Puede ser que la tasa compuesta, es decir, la tasa de interés compuesto sea variable, diferente para cada periodo; o que sea constante, la misma para todos los periodos. Si es variable se pro- cede como en la sección anterior, y si es constante o fija entonces el procedimiento es el si- guiente.
Suponga que se depositaron $1,000 en una cuenta bancaria que paga el 12% de interés anual compuesto por mes. ¿Cuál será el monto al final de año y medio?
Decir que el interés es compuesto por meses significa que cada mes los intereses que se ge- neran se capitalizan, es decir, se suman al capital.
Para los intereses del primer mes, el capital se multiplica por la tasa mensual 0.12/12 = 0.01, como si fuera una tasa de interés simple, y luego se suman al capital. Así resulta un monto com- puesto o, simplemente, monto M1al final del primer mes, es decir,
M1= 1,000 + 1,000(0.01) M= C + I M1= 1,000(1 + 0.01)
M1= 1,000(1.01) o M1= $1,010.00
Al comenzar el segundo periodo mensual, el capital es $1,010.00 y no 1,000 como en el pri- mero. El monto al terminar este segundo mes es
M2= 1,010 + 1,010(0.01)
M2= 1,010(1 + 0.01) se factoriza 1,010
M2= 1,010(1.01)
M2= 1,000(1.01)(1.01) ya que 1,010 = 1,000(1.01)
o M2= 1,000(1.01)2
Éste es el capital al iniciar el tercer mes y al final el monto es
M3= M2+ (0.01)M2 M = C + I C= M2 M3= M2(1 + 0.01) o M3= M2(1.01)
M3= [1.000(1.01)2](1.01) M
2= 1,000(1.01)2
M3= 1,000(1.01)3 a2(a) = a3
Es evidente que cada uno de estos tres montos se puede expresar como el producto de los $1,000 originales y una potencia, n, de 1.01 que es igual al mes que concluye. Consecuente- mente, al final de año y medio, es decir, de 18 periodos mensuales, el monto es
M18= 1,000(1.01)18 o M
18= C1(1.01)18
M18= 1,000(1.196147476) o M18= $1,196.15
También es cierto que si los intereses se capitalizan cada quincena, entonces el monto acumu- lado se incrementa, ya que en este caso el plazo es de 36 quincenas y el monto será
M36= 1,000(1 + 0.005)36 ya que 0.12/24 = 0.005
M36= 1,000(1.196680525) (A)
o M36= $1,196.68
Esto corrobora que si se reduce el tiempo en que los intereses se capitalizan, el monto cre- ce, es decir, resulta más productivo, pues los intereses generan intereses más pronto y con ma- yor frecuencia. Sólo para efectos de comparación, note usted que si la inversión se hace con in- terés simple, el monto al final es menor:
M= 1,000 [1 + 36(0.005)] M= C(1 + ni) M= 1,000(1.18) o M= $1,180.00
Definición 4.1
El tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama perio- do de capitalización, y el número de veces por año en que los intereses se capitalizan se llama frecuencia de conversión y se denota con p.
A la frecuencia de conversión se le conoce también como frecuencia de capitalización de intereses.
Es cierto también que si el periodo de capitalización es mensual, entonces las siguientes ex- presiones son equivalentes: “el interés es compuesto por meses”, “capitalizable por meses”,
CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ
www.elsolucionario.net
“convertible mensualmente” o “interés nominal mensual”. En estas condiciones, el valor de p es 12.
