Terminamos estudiando los complejos celulares m´as sencillos, a saber, aque- llos cuyas caras de dimensi´on p son p-s´ımplices afines. Estos espacios tienen gran inter´es en topolog´ıa algebraica. De todos modos, los resultados que siguen no van a ser usados despu´es salvo en el ap´endice A.
Definici´on 4.23 Uncomplejo simplicialaf´ın enRn es un conjunto finitoK de s´ımplices deRn con la propiedad de que toda cara de un s´ımplice deKest´a en
K y la intersecci´on de dos s´ımplices deK es vac´ıa o bien es una cara com´un. Los s´ımplices de K se llamancarasdeK. Ladimensi´onde un complejoK
es el m´aximo de las dimensiones de sus caras. Llamaremospoliedro asociado a
K a la uni´on de todos los s´ımplices que lo componen. Lo representaremos por |K|. Claramente se trata de un espacio topol´ogico compacto, no necesariamente conexo.
4.6. Poliedros 105 La ´ultima observaci´on de la secci´on 2.1 muestra que el conjunto de las caras de un s´ımplice S forma un complejo simplicial cuyo poliedro asociado es el propioS.
Un subcomplejoL de un complejo K es un subconjunto de K que adem´as sea un complejo. As´ı, el conjunto de los s´ımplices deKde dimensi´on≤rforma un subcomplejo deKal que llamaremosr-esqueletodeK, y lo representaremos porKr.
Teniendo en cuenta que un s´ımplice af´ın es homeomorfo a una bola cerrada (por el teorema 1.3), es f´acil ver que si K es un complejo simplicial, entonces su poliedro|K| es un complejo celular y el poliedro delr-esqueleto deK en el sentido que acabamos de introducir es elr-esqueleto de|K|.
SiS es un s´ımplice, el conjunto de todas las caras deS distintas del propio
Sconstituye un complejo al que llamaremosfronteradeS, y lo representaremos por∂S.
La uni´on y la intersecci´on de subcomplejos de un complejo dado son a su vez complejos. El teorema siguiente contiene informaci´on m´as fina sobre la estructura de los complejos.
Teorema 4.24 Si K es un complejo af´ın, cada punto de |K| pertenece al in- terior de una ´unica cara de K. Rec´ıprocamente, siK es un conjunto finito de s´ımplices con interiores disjuntos dos a dos y tal que toda cara de un s´ımplice deK est´a enK, entonces K es un complejo simplicial af´ın.
Demostraci´on: Todo puntox∈ |K|est´a en una de sus caras, digamos en
S. Si expresamosxcomo combinaci´on af´ın de los v´ertices deS, entoncesxest´a en el interior de la cara de S formada por los v´ertices correspondientes a las coordenadas positivas dex.
Si x est´a en el interior de dos caras de K, digamos en S1 y S2, entonces S1∩S26=∅, luegoC=S1∩S2es una cara com´un, pero una caraCes disjunta
del interior del s´ımpliceS1 salvo queC=S1, e igualmenteC=S2.
Sea ahoraKun conjunto de s´ımplices en las condiciones del teorema. Hemos de probar que dos cualesquiera de sus elementosS1yS2son disjuntos o se cortan en una cara. Debidamente ordenados, podemos suponer que los v´ertices de S1
son (a0, . . . , ar, br+1, . . . , bs) y que los de S2 son (a0, . . . , ar, cr+1, . . . , cs0), de
modo que ning´unbi coincide con ning´uncj. Obviamente el s´ımplice de v´ertices (a1, . . . , ar) —tal vez vac´ıo— est´a contenido enS1∩S2. Six∈S1∩S2, entonces
x= Pr i=0 tiai+ s P i=r+1 tibi= r P i=0 t0iai+ s0 P i=r+1 t0ici,
dondePti =Pt0i= 1, pero ha de sertr+1=· · ·=ts=t0r+1=· · ·=t0s0 = 0, o
de lo contrarioxestar´ıa en el interior de dos s´ımplices distintos enK. As´ı pues,
xpertenece al s´ımplice de v´ertices (a1, . . . , ar), que es, por tanto,S1∩S2. Sabemos que un s´ımplice, como espacio topol´ogico, est´a determinado por su dimensi´on. Esto no es cierto para un complejoK, pero veremos que la topolog´ıa
deK est´a determinada por un esquema muy general que describe la forma en que se conectan sus caras. para enunciarlo adecuadamente debemos introducir las aplicaciones que conservan con m´as exactitud la estructura de un complejo: Definici´on 4.25 Dados dos complejos simpliciales K y L, diremos que una aplicaci´onf :|K| −→ |L|essimplicialsi cuandoSes una cara deKcon v´ertices
a0, . . . , ar, entonces los puntos f(a0), . . . , f(ar) son af´ınmente independientes, generan una cara deLy la restricci´on def aS viene dada por
f≥Pr i=0 tiai ¥ = Pr i=0 tif(ai),
es decir, la restricci´on def aScoincide con la restricci´on de una aplicaci´on af´ın. En particular, la restricci´on de f a cada cara de K es continua (porque las aplicaciones afines lo son), luego f es continua en |K| (porque las caras de K forman un cubrimiento cerrado finito de |K|). Sif es biyectiva (y por consiguiente un homeomorfismo, ya que |K| es compacto), diremos que es un
homeomorfismo simplicial.
