Recommendation for further studies

88. Comprueba que las siguientes expresiones están en progresión aritmética y calcula el séptimo término:

x2_{– 2x + 1, x}2_{+ 1 y x}2_{+ 2x + 1} d = a₂– a₁= x2_{+ 1 – (x}2_{– 2x + 1) = 2x}

d = a₃– a₂= x2_{+ 2x + 1– (x}2_{+ 1) = 2x}

Están en progresión aritmética de diferencia: d = 2x

a₇= a₁+ 6d = x2_{– 2x + 1 + 12x = x}2_{+ 10x + 1}

89. En una progresión aritmética, el primer término y el décimocuarto suman 342. ¿Cuánto suman el quinto y el décimo término?

Los términos equidistantes de una progresión aritmética su- man lo mismo. Luego sumarán 342

90. Continúa las siguientes series de números figurados hasta obtener tres términos más:

a) b)

91. En una progresión aritmética el primer término es 2 y el undécimo es 52. Razona lo que vale el sexto tér- mino.

1 + 11 = 12; 12 : 2 = 6

El sexto término es el término central del primero y el un- décimo. Luego:

a₆= = 27

92. La suma de los infinitos términos de una progresión decreciente es 6 y la suma de sus dos primeros tér- minos es 16/3. Calcula el primer término.

6 = ⇒ a₁= 6(1 – r) a₁+ a₁· r = 16/3 ⇒ a₁(1 + r) = 16/3 Sustituyendo a₁en la 2.ª ecuación: 6(1 – r)(1 + r) = 16/3 6(1 – r2_{) = 16/3} r2_{= 1/9} r = ± 1/3 Si r = 1/3 ⇒ a₁= 4 Si r = – 1/3 ⇒ a₁= 8

93. De un vaso lleno de leche se vacía la mitad y se rellena de agua. Se retira la mitad del nuevo contenido y se vuelve a rellenar con agua. Si este proceso se repite seis veces, ¿qué parte de agua contiene el vaso?

La cantidad de leche y de agua que hay en el vaso es:

La cantidad de leche sigue una progresión geométrica de razón 1/2

a₆= 1 · (1/2)5_{= 1/32}

La cantidad de agua es: 31/32

94. Un depósito ofrece un 4% de interés simple anual, re- novable mensualmente y sin acumular los intereses en el depósito. ¿Cuánto tiempo se deben depositar 12 000 € para generar unos intereses netos, es decir, descontando el 18% de Hacienda, de 984 €?

Interés bruto: 984 : 0,82 = 1 200 €

I = c · r · ⇒ t =

t = = 30 meses

95. Calcula el capital inicial que se debe depositar al 6% de interés compuesto con períodos de capitalización mensual para que, al cabo de 10 años, se conviertan en 33 204 € brutos. 1 200 · 12 12 000 · 0,04 t n I · n c · r Leche 1 1/2 1/4 1/8 … Agua 0 1/2 3/4 7/8 … a₁ 1 – r 2 + 52 2 1 6 15 28 45 66 b) 1 5 12 22 35 51 1 6 15 28 45 66 a) 1 5 12 1 6 15 810 · 12 12 000 · 18 t n I · n c · t 8 775 45 000 · 0,065 I c · r

C = c

(

1 +

)

n · t

c

(

1 +

)

12 · 10= 33 204 1,005120_{c = 33 204}

c = 33 204 : 1,005120

c = 18 250 €

96. Calcula el tiempo que hay que tener un capital de- positado en un banco al 5% con interés simple para que el capital se duplique.

I = c c · r · t = c r · t = i t =

t = = 20 años

APLICA TUS COMPETENCIAS

97. Calcula la cuota mensual que hay que pagar por una hipoteca de 10 000 € al 3,50% y contratada a 12 años.

Cuota mensual: 8,51 · 10 = 85,1 €

98. Calcula la cuota mensual que hay que pagar por una hipoteca de 25 000 € al 4,25% y contratada a 15 años.

Cuota mensual: 7,52 · 25 = 188 €

99. Calcula la hipoteca que se amortiza al 5,25% durante 10 años pagando 268,25 € de mensualidad.

Hipoteca: 268,25 : 10,73 = 25 ⇒ 25 000 €

100. Calcula la hipoteca que se amortiza al 5% durante 18 años pagando 210,9 € de mensualidad.

Hipoteca: 210,9 : 7,03 = 30 ⇒ 30 000 €

COMPRUEBA LO QUE SABES

1. Define progresión aritmética y pon un ejemplo.

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se halla sumando al término anterior un nú- mero constante que se llama diferencia y que se repre- senta con la letra d

La diferencia d de una progresión aritmética se calcula res- tando dos términos consecutivos.