Los valores más usuales para la frecuencia de conversión p, son:
p = 1 para periodos anuales, los intereses se capitalizan cada año p = 2 si los periodos son semestrales
p = 3 para periodos cuatrimestrales
p = 4 para periodos trimestrales, los intereses se agregan al capital cada trimestre p = 6 cuando son periodos bimestrales
p = 12 para periodos de un mes, los intereses se capitalizan cada mes p = 13 si los periodos son de 28 días y
p = 24, 52 y 360 o 365 para periodos quincenales, semanales y diarios, respectivamente
Como se dijo antes, los periodos de capitalización pueden ser tan pequeños como se quiera, llegando a tasas con capitalización instantánea, en cuyo caso puede probarse que el monto es- tará dado por:
M = Cein
donde e = 2.71828..., i es la tasa convertible instantáneamente y n es el tiempo en años. La ecuación (A) del desarrollo anterior, puede desglosarse procediendo de manera inversa al propio desarrollo, es decir,
M36= 1,000(1.196680525) M36= 1,000(1.005)36
M36= 1,000(1 + 0.12/24)36
M36= 1,000(1 + 0.12/24)1.5(24)
donde 1,000 es el capital C, 0.12 es la tasa de interés i anual capitalizable por quincenas, 24 es la frecuencia de conversión p, y 1.5 es n, el plazo en años. Esto se formula en el siguiente teorema.
Teorema 4.1
El monto acumulado M de un capital C al final de np periodos es
M = C(1 + i/p)np
donde
n es el plazo en años
np es el número de periodos e
i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año
Esta ecuación se conoce como fórmula del interés compuesto. Como en otras fórmulas, es posible que, a excepción de p, la incógnita sea cualquiera de las literales que en ella aparecen. Sin embargo, en todo caso, se despejaría antes o después de reemplazar los valores que se
conocen. Tenga presente que con ciertas habilidades algebraicas es más fácil hacer el despeje después de la sustitución.
solución
Ejemplo 1
Inversión de un capital para monto preestablecido
a) ¿Qué capital debe invertirse ahora al 12.69% anual capitalizable por bimestres para tener
$40,000 en 10 meses?
b) ¿A cuánto ascienden los intereses?
a) El plazo n debe estar en años, por lo que para expresar 10 meses en estas unidades se di-
viden entre 12, o sea, el número de meses que tiene un año. En consecuencia, el plazo en años es n = 10/12. La frecuencia de conversión o capitalización de intereses es p = 6, por- que 6 son los bimestres que tiene un año. Entonces,
np = (10/12)6 = 5 bimestres
El monto es M = 40,000, la tasa de interés es i = 0.1269 o 12.69% anual, capitalizable por semestres, y la incógnita es C, la cual se despeja de la igualdad que resultó de susti- tuir estos valores en la ecuación del teorema 4.1:
40,000 = C(1 + 0.1269/6)5 M= C(1 + i/p)np
40,000 = C(1.02115)5 40,000 = C(1.110318838)
de donde C= 40,000/1.110318838 o C = $36,025.68797
b) Los intereses son la diferencia entre el monto y el capital I= M − C
I= 40,000 − 36,025.69 o I= $3,974.31
Ejemplo 2
solución
Monto que se acumula al invertir un capital
Obtenga el monto que se acumula en tres años, si un capital de $65,000 se invierte al 10% compuesto por semestres.
El capital es C = $65,000, la tasa anual es i = 0.10, la frecuencia de conversión es p = 2 por- que el año tiene dos semestres, n = 3 porque el capital se acumula tres años, el número de periodos en el plazo es np = 6; entonces el monto según el teorema 4.1 es:
* En el apéndice B se incluyen las instrucciones para calculadora financiera HP 12C de los problemas señalados con este icono (símbolo). CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ F *
www.elsolucionario.net
M = 65,000(1 + 0.10/2)6, ya que M = C(l + i/p)np
M = 65,000(1.05)6
M = 65,000(1.340095641) o M = $87,106.22
solución
Ejemplo 3
Tasa de interés para duplicar un capital
¿Con qué tasa de interés anual capitalizable por bimestres se duplica un capital en 3 años?
Si el capital C se duplica en 3 años, entonces el monto es M = 2C, el plazo es n = 3, la fre- cuencia de conversión es p = 6, el número de bimestres por año y el número de periodos bi- mestrales en el plazo es np = 3(6) = 18.
