Todo lo expresado anteriormente hace referencia a silos en general; en esta secci´on se ofrecer´a un panorama del estado del arte actual sobre la descarga de silos sometidos a vibraciones. Los estudios realizados hasta el momento se centraron en dos aspectos fundamentales: el flujo de descarga del silo W y la formaci´on de arcos cuando el silo es vibrado.
Entre los primeros trabajos sobre la descarga de silos sometidos a vibraciones se cuentan los de Takahashi et. al [59] y Suzuki et. al. [60]. Realizaron experimentos en una tolva estimulada verticalmente mediante vibraciones sinusoidales. Efectuaron el estudio de las trayectorias de las part´ıculas y la descarga de material a trav´es del orificio, encontrando que el flujo de material disminuye para aceleraciones altas. Los autores proponen que tal variaci´on se debe a la existencia de una gravedad efectiva que sienten las part´ıculas al vibrar el recipiente. P. Evesque obtuvo un resultado similar sobre los tiempos de descarga de un reloj de arena vibrado verticalmente [61]. Debe puntualizarse que en este trabajo el problema es diferente ya que en ´el la presencia de aire es relevante. Trabajos posteriores de C. R. Wassgren et. al. [62] muestran –tanto experimental como num´ericamente– la formaci´on de celdas de convecci´on en tolvas planas y estudian el flujo de descarga; observan
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Figura 1.19: Mediciones del flujo, junto con el ajuste proporcionado por la ley de Beverloo (l´ınea continua) y el propuesto en [58] (l´ınea punteada)
un decrecimiento del flujo al aplicar vibraciones, excepto a frecuencias muy elevadas. Las variaciones en el flujo para diferentes par´ametros de vibraci´on parecen estar asociadas a cambios en la densidad aparente del material.
K. Chen [63] y colaboradores efectuaron un estudio del flujo de descarga de un silo de base plana, mostrando resultados en buen acuerdo con los anteriores, y proponen un modelo te´orico para la variaci´on de la densidad del material que relaciona el balance entre la energ´ıa cin´etica de las part´ıculas y la ganancia de energ´ıa potencial de los granos. Planteando asimismo que el par´ametro que controla el flujo es la velocidad m´axima de la vibraci´on.
Los trabajos precedentes tratan ´unicamente sobre la influencia de las vibraciones en el caudal W del material granular; pero tambi´en existen algunos trabajos sobre la formaci´on de atascos en silos sometidos a vibraciones. Kollmann y Tomas [64] utilizaron tolvas vibradas llenas de polvos cohesivos (part´ıculas de di´oxido de titanio, que tienen un di´ametro medio de 0, 6µm, y carbonato de calcio, con di´ametro medio 1, 3µm). Los autores mostraron que al someter a la tolva a vibraciones se produce una disminuci´on del radio m´ınimo para el cual no se forman atascos; asimismo afirman que existe un radio del orificio de salida por debajo del cual se forman atascos, sin importar la intensidad de la vibraci´on utilizada.
Lindemann y Dimon, en el a˜no 2000 [65], realizaron un estudio experimental del flujo y la formaci´on de atascos en la descarga de una tolva bidimensional (una capa de material granular contenido entre dos paredes), en forma de embudo, con una peque˜na inclinaci´on de las paredes. El estudio se realiz´o para una ´unica anchura del orificio de salida (Do/d = 1, 26),
variando la aceleraci´on de la vibraci´on Γ. Los experimentos muestran que existe un conjunto de comportamientos diferentes en el flujo de salida del material:
atascos estables: en los que se produce la formaci´on de atascos y que se mantienen
estables, aunque el sistema se halle vibrando.
flujo con atascos: el sistema presenta atascos que se rompen espont´aneamente en
tiempos que var´ıan de ∼ 1 s a ∼ 100s a medida que se incrementa la aceleraci´on adimensional Γ.
flujo excitadopara altas amplitudes de vibraci´on, en el que no pueden formarse atascos
y en el que el flujo se ve reducido debido a los violentos choques de las part´ıculas con las paredes del embudo al descender por ´el.
En la figura 1.20 se muestran los dos ´ultimos tipos de flujo mencionados. Los autores asimismo realizaron mediciones de los tiempos durante los cuales no se detecta el flujo de part´ıculas (debido a que el sistema se est´a atascado), a los que los autores denominan
elapsed times y que en lo sucesivo llamaremos tiempos de interrupci´on.
