Research

cantidad sucesiva de veces (Maza, 1991).

2.3.3. Combinación. Otras denominaciones a este tipo de enunciado de problema multiplicativo son:

Tabla 2.3.5

Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo de combinación.

Denominación Autor(es) Producto de medidas Castro (1994) Castro at all. (1995) Puig y Cérdan (1995) Vergnaud (2003) MEN (2006)

Multiplicación cartesiana Nesher (s.f.; citado en Puig y Cérdan, 1995)

Producto cartesiano

Brown (1981; citado en Puig y Cérdan, 1995)

MEN (1998)

Los enunciados de problemas de combinación intervienen tres cantidades 𝑚, 𝑛 y 𝑝 que pueden tener todas magnitudes diferentes o dos de ellas de igual magnitud; en estos problemas hay una composición cartesiana de dos espacios de medida, M1, M2, en un tercer espacio de medida, M3 (Puig y Cerdán, 1995). Por ejemplo, aquí encontramos los problemas de área y volumen. Las magnitudes involucradas de las tres cantidades son extensivas (E).

Para este tipo de enunciados de problemas investigaciones como las de Maza (1991) consideran que tiene un grado mayor de dificultad que los anteriores, dado que no se dispone del mismo sistema unitario de los enunciados de problemas multiplicativos de comparación y de proporcionalidad directa simple. De hecho su sistema es binario porque se dispone de dos cantidades iniciales del mismo nivel, es por ello que “la multiplicación es semánticamente conmutativa, por lo que sólo hay dos posibilidades, según la incógnita sea de M3 o de cualquiera de los otros dos, M1, o M2” (Puig y Cérdan, 1995, p. 134). Es

45 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas por lo anterior que muchos autores manifiestan que los enunciados problemas multiplicativos de comparación y de proporcionalidad directa simple son asimétricas y de combinación son simétricos.

Para este tipo de enunciado de problema multiplicativo de combinación se puede presentar cuatro variaciones de acuerdo donde se acentúe la cantidad a hallar:

Espacio de medida M2 𝑛 Espacio de medida M2 𝒙 Espacio de medida M2 𝑛 Espacio de medida M1 𝑚 𝒙 Espacio de medida M3 Espacio de medida M1 𝑚 𝑝 Espacio de medida M3 Espacio de medida M1 𝒙 𝑝 Espacio de medida M3

Caso 1 Caso 2 Caso 3

Figura 2.3.11. Esquemas de las tres variaciones de un problema multiplicativo de combinación.

Para el caso 1, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el área de un terreno cuyo largo es 80 m. y ancho es 38 m.?” En este enunciado la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐

(80𝑚 × 38𝑚 = 3040 𝑚2) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸 × 𝐸 = 𝐸, donde

80 m, 38 m y 3040 m2 _{son cantidades extensivas (E). Ejemplo:}

Espacio de medida M2 38 𝑚 Espacio de medida M1 80 𝑚 𝑥 Espacio de medida M3

Figura 2.3.12. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el área de un terreno cuyo largo es 80 m. y ancho es 38 m.?

46 Yerry Londoño Morales Para el caso 2, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el largo de un terreno cuyo ancho es 38 m y área es 3040 m2_{?” En este enunciado la estructura sintáctica} 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎

(3040 𝑚2÷ 38𝑚 = 80 𝑚) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐸, donde

80 m, 38 m y 3040 m2 _{son cantidades extensivas (E). Ejemplo:}

Espacio de medida M2 38 𝑚 Espacio de medida M1 𝑥 3040 𝑚2 Espacio de medida M3

Figura 2.3.13. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el largo de un terreno cuyo ancho es 38 m y área es 3040 m2_?

