5.2 Critical-Path Analysis Concept
5.2.4 Performance-Impact Indicators
TBA Airlines es una pequeña empresa regional que se especializa en vuelos cortos en aviones peque- ños. Le ha ido bien y sus directivos han decidido ampliar sus operaciones.
El problema
El problema básico que enfrenta ahora la administración de la empresa es comprar más aviones pequeños para agregar algunos vuelos cortos o comenzar a moverse al mercado nacional adqui- riendo algunos aviones grandes para vuelos a todo el país (o ambos). La decisión final de la admi- nistración se basará en muchos factores, pero el más importante será qué estrategia tiene mayores probabilidades de ser la más redituable.
El primer renglón de la tabla 3.2 muestra la ganancia anual neta estimada (que incluye los cos- tos de recuperación de capital) obtenida de cada tipo de avión que se compra. El segundo renglón, proporciona el costo de compra por avión y también se advierte que la cantidad total de capital dis- ponible para la compra de aviones es 100 millones de dólares. El tercer renglón registra el hecho de que la administración no quiere adquirir más de dos aviones pequeños debido a las posibilidades limi- tadas de añadir vuelos cortos que sean lucrativos, mientras que no se especifica un número máximo para los aviones grandes (además de la que impone el capital limitado disponible).
¿Cuántos aviones de cada tipo deben comprarse para maximizar la ganancia anual neta total?
Formulación
Éste es un problema de asignación de recursos. Las actividades que se consideran son Actividad 1: compra de aviones pequeños
Actividad 2: compra de aviones grandes
Las decisiones a tomar son los niveles de esas actividades, es decir
S = número de aviones pequeños que se compran L = número de aviones grandes que se compran
El único recurso para asignar a estas actividades es Recurso: capital de inversión (100 millones de dólares) De esta manera, sólo existe una restricción de recurso:
Capital de inversión gastado ≤ 100 millones de dólares Además, la administración ha especificado una restricción de un solo lado:
Número de aviones pequeños comprados ≤ 2
En la figura 3.2 se muestra la formulación del modelo en hoja de cálculo para este problema, donde los datos de la tabla 3.2 se han transferido a las celdas de datos: GananciaUnitaria (C4:D4), CapitalPorUnidadComprada (C8:D8), CapitalDisponible (G8), y MaxAvionesPequeños (C14). La restricción de recurso aparece en las celdas C8:G8 y la restricción de un solo lado en C13:C14. El objetivo en este problema es maximizar la ganancia anual neta total, de manera que la ecuación para la celda meta es
Avión pequeño Avión grande Capital disponible
Ganancia anual neta por avión $1 millón $5 millones
Costo de compra por avión $5 millones $50 millones $100 millones Cantidad máxima de compra 2 Sin máximo TABLA 3.2
Datos para el problema de la TBA Airlines
3.2 Problemas de asignación de recursos 63
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GananciaTotal(G12) = SUMAPRODUCTO (GananciaUnitaria, UnidadesAdquiridas) Ya que el problema de TBA Airlines es un problema de asignación de recursos, este modelo de hoja de cálculo tiene la misma forma que los problemas Super Grain y Wyndor, excepto por una pequeña diferencia. Las celdas cambiantes en este caso deben tener valores enteros ya que no es factible que la empresa compre y opere una fracción de un avión. Por lo tanto, las restricciones para que las celdas cambiantes sean enteros se agregan en el cuadro de diálogo Add Constraint (agregar restricción). Elija el rango de estas celdas (C12:D12) como el lado izquierdo y luego seleccione “int” en el menú se despliega entre el lado izquierdo y el derecho.2
2 En casi todas las versiones de Excel, Solver pondrá automáticamente “entero” (integer) en el lado derecho del cuadro de diálogo Add Constraint después de elegir “int” en el menú desplegable. Las versiones de Macintosh dejan en blanco el lado derecho en ese cuadro de diálogo y luego dan un mensaje de error si hace clic en Aceptar.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A B C D E F G
Problema de compra de aviones de TBA Airlines
Avión pequeño Avión grande
Ganancia unitaria (millones) 1 5
Capital (millones) 5 50 100 <= 100
Avión pequeño Avión grande
Número comprado 0 2 10
<=
Máximo núm. aviones pequeños 2
Capital por unidad comprada
6 7 8 E Capital Spent =SUMPRODUCT(CapitalPerUnitPurchased,NumberPurchased) 10 11 12 G Total Profit ($millions) =SUMPRODUCT(UnitProfit,NumberPurchased)
Range Name Cells
Capital Available G8 CapitalPerUnitPurchased C8:D8 CapitalSpent E8 MaxSmallAirplanes C14 NumberPurchased C12:D12 SmallAirplanes C12 TotalProfit G12 UnitProfit C4:D4 Capital gastado Capital disponible Ganancia total (millones) FIGURA 3.2
Modelo de hoja de cálculo para el problema de programación integral de TBA Airlines en el que las celdas cambiantes, UnidadesProducidas (C12:D12), muestran las compras óptimas de aeroplanos que se obtuvieron con el Solver, y la celda objetivo, UtilidadTotal (G12), da la utilidad resultante total en millones de dólares.
