9.5 Discussion
10.1.2 Parameter estimation
A continuación se presentan los análisis a priori de las situaciones de aprendizajes de cada una de las sesiones de clases, excepto la sesión 3 de rotación que analizaremos en el capítulo de Estudio de Clases.
Sesión 1
El contenido a tratar en esta clase es Traslación en el plano cartesiano, desde un enfoque basado en la resolución de problemas. Utilizaremos el juego Tetris para contextualizar y desarrollar preguntas.
Actividad 1
El juego del Tetris fue creado en la Unión Soviética y fue lanzado a nivel mundial en el año 1984. La dinámica del juego consiste en escoger una posición para las 7 piezas que caen, de tal forma que podamos teselar la última fila para eliminarla.
Examina el siguiente escenario del juego y responde las preguntas. [Condición: No se permite rotar la figura en el juego]
Se plantea un escenario del juego, donde no se podrá rotar la figura, con el objetivo de no tener demasiadas respuestas y desenfocarnos del concepto de traslación.
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Respuesta experta:
a) La figura 1 debe “moverse” hasta el final de la fila para completarla, dicho movimiento es la traslación.
b) Las coordenadas de los vértices originales cambian al llegar a la posición final. Por ejemplo, los 6 vértices cambian de la siguiente manera:
𝐴 (3, 9) → 𝐴´(6, 2) 𝐵 (3,10) → 𝐵´(6, 3) 𝐶 (5, 10) → 𝐶´(8, 3) 𝐷 (5, 7) → 𝐴´(8, 0) 𝐸 (4, 7) → 𝐸´(7, 0) 𝐹 (4, 9) → 𝐹´(7, 2)
c) La figura 2 se moverá hacia abajo al terminar el turno, y las coordenadas de las ordenadas de los vértices disminuirán en 1 unidad.
d) Como ya tenemos los “cambios” realizados en los vértices:
𝐴 (3, 9) → 𝐴´(6, 2) 𝐵 (3,10) → 𝐵´(6, 3) 𝐶 (5, 10) → 𝐶´(8, 3) 𝐷 (5, 7) → 𝐴´(8, 0) 𝐸 (4, 7) → 𝐸´(7, 0) 𝐹 (4, 9) → 𝐹´(7, 2)
Podemos encontrar el vector que determinan las parejas de puntos, que será finalmente nuestro vector de traslación:
𝑣⃗ = (3, −7)
La orientación y sentido quedan determinados por el movimiento que realice la figura.
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Conocimientos previos:
- Plano cartesiano (ubicación de puntos).
Posibles estrategias:
Se espera que los estudiantes en la pregunta a) describan el movimiento de la figura, observando que pueden haber varias respuestas y así, aproximarnos al concepto de traslación.
La pregunta b) está orientada a que los estudiantes observen qué pasa con las coordenadas de los vértices y puedan identificar el movimiento de ellos. Se espera que ellos comparen los vértices originales con los de la figura obtenida.
La pregunta c) apunta a que los estudiantes nuevamente observen el movimiento de la figura, ya que ésta deberá bajar una unidad en las ordenadas, porque se eliminó la primera fila en el turno anterior.
La pregunta d) apunta a que relacionen este movimiento utilizando vectores, ya que ellos conocen este concepto y determinen el vector entre las parejas de puntos.
Posibles errores:
Que determinen erróneamente el vector de traslación por alguna equivocación en el cálculo numérico.
Posibles dificultades:
Que los estudiantes no identifiquen qué es un vector y cómo se determinan sus componentes dados dos puntos del plano.
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Actividad 2
El juego ahora se construye en otro cuadrante del plano cartesiano y el jugador ha decidido no eliminar la última fila. [Condición: No se permite rotar la figura en el juego]
El jugador ha decidido no eliminar la última fila, y esto supone una variedad de respuestas por parte de los estudiantes. También se cambió al cuadrante 3, para que ellos puedan ver que la traslación y sus características también se cumplen en los otros cuadrantes.
