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A continuación hablaremos muy brevemente de la noción central de la lógica: la consecuencia lógica. Para empezar hay que mencionar expresiones sinónimas de “ser consecuencia lógica de” que el alumno podrá encontrar en la literatura sobre el tema, y en general en la amplia gama de textos sobre lógica que hay. Las expresiones sinónimas son las siguientes: “… se sigue de…”, “ implica”, “…está implicado por…”, “se sigue lógicamente de…”, “es consecuencia de…”. Es decir, cuando en el contexto de un estudio de lógica se plantea la cuestión de si cierta afirmación “se sigue” de otra, o cuando se pregunte qué cosas “implica” cierta enunciación, se está pensando en la noción de consecuencia lógica.

Antes de definir la noción de consecuencia lógica hagamos una aclaración más en cuanto a expresiones que serán sinónimas para nosotros. Decimos que “un enunciado se sigue de tal o tales enunciados”, o que “tal afirmación implica tal otra” o que una “proposición es implicada por…”. También solemos encontrar, según el autor de texto de lógica, que se habla de fórmulas, oraciones o esquemas proposicionales. En lo que sigue hablaremos de métodos para detectar la relación de consecuencia lógica en el lenguaje de la lógica proposicional. Sin embargo la definición de consecuencia lógica que se daremos vale en general, con ciertos ajustes, también para aquello que expresaremos en capítulos siguientes con el lenguaje de la lógica cuantificacional.

Por ello de ahora en adelante nombraremos a aquellas entidades con las que tratamos en lógica con el nombre de “proposiciones”; cuando nos refiramos a las fórmulas que a éstas corresponden en nuestro lenguaje formal, hablaremos de “esquemas proposicionales”; y cuando mentemos una proposición expresada en un lenguaje formal, no necesariamente proposicional, diremos simplemente “fórmula”. Todo ello para evitar que aparezcan muchas

denominaciones distintas para el mismo tipo de entidad, lo cual podría confundir al lector.

Ahora hablemos brevemente de algunas propiedades que pueden tener los esquemas proposicionales.

1. Decimos que un esquema proposicional es válido si es verdadero bajo todas las interpretaciones posibles de las letras proposicionales que lo forman. A estos esquemas también se les llama tautologías o verdades lógicas.30

2. Decimos que un esquema es consistente si es verdadero bajo alguna interpretación de sus letras proposicionales, es decir, si existe cuando menos una interpretación que haga al esquema verdadero. Los esquemas válidos son también consistentes.

3. Decimos que un esquema es inconsistente si es falso bajo todas las interpretaciones posibles de las letras que lo componen. A estos esquemas también se les llama contradicciones.

4. Decimos que un esquema es contingente si es falso bajo alguna interpretación de sus letras proposicionales y verdadero para alguna otra interpretación. Es decir, si existe cuando menos una interpretación que lo haga falso y cuando menos una que lo haga verdadero. Ningún esquema válido es contingente. Ningún esquema inconsistente es contingente. Los esquemas consistentes son contingentes sólo en el caso de que no sean también válidos. Ahora sí, pasemos a nuestro tema:

Primera definición de consecuencia lógica para la lógica proposicional:

sean S1 y S2 dos proposiciones cualesquiera (no necesariamente distintas); decimos que S2 es consecuencia lógica de S1, si es imposible que S1 sea verdadero y S2 sea falso.

Veamos un ejemplo sencillo: tenemos la proposición “Cruz Azul no será campeón del torneo local o campeón de CONCACAF”. De ella se sigue lógicamente que “Cruz Azul no será campeón de CONCACAF”. Es decir, si la primera proposición es verdadera es imposible que no o sea la segunda. Veamos por qué sucede en este caso particular. La forma lógica de la primera proposición es „(pq)‟; mientras que la forma lógica de la segunda es „q‟. Supongamos ahora que „q‟ es falsa, en este caso sólo hay una forma de que esto suceda: si „q‟ es verdadera. Pero si „q‟ es verdadera, forzosamente „(pq)‟ lo es; por lo tanto „(pq)‟ es falsa. Vemos entonces que, por su forma lógica, es imposible que „(pq)‟ sea verdadera mientras „q‟ es falsa.

