En esta secci´on vamos a revisar los diferentes tipos de discontinuidades que admite la magnetohidrodin´amica relativista. Nos basaremos en el Cap´ıtulo 5 del libro de Lichnerowicz (1967) y en la Secci´on 8.4 del libro de Anile (1989), adaptando su contenido a nuestra notaci´on.
Los campos caracter´ısticos est´an asociados a diferentes tipos de soluciones discontinuas seg´un se trate de campos genuinamente no lineales o linealmente degenerados. En el caso de la magnetohidrodin´amica, tanto cl´asica como rela- tivista, los campos caracter´ısticos entr´opico y de Alfven, linealmente degenera- dos, est´an asociados, respectivamente, a la propagaci´on de las discontinuidades tangenciales y de las ondas de Alfven. Fuera de los casos de degeneraci´on, los campos caracter´ısticos correspondientes a los autovalores magnetos´onicos est´an asociados a los choques magnetos´onicos. Todos estos tipos de discontinuidad van a ser analizados en la presente secci´on.
Una discontinuidad viene caracterizada por una hipersuperficie φ(xβ) = 0 a trav´es de la cual una o m´as variables son discontinuas. El vector normal a la hipersuperficie ser´a φα≡ ∂αφ, y supondremos, sin p´erdida de generalidad, que
φα = (−vs, 1, 0, 0), donde vs ser´a la velocidad a la que se propaga la disconti-
nuidad7.
Para que las soluciones discontinuas sean compatibles con las leyes de con- servaci´on correspondientes a las ecuaciones de la RMHD (4.2), se deben cumplir las siguientes condiciones de salto a trav´es de la discontinuidad
7A lo largo de esta secci´on, la hipersuperficie φ(xβ) = 0 va a estar asociada a la propagaci´on
de una discontinuidad, y no se trata, como en el resto del cap´ıtulo, de una hipersuperficie caracter´ıstica. La similitud de la notaci´on alcanza tambi´en a las definiciones de a, B, E, ... que ahora pasan a depender de la hipersuperficie de discontinuidad y su velocidad de propagaci´on, vs.
ρ uα φ α= 0, (4.112) bαuβ− bβuα φ α= 0, (4.113) Tαβ φ α= 0, (4.114)
donde [F ] ≡ FR− FL denota el salto de la variable F entre los estados a ambos
lados de la superficie de discontinuidad (L de left y R de right). De estas ecuaciones se deducen inmediatamente una serie de magnitudes invariantes a trav´es de la discontinuidad.
De la primera condici´on de salto (4.112) obtenemos que
m ≡ ρuµφµ= ρa, (4.115)
asociada al flujo de masa, es un invariante a trav´es de la discontinuidad. Para el caso de una discontinuidad propag´andose a lo largo del eje x, m = ρu0(vx− vs),
donde vx= ux/u0.
De la segunda condici´on de salto (4.113) deducimos que el vector
Vµ≡ Buµ− abµ (4.116)
es tambi´en un vector invariante a trav´es de la discontinuidad y tangente a ella, como se deriva del hecho de que la contracci´on Vµφ
µ sea igual a cero. Como
puede comprobarse, las componentes 0 y x de este tetravector est´an asociadas a la conservaci´on de la componente normal del trivector campo magn´etico (Bx,
para una discontinuidad propag´andose a lo largo del eje x). Las componentes y y z expresan la conservaci´on del campo el´ectrico transversal a la discontinuidad en el sistema com´ovil con la discontinuidad.
Por ´ultimo, a partir de la tercera condici´on de salto (4.114), asociada a la conservaci´on del flujo de momento y energ´ıa, obtenemos que el vector
Wµ ≡ Eauµ+ p + b 2 2 φµ− Bbµ (4.117)
es tambi´en un vector invariante a trav´es de la discontinuidad.
La RMHD admite diferentes tipos de discontinuidades que procedemos a caracterizar.
4.10.1
Discontinuidades tangenciales
Diremos que estamos ante una discontinuidad tangencial si la cantidad m definida en (4.115) es nula. Entonces, a = 0 y se tiene que vx= vs, es decir, que la ve-
locidad normal a ambos lados de la discontinuidad coincide con la velocidad de propagaci´on de la propia discontinuidad (vx
L= v x R= vs).
Si sustituimos la condici´on a = 0 en los dos vectores invariantes a trav´es de la discontinuidad (4.116), (4.117) tenemos entonces que
Vµ = Buµ, (4.118) Wµ= p +b 2 2 φµ− Bbµ. (4.119)
Llegados a este punto tenemos dos posibilidades dependiendo del valor de B. Si B 6= 0, teniendo en cuenta (4.118) y que uαuα= −1, calculando el m´odulo
del Vµ, llegamos a
B = 0, uβ = 0, (4.120)
que conducen, al tener en cuenta (4.119), a
bβ = 0, p = 0 (4.121)
quedando indeterminado ´unicamente el salto en densidad. Este tipo de discon- tinuidad se conoce como discontinuidad de contacto.
Por otra parte, si B = 0, se tiene, por un lado que p +1 2b 2 = 0 (4.122) y que Bx
L = BxR = 0, adem´as de vxL = vxR = vs. El resto de los saltos (densi-
dad y componentes tangenciales del campo magn´etico) quedan indeterminados. Tenemos, en definitiva, dos estados en equilibrio de presiones y con campos magn´eticos tangentes a la discontinuidad.