Respuesta experta:
a) La figura puede ir en la posición que escojamos, siempre y cuando calce correctamente con las demás. Es una pregunta abierta, donde los estudiantes pueden ir comparando las coordenadas de los vértices de la figura.
b) Dependiendo de la posición escogida, podemos volver a comparar las coordenadas de los vértices originales con las de la posición final, estableciendo las parejas de la forma:
(𝑥, 𝑦) → (𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘) ℎ, 𝑘 𝜖 𝑅
c) Dependiendo de las respuestas, en los puntos anteriores, los estudiantes deben llegar al vector de traslación de la forma:
𝑣⃗ = (ℎ, 𝑘)
Posibles estrategias:
La pregunta a) está orientada a que muestren todas las posibles posiciones de la figura, para conectarla con la pregunta b) donde tienen que explicar la relación entre las coordenadas de sus vértices originales y finales. Por lo tanto, se espera que los estudiantes muestren diversas formas de realizar este problema.
La pregunta c) nuevamente se enfoca en el concepto de vector para relacionar el movimiento de las figuras.
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Posibles errores:
Que determinen erróneamente el vector de traslación por alguna equivocación en el cálculo numérico.
Posibles dificultades:
Que los estudiantes no identifiquen qué es un vector y cómo se determinan sus componentes dados dos puntos del plano.
Actividad 3
En base a tus análisis en las preguntas anteriores, responde:
a) ¿Qué concepto utilizaste para describir los movimientos? ¿Cómo lo definirías? Explica.
b) Encuentra una expresión algebraica (usando vectores) que muestre el proceso descrito en la pregunta anterior.
En esta actividad los estudiantes deben sintetizar todo lo que aprendieron y plasmar de forma general sus conclusiones.
Respuesta experta:
a) El concepto utilizado es traslación, y es una isometría que traslada una figura conservando sus dimensiones en el plano cartesiano utilizando un vector. b) Una expresión matemática que representa este proceso es:
𝐴 (𝑥, 𝑦) → 𝑇: 𝑣⃗(𝑎, 𝑏) → 𝐴´(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏)
Donde 𝐴 un punto del plano, que es trasladado mediante un vector 𝑣⃗, y se transforma en el punto 𝐴´.
Posibles estrategias:
En la pregunta a) se espera que los estudiantes describan el concepto de “traslación” con sus palabras y lo definan.
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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En la pregunta b) se espera que los estudiantes logren mostrar una expresión algebraica que muestre el proceso de traslación de un punto cualquiera en el plano dado un vector, es decir:
𝐴 (𝑥, 𝑦) → 𝑇: 𝑣⃗(𝑎, 𝑏) → 𝐴´(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏)
Posibles errores:
Que definan de forma incorrecta el concepto de traslación, aludiendo por ejemplo, a que la figura cambia en cuanto a sus dimensiones al ser trasladada. También, en el apartado b) podrían utilizar símbolos matemáticos de forma incorrecta.
Posibles dificultades:
Que no identifiquen la traslación como un movimiento rígido en el plano cartesiano que conserva las dimensiones de una figura.
También podrían tener dificultades para expresar y comunicar matemáticamente sus conclusiones en el apartado b) por la falta de lenguaje matemático.
Sesión 2
Actividad 1
Usted ha recibido un mapa donde está representada una isla mediante una figura que aparece en el primer cuadrante. Dicha isla tiene un tesoro, y su tarea es encontrarlo.
En las indicaciones del mapa, dicen que la isla representada es un espejismo que se refleja (efecto espejo) respecto de los ejes coordenados de la isla original que está en algún cuadrante (no sabemos cuál es la isla verdadera).
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Al final del mapa dice lo siguiente:
“El tesoro se encuentra exactamente en el punto de intersección de todas las diagonales del polígono que representa la isla en el plano; prueba encontrándolo en cada isla”
a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto que representa el tesoro en todas las islas que encontraste? Explica.
b) ¿Qué observas en las coordenadas del punto que representa el tesoro de las islas cuando cambias de cuadrante? Explica indicando el cambio en cada cuadrante tomando como referencia la isla espejismo.
c) Dadas tus respuestas en los puntos anteriores, formaliza matemáticamente cómo podemos reflejar puntos respecto a los ejes coordenados.
