La representación y manipulación de los objetos matemáticos y en si su carácter de formalidad, evocan necesariamente hablar de simbolización; ya que esta permite representar el objeto matemático en el mundo sensible y a su vez manipular y generar diversidad de tratamientos.
Según Pimm (1999), los símbolos matemáticos se caracterizan por cumplir unas funciones específicas, como lo son: la ilustración de las estructuras matemáticas, la estructuración de las manipulaciones, reflexión sobre la disciplina, compacidad y permanencia del pensamiento; además de subrayar especialmente su sentido de significación y equivalencia.
La significación hace referencia al nombramiento, distinción del objeto y su conceptualización, de otra parte la equivalencia caracteriza los símbolos desde lo visible o lo tangible, facilitando de esta manera la manipulación de los objetos matemáticos.
En cuanto a una eficaz manipulación de los objetos matemáticos, es fundamental y necesaria la representación del concepto matemático por medio de símbolos, en el caso puntual de las ecuaciones de primer grado, su simbolización se denota por el símbolo igual (=); el cual permite dar cuenta de lo que es igual y adicionalmente como lo plantea Castro y Molina (2007):
Como todo símbolo matemático, el signo igual es la representación de un concepto o idea matemática. Se utiliza para representar una relación de igualdad entre dos expresiones matemáticas que se escriben a ambos lados de dicho signo.
Con respecto al rol que juega el signo igual en una ecuación, es importante hacer una diferenciación entre la conceptualización de igualdad en matemáticas y el símbolo del signo igual; ya que la primera hace referencia a un concepto matemático abstracto, idealista y únicamente asequible a la mente humana, de otra parte el segundo surge de los aportes hechos por el médico Robert Recorde, como respuesta a la necesidad de hacer más fácil su escritura matemáticamente hablando y así evitar escribir la palabra completa “es igual a”; además este permite manipular y establecer un tratamiento al interior de una representación establecida. En general el concepto de igualdad es mediado por la significación, lo que implica que la construcción de su conceptualización no se genera en las matemáticas mismas, sino en un mundo de manipulación sensible.
De acuerdo a lo citado por Prieto de Castro (2007), la igualdad viene a ser la esencia de las matemáticas y la define de una manera muy sencilla en donde intenta relacionar los conceptos más importantes de la misma y su objetivo principal:
La palabra ecuación es sinónima de igualdad, pues una ecuación es una igualdad que debe hacerse válida para los valores adecuados de la incógnita. Esos valores que han de conocerse constituyen la solución de la ecuación.
De otra parte, teniendo en cuenta los importantes aportes acerca de la teoría de conjuntos, hecha por el grupo de matemáticos franceses llamados los Bourbaki en la tercera década del siglo XX, se establece la postura del axioma por extensión, el cual explica el concepto de igualdad desde la teoría y la lógica de conjuntos así:
Sea un conjunto A y un conjunto B, diremos que el conjunto A es igual al conjunto B si y sólo si tiene los mismos elementos, es decir, cuando todo elementos de A es un elemento de B y todo elemento de B es un elemento de A2.
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Simbólicamente tenemos que:
( )( )
A partir de la definición de contenencia entre conjuntos, se establece que un conjunto A está contenido en otro B, si todo elemento de A es elemento de B. En forma de proposición, se tiene que:
( )
De otra parte, La igualdad entre dos conjuntos se puede definir por doble contenencia, es decir, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. En forma de proposición se expresa de la siguiente manera:
( )
Finalmente se establece que dos elementos de un conjunto son iguales si cumplen la siguiente condición:
( )
A continuación se mencionan tres propiedades fundamentales que se estructuran en lo que se conoce como relación de igualdad, dentro de la teoría de conjuntos.
Sean A, B y C conjuntos, luego se cumple que: a) Propiedad Reflexiva
b) Propiedad simétrica Si
c) Propiedad transitiva Si .
De otra parte para definir el concepto de igualdad, desde la relación de equivalencia a continuación se presentan las propiedades que permiten determinar una relación sobre un conjunto dado A:
b) Propiedad Simétrica: Para todo , si ( ) entonces ( ) , por lo tanto si
entonces .
c) Propiedad Transitiva: Para todo , si ( ) y ( ) , entonces ( ) . Es decir si y , entonces .
Seguidamente se presenta un ejemplo citado por Hurtado (2010) que muestra a claridad la relación de equivalencia desde la perspectiva de la igualdad (=) entre los grupos numéricos, como lo son: los naturales, los enteros, los racionales entre otros.
Sean y sea:
( ) ( )Mediante una relación de equivalencia, entonces
( ) ( ) (Por definición).
( ) ( ) (Propiedad reflexiva)
( ) ( ) ( ) ( ) así , entonces (Propiedad simétrica)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) donde , Sean , entonces De esta forma se tendría que: ,( )- *( ) ( ) ( )+
Finalmente de acuerdo a lo citado por Luque, Mora y Torres (2006) se presentan a continuación la propiedad uniforme tanto en la suma como en la multiplicación de números reales:
Propiedad uniforme de la igualdad respecto a la operación de la multiplicación: Para todo y números reales si:
y entonces
Propiedad uniforme de la igualdad respecto de la operación de adición: Para todo a, b, c y d, números reales si: