SISTEMA MULTICUERPO
Se define un sistema multicuerpo como un ensamble de dos o más cuerpos rígidos, imperfectamente unidos, teniendo la posibilidad de moverse relativamente uno del otro. [4]
COORDENADAS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Al describir un sistema multicuerpo, lo primero que debemos seleccionar son las coordenadas generalizadas que definirán inequívocamente su posición, velocidad y aceleración.
En el caso de usar coordenadas independientes, éstas coincidirán en número con los grados de libertad del sistema. En el caso del mecanismo de retorno rápido, con un solo grado de libertad, existe sólo una coordenada independiente para definir al sistema.
Las coordenadas dependientes, son en número mayor que los grados de libertad, y permiten describir fácilmente el sistema. Al no ser independientes se encuentran inter-relacionadas a través de las ecuaciones de restricción.
El número de restricciones es igual a la diferencia entre el número de coordenadas dependientes y los grados de libertad. Las restricciones son generalmente no lineales y son muy importantes en el análisis cinemático y dinámico de los sistemas.
TIPOS DE COORDENADAS DEPENDIENTES a) Coordenadas Relativas
b) Coordenadas de punto de referencia o cartesianas. c) Coordenadas Naturales o cartesianas completas d) Coordenadas Mixtas
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Fig. 2.2Coordenadas Relativas
a) “Coordenadas Relativas”
Estas coordenadas definen la posición de cada elemento en relación al elemento anterior de la cadena cinemática al usar los parámetros o coordenadas correspondientes a los grados de libertad relativos permitidos por el par que une estos elementos. Por ejemplo, si dos elementos están unidos por medio de un par de revolución, su posición relativa está definida por medio de un ángulo, por otro lado, si la unión es por medio de un par prismático, su posición relativa está definida por medio de una distancia.
Ventajas
1. Presenta un número reducido de coordenadas dependientes. 2. Son muy adecuadas para configuraciones de cadena abierta.
3. Permite implementar de forma clara un esquema de control, ya que los motores coinciden con las coordenadas relativas.
Dificultades
1. La formulación matemática puede estar muy entrelazada, porque la posición absoluta de un elemento depende de las posiciones de los elementos previos en la cadena cinemática.
2. Conducen a ecuaciones de movimiento con matrices, que a pesar de ser pequeñas, contienen pocos ceros y algunas veces son complicadas de evaluar.
3. Se requiere un trabajo previo para determinar las ecuaciones de restricción independientes, además de un trabajo posterior para determinar el movimiento absoluto de cada punto y elemento. [4]
29 Fig. 2.3Coordenadas Punto Referencia
b) “Coordenadas de punto de Referencia”
Estas coordenadas tratan de remediar las complicaciones de las coordenadas relativas, al definir directamente la posición absoluta de cada uno de los elementos del sistema, usando tres coordenadas o parámetros.
Se determina la posición de un punto de referencia (el cual a menudo es el centro de gravedad) con dos coordenadas cartesianas y un ángulo para definir la orientación del cuerpo en relación a un sistema de ejes inerciales.
Ventajas
1. La posición de cada elemento es determinada directamente, por lo que la formulación es sencilla y con menos requerimientos previos y posteriores. 2. Las matrices que aparecen en las ecuaciones de movimientos contienen
pocos elementos diferente de cero
Desventajas
1. Presentan un mayor número de variables, que las coordenadas relativas
2. A demás de la dificultad de ser adaptadas a configuraciones particulares como las cadenas abiertas. [4]
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Fig. 2.4Coordenadas Naturales
c) “Coordenadas naturales”
Estas coordenadas pueden ser consideradas como una evolución de las coordenadas de punto de referencia, puesto que los puntos en lugar de presentarse en el centro de gravedad, se mueven a las uniones de los elementos, por lo que cada uno de ellos tiene dos puntos de referencia.
Ya que cada cuerpo tiene dos puntos de referencia, su posición y ángulo de referencia son determinadas por las coordenadas cartesianas de estos puntos por lo que las variables angulares ya no son necesarias.