Definici´on 4.26 Un complejo simplicial abstractoK es un conjunto finito de conjuntos finitos, llamadoscarasdeK, con la propiedad de que todo subconjunto de una cara de K es una cara de K. Los elementos de las caras de K (o, indistintamente, las caras con un solo elemento) se llaman v´ertices de K. La
dimensi´on de una cara se define como una unidad menos que el n´umero de v´ertices que la componen. Ladimensi´ondeKes el m´aximo de las dimensiones de sus caras.
Diremos que un complejo simplicial af´ınKes unarealizaci´onde un complejo simplicial abstracto K si existe una biyecci´on entre los v´ertices deK y los de K de modo que un conjunto de v´ertices deK es una cara de Ksi y s´olo si los v´ertices correspondientes enKson los v´ertices de una cara deK.
Ejemplo El cubo de la figura es una realizaci´on del complejo abstracto K={{1},{2},{3},{4},{5},{6},{7},{8}, {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,8},{2,3},{2,5},{2,6},{2,7}, {3,3},{3,7},{3,8},{4,8},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8}, {1,2,3},{1,3,4},{1,2,5},{2,5,6},{2,3,7},{2,6,7}, {3,4,8},{3,7,8},{1,4,8},{1,5,8},{5,6,7},{5,7,8}} 1 2 3 4 5 6 7 8
4.6. Poliedros 107 Es obvio que todo complejo af´ın es la realizaci´on de un complejo abstracto. El inter´es de este concepto reside en que un complejo abstracto es una estructura muy sencilla que, sin embargo, determina completamente la topolog´ıa de sus realizaciones. Lo probamos en el teorema siguiente.
Teorema 4.27 Los poliedros de dos realizaciones de un mismo complejo abs- tracto son simplicialmente homeomorfos.
Demostraci´on: Si K1 y K2 son dos realizaciones de un mismo com- plejo abstracto K, entonces podemos nombrar sus v´ertices como a0, . . . , am y
b0, . . . , bmrespectivamente, de modo queai ybi se correspondan con el mismo v´ertice deK. Esto implica que si{ai1, . . . , air}son los v´ertices de una cara C
deK1, entonces{bi1, . . . , bir}son los v´ertices de una caraC0 deK2. Existe una
´
unica aplicaci´onfC :C−→C0 tal quef(aij) =bij para todoj y que conserve
las coordenadas baric´entricas respecto a los v´ertices, es decir, que sea la res- tricci´on de una aplicaci´on af´ın. Es claro que las aplicacionesfC se extienden a un ´unico homeomorfismo simplicialf :|K1| −→ |K2|.
M´as notable es el hecho de que todo complejo abstracto tiene una realizaci´on, es decir, que nunca puede ocurrir que si razonamos sobre un complejo abstracto estemos hablando de nada.
Teorema 4.28 Todo complejo abstracto de dimensi´onn tiene una realizaci´on enR2n+1.
