Single-Objective Optimization: Michalewicz Benchmarks

Dado un sistema geotécnico, el Análisis Límite se apoya en dos teoremas, válidos asumiendo ciertas hipótesis que se describen más adelante, que permiten acotar, superior e inferiormente, la carga de colapso de dicho sistema. A modo de ejemplo, en la Figura 22 se muestran dos cargas (`<sub>a</sub> y `_b) que actúan sobre un sistema, como puede ser un talud o una zapata. Cuando estas dos cargas toman un valor próximo a cero, en el centro de coordenadas de la Figura 22, el sistema es estable. Por el contrario, cuando estas dos cargas toman un valor muy alto el sistema es inestable (y el talud o la zapata colapsan). En consecuencia, existirá una frontera, mostrada en la Figura 22 como una línea de trazo grueso, que marcará el límite entre una situación estable y una situación inestable. Mediante el Análisis Límite se pueden encontrar cotas rigurosas de ese límite, entre las que es seguro que se encuentra la solución real.

Figura 22. Representación gráfica de los teoremas de contorno del Análisis Límite. Teorema de contorno inferior

A partir de Chen y Liu (1990), el teorema de contorno inferior se puede enunciar de la siguiente manera: "Si es posible encontrar una distribución de tensiones en equilibrio para todo el sistema, que

equilibre las cargas actuantes en los contornos de tensiones y que respete en todos los puntos el criterio de rotura, el sistema no colapsará".

La aplicación de este teorema permite encontrar una cota inferior al límite de estabilidad comentado anteriormente. En la Figura 22 se muestra esta cota mediante una línea discontinua de color azul (SCI). Para establecer una cota inferior de la carga de colapso se debe proponer un campo de tensiones “estáticamente admisible”. A este campo de tensiones se le denomina “solución de contorno inferior”. Para que un campo de tensiones sea “estáticamente admisible” debe cumplir las siguientes condiciones:

• Debe respetar las ecuaciones de equilibrio.

• Debe respetar las condiciones de contorno en tensiones.

• No debe sobrepasar en ningún punto el criterio de rotura.

Una vez propuesto un campo de tensiones que respete las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de contorno en tensiones, se obtiene la cota inferior de la carga de colapso imponiendo el criterio de rotura. Cuanto más similar sea el campo de tensiones propuesto al campo de tensiones real, más se aproximará (aumentando) el valor de la cota obtenida al valor de la carga de colapso.

Tomando como referencia la Figura 22, si únicamente se conociese esta cota inferior, se podría afirmar que si el par de cargas actuantes (`<sub>a</sub>, `_b) se sitúa en el interior del dominio definido por dicha cota el sistema será estable. Sin embargo, no se podría decir nada en caso contrario; es decir, para los puntos situados fuera del dominio definido por la cota inferior se desconoce, a priori, si determinan un sistema estable o inestable.

Teorema de contorno superior

El teorema de contorno superior se puede enunciar de la siguiente manera: “Si es posible hallar una manera de deformación plástica compatible cinemáticamente en la cual el trabajo producido por las

fuerzas externas es mayor que el trabajo disipado internamente por la deformación plástica el sólido se romperá” (Jimenez-Salas et al., 1981).

La aplicación de este teorema permite encontrar una cota superior al límite de estabilidad. En la Figura 22 se muestra esta cota mediante una línea discontinua de color rojo (SCS). Para establecer una cota superior de la carga de colapso se debe proponer un campo de velocidades “cinemáticamente admisible”. Este campo de velocidades se materializa mediante un mecanismo de rotura, por el que se define qué zonas del terreno se mueven (y con qué velocidades) y cuáles no. A este campo de velocidades (o mecanismo de rotura) se le denomina “solución de contorno superior”. Para que un campo de velocidades sea “cinemáticamente admisible” debe cumplir las siguientes condiciones:

• Debe respetar las ecuaciones de compatibilidad en deformaciones y velocidades.

• Debe respetar las condiciones de contorno en desplazamientos.

Una vez propuesto un campo de velocidades, se obtiene la cota inferior de la carga de colapso igualando la energía aplicada sobre el mecanismo de rotura con la energía disipada por el mismo. La energía aplicada proviene de las fuerzas actuantes, fundamentalmente el peso propio y otras sobrecargas; mientras que la energía se disipa a lo largo de las superficies de deslizamiento. Cuanto más similar sea el mecanismo de rotura propuesto al mecanismo de rotura real, más se aproximará (disminuyendo) el valor de la cota obtenida al valor de la carga de colapso.