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Estas celdas cambiantes de la figura 3.2 muestran la solución óptima (S,L) = (0,2) que se obtiene después de oprimir Solve.
Una de las suposiciones de programación lineal es que se permite que las celdas cambiantes tengan cualquier valor, incluso valores fraccionarios, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Por tanto, desde el punto de vista técnico, el problema TBA no es de programación lineal debido a la restricción que se agrega,
UnidadesProducidas = entero
que se muestran en la parte inferior del cuadro de diálogo de Solver en la figura 3.2. Un problema así que se ajusta a la programación lineal excepto por esta restricción agregada recibe el nombre de
problema de programación entera. El método que utiliza Solver para resolver este tipo de pro-
blemas es muy distinto al de los problemas de programación lineal. En realidad, es mucho más difícil resolver problemas de programación entera que los de programación lineal por lo que hay mayor limitación en el tamaño del problema. No obstante, ésta no es la preocupación de quien modela en hoja de cálculo que maneja problemas pequeños. Desde su punto de vista no existe distinción entre uno y otro tipo de problemas. Se formulan exactamente de la misma manera. Después, al final, debe tomarse una decisión respecto a si es necesario restringir alguna de las celdas cambiantes a valores enteros. De ser así, se agregan esas restricciones como se describió arriba. Recuerde esta opción a medida que analizamos la formulación de varios tipos de problemas de programación lineal a lo largo del capítulo.
Resumen de la formulación
La formulación anterior de un modelo con una restricción de recursos y una restricción de un solo lado para el problema de TBA Airlines puede resumirse (en forma algebraica) como sigue:
Maximizar Ganancia = S + 5L sujeta a 5S + 50L ≤ 100 S ≤ 2 y S ≥ 0 L ≥ 0
Presupuesto de capital
La planeación financiera es una de las áreas más importantes para los problemas de asignación de recursos. Los recursos que se asignan en esta área son muy distintos de los que se destinan a aplica- ciones en el área de planeación de la producción (como el problema de mezcla de productos de Wyn- dor Glass Co.), donde los recursos por lo común son instalaciones de producción de diversos tipos. En la planeación financiera, los recursos suelen ser activos financieros tales como efectivo, valores, cuentas por cobrar, líneas de crédito y otros. Este ejemplo trata del presupuesto de capital donde los recursos son las cantidades de capital de inversión disponible en distintos momentos.
El problema
Think-Big Development Co. es un inversionista importante en proyectos comerciales de desarrollo de bienes raíces. En la actualidad tiene la oportunidad de participar en tres grandes proyectos de construcción:
Proyecto 1: construcción de un edificio de oficinas de muchos pisos. Proyecto 2: construcción de un hotel.
Proyecto 3: construcción de un centro comercial.
Cada proyecto necesita un socio que invierta en cuatro puntos en el tiempo: un anticipo ahora y capital adicional en uno, dos y tres años. La tabla 3.3 muestra para cada proyecto la cantidad total de capital de inversión que requieren todos los socios en estos cuatro plazos. Un socio que toma deter- minado porcentaje de un proyecto tiene la obligación de invertir ese porcentaje de cada una de las cantidades que se muestran en la tabla para el proyecto.
Sugerencia de Excel: En las Opciones de Solver, establecer la Tolerancia (5% por omisión) hace que Solver deje de resolver un problema de progra- mación entera cuando encuentra una solución factible cuyo valor de la función objetivo se encuentra dentro de la Tolerancia de ser óptimo. Esto resulta útil para acelerar la solución de problemas grandes. Para problemas más pequeños (como los problemas de tarea), la Tolerancia debe fijarse en 0 para garantizar que se encuentre una solución óptima.