Para el flujo continuo, la distribuci´on de los tiempos de interrupci´on del flujo tanto para el silo vibrado como el no vibrado presentan una distribuci´on relativamente angosta (figura 1.21 a) ) sin colas significativas. Por lo tanto, como con el dispositivo experimental utilizado en un instante determinado s´olo puede salir una ´unica part´ıcula (debido a que el di´ametro del orificio es inferior al dos veces el di´ametro de las part´ıculas), una distribuci´on de los
Figura 1.20: Masa descargada del silo en funci´on del tiempo para dos de los tipos de flujos mencionados en el trabajo [65]. En l´ınea continua se muestra el flujo con atascos y en l´ınea de puntos se muestra el flujo continuo o excitado.
tiempos de interrupci´on estrecha implica que la salida de las part´ıculas por el orificio debe ser a intervalos m´as o menos regulares (los autores hacen tal afirmaci´on bas´andose en la estrechez de la distribuci´on de los “elapsed times”, como se ve en la figura 1.21 a) ). Los autores muestran que que la velocidad de salida de las part´ıculas a trav´es del orificio se ve incrementada, pero simult´aneamente el camino libre medio de las part´ıculas se incrementa, con lo que el resultado neto es un decrecimiento del flujo.
Para todas la configuraciones estudiadas en el flujo con atascos se observa que las dis- tribuciones de los tiempos de interrupci´on presentan dos zonas (figura 1.21 b ): Una regi´on para tiempos cortos con un comportamiento exponencial, que puede atribuirse a los perio- dos en los que existe flujo de part´ıculas, y una regi´on para tiempos de interrupci´on largos, que los autores suponen que puede ser algebraica; con la precauci´on de que la estad´ıstica obtenida resulta demasiado pobre para resultar convincente.
Por ´ultimo, para el flujo excitado la distribuci´on de los tiempos de atascos corresponde a un decrecimiento exponencial (figura 1.21 c) ). En uno de los casos mostrados en la figura se observa una cola no exponencial; ello no se debe a la formaci´on de atascos, sino que bajo la presencia de vibraciones las part´ıculas rebotan contra las paredes del embudo y no pueden escapar. En el momento que las part´ıculas consiguen salir del silo lo hacen en grupos con una velocidad relativamente alta, como puede verse en el pico agudo de la figura.
Otro experimento sobre la descarga en un silo al que se le introducen vibraciones es el llevado a cabo por A. Janda y colaboradores [66]. El sistema experimental utilizado consiste en un recipiente cil´ındrico, con el borde inferior cortado a 45◦
, el ´area el´ıptica resultante se cubre parcialmente con una pieza plana m´ovil que permite variar el tama˜no del orificio de salida, tal y como se ve en la figura 1.22. La base m´ovil se encuentra separada de las
Figura 1.21: Distribuci´on de los tiempos de atascos σ(s) en un silo bidimensional en forma de embudo, para los tres reg´ımenes obtenidos por K. Lindemann et.al.[65]. a) Flujo continuo, b) Flujo con atascos y c) Flujo excitado. Los par´ametros experimentales utilizados para la realizac´ıon de cada gr´afica se muestran en la figura, siendo β inclinaci´on de las paredes del embudo, Γ la aceleraci´on adimensional.
P
M
S
L
To PC
D
P
T
Figura 1.22: Esquema del dispositivo experimental utilizado por A. Janda et. al. Figura cedida por A. Janda
medida utilizando un micr´ofono que detecta el golpe de las part´ıculas contra una pieza de cart´on colocada debajo de el orificio de salida del silo. Tras impactar contra el cart´on las part´ıculas se recogen en una caja colocada sobre una balanza, con la que se puede medir la masa descargada del silo.
A fin de introducir vibraciones en el material, en la base m´ovil se mont´o un transductor piezoel´ectrico, el cual produce vibraciones de con una frecuencia de 300 Hz y cuya amplitud es posible controlar variando su voltaje de alimentaci´on. A fin de medir intensidad de las vibraciones en el material granular un aceler´ometro es introducido en el seno del material. Los autores muestran que si tal silo no es vibrado, y para un orificio de salida suficien- temente peque˜no, el sistema forma bloqueos permanentes. En presencia de vibraciones el sistema puede bloquearse igualmente; pero existe la posibilidad que el flujo de part´ıculas se reinicie por s´ı mismo tras un tiempo finito. Existe entonces un tama˜no del orificio m´ınimo Dmin para el cual el silo presenta atascos permanentes (Dmin se define como el m´ınimo
tama˜no del orificio de salida para el cual no se forma un atasco de duraci´on mayor que un cierto tiempo). Los autores muestran que Dmin se reduce al incrementar la amplitud de la
vibraci´on. Una consecuencia de ello es que vibrando en sistema es posible mantener un flujo continuo para orificios menores que en el caso sin vibraciones.
