Fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Una vez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiración que corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar. Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiración, por medio de la introducción de las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Así para el atributo i-ésimo, se tiene la siguiente meta: donde, como es habitual, f(x) representa la expresión matemática del atributo i- ésimo, Ti su nivel de aspiración, ni y pi las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Las variables de desviación negativa cuantifican la falta de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración, mientras que las variables de desviación positiva cuantifican el exceso de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración.
Como un nivel de aspiración no puede simultáneamente sobrepasarse y quedar por debajo de él, al menos una de las dos variables de desviación tomarán valor cero cuando la meta alcanza exactamente su nivel de aspiración.
Una vez clarificado el significado de las variables de desviación, es importante introducir el concepto de variable de decisión no deseada. Una variable de decisión se dice que no es deseada cuando al centro decisor le interesa que la variable en cuestión alcanc e su valor más pequeño (esto es cero). Cuando la meta deriva de un atributo del tipo más del atributo mejor (objetivo a maximizar) la variable no deseada (a minimizar), será la variable de desviación negativa (cuantificación de la falta de logro). Finalmente, cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiración tanto la variable de desviación negativa como la positiva son variables no deseadas y por tanto variables a minimizar. El significado de las variables de desviación no deseadas puede clarificarse por medio de la tabla 7.2.
Tabla 7.2 Metas y variables de desviación.
Forma inicial de la meta Forma de la meta transformada Variable de desviación no deseada (a minimizar) Fi(x) ti fi(x) ni pi = ti ni Fi(x) ti fi(x) ni pi = ti pi Fi(x)=ti fi(x) ni pi = ti ni pi Fuente: (Romero, Carlos. (1985))
Ejemplo 7.3
La compañía Aedis ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes: cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha demostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos tres nuevos productos. En realidad, el propósito de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas Aedis generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compañía no necesita la fuerza laboral plena durante los períodos de holgura, el costo de los despidos sería considerable, y Aedis desearía evitar esto tanto como fuera posible. Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las sucursales. Esto serviría para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos.
Para el período que es está considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso (en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos (ver tabla 7.3).
Tabla 7.3 Capacidades de producción en exceso Planta Capacidad de exceso de
producción(unidades) Capacidad de embarque (pies cúbicos) 1 750 12000 2 300 10000 3 450 6500
Fuente: (Romero, Carlos. (1985))
Los productos 1,2 y 3 requieren 30,20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1,2 y 3 son $15,18 y 12 respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que Aedis puede esperar ventas tan altas como 900, 1000 y
700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el periodo de planeación en consideración.
Dada la situación que hemos descrito, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente (P1=más importante):
P1. Lograr una utilidad perseguida de $15000.
P2. Utilizar tanto de la capacidad de exceso como sea posible. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administración cree que es 1,5 veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3.
P3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de la capacidad entre todas las plantas. Debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administración cree que si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es dos veces más importante que favorecer a la planta 1 con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3. P4. Lograr el pronóstico de ventas para el producto 2, puesto que este tiene la mayor contribución a la utilidad por unidad.
P5. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas.
P6. No exceder la capacidad de embarque disponible.
Solución
Formulación del modelo
Los siguientes pasos se requieren para formular el modelo de programación meta. 1. Exceso en las restricciones de capacidad
N- desviación negativa. P- desviación positiva. X11 X21 X31 N1 P1 =750
X12 X22 X32 N2 P2 =300
X13 X23 X33 N3 P3 =450.
N1, N2, N3 =exceso de capacidad no utilizada en las plantas 1,2 y 3 respectivamente.
P1, P2, P3 = cantidad mediante la cual la capacidad de exceso se excede las plantas 1,2 y 3
respectivamente.
2-Resricciones en el requisito de espacio 30X11 20X21 15X31 N4 P4=12000
30X12 20X22 15X32 N5 P5=10000
30X13 20X23 15X33 N6 P6= 6500
N4, N5, N6 =número de unidades de capacidad de embarque disponible no utilizada en las
plantas 1,2 y 3, respectivamente.