Sugerencia de Excel: Para limitar un rango de celdas cambiantes para valores enteros, elija el rango de celdas en el lado izquierdo del cuadro de diálogo Add Constraint y elija “int” en el menú desplegable. Hacer clic en Aceptar, incluye la restricción de que estas celdas = enteros en el cuadro de diálogo de Solver.
Sugerencia de Excel: Aun cuando se restringe una celda cambiante para que sea entero, ocasio- nalmente los errores de redondeo harán que Excel dé un valor no entero muy cercano a un entero (por ejemplo, 1.23E-10, lo que significa 0.000000000123). A fin de limpiar la hoja de cálculo, usted puede susti- tuir estas representaciones “feas” por sus valores enteros adecuados en las celdas cambiantes.
3.2 Problemas de asignación de recursos 65
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Se espera que los tres proyectos sean muy redituables en el largo plazo. Por esto la administra- ción de Think Big desea invertir tanto como sea posible en algunos o en todos ellos. Está dispuesta a comprometer todo el capital de inversión disponible de la compañía, así como montos de capital de inversión adicional que espera estarán disponibles durante los próximos tres años. El objetivo es determinar la mezcla de inversión que sea más redituable, con base en las estimaciones actuales de rentabilidad.
Como pasarán varios años antes de que cada proyecto comience a generar un ingreso, lo que después continuará durante muchos años, tenemos que considerar el valor del dinero en el tiempo para evaluar qué tan redituable puede ser. Esto se hace descontando los flujos de efectivo de egresos (capital invertido) y los flujos de efectivo entrantes (ingresos) y luego sumando los flujos de efectivo neto descontados para calcular el valor presente neto del proyecto.
Con base en las estimaciones actuales de los flujos de efectivo futuros (no incluidos excepto por los egresos), el valor presente neto estimado para cada proyecto se muestra en el renglón inferior de la tabla 3.3. Todos los inversionistas, Think-Big entre ellos, luego dividirán este valor neto presente en proporción a su participación de la inversión total.
Para cada proyecto se venden participaciones a los inversionistas importantes, como Think-Big, quienes se convierten en socios del proyecto al invertir su parte proporcional de las acciones en los cuatro puntos en el tiempo. Por ejemplo, si Think-Big toma una participación de 10% del edificio de oficinas, necesitaría aportar 4 millones de dólares ahora, y 6 millones, 9 millones y 1 millón, en uno, dos y tres años, respectivamente.
En la actualidad, la empresa tiene 25 millones de dólares disponibles para inversión de capital. Se ha proyectado que 20 millones de dólares más estarán disponibles después de un año, 20 millones más después de dos y otros 15 después de tres. ¿Qué participación debe tomar Think-Big en los pro- yectos respectivos para maximizar el valor presente neto total de esas inversiones?
Formulación
Se trata de un problema de asignación de recursos. Las actividades a considerar son las siguientes Actividad 1: invertir en la construcción de un edificio de oficinas.
Actividad 2: invertir en la construcción de un hotel.
Actividad 3: invertir en la construcción de un centro comercial.
Las decisiones a tomar son los niveles de estas actividades, es decir, cuál debe ser la participa- ción de inversión en cada uno de estos proyectos. Una participación de inversión puede expresarse como una fracción y como un porcentaje de todo el proyecto, entonces todo el proyecto se considera una “unidad” de esa actividad.
Los recursos que deben asignarse a estas actividades son los fondos disponibles en los cua- tro puntos de inversión. Los fondos que no se utilizan en un tiempo dado están disponibles en el siguiente. (Por sencillez, ignoraremos cualquier interés que ganen esos fondos.) Así, la restricción de
recursos en cada tiempo debe reflejar los fondos acumulados hasta entonces.
Recurso 1: capital total de inversión disponible ahora.
Recurso 2: capital de inversión acumulado disponible al final del primer año. Recurso 3: capital de inversión acumulado disponible al final del segundo año. Recurso 4: capital de inversión acumulado disponible al final del tercer año.
Requerimientos de capital de inversión
Año Edificio de oficinas Hotel Centro comercial
0 $40 millones $80 millones $90 millones 1 60 millones 80 millones 50 millones 2 90 millones 80 millones 20 millones 3 10 millones 70 millones 60 millones Valor presente neto $45 millones $70 millones $50 millones TABLA 3.3
Datos financieros para los proyectos de inversión parcial considerados por Think-Big Development Co.