Tomando, al igual que antes, como referencia la Figura 22, si únicamente se conociese esta cota superior, se podría afirmar que si el par de cargas actuantes (`<sub>a</sub>, `_b) queda en el exterior del dominio definido por dicha cota el sistema será inestable. Sin embargo, no se podría decir nada en caso contrario; es decir, para los puntos situados en el interior del dominio definido por la cota superior se desconoce, a priori, si determinan un sistema estable o inestable.

Combinando una solución de contorno inferior con una solución de contorno superior queda acotada de manera rigurosa la carga de colapso. Existe, no obstante, una diferencia clara entre ambas

soluciones. La solución de contorno inferior determina un valor que queda del lado de la seguridad, puesto que es inferior al valor real de la carga de colapso. Se puede afirmar que para cualquier valor inferior al valor obtenido el sistema es estable. Por el contrario, una solución de contorno superior determina un valor que queda del lado de la inseguridad, puesto que es superior al valor de la carga de colapso, desconociéndose si para valores inferiores al valor obtenido el sistema es estable o no. A pesar de esto último, la mayoría de las soluciones propuestas en la literatura (al menos en lo relativo a la estabilidad del frente) son soluciones de contorno superior, debido a que resulta más sencillo, y más intuitivo, proponer mecanismos de rotura del problema estudiado.

Hipótesis que fundamentan el Análisis Límite

El Análisis Límite se fundamenta en tres hipótesis, a partir de las cuales se pueden demostrar los teoremas de contorno expuestos anteriormente. Estas hipótesis son: (i) las deformaciones que experimenta el material son pequeñas; (ii) el comportamiento del mismo es elástico – perfectamente plástico; y (iii) el material sigue una ley de flujo asociada. A continuación se comenta la validez de estas hipótesis en el campo de la geotecnia.

a) Pequeñas deformaciones

Para poder aplicar la ecuación de los trabajos virtuales, a partir de la cual se demuestran los teoremas de contorno, es necesario que los cambios que se produzcan en la geometría del problema sean insignificantes (es decir, que se puedan considerar constantes las dimensiones iniciales). A diferencia de lo que ocurre, por ejemplo, en el ámbito de los metales (donde se aplica con éxito el Análisis Límite), un geomaterial sí puede llegar a deformarse apreciablemente antes de alcanzar su resistencia pico. Sin embargo, la escala de las estructuras geotécnicas hacen que esos movimientos puedan despreciarse (en lo que se refiere a la aplicación del Análisis Límite) y por lo tanto la hipótesis de pequeñas deformaciones es aceptable en la mayoría de los problemas geotécnicos (Chen y Liu, 1990).

b) Comportamiento elástico – perfectamente plástico

En la Figura 23 se muestra la curva tensión-deformación para un material real tipo. Como se puede ver, el primer tramo de la curva presenta un comportamiento aproximadamente elástico hasta que se alcanza la tensión máxima que soporta el material. A partir de ese punto se produce una reducción de la resistencia (reblandecimiento o strain-softening) hasta un valor residual (puede darse el caso de un aumento de la resistencia, endurecimiento o strain-hardening). Al suponer un comportamiento elástico-perfectamente plástico se reemplaza la curva real por las dos rectas de trazo discontinuo, de tal modo que el material es completamente elástico hasta rotura y no se produce ninguna variación de la resistencia con la deformación posterior.

Figura 23. Idealización de la curva tensión deformación de un material real (a partir de Chen, 1975). La idealización mostrada en la Figura 23 supone una desviación de la realidad. Sin embargo, si para la tensión que define el estado perfectamente plástico se selecciona un valor entre la tensión pico y residual, se estará reproduciendo el comportamiento medio del terreno, lo cual es razonable. Esto se puede justificar porque la superficie de deslizamiento en una estructura geotécnica no se desarrolla instantáneamente. En el momento de colapso, en algunos puntos de esa superficie justo se habrá alcanzado la tensión pico mientras que otros estarán más cerca del comportamiento residual. Es verdad que si continuase el movimiento a lo largo de la superficie de deslizamiento todos los puntos alcanzarían el valor residual, pero para el análisis de la situación de colapso, y por lo tanto para

calcular la carga máxima, parece adecuado tomar un valor intermedio entre el pico y el residual. Como indica Chen (1975) la selección de ese valor dependerá de las propiedades del material, la geometría del problema y las condiciones de contorno.