Ejemplo:

La sucesión 3, 7, 11, 15… es una progresión aritmética. 2. Encuentra el término general de las progresiones si-

guientes: a) 7, 11, 15… b) 3, – 12, 48… a) a₁= 7, d = 4 a_n= 7 + 4(n –1) = 4n + 3 b) a₁= 3, r = – 4 a_n= 3 · (– 4)n – 1

3. Calcula los años que ha estado depositado un capi- tal de 25 500 € al 6% de interés simple si, realizada la retención de Hacienda del 18%, se han generado 5 018,40 € de intereses.

Interés bruto: 5 018,40 : 0,82 = 6 120 €

I = c · r · t⇒ t =

t = = 4 años

4. Calcula la suma de los 25 primeros términos de la pro- gresión cuyo término general es a_n= 4n – 3

Es una progresión aritmética:

a₁= 1, d = 4

a₂₅= 4 · 25 – 3 = 97

S₂₅= · 25 = 1 225

5. Halla la razón y el primer término de una progresión geométrica en la que el segundo término vale 6 y el quinto 162 a₅= r5 – 2_{⇒ = r}3 r3 _{= 27 ⇒ r = 3} a_n= a₁rn · 1_{para n = 2} a₂= a₁· 32 – 1_{⇒ 6 = a} 1· 3 ⇒ a1= 2

6. Calcula la suma de los infinitos términos de la si- guiente progresión: 1/10, 1/100…

a₁= 1/10, r = 1/10

S = = 1/9

7. Se depositan 6 500 € al 5% de interés compuesto du- rante 4 años. Hacienda retiene el 18% de los intere- ses cuando se recupera el capital. Calcula el capital final si los intereses se abonan anualmente.

C = c(1 + r)t

C = 6 500 · 1,054_{= 7 900,79 €}

Los intereses son: 7 900,79 – 6 500 = 1 400,79 € Hacienda retiene: 1 400,79 · 0,18 = 252,14 € El capital final neto será:

7 900,79 – 252,14 = 7 648,65 €

8. Los lados de un triángulo rectángulo están en pro- gresión aritmética. Calcula su longitud sabiendo que el menor mide 12 cm

(12 + 2d)2_{= (12 + d)}2_{+ 12}2

3d2_{+ 24d – 144 = 0}

d2_{+ 8d – 48 = 0}

d = 4 (d = –12 no es válida)

Los lados son: 12, 16 y 20 12 12 + d 12 + 2d 1/10 1 – 1/10 162 6 1 + 97 2 6 120 25 500 · 0,06 I c · r 1 0,05 i r 0,06 12 r n

WINDOWS/LINUX

PASO A PASO

101. Calcula los cinco primeros términos de la si guien te sucesión:

a_n= 4n – 1

Resuelto en el libro del alumnado.

102. Dada la sucesión 3, 7, 11…

Calcula si es aritmética o geométrica, halla la dife- rencia o razón y el término general.

Resuelto en el libro del alumnado.

103. Dada la siguiente sucesión, calcula la suma de los 25 primeros términos: a_n= 7n – 5

Resuelto en el libro del alumnado.

104. Calcula los 5 primeros términos de la sucesión:

a_n= 3 · 4n – 1

Resuelto en el libro del alumnado.

105. Dada la sucesión 3, 6, 12…

Calcula si es aritmética o geométrica, halla la dife- rencia o razón y e término general.

Resuelto en el libro del alumnado.

106. Dada la sucesión a_n= 3 · 2n_{, calcula la suma de los}

siete primeros términos.

Resuelto en el libro del alumnado.

107. Dada la siguiente sucesión, calcula la suma de to- dos sus términos: 3, 1, 1/3…

Resuelto en el libro del alumnado.

108. En la progresión a_n= 3n + 4, ¿qué término vale 52?

Resuelto en el libro del alumnado.