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Como la cantidad de capital de inversión disponible es 25 millones de dólares ahora, otros 20 millones en un año, otros 20 en dos años y otros 15 en tres, las cantidades disponibles de recursos son las siguientes
Cantidad disponible del recurso 1 = $25 millones
Cantidad disponible del recurso 2 = (25 + 20) millones = 45 millones Cantidad disponible del recurso 3 = (25 + 20 + 20) millones = 65 millones Cantidad disponible del recurso 4 = (25 + 20 + 20 + 15) millones = 80 millones
En la tabla 3.4 se muestran todos los datos que se refieren a estos recursos. En la última columna se dan las cantidades de recursos disponibles calculados arriba. En las columnas centrales se mues- tran las cantidades acumuladas de los requerimientos de capital de inversión dados en la tabla 3.3. Por ejemplo, en la columna del Edificio de oficinas de la tabla 3.4, la segunda cifra (100 millones) se obtiene sumando los primeros dos números (40 y 60 millones) en la columna del Edificio de oficinas de la tabla 3.3.
Los datos Como sucede en cualquier problema de asignación de recursos, es necesario recopilar
tres tipos de datos. Uno es las cantidades disponibles de recursos, como se expresa en la última columna de la tabla 3.4. El segundo es la cantidad de cada recurso necesaria para cada proyecto, que se presenta en las columnas centrales de esta tabla. El tercero es la contribución de cada proyecto a la medida global de desempeño (valor presente neto) como se da en el último renglón de la tabla 3.3.
El primer paso para formular el modelo de hoja de cálculo es ingresar estos datos en las celdas de datos. En la figura 3.3, las celdas de datos (y sus nombres de rango) son ValorPresenteNeto (C5: E5), CapitalRequerido (C9:E12) y CapitalDisponible (H9:H12). Para ahorrar espacio en la hoja de cálculo, estas cifras se están en millones de dólares.
Las decisiones Al considerar tres actividades se deben tomar tres decisiones.
Decisión 1: EO = participación en edificio de oficinas Decisión 2: H = participación en hotel
Decisión 3: CC = participación en centro comercial
Por ejemplo, si la administración de Think-Big decidiera tomar una participación de un décimo (es decir, una participación de 10%) en cada uno de estos proyectos entonces
EO = 0.1 = 10% H = 0.1 = 10% CC = 0.1 = 10%
Sin embargo, quizá no sea lo mejor tomar la misma participación (expresada como fracción o por- centaje) en cada uno de los proyectos, por lo que la idea es elegir la mejor combinación de valores de EO, H y CC. En la figura 3.3, se han colocado las participaciones (expresadas como porcentajes) en las celdas cambiantes abajo de las celdas de datos (fila 16) en las columnas de los tres proyectos, entonces
EO → celda C16 H → D16 CC → celda E16
donde estas celdas se denominan colectivamente con el nombre de rango Participación (C16:E16).
Capital de inversión acumulado necesario para un proyecto completo
Edificio de Centro Cantidad de
Recursos oficinas Hotel comercial recursos disponibles
1 (ahora) $ 40 millones $ 80 millones $ 90 millones $25 millones 2 (al final del año 1) 100 millones 160 millones 140 millones 45 millones 3 (al final del año 2) 190 millones 240 millones 160 millones 65 millones 4 (al final del año 3) 200 millones 310 millones 220 millones 80 millones TABLA 3.4
Datos de recursos para el problema de mezcla de inversión de Think-Big Development Co.
3.2 Problemas de asignación de recursos 67
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Las restricciones Las cifras en estas celdas cambiantes tienen sentido sólo si no son negativas por
lo que se tendrá que seleccionar Assume Non-Negative (suponer no negativo) en el cuadro de diálogo de Solver. Además, los cuatro recursos necesitan restricciones de recursos:
Total invertido ahora ≤ 25 (millones de dólares disponibles) Total invertido en un año ≤ 45 (millones de dólares disponibles) Total invertido en 2 años ≤ 65 (millones de dólares disponibles) Total invertido en 3 años ≤ 80 (millones de dólares disponibles) Los datos de las columnas C, D y E (en millones de dólares) indican que
Total invertido ahora = 40 EO + 80 H + 90 CC Total invertido en un año = 100 EO + 160 H + 140 CC Total invertido en dos años = 190 EO + 240 H + 160 CC Total invertido en tres años = 200 EO + 310 H + 220 CC
=SUMPRODUCT(NetPresentValue,ParticipationShare) Capital acumulado gastado Capital acumulado disponible 1 A B C D E F G H 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Presupuesto de capital de Think-Big Development Co.