P4, P5, P6 = número de unidades de capacidad adicional de embarque requerida en las plantas
1,2 y 3, respectivamente
3-Restricciones en las ventas esperadas X11 X12 X13 N7 P7=900
X21 X22 X23 N8 P8=1000
X31 X32 X33 N9 P9= 700
N7, N8, N9 =número de unidades sublogradas de las ventas esperadas de los productos1,2 y 3
respectivamente.
P7, P8, P9 = número de unidades sobrelogradas de las ventas esperadas de los productos 1,2 y
3 respectivamente.
4-Balance de carga de trabajo
X11 X21 X31 750 = X12 X22 X32 300
X11 X21 X31 750 = X13 X23 X33 450
Este balance de ecuaciones puede escribirse como una restricción meta por medio de una simple división y por transposición del miembro derecho como sigue (por transitividad, solamente dos restricciones de balance son necesarias):
0.0013X11 0.0013X21 0.0013X31 0.0033X12 0.0033X32 0.0033X33 N10 P10 =0
N10, N11= número de unidades producidas demasiado bajas con relación a las producidas en las
plantas 2 y 3, respectivamente.
P10, P11= número de unidades producidas en exceso relativas a las que se producen en las
plantas 2 y 3, respectivamente. 5- Restricción de utilidad
15(X11 X12 X13) 18(X21 X22 X23) 12(X31 X32 X33) N12 P12=15000
N12 =suma en dólares por debajo de la utilidad perseguida.
P12 = suma en dólares por encima de la utilidad perseguida.
Si la meta de utilidad no se enuncia, se puede restringir el lado derecho de esta ecuación para que sea cero y determinar cuál sería la utilidad. Puesto que todas las variables reales (Xij) y las
variables de desviación (N o P) son no negativas, el valor de (N12, P12) sería la utilidad real.
6- Función objetivo.
Minimizar Z=PR1 (N12 P12) 1,5PR2 (N1) PR2 (N2 N3) 2PR3 (N10 N11) PR3 (P10 P11)+PR4
(N8) PR5 (N7 N9) PR6 (P4 P5 P6)
Puesto que la administración desea conseguir una utilidad perseguida de $15000 con la más alta prioridad, se asigna PR1 a las variables de desviación en la meta de restricción de utilidad.
La segunda meta de la administración sería utilizar el exceso de capacidad de planta hasta donde fuera posible. Sin embargo, era preferible utilizar el exceso en la planta 1 sobre las plantas 2 y 3 en una relación de 1,5 a 1. Esta situación presumiblemente representa una distinción en los costos de operación de las diferentes plantas. Para reflejar las prioridades relativas de la administración, se modifica la formulación estándar de la función objetivo (que sería (PR2(N1 N2 N3)) a 1,5PR 2N1 PR2 (N2 N3), que pondera el logro de la minimización de la
desviación 1 con un factor de 3/2 vez. El segundo nivel general de prioridades administrativas que tienen que ver con el problema de PR2. La tercera meta de la administración era lograr un
balance de subutilizar a la planta 1 en vez de sobreutilizarla, debido a factores adicionales desfavorables que existían allí y no se presentan en las plantas 2 y 3. Por tanto, se asigna 2PR3
a N10 y N11 y PR3 a P10 y P11. Puesto que la cuarta meta era lograr las ventas esperadas del
producto 2, se asigna PR4 a N8. A N7 y N9 asignamos PR5, pues la quinta meta es el logro de
estas ventas esperadas. Aquí no preocupa el sobrelogro de las ventas pronosticadas, puesto que se puede, si hay espacio disponible, almacenar un inventario. Si no es posible, las
restricciones en la capacidad de embarque, que tienen prioridad más alta, tendrán en cuenta esta situación. Puesto que la sexta meta de la administración es no exceder la capacidad de embarque, se asigna a P4, P5 y P6 el valor de PR6.
Puede decirse que cada una de las maneras de la programación origina una variante de la programación por metas. Seguidamente se pasan a exponer las variantes más utilizadas.