109. En una progresión geométrica, a₃= 18 y a₇= 1 458. Halla el primer término y la razón de la progresión.

Resuelto en el libro del alumnado.

110. Se depositan 1 000 € al 5% de interés compuesto du- rante 3 años. ¿Qué capital tendremos al finalizar ese tiempo?

Resuelto en el libro del alumnado.

PRACTICA

111. Calcula los ocho primeros términos de las siguien- tes sucesiones: a) a_n= 4n_{+ 2 b) a} n= 3n2– 5n + 2 c) a_n= 4 · (– 2/3)n _{d) a} n= (– 2)n a) 6, 18, 66, 258, 1026, 4 098, 16 386, 65 538 b) 0, 4, 14, 30, 52, 80, 114, 154 c) – 8/3, 16/9, – 32/27, 64/81, – 128/243, 256/729, – 512/2 187, 1024/6 561 d) – 2, 4, – 8, 16, – 32, 64, – 128, 256

112. En las siguientes sucesiones calcula si son aritmé- ticas o geométricas, halla la diferencia o razón y el término general. a) 12, 20, 28… b) 14, 4, – 6… c) 5, 15, 45… d) 6, 3, 3/2… a) Aritmética, d = 8, a_n= 8n + 4 b) Aritmética, d = –10, a_n= –10n + 24 c) Geométrica, r = 3, a_n= 5 · 3n – 1 d) Geométrica, r = 1/2, a_n= 6 · (1/2)n – 1

113. Calcula la suma de los 125 primeros términos de la progresión aritmética cuyo término general es

a_n= 4n/5 + 2/3

S = 19 150/3

114. Calcula la suma de los siete primeros términos de la progresión geométrica cuyo término general es

a_n= 3 · 2n S₁₁= 762

115. Calcula la suma de los infinitos términos de la si- guiente progresión:

8, 4, 2…

S = 16

116. En una progresión geométrica a₄= 135 y a₆= 1 215. Halla el primer término y la razón de la progresión.

= r6 – 2_{⇒ = r}2_{⇒ r}2_{= 9 ⇒ r = ±3}

a₄= a₁· rn – 1_{⇒ 135 = a}

1· (–3)3⇒ a1= –5

a₄= a₁· rn – 1_{⇒ 135 = a}

1· 33⇒ a1= 5

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:

117. ¿Qué término vale –47 en la siguiente progresión? 9, 5, 1…

a_n= – 4n + 13 – 4n + 13 = – 47

n = 15

118. En una progresión aritmética conocemos los térmi- nos a₆= 23/6 y a₉= 35/6. Calcula la diferencia y el primer término.

a + 5d = 23/6

}

a + 8d = 35/6 a₁= 1/2

d = 2/3

119. ¿Qué término vale 1/2 048 en la siguiente progresión geométrica?

8, 2, 1/2…

a₁= 8, r =

8(1/4)n – 1_{= 1/2 048 ⇒ n = 8}

120. Encuentra la razón de la progresión geométrica que tiene los siguientes términos:

a₄= 32/9 y a₆= 512/81 r2_{= (512/81)/(32/9)} r = ± 4/3 1 4 a₆ a₄ 1 215 135

121. Se depositan 2 000 € durante 3 años a un 5% de in- terés simple. Si Hacienda retiene un 18% de los in- tereses, ¿qué interés se obtiene al acabar dicho período?

El tanto por uno será: 0,05 · 0,82 = 0,041

I = c · r · t = 2 000 · 0,041 · 3 = 246 €

122. Se depositan 3 000 € a un interés compuesto del 7% durante 3 años con períodos de capitalización men- suales. Si Hacienda retiene el 18% cuando se recu- pera el capital, calcula el capital final.

El capital final será:

C = c

(

1 +

)

n · t⇒ C = 3 698,78 € Los intereses son:

3 698,78 – 3 000 = 698,78 € Hacienda retiene:

698,78 · 0,18 = 125,78 € El capital final neto será: 3 698,78 – 125,78 = 3 573 €

r n

1. RAZONES Y PROPORCIONES

PIENSA Y CALCULA

Se han comprado 5 kg de melocotones por 10,5 €. Cal- cula mentalmente cuánto cuesta cada kilo.

10,5 : 5 = 2,1 €/kg

CARNÉ CALCULISTA

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