El contenido a tratar en esta clase es Simetría Axial en el plano cartesiano, desde un enfoque basado en la resolución de problemas.
Respuesta experta:
Cuando reflejamos la figura que representa la isla espejismo respecto al eje 𝑌, obtendremos su imagen en el segundo cuadrante, y sus nuevas coordenadas serán: 𝐴 (2, 7) → 𝐴´(−2, 7) 𝐵 (3,4) → 𝐵´(−3, 4) 𝐶 (4, 3) → 𝐶´(−4, 3) 𝐷 (6, 3) → 𝐴´(−6, 3) 𝐸 (5, 6) → 𝐸´(−5, 6) 𝐹 (4, 7) → 𝐹´(−4, 7)
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Cuando reflejamos la figura obtenida anteriormente en el segundo cuadrante respecto al eje 𝑋, obtendremos su imagen en el tercer cuadrante, y sus nuevas coordenadas serán: 𝐴´ (−2, 7) → 𝐴´´(−2, −7) 𝐵´ (−3, 4) → 𝐵´´(−3, −4) 𝐶´ (−4, 3) → 𝐶´´(−4, −3) 𝐷´ (−6, 3) → 𝐷´´(−6, −3) 𝐸´ (−5, 6) → 𝐸´´(−5, −6) 𝐹´ (−4, 7) → 𝐹´´(−4, −7)
Llamaremos 𝑋´ (−4, −5) al punto de intersección de las diagonales de esta figura. Cuando reflejamos la figura obtenida anteriormente en el tercer cuadrante respecto al eje 𝑌, obtendremos su imagen en el cuarto cuadrante, y sus nuevas coordenadas serán: 𝐴´´ (−2, −7) → 𝐴´´´(2, −7) 𝐵´´ (−3, −4) → 𝐵´´´(3, −4) 𝐶´´ (−4, −3) → 𝐶´´´(4, −3) 𝐷´´ (−6, −3) → 𝐷´´´(6, −3) 𝐸´´ (−5, −6) → 𝐸´´´(5, −6) 𝐹´´ (−4, −7) → 𝐹´´´(4, −7)
Llamaremos 𝑋´´´ (4, −5) al punto de intersección de las diagonales de esta figura.
En general, cuando se quiere realizar una simetría respecto a los ejes coordenados se tiene:
Simetría axial 𝑃 (𝑥, 𝑦)
Respecto al eje X 𝑃 (𝑥, −𝑦)
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Conocimientos previos:
Plano cartesiano (ubicación de puntos).
Posibles estrategias:
Los estudiantes comenzarán a reflejar los puntos de la isla, y podrían hacerlo como se muestra en la respuesta experta. Sin embargo, alguien podría partir reflejando respecto al eje X y luego continuar, de igual forma llegarán al resultado.
Posibles errores:
Que reflejen y anoten mal las coordenadas de algunos puntos.
Posibles dificultades:
Que los estudiantes no identifiquen qué es la diagonal de un polígono y no determinen las coordenadas del punto X.
Actividad 2
Esta actividad está pensada para que generalicen una simetría axial en el plano cartesiano.
a) Si un punto 𝐴 de coordenadas (𝑎, 𝑏) se refleja en torno a la recta 𝑦 = 𝑘, con 𝑘 ∈ 𝑅, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? Explique.
b) Si un punto 𝐴 de coordenadas (𝑎, 𝑏) se refleja en torno a la recta 𝑥 = 𝑘, con 𝑘 ∈ 𝑅, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? Explique.
Respuesta experta:
En el problema a), si tenemos una recta de la forma 𝑦 = 𝑘 en el plano y un punto
𝐴 (𝑎, 𝑏), entonces su reflejo respecto a esa recta será un punto 𝐴´ de coordenadas
(𝑎, 𝑦). Si trazamos el segmento 𝐴𝐴´̅̅̅̅̅, este se intersectará con la recta 𝑦 = 𝑘 en un punto 𝑀 de coordenadas (𝑎, 𝑘).