2C= C(l + i/6)18 M = C (1 + i/p)np
2 = (1 + i/6)18 se cancela C ya que 1.039259226 = 1 + i/6
Se resta 1 a ambos lados de la ecuación y después se multiplica por 6. (0.039259226)6 = i
o i= 0.235555356
Esto indica que para duplicar un capital en 3 años debe invertirse aproximadamente al 23.56% anual capitalizable por bimestres.
an a n = 2 1 6 18 = + i /
solución
Ejemplo 4Plazo en inversión de un capital
¿Qué día deberá invertir $10,000 el matemático Gutiérrez para disponer de $10,512.00 el 11 de mayo? Suponga que la inversión genera intereses del 13% compuesto por semanas.
La incógnita es x = np, el plazo en semanas, la frecuencia de conversión es p = 52, el año tie- ne 52 semanas, el capital es C= 10,000 y el monto del capital es M = 10,512. Se sustituyen en la ecuación del teorema 4.1.
CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ F
www.elsolucionario.net
10,512 = 10,000(1 + 0.13/52)x M= C(1 + i/p)np
10,512/10,000 = (1.0025)x
(1.0025)x= 1.0512
Esta ecuación se resuelve por tanteos con la tecla yx de la calculadora electrónica, con tablas financieras, la tabla 2 del apéndice, o con logaritmos comunes o naturales, como se hizo en la sección 1.5. Se toma logaritmo natural a los dos lados, ya que si dos números positivos son iguales, entonces sus logaritmos son iguales.
Ln(1.0025)x= Ln(1.0512)
de donde (x)Ln(1.0025)x= Ln(1.0512) Ln(An) = (n)Ln(A)
x= Ln(1.0512)/Ln(1.0025)
x= 0.049932369/0.00249688 o x= 19.99790329
Resultado que puede redondearse a 20 semanas, y así el monto será poco mayor de los $10,5012. Pero se convierte a días multiplicándolo por 7.
19.99790329(7) = 139.985323
Es decir, 140 días que con ayuda de la tabla 1 del apéndice (véase www.pearsoneducacion.net/ villalobos) se ve que la inversión deberá hacerse el 22 de diciembre del año anterior.
solución
Ejemplo 5
Valor presente de un crédito e intereses
E1 25% del precio de un mueble de sala se paga con un documento con valor nominal de $4,000 y vencimiento a 30 días. Un 30% se liquida mediante un pago a 60 días de plazo, otro 30% con un documento a 90 días de la compra y el 15% restante se deja como anticipo. Obtenga:
a) El precio del mueble.
b) El anticipo y los otros dos pagos. c) El cargo total por intereses.
Suponga que la mueblería carga el 22.20% anual compuesto por meses en sus ventas a crédito.
a) Con la fórmula del interés compuesto se obtiene el valor presente C1del primer docu- mento, el cual deberá ser igual al 25% del precio del mueble:
yx
Note que:
Es importante señalar que en la práctica el exponente np, de la fórmula del interés compues- to, es decir, el número de periodos, semanas en este caso, deberá ser un entero para hacer efectivos los intereses del periodo.
4,000 = C1(1+ 0.222/12), el plazo es 1 mes 4,000 = C1(1.0185) de donde C1= 4,000/1.0185 o C1= 3,927.344134 entonces (0.25)precio = 3,927.344134 de donde precio = 3,927.344134/0.25 o $15,709.38
b) El anticipo es el 15% de este precio:
0.15(15,709.38) = 2,356.41
El 30% del precio es el valor presente del abono que se hará a los 2 meses, 60 días des- pués de la compra:
C2= 0.30(15,709.38) C2= 4,712.81
Entonces, el segundo pago es el valor futuro de este capital, es decir,
M2= 4,712.81(1 + 0.222/12)2
M2= 4,712.81(1.03734225) o M2= $4,888.80
El valor presente del último pago es igual al del anterior y, por lo tanto, este pago es:
M3= 4,712.81(1.0185)3 o M
3= $4,979.24
c) Finalmente, los intereses son la diferencia entre el total pagado y el precio del mueble: I= (2,356.41 + 4,000 + 4,888.80 + 4,979.24) – 15,709.38 I= M – C
o I= $515.07
Note que la tasa de interés global total es
g= 515.07/15,709.38
g= 0.032787417 o 3.2787% aproximadamente.
Ejercicios 4.2