Demostraci´on: SeaKun complejo abstracto y seana0, . . . , amsus v´erti- ces. Veamos que existenm+ 1 puntos enR2n+1 tales que 2n+ 2 cualesquiera
de ellos sean af´ınmente independientes. De hecho podemos encontrar cualquier cantidad de puntos as´ı: supuesto que hayamos encontradokde ellos, considera- mos las variedades afines generadas por cada 2n+ 1 de ellos, que son un n´umero finito, luego no cubrenR2n+1, luego siempre podemos tomar un punto que no
est´e en ninguna de ellas, y as´ı tenemosk+ 1 puntos con la misma propiedad. Llamemosa0, . . . , ama los puntos que hemos tomado y biyect´emoslos con los v´ertices deK. Puesto queKtiene dimensi´onn, los subconjuntos dea0, . . . , am correspondientes con caras deKson af´ınmente independientes, luego determinan s´ımplices enR2n+1. SeaK el conjunto formado por estos s´ımplices. Para que
sea un complejo s´olo hemos de probar que la intersecci´on de dos cualesquiera de sus caras es vac´ıa o bien es otra cara. Ahora bien, siC1 y C2 son caras de K, digamos de dimensionespyq, el n´umero de v´ertices de una y otra es a lo sumo p+q+ 2≤2n+ 2, luego dichos v´ertices son af´ınmente independientes, luego forman un s´ımplice que tiene aC1 yC2 como caras, luegoC1∩C2 ha de
ser vac´ıo o bien una cara com´un.
Investigamos ahora m´as a fondo la estructura de un complejo:
Definici´on 4.29 Sea K un complejo simplicial. Para cada punto x ∈ |K|, definimos elentorno simplicialdexcomo el conjuntoNK(x) formado por todas las caras deKque contienen axjunto con las caras de ´estas. Laesfera simplicial
Si S es una cara de K, laestrella de S es la uni´on de los interiores de las caras deK que tienen aS por cara. La representaremos por EK(S).
Por ejemplo, en el complejo de la figura, el entorno simplicial del punto se˜nalado est´a formado por los dos tri´angulos centrales junto con sus cinco caras y sus cuatro v´ertices. La esfera simplicial est´a formada por las cuatro aristas y los cuatro v´ertices marcados con trazo grueso y la estrella de la arista en la que est´a el punto est´a formada por dicha arista (sin sus v´ertices) y los dos tri´angulos sin sus lados.
El teorema siguiente recoge las propiedades b´asicas de estos conceptos. La prueba se basa esencialmente en el teorema 4.24.
Teorema 4.30 Sea K un complejo simplicial, S una cara de K y x ∈ |K|. Entonces:
a) NK(x)y SK(x)son complejos simpliciales.
b) La estrella EK(S)es abierta en|K|.
c) SiSes la ´unica cara deKque tiene axen su interior, entonces se cumple que EK(S) =|NK(x)| \ |SK(x)|. En particular|NK(x)|es un entorno de
xen K.
Demostraci´on: a) es inmediato.
Para probar b) basta observar que el conjunto |K| \EK(S) est´a formado por las caras deK que no tienen aS por cara. En efecto, siy ∈ |K| \EK(S), entonces y est´a en el interior de una cara deK, pero ´esta no puede tener a S
por cara, o de lo contrario y estar´ıa en EK(S). Rec´ıprocamente, si C es una cara deK que no tiene a S por cara ey ∈C, entoncesy est´a en el interior de una ´unica cara deKque, por ser cara deC, no tiene aS por cara. La unicidad implica quey∈ |K| \EK(S). Por consiguiente este conjunto es cerrado en|K|. c) Si y ∈ EK(S), entonces y est´a en el interior de una cara C de K que tiene aS por cara, luegoC∈NK(x) y por consiguientey∈ |NK(S)|. Adem´as
y /∈SK(x), o de lo contrarioyestar´ıa en una cara deNK(S) que no contiene a
x, luego estar´ıa en el interior de una cara deNK(S) que no contiene ax, pero esa cara habr´ıa de serC por la unicidad yx∈S⊂C.
Rec´ıprocamente, siy∈ |NK(x)| \ |SK(x)|, entoncesy est´a en una caraC de
4.6. Poliedros 109 peroC0 ha de contener a x, o de lo contrario y estar´ıa en S
K(x). Entoncesx est´a en el interior de una cara deC0, es decir,S es una cara deC0, luegoxest´a en el interior de una cara (C) que tiene aSpor cara. En conclusi´ony∈EK(S).
