Quantitative and qualitative questionnaires

¿Qué tan bueno es el Método de la Linealización

Aproximada?

La linealización aproximada está fundamentada en retener como válida para la descripción de un sistema en las vecindades de un punto de equi- librio, a aquella representación que se obtiene de los términos de primer orden de la expansión en serie de Taylor de la no-linealidad que caracteriza al sistema como tal. Desde este punto de vista, las exigencias que hemos impuesto al sistema son de diferenciabilidad por lo menos hasta un primer orden.

Es indudable que las cantidades que estamos despreciando al tomar co- mo sustitutos de las verdaderas perturbaciones a los primeros términos en la expansión propuesta, son cantidades que se tornan cada vez más im- portantes a medida que nos alejamos de las condiciones de equilibrio del sistema. El deterioro de la representatividad que tiene la aproximación li- neal con respecto al comportamiento verdadero, ocasionado por los efectos de las perturbaciones, puede hacerse tan burdo que cualquier resultado o conclusión que obtengamos sobre esta base puede llegar a carecer de toda significación cualitativa y cuantitativa!

Es oportuno señalar, además, que el método de la linealización aproxi- mada no es aplicable a sistemas que exhiban no linealidades carentes de derivadas.

Ejemplo 2.5: Un sistema que no es diferenciable

Así, por ejemplo, el siguiente sistema no puede ser aproximado, bajo ninguna justificación razon- able, mediante la técnica de expansión en serie de Taylor que hemos descrito:

˙

x = −signx (2.18)

Es fácil ver, sin embargo, que este sistema tiene por punto de equilibriox = 0(cuyo signo también se supone cero). Justamente en el origen, la función signo, designada aquí mediante las siglas “ sign ", no es diferenciable sobre la recta real.

 Mostraremos a continuación un sencillo ejemplo, desarrollado de ma- nera analítica, el cual nos permitirá comenzar a comprender cuál es el gra- do de representatividad que puede tener la aproximación de primer orden que se emplea en el método de la linealización aproximada, respecto del comportamiento verdadero del sistema no lineal, sujeto a perturbaciones de magnitud creciente. Otro ejemplo, desarrollado mediante simulación, es presentado en la próxima sección.

Modelo 21: Tanque con pérdida de líquido

Considérese el tanque de la Figura 2.4, el cual se alimenta a una rata constanteu = U[m3_/s]

con un cierto líquido. El parámetroAes el área de la base del tanque yhrepresenta la altura del nivel del líquido medido desde la base del recipiente. La constantecrepresenta un coeficiente de resistencia al escape del líquido.

Figura 2.4: Sistema de un tanque con pérdida de líquido

La ecuación diferencial que describe la variación de altura del líquido está dada por :

˙h = −c A √ h + 1 Au y = h (2.19)

El punto de equilibrio del sistema, para un valor de entrada constante,u = U, está dado por

h = H = U2_/c2_.

M

Como ejercicio, recomendamos al lector comparar este modelo, de un solo tanque, con el Modelo 15, en la página 19, para varios tanques.

Ejemplo 2.6: Validez de la linealización en un sistema no lineal simple

Considérese una pequeña perturbación en el valor constante del control dada por un súbito in- cremento fijo en la rata de alimentación de líquido al tanque, de valor∆U, durante un período de tiempo indefinido.

Figura 2.5: Perturbación de la señal de entrada al tanque

2.4 VALIDEZ DEL MODELO LINEALIZADO 43

y compararlo con un cálculo preciso (es decir, sin aproximaciones) del nuevo valor de la altura del tanque en equilibrio. Ver Figura 2.5.

De acuerdo a la ecuación diferencial del sistema, el valor del nuevo estado de equilibrio (la nueva altura del nivel del líquido) está dada por:

H + hδ= (U + ∆U )2 c2 = U2 c2 + 2U ∆U + ∆U2 c2 (2.20)

es decir, el valor exacto del efecto de la perturbación de entrada sobre la altura final del nivel del líquido está dada por :

hδ=

2U ∆U + ∆U2

c2 (2.21)

Por otro lado, el sistema linealizado alrededor del punto de equilibrio está dado por:

˙hδ = − c 2A√Hhδ+ 1 Auδ yδ = hδ (2.22)

El valor final dehδa un escalón de excitaciónuδ= ∆Uen este sistema linealizado está dado

por el valor de equilibrio del sistema lineal a una entrada constante. Este valor resulta

hδ= 2 c √ Huδ= 2U ∆U c2

El error que se comete en este ejemplo, al utilizar la linealización aproximada, tiene una mag- nitud cuadrática respecto de la perturbación de entrada y está dado por(∆U/c)2_{. El método de}

linealización es válido en la medida en que el término(∆U/c)2 sea completamente desprecia- ble frente al valor de equilibrio de la perturbación que hemos calculado de manera aproximada

2U ∆U/c2_{. Por lo tanto, si∆Ues grande, el error cometido es significativo.}

 Como veremos más adelante, el diseño basado en el sistema linealizado funcionará en forma efectiva, al menos en un entorno “pequeño” alrededor del punto de operación deseado, para el sistema no lineal original, e in- cluso para el sistema real, asumiendo que el modelo es lo suficientemente preciso2. La hipótesis de que las aproximaciones de primer orden pueden

resultar suficientes para caracterizar el comportamiento local de un sis- Comportamiento local en una vecindad del punto de equilibrio tema, constituye uno de los más importantes supuestos en la teoría de con-

trol, en muchas áreas de la matemática y, sobre todo, en las aplicaciones. El principio de la técnica de linealización aproximada se puede establecer en la siguiente forma:

Validez de la Linealización Aproximada

El método de la linealización aproximada es válido en tanto que las perturbaciones que afectan al comportamiento del sistema no lineal, operando en equilibrio, sean pequeñas, relativas a los va- lores de equilibrio de las variables del sistema.

La aproximación se deteriora en forma, cuando menos cuadráti- ca, al admitir perturbaciones que representan excursiones signi- ficativas a partir de los valores de equilibrio de las variables de entrada y estados iniciales del sistema.

2_{En este contexto, “suficientemente preciso” significa que el modelo permite reflejar con una}