1.4 Data and Method
1.4.2 Empirical Model and Additional Data
En el caso de bombeos degenerados, se puede demostrar que la funci´on de desem- patamiento de fases est´a dada s´olo por los t´erminos de dispersi´on de tercer y cuarto orden. En este caso, la ecuaci´on ∆kcw(4) = 0, tiene una soluci´on trivial (s´olo en el l´ımite de potencia despreciable) y una soluci´on no-trivial formada por un contorno el´ıptico en el espacio de frecuencias generadas{ωs, ωi}. Una gr´afica de la JSI en el caso de bombeos CW se obtiene al graficar el m´odulo cuadrado de la funci´on de empatamiento de fases, sinc[L∆kcw]/2 (ver ecuaci´on (87)) y superponer sobre ´esta el bombeo representado por una l´ınea recta con pendiente unitaria negativa. De esta manera, los puntos de m´axima generaci´on se dar´an en la intersecci´on del contorno ∆kcw = 0 y la funci´on δ de Dirac del bombeo.
Teniendo en cuenta lo anterior, consid´erese la JSI presentada en la figura 44a), la cual corresponde a un estado de dos fotones generado en una PCF conr = 0.49µm,f = 0.6
0.821 0.739 0.665 0.604 0.553 0.821 0.739 0.665 0.604 0.553 0.821 0.739 0.665 0.604 0.555 0.821 0.739 0.665 0.604 0.555 λs (μm) λs (μm) λ i ( μ m) flujo emitido (u .a.) ωzd ωzd ω zd ω zd a) b) c) d)
Figura 44. Representaci´on de la JSI y el espectro individual de fotones en el r´egimen de bombeos CW. La fibra considerada es una PCF con r = 0.49µm, f = 0.6. a) JSI obtenida para bombeos degenerados; b) espectro individual relativo a a). c) JSI obtenida con bombeos no-degenerados; d) espectro individual relativo a c).
yL= 0.2 m. La longitud de onda de cero dispersi´on de esta fibra es λzd = 0.6625µm y se ha considerado un bombeo con longitud de onda λp = 0.672µm. N´otese que en este caso se ha ignorado el corrimiento de fases debido a SPM y XPM. En la figura, el fondo representa la funci´on de empatamiento de fases (PM, por sus siglas en ingl´es); el bombeo est´a dado por la l´ınea s´olida negra y se ha superpuesto el contorno de PM perfecto en color azul. En la evaluaci´on de esta figura se ha considerado la dispersi´on completa. La l´ınea recta con pendiente unitaria en azul es la soluci´on trivial de ∆kcw= 0, la cual se intersecta con la l´ınea definida por la condici´on ω1+ω2−ωs−ω1 = 0, dando lugar
a la generaci´on del pico central en la figura 44b) (el espectro individual de fotones). Por otro lado, la curva azul es la rama no-trivial de ∆kcw = 0, la cual en la vecindad de ωzd es una elipse. Lejos del punto de cero dispersi´on los t´erminos de orden quinto
y superiores en la expansi´on de k(ω), contribuyen a degradar la forma el´ıptica del contorno de PM. Para el bombeo seleccionado, dos picos no-triviales son generados en frecuencias sim´etricamente desplazadas desde la frecuencia del bombeo. En el caso DP, el contorno no-trivial es independiente del bombeo y se puede apreciar en la figura 44a) que ´este es tangente en el punto ωs = ωi = ωzd a una l´ınea recta que es paralela a la funci´onδde Dirac del bombeo. Es posible demostrar a partir de la ecuaci´on (92) que la curvatura en ese punto es proporcional a la raz´onk(4)/k(3). Si la frecuencia del bombeo se hace coincidir conωzd, s´olo el pico central es generado como puede verse en la figura, donde el bombeo es ahora representado por la l´ınea segmentada punteada. Esto puede interpretarse como el traslape espectral perfecto entre las dos soluciones no-triviales. Finalmente, se puede ver, que para una frecuencia de bombeo mayor que ωzd s´olo es posible la emisi´on del pico correspondiente a la soluci´on trivial, en el caso de la figura, la linea segmentada representa la funci´onδ de Dirac del bombeo con λp = 0.653µm.
De forma similar, en la figura 44c) se ha graficado la JSI obtenida en una configu- raci´on NDP conλ1 = 0.625µm yλ2 = 0.727µm. Esto fue calculado para la misma fibra
de la figura 44a). Las dos l´ıneas azules con pendiente unitaria representan las soluciones triviales, mientras que la curva azul es el contorno no-trivial de ∆kcw = 0. Para las frecuencias de bombeo seleccionadas, el espectro individual de fotones (mostrado en la figura 44d)) consta de 2 picos triviales contenidos entre dos picos no-triviales, los cuales resultan de la intersecci´on de ∆kcw = 0 con la δ de Dirac del bombeo, es decir la l´ınea negra s´olida en la figura. En este caso se cumple que (ω1+ω2)<2ωzd. En la situaci´on opuesta se puede mostrar que son s´olo las soluciones triviables son posibles, mientras que en la igualdad, (ω1+ω2) = 2ωzd, los dos picos no-triviales convergen a uno s´olo en el centro del espectro. En este caso, la δ de Dirac del bombeo es tangente al contorno no-trivial en el punto definido por ωs =ωi =ωzd.
Es importante resaltar que en ambas configuraciones, DP y NDP, las relaciones entre ωzd y las frecuencias de los bombeos, las cuales determinan la emisi´on de las soluciones triviales y las no triviales, son invertidas a las presentadas aqu´ı, cuando cambia el sentido de la concavidad de la rama no-trivial de ∆kcw = 0, lo cual est´a asociado con el signo de la raz´onk(4)/k(3). Del comportamiento mostrado en las figuras 44a) y c) se puede inferir que la generaci´on de un ancho de banda ultra amplio, con bombeos en el l´ımite CW, resulta de un traslape ´optimo entre laδ de Dirac del bombeo y el contorno ∆kcw = 0. Al ser la funci´on de bombeo una l´ınea recta con pendiente unitaria negativa, lo anterior sugiere que es necesario orientar la curva de empatamiento de fases en la misma direcci´on de la δ y adem´as minimizar (anular) su curvatura a lo largo del mayor n´umero de componentes espectrales. Esto lleva al planteamiento de las siguientes condiciones para garantizar el mayor ancho de banda de emisi´on a partir del proceso de SFWM.