Es importante, al utilizar estas coordenadas, tener en cuenta las siguientes reglas: 1. Cada elemento debe tener al menos dos puntos de referencia (base) para
definir su movimiento.
2. Debe existir un punto base en cada par de revolución, el cual es compartido por dos elementos
3. Un par prismático une dos cuerpos, y los dos puntos básico de uno de estos determina la dirección del movimiento relativo, aunque uno de los dos puntos básicos del otro cuerpo pueda estar localizado en el segmento determinado por los dos puntos básicos del primero
4. Además de los dos puntos base requeridos, otro punto puede ser seleccionado.
Finalmente la ventaja más importante de estas coordenadas, reside en que permite una fácil formulación e implementación desde un punto de vista computacional.[4]
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RESTRICCIONES CINEMÁTICAS
CAPÍTULO 2Al utilizar coordenadas dependientes, que son en número mayor que los grados de libertad del sistema, estas se encuentran inter-relacionadas a través de las ecuaciones de restricción.
Las restricciones cinemáticas (de ligadura) imponen límites al movimiento relativo entre cuerpos en los sistemas mecánicos.
Se pueden clasificar en:
a) Restricciones de conducción. b) Restricciones de Unión.
a) “Restricciones de conducción”
Estas restricciones describen una trayectoria de movimiento especificada y por tanto, dependen del sistema de coordenadas generalizadas, así como del tiempo. Por ejemplo, las trayectorias en el análisis de manipuladores robóticos y máquinas de control numérico. [2]
Un ejemplo lo encontramos, en el artículo publicado por Chun-Yi su, Tin-Pui Leung y Qi-Jie Zhou, “Force/Motion of Constrained Robots Using Sliding Mode”. En el que se muestra un esquema de control por modos deslizantes, aplicado a un sistema multicuerpo de dos eslabones que tiene que seguir una trayectoria circular. [5]
b) “Restricciones de Unión”
Son el resultado de las restricciones impuestas por las uniones mecánicas como son las uniones de revolución prismática, cilíndrica y esférica. Estas restricciones describen la conectividad entre los componentes del sistema multicuerpo y por tanto definen la estructura topológica del sistema. [5]
Las restricciones de unión, son formuladas de acuerdo con el tipo de coordenadas seleccionadas para definir el sistema, como ejemplo esta el trabajo de Isidro Zabalza, Valentin Benitez. “Síntesis Dimensional Óptima de una variante del mecanismo de retorno rápido” [6]
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UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO
CAPÍTULO 2Fig. 2.5Restricciones de base Coordenadas Punto de
Referencia
La manera de modelar las restricciones de unión, depende del sistema de coordenadas dependientes seleccionado. A continuación, se presenta la formulación en coordenadas de punto de referencia, coordenadas naturales y coordenadas mixtas.
COORDENADAS DE PUNTO DE REFERENCIA
a) Restricción de Base b) Restricción de Revoluta c) Restricción prismática. “Restricción de Base”
Un cuerpo que tiene cero grados de libertad es llamado elemento fijo; implicando que no tiene movimiento de rotación ni traslación.
0 0 0 3 2 1 c c R c R i i y i x (2.5)
c1,c2,c3
, son constantes [2]34
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO
CAPÍTULO 2Fig. 2.6Restricciones de revoluta Coordenadas Punto de Referencia
“Restricción de Revoluta”
Cuando dos cuerpos son conectados por una unión de revolución, sólo se permite un movimiento relativo de rotación entre ellos.
Los cuerpos i y j, coinciden en el punto P, por lo cual la definición del punto P, del cuerpo i, debe de coincidir con la definición del punto P, del cuerpo j.
j i rp rp (2.6) 0 i i j j j i Aup R A up R (2.7) Donde
Rx Ry
R , Vector del sistema inercial al punto de referencia.
A Matriz de transformación, desde las coordenadas locales al sistema inercial.