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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M es el punto medio del segmento 𝐴𝐴´̅̅̅̅̅ porque se trata de una simetría respecto a una recta, y la distancia desde el punto 𝐴 hasta el punto 𝑀 debe ser la misma que del punto 𝐴´ al punto 𝑀. Es decir, algebraicamente tenemos:
𝑚(𝐴𝑀̅̅̅̅̅) = 𝑚(𝐴´𝑀̅̅̅̅̅̅) 𝑏 − 𝑘 = 𝑘 − 𝑦
𝑦 = 2𝑘 − 𝑏
Luego, el punto 𝐴´ tiene coordenadas (𝑎, 2𝑘 − 𝑏)
En el problema b), si tenemos una recta de la forma 𝑥 = 𝑘 en el plano y un punto
𝐴 (𝑎, 𝑏), entonces su reflejo respecto a esa recta será un punto 𝐴´ de coordenadas
(𝑥, 𝑏). Si trazamos el segmento 𝐴𝐴´̅̅̅̅̅, este se intersectará con la recta 𝑥 = 𝑘 en un punto 𝑀 de coordenadas (𝑘, 𝑏).
𝑀 es el punto medio del segmento 𝐴𝐴´̅̅̅̅̅ porque se trata de una simetría respecto a una recta, y la distancia desde el punto 𝐴 hasta el punto 𝑀 debe ser la misma que del punto 𝐴´ al punto 𝑀. Es decir, algebraicamente tenemos:
𝑚(𝐴𝑀̅̅̅̅̅) = 𝑚(𝐴´𝑀̅̅̅̅̅̅) 𝑎 − 𝑥 = 𝑘 − 𝑥
𝑦 = 2𝑘 − 𝑎
Luego, el punto 𝐴´ tiene coordenadas (2𝑘 − 𝑎, 𝑏)
Posibles estrategias:
Ambos problemas sitúan al estudiante en una situación donde deben utilizar letras y asignar coordenadas genéricas para resolverlos. Sin embargo, una de las posibles estrategias es que comiencen a probar con puntos del plano conocidos (números).
Posibles errores:
Que se equivoquen al operar algebraicamente con las coordenadas de los puntos asignados.
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Posibles dificultades:
Que no logren plantear la situación descrita, ya que necesitan herramientas del álgebra para poder generalizar. Por otra parte, podrían no identificar el punto medio y no asumir esa condición para poder resolver los problemas.
Actividad 3
En esta actividad los estudiantes deben validar lo que aprendieron en las actividades anteriores.
Con sus conclusiones en las actividades 1 y 2, responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto (15, 4) si se refleja en torno al eje
𝑋? ¿Y en torno al eje 𝑌? Explica.
b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto 𝑃 (8, −4) si se refleja en torno a la recta 𝑥 = −3? ¿Y en torno a la recta 𝑦 = 10? Explica.
Respuesta experta:
En el ejercicio a), si se refleja el punto (15, 4) en torno al eje 𝑋 se obtiene el punto
(15, −4). Por otro lado, si lo reflejamos respecto al eje 𝑌 obtenemos el punto
(−15, 4).
En el ejercicio b), si reflejamos el punto 𝑃 (8, −4) respecto a la recta 𝑥 = −3, obtenemos el punto 𝑃´(−14, −4). Por otro lado, si lo reflejamos respecto a la recta
𝑦 = 10, obtenemos el punto 𝑃´´(8, 24). Posibles estrategias:
Los estudiantes podrían comenzar a dibujar en el plano cartesiano los puntos y rectas, y desde ahí comenzar a analizar qué sucede con las simetrías pedidas.
Posibles errores:
Capítulo V Secuencia de Enseñanza - Aprendizaje
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Posibles dificultades:
Que no puedan desarrollar la actividad, dado que no pudieron concluir nada en la actividad 2.
Capítulo VI Estudio de Clases
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Capítulo VI
Estudio de Clases
A continuación se presenta el diseño de una de las clases, su experimentación, estudio y modificación para su mejora.