Ahora necesitamos el siguiente teorema t´ecnico:
Teorema 4.31 Sea K un complejo simplicial, x ∈ |K|, y ∈ |NK(x)|, y 6=x.
Entonces el segmento de extremosx,yest´a contenido en|NK(x)|. La semirrecta
de origenxque pasa pory corta a|SK(x)|en un ´unico punto.
Demostraci´on: Tenemos que y est´a en un s´ımpliceS deK que contiene ax. Como los s´ımplices son convexos, el segmento de extremosx,yest´a conte- nido enS, luego en|NK(x)|.
Sea ahoralla semirrecta de origen xy que pasa pory. Puesto que|NK(x)| est´a acotado, existe un puntoz∈ltal que
d(x, z) = sup{d(x, z0)|z0 ∈l∩ |NK(x)|}.
Como y∈l∩ |NK(x)|,y6=x, esta distancia no es nula, luego z6=x. Como |NK(x)|es cerrado, z∈ |NK(x)|. Por consiguientez est´a en el interior de una caraSdeNK(x). No puede ocurrir quex∈S, pues en tal caso podr´ıamos pro- longar el segmentoxzsin salir deS, luego sin salir deNK(x), lo que contradir´ıa la construcci´on dez. De este modo,S ∈SK(x), luegoz∈ |SK(x)| ∩l.
Falta probar que ning´un otro punto de l est´a en|SK(x)|. Ciertamente, los puntos del que distan m´as dexquez est´an fuera de|NK(x)|, luego no est´an tampoco en |SK(x)|. Falta probar que ning´un punto interior del segmento de extremosxz est´a en|SK(x)|.
Como S ∈ NK(x), tenemos que S es una cara de un s´ımplice C deK que contiene ax, luego xest´a en el interior de una cara S0 de C. Los v´ertices de
S y los deS0 son v´ertices del s´ımpliceC, luego son af´ınmente independientes y generan un s´ımpliceT, que tiene aS yS0 por caras. En particularT ∈N
K(x).
x
S0 z
S l
T
Basta probar que los puntos interiores del segmento xz son interiores aT, pues entonces estar´an en EK(S0) y no en |SK(x)|. Ahora bien, x tiene coor- denadas baric´entricas positivas respecto de todos los v´ertices de S0, z tiene coordenadas baric´entricas positivas respecto de todos los v´ertices de S, luego una combinaci´on convexa estricta de ambos tiene coordenadas baric´entricas po- sitivas respecto de todos los v´ertices deT y es, por lo tanto, interior aT.
De aqu´ı deducimos un teorema muy ´util sobre la topolog´ıa de los complejos simpliciales. Esencialmente dice que si dos poliedros son homeomorfos enton- ces los poliedros asociados a las esferas simpliciales de puntos hom´ologos son homot´opicos. Por conveniencia lo presentamos en una forma ligeramente m´as general que ser´a necesaria en el ap´endice A.
Teorema 4.32 Sean K y L complejos simpliciales y sea f : |K| −→ |L| un homeomorfismo en su imagen. SeaU un abierto de |L| contenido en f£|K|§ y
x∈ |K|tal quef(x)∈U. Entonces |SK(x)|es homot´opico a|SL(f(x))|.
Demostraci´on: Por el teorema 4.24, el puntof(x) est´a en el interior de una ´unica cara S de L. Tenemos que f(x)∈ U ∩EL(S) ⊂ |NL(f(x))|, luego
H =f−1[U∩E
L(S)] es un abierto en|K|que contiene axyf[H]⊂ |NL(f(x))|. Para cada n´umero real 0 < λ ≤ 1 sea λ|NK(x)| el conjunto de puntos de |NK(x)| de la formax+λ(y−x), dondey ∈ |NK(x)|, es decir, es el conjunto que se obtiene al aplicarle a NK(x) la homotecia de centro x y raz´on λ. En particular es homeomorfo a NK(x). Puesto que H es abierto y |NK(x)| est´a acotado, existe unλtal quex∈λ|NK(x)| ⊂H, de donde
f(x)∈f[λ|NK(x)|]⊂ |NL(f(x))|.