Para el caso 3, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el ancho de un terreno cuyo largo es 80 m y área es 3040 m2_{?” En este enunciado la estructura sintáctica} 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏

(3040 𝑚2÷ 80 𝑚 = 38 𝑚) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐸, donde

80 m, 38 m y 3040 m2 _{son cantidades extensivas (E). Ejemplo:}

Espacio de medida M2 𝑥 Espacio de medida M1 80 𝑚 3040 𝑚2 Espacio de medida M3

Figura 2.3.14. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el ancho de un terreno cuyo largo es 80 m y área es 3040 m2_?

En síntesis, un enunciado de problema multiplicativo se da cuando comportan una multiplicación o una división (Vergnaud, 2003) y, para esta investigación, se definieron tres tipos enunciados multiplicativos: de comparación, de proporcionalidad directa simple y de combinación. Se pudo determinar que todos los enunciados de problemas multiplicativos obedecen a las estructuras

47 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas sintácticas 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 o 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 para distinguir las operaciones de multiplicación y de división, sin desconocer que una es la inversa de la otra.

48 Yerry Londoño Morales 3. Diseño metodológico

En este trabajo se asume un enfoque cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo, dado que, como planeta Vasilachis (2006), el análisis de la información es no matemática y, además, por un lado, con esta investigación se busca conocer las dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión de enunciados problemas multiplicativos, para ello, es necesario realizar la descripción exacta de las tareas propuestas a los estudiantes, de las producciones realizadas por ellos y los datos generados, es decir que la descripción no se reduce a recoger solo datos, ésta va más allá pues busca la identificación, determinación y caracterización de estos mismo. Por otro lado, se busca con la investigación dar sentido a los datos hallados los cuales deben guardar estrecha relación con la pregunta de investigación, para ello se realizan las interpretaciones de los datos.

La metodología de investigación adoptada para el desarrollo de este trabajo es el estudio de caso la cual es la forma obtener los datos y organizarlos para hacer el análisis cualitativo (Neiman y Quaranta, 2006). Tomando como referente a Neiman y Quaranta (2006) el estudio de caso considera: La pregunta de investigación, la cual se construye y pule a medida que se desarrolla la investigación, es decir, que la pregunta es dinámica en la medida que toma una mayor claridad. La

recolección de la información es el momento o etapa donde se recurren a las diferentes fuentes de información (observaciones, documentos, tareas, entre otras) que se llevan a cabo en el trabajo de campo con el fin extraer, indagar y describir sobre las variables que comportan el estudio, la recolección de la información se realizará en la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes, con estudiantes de sexto grado de básica secundaria con un promedio de 12 a 14 años.

El análisis de la información, como lo plantea Neiman y Quaranta (2006), se “procede a través de instancias de interpretación directa o de construcción de categorías” (p. 220), para ello en este trabajo se establecen diferentes momentos para realizar el respectivo análisis, de acuerdo con las tareas presentadas a los estudiantes. El rol del investigador, el cual realiza intervenciones no directas sobre los estudiantes, por lo cual su participación se restringe a la recolección de datos con intervenciones puntuales pues en las observaciones realizadas surgió la necesidad de hacer preguntas con el propósito de confirmar algunas interpretaciones. La validación de los resultados

49 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas se hace de tal manera que aumente la confianza del investigador por medio de la triangulación de los datos, para ello se consideran los elementos expuesto en el marco teórico, el análisis de los instrumentos a la luz de dicho marco y lo que ejerció en el diseño de los instrumentos, es decir que la triangulación de los datos da cuenta de cómo la aplicación de los instrumentos responde a las variables de su diseño. Finalmente, la redacción del informe final, el cual debe ser comprensible para el lector y velar por la fidelidad de la información encapsulado la realidad del fenómeno estudiado.

De acuerdo a la metodología asumida, en la tabla 3.0.1, se presentan las fases y los instrumentos de recolección de información que se aplican para el desarrollo de este trabajo y, así mismo, se establece la población en la cual se ejecutó.

Tabla 3.0.1

Fases, instrumentos y población de la metodología de investigación

Fases