4.10.2
Discontinuidades no tangenciales
Las discontinuidades no tangenciales se caracterizan por tener m 6= 0. Estas discontinuidades son las llamadas ondas de Alfv´en y los choques magnetos´onicos r´apidos y lentos.
Para discontinuidades no tangenciales podemos definir una serie adicional de magnitudes invariantes a trav´es de la discontinuidad8
H ≡ −V µV µ m2 = 1 ρ2 B2 a2 − b 2 , (4.123) β ≡ Bh, (4.124) F ≡ ˆα + p +1 2b 2 G a2, (4.125)
8Remitimos al lector a las ya citadas monograf´ıas de Lichnerowicz (1967) y Anile (1989)
para una demostraci´on completa. Las diferencias entre las notaciones utilizadas por estos autores son, en general, triviales, excepto el hecho de que Lichnerowicz usa un vector normal a la hipersuperficie normalizado.
K ≡ h2+m 2h2 ρ2G + 2hχ ρ − Hχ, (4.126) L ≡ χ ˆα2, (4.127)
donde se han definido
ˆ α ≡ h ρ− H, (4.128) χ ≡ b2−m 2H G = b2(G + a2) − B2 G = b2t(G + a2) G . (4.129)
Llamaremos ondas de Alfv´en a las discontinuidades no tangenciales que ver- ifican (Lichnerowicz 1967)
A(≡ Ea2− B2) = 0. (4.130)
Por otro lado, puesto que para las discontinuidades no tangenciales es f´acilmente demostrable que
A = m2αˆ (4.131)
y dado que m 6= 0, vemos que las ondas de Alfv´en se caracterizan por ˆαL =
ˆ
αR = 0. Ahora, teniendo en cuenta esta condici´on, operando con las magni-
tudes invariantes a trav´es de discontinuidades que acabamos de definir, puede obtenerse que ρ = 0, (4.132) p = 0, (4.133) b2 = 0, (4.134) uαφ α = a = 0, (4.135) bαφ α] =B = 0. (4.136)
Como se deduce de las expresiones anteriores, las presi´on t´ermica y la densi- dad permanecen constantes a trav´es de la discontinuidad. Las componentes de la velocidad y del campo magn´etico a ambos lados de la discontinuidad est´an ligadas para satisfacer las ecuaciones (4.134)-(4.136). En el caso cl´asico estas condiciones conducen a la constancia de la componente normal de la veloci- dad del fluido a trav´es de la discontinuidad y a una mera rotaci´on del campo magn´etico y la velocidad tangenciales a la discontinuidad (de ah´ı que las ondas de Alfven reciban tambi´en el nombre de discontinuidades rotacionales). En el
caso relativista, sin embargo, la velocidad del fluido normal a la onda puede ser discontinua y el campo magn´etico tangencial, adem´as de rotar, puede cambiar de m´odulo.
Analizado el caso en el que ˆαL = ˆαR= 0, cabe plantearse qu´e ocurre en el
resto de casos. Lichnerowicz (1967) demuestra que si ˆαR = ˆαL 6= 0 no existe
discontinuidad. Tambi´en demuestra que los choques magnetos´onicos cumplen que ˆαLαˆR> 0.
Bajo esta condici´on se puede encontrar la extensi´on de la adiab´atica de Hugoniot a la RMHD, la llamada adiab´atica de Lichnerowicz
h2 − hL ρL +hR ρR p +1 2 h ρ χ = 0 (4.137)
que liga las variables termodin´amicas y el campo magn´etico a ambos lados del choque magnetos´onico.
Los choques magnetos´onico r´apidos verifican que
0 < ˆα0 < ˆα (4.138)
donde la0hace referencia al estado post-choque, refiri´endose la otra cantidad al estado pre-choque. Alternativamente, los choques magnetos´onicos lentos verifi- can
ˆ
α0< ˆα < 0. (4.139)
Una consecuencia inmediata de estas definiciones y del car´acter invariante de L definida en (4.127) es que la presi´on magn´etica crece tras un choque r´apido y decrece tras uno lento. Adicionalmente, a partir de la definici´on de ˆα (4.128), se tiene que
h0 ρ0 <
h
ρ. (4.140)
Finalmente, teniendo en cuenta que a trav´es de un choque magnetos´onico, s0> s y asumiendo ciertas condiciones de compresibilidad9se puede demostrar
que
p0 > p, h0> h, y ρ0> ρ. (4.142) Comentaremos tambi´en que en los choques magnetos´onicos r´apidos, bajo determinadas circunstancias, puede aparecer una componente tangencial del campo magn´etico en el material al atravesar el choque no estando esta com- ponente presente en el material antes de atravesar el choque. A este tipo de
9 ∂h/ρ ∂s p > 0, ∂h/ρ ∂p s < 0 y ∂2h/ρ ∂p2 s > 0, (4.141) ver Lichnerowicz (1967).
ondas de choque se les llama switch-on. En el caso de choques magnetos´onicos lentos lo que puede ocurrir es justo lo contrario, es decir, la anulaci´on de la componente tangencial del campo al atravesar la onda de choque (switch-off).