 0.01.

3. En una ciudad especlfica, el 6% de todos los conductores obtienen al menos un boleto de estacionamiento por ano. Empleese la aproximacion de Poisson a la distribucion binomial para determinar la probabilidad de que entre 80 conductores (escogidos aleatoriamente en esa ciudad)

a) cuatro obtengan al menos un boleto de estacionamiento en un ano cualquiera;

b) al menos tres obtengan como minirno un boleto de estacionamiento en un ano cualquiera;

c) 3, 4, 5 o 6 de ellos obtengan at menos un boleto de estacionamiento en un ano cualquiera.

4. Si el 0.8% de los fusibles depositados en un lote estan defectuosos, usese la aproximacion de Poisson para determinar la probabilidad de que cuatro fusibles estbn defectuosos en una muestra aleatoria de 400.

5. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviacibn lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados, encuentre la probabilidad de que.

a) menos de 5 presenten este problema; b) 8, 9, o 10 presenten este problema.

6. Una ciudad vecina estb considerando la peticibn de anexibn de 1200 residencias contra una subdivisibn del condado. Si los ocupantes de la mitad de las residencias objetan ser anexados, <j,cual es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10, al menos 3 esten a favor de la anexibn?

7. Un cargamento de 120 alarmas contra robo contiene 5 defectuosas. Si tres de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un cliente, encuentrese la probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa, utilizando

a) la formula de la distribucion hipergeometrica;

8. Entre los 300 empleados de una compafiia, 240 estan sindicalizados mientras que los otros no. Si se escogen ocho por sorteo para integrar un comite que administre el fondo de pensiones, calculese la probabilidad de que cinco esten sindicalizadosmientras que los otros no, utilizando

a) la formula para la distribucion hipergeometrica;

b) la formula para la distribucion binomial como una aproximacion.

9. Una investigation revela que de 17,000 estudiantes de ultimo ano, casi el 70% desaprueba las medidas tomadas para el control del consumo de cierta droga. Si 18 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinion, i,cual es la probabilidad de que mas de 9 pero menos de 14 desaprueben estas medidas?

10. De las distribuciones binomial, Poisson, hipergeometrica y binomial negativa, <-,cuales no consideraria si alguien le dijera, de una distribucion en particular que:

a) ^La media es igual a la varianza?

b) <J,l_a media es mas grande que la varianza? c) ^La media es menor que la varianza?

d) El tercer momento, alrededor de la media, ^es negativo?

e) cEl fenomeno aleatorio de interes constituye un grupo de ensayos independientes?

f) i El muestreo se lleva a cabo con reemplazo? g) i,EI muestreo se lleva a cabo sin reemplazo?

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