Como λ|NK(x)| es un entorno dexenK, tenemos quef[λ|NK(x)|]⊂U es un entorno def(x) enL, luego existe unµtal queµ|NL(f(x))| ⊂f[λ|NK(x)|]. Del mismo modo que hemos obtenido λpodemos obtener, por ´ultimo un ν de modo que f(x)∈f£ν|NK(x)|§⊂µ|NL(f(x))| ⊂f£λ|NK(x)|§⊂ |NL(f(x))|. f(x) f£ν|NK(x)| § µ|NL(f(x))| f£λ|NK(x)| § |NL(f(x))|
Definimos como sigue una aplicaci´onφ:µ|SL(f(x))| −→f
£
ν|SK(x)|
§
. Dado
y ∈µ|SL(f(x))|, tenemos que f−1(y)∈λ|NK(x)| ⊂ |NK(x)|, f−1(y)6=x. Por el teorema anterior la semirrecta de origenxque pasa porf−1(y) corta aS
K(x) en un ´unico punto. Tomamos su homot´etico enν|SK(x)| y aplicamosf.
Similarmente, podemos definir ψ : f£ν|SK(x)|
§
−→ µ|SL(f(x))|, es decir, partimos dey∈f£ν|SK(x)|
§
⊂µ|NL(f(x))|, lo proyectamos radialmente sobre
SL(f(x)) y consideramos su homot´etico en µ|SL(f(x))|.
Vamos a probar que φψ es homot´opica a la identidad en µ|SL(f(x))|. En primer lugar consideramos la aplicaci´onφ◦f−1. Siy ∈µ|S
4.6. Poliedros 111
f−1(φ(y)) est´a situado en la semirrecta de origenxque pasa porf−1(y). Ambos
puntos est´an enλ|NK(x)|y, por el teorema anterior, tambi´en lo est´a el segmento que los une. M´as precisamente, dicho segmento est´a contenido enλ|NK(x)|\{x} luego, por el teorema 1.24, las aplicaciones
f−1, φ◦f−1:µ|SL(f(x))| −→λ|NK(x)| \ {x}
son homot´opicas. Componiendo la homotop´ıa conf obtenemos una homotop´ıa entre
φ, I:µ|SL(f(x))| −→λ|NL(f(x))| \ {f(x)}. (Ies la identidad).
Por otra parte, el teorema 1.24 nos proporciona tambi´en una homotop´ıa entre φ y φ◦ψ. En efecto, dado y ∈ µ|SL(f(x))|, tenemos que ψ(φ(y)) est´a en la semirrecta de origen f(x) que pasa por φ(y). Ambos puntos est´an en |NL(f(x))|, luego dicho segmento est´a en|NL(f(x))| \ {f(x)}.
En definitiva tenemos una homotop´ıa entre
φ◦ψ, I :µ|SL(f(x))| −→λ|NL(f(x))| \ {f(x)}.
Finalmente, componemos esta homotop´ıa con la proyecci´on radial
λ|NL(f(x))| \ {f(x)} −→µ|SL(f(x))|.
Puesto que las im´agenes de I y φ◦ψ est´an en µ|SL(f(x))|, la compo- sici´on sigue siendo una homotop´ıa entre ambas, pero ahora como aplicaciones en µ|SL(f(x))|. Similarmente se prueba que ψ◦φ es homot´opica a la identi- dad, luego tenemos queµ|SL(f(x))| es homot´opico af
£
ν|SK(x)|
§
. Puesto que |SL(f(x))|es homeomorfo aµ|SL(f(x))|y|SK(x)|es homeomorfo af£ν|SK(x)|§, concluimos que|SL(f(x))|y|SK(x)|tambi´en son homot´opicos.
Cap´ıtulo V
El ´algebra homol´ogica
En este cap´ıtulo estudiamos m´as detenidamente las estructuras algebraicas generales que hemos ido introduciendo para desarrollar la homolog´ıa singular. Abordaremos problemas t´ecnicos, como la relaci´on entre las homolog´ıas res- pecto a diferentes anillos de coeficientes y veremos que existe una teor´ıa dual a la homolog´ıa singular, conocida como cohomolog´ıa singular, que m´as adelante ser´a esencial para enunciar importantes resultados sobre variedades topol´ogicas. El lenguaje adecuado para enunciar las propiedades generales del ´algebra ho- mol´ogica es el de la teor´ıa de categor´ıas, que introducimos en la primera secci´on.