Pseudo-Overidentification Tests

nos intuitivo para su comprensi´on. Por otro lado, una de las consecuencias del af´an de los matem´aticos por querer demostrar el quinto postulado, fue el reemplazar su enunciado por otros equivalentes.

As´ı por ejemplo, uno de los m´as utilizados en la actualidad es el siguiente, atribu´ıdo a John Playfair (1748-1818): Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y s´olo una paralela a dicha recta. Con este enunciado, la negaci´on del quinto postulado da lugar a las siguientes dos posibilidades:

1. Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela. Es decir, todas las rectas que pasan por un punto exterior a otra cortan a esta ´ultima.

2. Por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas que separan las infinitas rectas no secantes de las infinitas secantes.

Los cuatro primeros postulados junto con el enunciado 2.definen la geometr´ıa hiperb´olica. Sobre la no contradicci´on de esta Geometr´ıa trabaj´o Lobachevski pero no fue hasta despu´es de su muerte cuando el matem´atico italiano Beltrami da soluci´on a este problema.

En cuanto a Geometr´ıa Hiperb´olica plana, tambi´en cabe destacar al franc´es Poincar´e. Jules Henri Poincar´e (1854-1912) fue un gran genio matem´atico, f´ısico, cient´ıfico te´orico y fil´osofo de la ciencia que hizo considerables aportaciones a la Teor´ıa del Caos y la Teor´ıa de la Relatividad.

En 1887, mientras intentaba dar soluci´on al problema de los tres cuerpos, un problema relacionado con la estabilidad del Sistema Solar, Poincar´e describi´o dos modelos de Geometr´ıa Hiperb´olica en dos dimensiones. Uno de ellos ocupa el interior del disco unidad y otro el se- miplano superior. En el primero se representan las rectas como arcos de circunferencia que intersecan perpendicularmente al disco en su interior y en el semiplano, las rectas son l´ıneas verticales y semicircunferencias que inciden perpendicularmente sobre el eje real.

4.2.

Modelo del disco de Poincar´e.

Consid´erese un hiperboloide de dos hojas cuya intersecci´on con el plano z = 0 es vac´ıa. Si tomamos la proyecci´on estereogr´afica de la hoja superior del hiperboloide desde el v´ertice de la hoja inferior,S, sobre el plano z = 0, obtenemos el modelo del disco de Poincar´e.

44 CAP´ITULO 4. EJEMPLOS V´IA COMPUTACI ´ON.

Este modelo consiste en un disco abierto Ddonde los puntos de la hoja superior del hiper- boloide son los puntos del disco y las rectas, curvas generadas al intersecar la hoja superior del hiperboloide con planos que pasan por el origen O, se proyectan en arcos de circunferencia que intersecan ortogonalmente con la frontera del disco en su interior.

4.2. MODELO DEL DISCO DE POINCAR ´E. 45

Para desarrollar el modelo del disco de Poincar´e de geometr´ıa hiperb´olica, se comienza tra- zando en un plano coordenado una circunferencia C de centro en el origen y radio la unidad.

Def´ınanse los P-puntos de este modelo de Poincar´e de geometr´ıa hiperb´olica como los puntos que son interiores al c´ırculo delimitado por C. Es decir, considerese todos los puntos que pertenecen a dicho c´ırculo, excepto los situados en la circunferenciaCque forma la frontera.

Ahora def´ınanse las P-rectas, que est´an formadas por los P-puntos de las l´ıneas de cual- quiera de los dos tipos siguientes:

a) Di´ametro de C.

b) Arco de una circunferencia ortogonal a C. (Recu´erdese que dos circunferencias son or- togonales si las rectas tangentes en sus puntos de intersecci´on son perpendiculares entre s´ı).

Es f´acil convencerse de que este modelo cumple los dos axiomas 1 y 2 de la geometr´ıa de Eu- clides. Comenzaremos con el axioma 1, que, traducido al idioma de la geometr´ıa hiperb´olica, dice as´ı:Dos P-puntos determinan una unica P-recta.

¿C´omo se traza la P-recta que pasa por dos P-puntos dados? Si hay alg´un di´ametro de la circunferencia C que contenga a ambos puntos, como es el caso de A1 y B1 de la figura, dicho

di´ametro ser´a la soluci´on.

En otro caso, es decir, si los puntos no est´an alineados con el centroO de la circunferencia

C, como ocurre con los puntosA y B de la figura, basta realizar los siguientes pasos:

1. Se traza la recta perpendicular a la recta OA por el punto A. Su intersecci´on con la circunferencia C proporciona los puntos P y Q.

46 CAP´ITULO 4. EJEMPLOS V´IA COMPUTACI ´ON.

2. Se trazan las tangentes a la circunferencia C por P y Q. Ambas tangentes se cortan en el punto A0.

3. Se traza la circunferencia C0 que pasa por A, B y A0. Los puntos de C0, interiores al c´ırculo limitado porC, forman la P-recta soluci´on.

As´ı, las circunferencias C y C0 son ortogonales.

Para ver que se verifica el axioma 2, basta tener en cuenta que un P-segmento debe tener sus extremos en el interior deC, es decir, no pueden pertenecer nunca a la circunferencia fron- tera C, por tanto, por muy cercanos a ella que se encuentren sus extremos, siempre existe la posibilidad de prolongar m´as el P-segmento.

En cuanto al axioma de las paralelas, recordemos que rectas paralelas son las rectas de un mismo plano que no se cortan. Obs´ervese la figura siguiente, en que las P-rectas AB y DE

son paralelas, porque no tienen P-puntos comunes, como tambi´en lo son CB y DE. ¿Cu´antas P-rectas paralelas a DE pasan por el P-punto B, exterior a dicha recta? En la figura vemos dos, las P-rectas AB y CB y podemos imaginar muchas otras. Por tanto, en este modelo de Poincar´e, se verifica la negaci´on del 5ºaxioma de Euclides en su alternativa B:

Dada una recta y un punto exterior a ella, existen al menos dos paralelas a la recta dada que contienen al punto.