Si se utiliza un orificio menor que el Dmin correspondiente a Γ = 0 y se somete al silo
a vibraciones se observa la aparici´on de interrupciones en el flujo de duraci´on finita . La longitud de dichas interrupciones se reduce al incrementar la intensidad de la vibraci´on, como puede verse en la figura 1.23.
Los autores proponen que puede considerarse separadamente el estudio del sistema du- rante la descarga de part´ıculas y la extensi´on de las interrupciones de la descarga. La distribuci´on de los tiempos en los que el sistema fluye presenta una cola exponencial que
0 50 100 0 100 200 300 = 0.017 = 0.029 = 0.056 = 0.140 m ( g ) t (s)
Figura 1.23: Masa descargada a trav´es del orificio respecto del tiempo en los experimen- tos reportados en [66]. Las medidas fueron realizadas para un tama˜no de orificio menor que el Dmin correspondiente a Γ = 0. Las curvas corresponden a diferentes intensidades
de vibraci´on como se indican en la figura. Se observa la reducci´on de la duraci´on de las interrupciones del flujo al incrementar la intensidad de la vibraci´on. Figura reproducida de [66]
depende s´olo ligeramente de la intensidad de la vibraci´on. Ello parece indicar que el flujo tras el reinicio de la descarga a causa de la vibraci´on tiene las mismas caracter´ısticas es- tad´ısticas que el silo sin vibraciones. Tal hecho se explicita en la figura 1.23, donde puede observarse que el flujo medio es similar para todos los casos mostrados en el intervalo en el que no aparecen atascos, indicado con l´ıneas discontinuas en la figura. A fin de verificar tal fen´omeno en la figura 1.24 los autores muestran la densidad de probabilidad del flujo en n´umero de part´ıculas por segundo. La figura muestra la funci´on de distribuci´on de proba- bilidades para un mismo orificio y diferentes aceleraciones. N´otese que la distribuci´on est´a formada por una gaussiana, centrada en el mismo valor medio para todas las intensidades de vibraci´on, mas la presencia de eventos ocasionales de flujo bajo.
Los autores realizaron asimismo un estudio de la distribuci´on de los tiempos durante el cual el silo se encuentra atascado. Hallaron que la distribuci´on decae como una ley de potencias con un exponente que depende de la amplitud de la vibraci´on, tal y como se muestra en la figura 1.25. Debe notarse que el exponente de la ley de potencias se hace menor que 2 para orificios peque˜nos e intensidades de vibraci´on bajas; ello tiene como consecuencia que el primer momento de la distribuci´on no converja. Por tanto para tales casos pueden existir atascos de duraci´on muy larga; entonces el tiempo medio en el que el silo se encuentra atascado depender´a del tiempo total durante el cual se efect´ue el experimento. En consecuencia el flujo medio estar´a dominado por el atasco m´as largo de la experiencia.
0 200 400 600 800 1000 10 -3 10 -2 10 -1 = 0.056 = 0.070 = 0.098 = 0.112 = 0.140 P D F ( q ) q (beads/s)
Figura 1.24: Densidad de probabilidades de flujo (tomados utilizando una ventana de 1 segundo) en los experimentos realizados por A. Janda et. al.. Las gr´aficas corresponden a un mismo orificio y cuatro aceleraciones diferentes de vibraci´on, que son indicadas en la figura. La l´ınea de trazos corresponde a un ajuste a una gaussiana de los datos experimentales superiores a aproximadamente 600 part´ıculas por segundo. Reproducida de [66]
0,1 1 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 = 0.056 = 0.084 = 0.112 P D F ( T J ) T J (s)
Figura 1.25: Distribuci´on de tama˜nos de los tiempos de atasco (Tj) en los experimentos
realizados por A. Janda et. al. correspondientes a un ´unico orificio de salida y diferentes aceleraciones adimensionales indicadas en la figura. La l´ınea de puntos corresponde a una pendiente igual a 2. Figura reproducida de [66].