Edificio de oficinas Hotel Centro comercial Edificio de oficinas 0.00% 16.50% Hotel 13.11% Centro comercial 18.11 VPN total (millones) Valor presente neto
(millones)
Ahora Al final del año 1 Al final del año 2
25 44.76 60.58 80 ≤ ≤ ≤ ≤ Al final del año 3
Participación
Capital acumulado requerido (millones)
6 F Cumulative Capital Spent 7 14 15 16 8 9 10 11 12 =SUMPRODUCT(C9:E9,ParticipationShare) H Total NPV ($millions) =SUMPRODUCT(C10:E10,ParticipationShare) =SUMPRODUCT(C11:E11,ParticipationShare) =SUMPRODUCT C12:E12,ParticipationShare) Range Name CapitalAvailable CapitalRequired CapitalSpent ParticipationShare NetPresentValue TotalNPV Cells H9:H12 C9:E12 F9:F12 C16:E16 C5:E5 H16 45 70 50 40 100 80 160 90 140 190 240 160 200 310 220 25 45 65 80 FIGURA 3.3
Modelo de hoja de cálculo para el problema Think-Big, que incluye las fórmulas de la celda meta VPNTotal (H16) y las otras celdas de salida CapitalGastado (F9:F12), así como las especificaciones necesarias para preparar el Solver. Las celdas cambiantes Participación (C16:E16) muestran la solución óptima que se obtuvo con Solver.
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Estos totales se calculan en las celdas de salida CapitalGastado (F9:F12) mediante la función de SUMPRODUCT, como se muestra abajo de la hoja de cálculo de la figura 3.3. Finalmente, se ingre- san los signos ≤ en la columna G para indicar las restricciones de recurso que deberán incorporarse al cuadro de diálogo de Solver.
La medida de desempeño El objetivo es
Maximizar VPN = valor presente neto total de las inversiones
El ValorPresenteNeto (C5:E5) muestra el valor presente neto de cada proyecto completo y Parti- cipación (C16:E16) muestra la participación para cada uno de los proyectos. Por lo tanto, el valor pre- sente neto total de todas las participaciones compradas en los tres proyectos es (en millones de dólares)
VPN = 45 EO + 70 H + 50 CC
= SUMPRODUCT (ValorPresenteNeto, Participación) → celda H16
Resumen de la formulación Esto completa la formulación del modelo de programación lineal en
hoja de cálculo, tal como se resume enseguida (en forma algebraica). Maximizar VPN = 45 EO + 70 H + 50 CC sujeta a
Total invertido ahora: 40 EO + 80 H + 90 CC ≤ 25 Total invertido en un año: 100 EO + 160 H + 140 CC ≤ 45 Total invertido en dos años: 190 EO + 240 H + 160 CC ≤ 65 Total invertido en tres años: 200 EO + 310 H + 220 CC ≤ 80 y
EO ≥ 0 H ≥ 0 CC ≥ 0 donde todas las cifras están en millones de dólares.
Observe que este modelo tiene la característica de identificación clave de los problemas de asigna- ción de recursos, es decir, cada restricción funcional es una restricción de recurso que tiene la forma
Cantidad de recurso usado ≤ cantidad de recurso disponible
Solución del modelo En la esquina inferior izquierda de la figura 3.3 se muestra la información
necesaria en el cuadro de diálogo de Solver para especificar el modelo, junto con la selección de las dos opciones usuales. En la hoja de cálculo se muestra la solución óptima en el renglón 16, a saber,
No invertir en el edificio de oficinas. Invertir en 16.50% del hotel.
Invertir en 13.11% del centro comercial.
El VPNTotal (H16) indica que este programa de inversión proporcionaría un valor presente neto total de 18.11 millones de dólares.
En realidad, esta cantidad es sólo una estimación del valor presente neto total que se obtendría, dependiendo de la precisión de los datos financieros que se proporcionan en la tabla 3.3. Existe cierta incertidumbre respecto a los costos de construcción de los tres proyectos de bienes raíces, por lo que los requerimientos reales de capital de inversión para los años 1, 2 y 3 pueden desviarse un poco de las cantidades especificadas en esta tabla. Debido al riesgo involucrado en estos proyectos,