30

Ejercicio: ¿Qué otras proposiciones son consecuencias lógicas de “Cruz Azul

no será campeón del torneo local o campeón de CONCACAF”?

Pregunta: ¿Por qué en la definición se aclara que S1 y S2 no necesariamente son proposiciones distintas? De ahora en adelante no se hará esta aclaración. Pero si el lector responde adecuadamente la pregunta se dará cuenta de que la aclaración vale para todas las definiciones que siguen.

El ejemplo anterior nos muestra que independientemente de las proposiciones que pongamos en lugar de „p‟ y „q‟ la relación de consecuencia lógica se mantiene: „q‟ es consecuencia lógica de „(pq)‟. Así, para ganar en generalidad, conviene que definamos la relación de consecuencia lógica entre esquemas proposicionales, pues las proposiciones o enunciados reales a menudo están compuestos de partes más sencillas que se combinan por medio de las funciones veritativas. De este modo la pregunta de si un esquema es consecuencia lógica de otro, será una que encontrará respuesta por medio del análisis veritativo funcional, por ejemplo, mediante una tabla de verdad.

Segunda definición de consecuencia lógica para la lógica proposicional:

Sean S1 y S2 dos esquemas proposicionales cualesquiera. Decimos que S2 es consecuencia lógica de S1 si, y solamente si, no hay ninguna interpretación de las letras proposicionales de ambos esquemas bajo la cual S1 resulte verdadero y S2 resulte falso.

También nos referimos al hecho de que un esquema S2 sea consecuencia lógica de un esquema S1 diciendo que S1 implica S2; o que S2 está implicado por S1. A S1 le llamamos esquema implicante, a S2 le llamamos el esquema implicado.

Esta descripción de la relación de consecuencia lógica ya nos debería haber insinuado algo. Un esquema S2 es consecuencia lógica de otro esquema S1 si, y solamente si, al asignar valores de verdad a sus letras componentes no sucede lo siguiente:

Que S1 sea verdadero y S2 sea falso.

Esto es muy parecido a la descripción de la tabla de verdad del condicional material („‟): una proposición condicional sólo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Es decir, un esquema proposicional cuyo principal conectivo es „‟ será verdadero siempre y cuando no ocurra que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Esta similitud nos arroja de inmediato una forma de comprobar si un esquema S2 es consecuencia lógica de otro esquema S1 o no lo es. Colóquese el pretendido esquema implicante a la izquierda de „‟ y colóquese el pretendido esquema implicado a la derecha de „‟:

S1 S2

Si el resultado es un esquema válido, entonces S1 implica a S2. Eso lo expresamos en estas notas con la siguiente notación:

S1 S2 (es decir, S1 implica S2, o lo que es lo mismo: „S1 S2‟ es un esquema válido)

En pocas palabras, la implicación (la relación de consecuencia lógica) es la validez del condicional. Como dijimos más arriba, un condicional material sólo tiene un caso falso. La definición de ser consecuencia lógica de, niega precisamente ese caso. Un esquema implica otro si al juntarlos con un condicional, el esquema resultante es verdadero bajo cualquier interpretación (pues no se estaría dando el único caso que falsea un condicional).

Así, tenemos una Tercera definición de consecuencia lógica para la lógica

proposicional: S2 es consecuencia lógica de S1 si el esquema resultante de poner S1 como el antecedente y S2 como el consecuente de un condicional („S1  S2‟), es un esquema válido (notación: S1 S2).

Ejercicios: para cada uno de los esquemas que se dan a continuación encuentra cuando menos cinco esquemas que sean consecuencias lógicas suyas. a) p  (q  r) b) (s t) c) r  (p p) d) s m e) q p f) r (t t)

Por ejemplo, tomemos d): apliquemos la definición, estamos buscando esquemas tales, que si „sm‟ es verdadero, sea imposible que ellos sean falsos. Una mala respuesta sería por ejemplo, „m‟. Pues si „sm‟ fuera verdadero entonces „m‟ sería falso, forzosamente. Otra mala respuesta sería „p‟. Pues podemos suponer que „sm‟ sea verdadero y „p‟ sea falso.

Vamos con las buenas respuestas: „s‟, „m‟, „sm‟, „sp‟, „mp‟, „sm‟, „mm‟,… etcétera.

En el ejemplo que elegimos tuvimos la fortuna de contar con una sola asignación de valores de verdad que hacía verdadera a „s  m‟, pues una conjunción sólo es verdadera en un caso. Sabemos que un esquema proposicional cuenta con 2n distintas asignaciones de valores de verdad, según el número (n) de las letras que lo componen. Por lo tanto, es de especial utilidad que, en algunos casos, en los que se nos pregunte si un esquema

implica a otro, contemos con la suerte de estar evaluando un esquema que sólo sea verdadero bajo una asignación de valores.

Ejercicio: señala cuáles de los siguientes esquemas es verdadero bajo sólo

una asignación de valores de verdad a sus letras componentes.

i) (r  (t p)) iv)  (p  q) vii) p  (r  t)

ii) s  (p  q) v) (p (r s)) viii) (p p)  (qr) iii) q  (p t) vi) (t  p)  (p  t) ix) (p  r) (r s)

Para aquellos esquemas tales, que exista una sola interpretación que los haga verdaderos será muy sencillo evaluar si implican algún otro esquema. Baste con asignar los valores de cada una de las letras que lo componen (ya aceptamos que es una sola asignación) y veamos qué pasa con el supuesto esquema implicado. Si bajo esa asignación el pretendido esquema implicado resulta falso entonces no es consecuencia lógica del primer esquema. Si al evaluar resulta que puede ser verdadero pero también falso para esa asignación, entonces tampoco es consecuencia lógica del primer esquema. Veamos un ejemplo:

 (p  r s) ? (q  ((p  r)  s))

Procedemos a hacer el análisis veritativo funcional, veamos que hay una sola asignación que hace verdadero a „(p  r s)‟:

 (T)  (q  (()  T)) ()  (q  ((T))  (q ( T)) T (q ) T (q) q q T 

Podemos observar que aplicando los únicos valores de verdad que hacen verdadero al esquema „(p  r  s)‟ el valor de verdad de „(p  r s)  (q((p  r)  s))‟ con la asignación p: , r: , s: T; depende al final del valor de verdad de „q‟. Pero „q‟ puede ser verdadera o falsa. Por lo tanto „(p  r s)‟

no implica „(q  ((p  r)  s))‟; es decir, el segundo esquema no es consecuencia lógica del segundo.

Así como se nos facilita el análisis veritativo funcional, del condicional que evaluamos para ver si un esquema implica otro esquema, cuando el esquema que funge como antecedente tiene una sólo asignación que lo hace verdadero; hay también otra circunstancia que nos libera de hacer un análisis mucho más largo: cuando existe una sola asignación de valores de verdad que hacen falso el esquema que funge como consecuente del condicional, es decir, cuando el presunto esquema implicado tiene una sola asignación de valores de verdad que lo hace falso.

Ejercicio: propongan cuando menos diez esquemas proposicionales que

tengan un solo caso falso, es decir, que de hacer su tabla de verdad encontraríamos un solo renglón falso.

Como la consecuencia lógica o implicación es lo mismo que la validez de un condicional, surge de inmediato la cuestión de la validez de un bicondicional. Sabemos que el bicondicional es lo mismo que una conjunción de condicionales. Si un bicondicional es válido quiere decir que son válidos ambos condicionales. Definimos a continuación una importante relación lógica: la equivalencia.

Primera definición de equivalencia de la lógica proposicional. S1 es lógicamente equivalente a S2 si el esquema resultante de poner a S1 y S2 como componentes de un bicondicional („S1 S2‟), es un esquema válido.

Para designar la relación de equivalencia lógica utilizaremos la siguiente notación:

„S1 S2‟ dice que S1 y S2 son equivalentes31

La relación de equivalencia lógica también s puede definir como mutua implicación. Lo relevante de esta relación entre esquemas es que si dos esquemas son equivalentes siempre tendrán el mismo valor de verdad y esto en términos veritativo funcionales es mucho, pues quiere decir que en cualquier contexto podremos sustituir esquemas equivalentes. A continuación enunciaremos una serie de importantes leyes de la implicación y la equivalencia:

L.I.1.: Cualquier esquema se implica a sí mismo: 

31

O, de manera análoga a como hicimos con „‟ y „‟, aplicaremos en algunos contextos el símbolo „‟ para dejar en claro su relación con „‟.