c) Flujo asociado

Cuando el estado tensional en un punto del terreno alcanza el criterio de rotura (es decir, la superficie de fluencia), se produce una deformación plástica (un flujo plástico). Esta deformación plástica siempre es normal al potencial plástico, por lo que si el potencial plástico coincide con la superficie de fluencia, la deformación plástica es ortogonal a la superficie de fluencia. Esta situación es lo que se denomina flujo asociado. (Realmente, al producirse una plastificación perfecta no es posible conocer la magnitud total de la deformación plástica, por lo que en la explicación anterior, y en la que sigue, habría que sustituir “deformación plástica” por “incremento de deformación plástica”).

Para hacer más comprensible el concepto de flujo asociado se puede aplicar la definición anterior a un ensayo de corte de un terreno caracterizado por el criterio de rotura de Mohr-Coulomb ( = + c· tan ') (Figura 24.a). En la Figura 24.b se muestra el criterio de rotura en el plano − c (tensión

tangencial – tensión normal). Asimismo, sobre los ejes − _c se superponen los ejes ef− ef (deformación tangencial – deformación normal, en velocidades), por lo que se puede representar en el mismo plano la deformación plástica. Cuando un punto alcanza el criterio de rotura (punto A de la Figura 24.b) se producirá una deformación plástica (e_gf− e_gf). Si el potencial plástico coincide con la superficie de fluencia (es la situación que se ha representado en la Figura 24.b), la deformación plástica será normal al criterio de rotura y el flujo será asociado.

En el plano ef− ef, el ángulo que forma el vector deformación plástica con e_gf es el ángulo de dilatancia (I). En la situación representada en la Figura 24.b, de flujo asociado, el ángulo de dilatancia coincide con el ángulo de rozamiento. De este modo, se establece que un material caracterizado por el criterio de Mohr-Coulomb tiene una ley de flujo asociada si su ángulo de rozamiento (') es igual su ángulo de dilatancia (I).

Chen y Liu (1990) analizaron la validez de la hipótesis de flujo asociado según el tipo de material. Concluyeron que para suelos puramente cohesivos la aplicación de Análisis Límite es aceptable. Por el contrario, para terreno con ángulo de rozamiento mayor que cero, la condición de flujo asociado no es real, puesto que el ángulo de dilatancia generalmente es menor que el ángulo de rozamiento. Imponer I = ' conlleva una sobreestimación de las deformaciones del terreno, lo cual puede no ser aceptable cuando éstas son importantes. La validez de la hipótesis de flujo asociado y la posibilidad de extender el Análisis Limite a materiales no asociados han sido y siguen siendo dos cuestiones muy discutidas en la literatura (Drescher y Detournay, 1993; Sloan, 2005). Sin embargo, como indican Chen y Liu (1990), aunque un flujo asociado no represente adecuadamente el comportamiento del terreno, no descarta el Análisis Límite como metodología de análisis en el campo de la geotecnia, puesto que se debe evaluar cuánto afecta esta hipótesis al problema concreto que se está estudiando.

a)

b)

Figura 24. Representación de un ensayo de corte directo: (a) modelo físico; (b) combinación de espacios − _c y ef− ef (a partir de Chen, 1975).

Aplicación de los teoremas de contorno al problema de la estabilidad del frente

Los teoremas de contorno explicados en el apartado anterior se pueden emplear para calcular la presión de colapso del frente de excavación de un túnel. No obstante, se debe realizar una puntualización que repercute directamente en el planteamiento del problema. Cuando se analiza la estabilidad del frente de un túnel se quiere conocer qué presión se debe aplicar sobre el frente para evitar su colapso. Esta presión se identifica como la carga de colapso, aunque en este caso lo que trata es de evitar el colapso, por lo que el problema cambia de signo.

La Figura 25.a muestra un esquema que representa un caso habitual de carga de colapso (p. ej., una zapata). El eje horizontal indica la carga (i) que actúa sobre la zapata. Si i toma valores próximos a 0 la zapata es estable, pero si toma valores altos colapsará. Existirá, por lo tanto, un valor (!i) que marque el límite entre estable e inestable (es decir, la carga de colapso). Mediante los teoremas de contorno se pueden obtener dos cotas a !i. Una cota inferior (J=), dada por una solución de contorno inferior, y una cota superior (J), dada por una solución de contorno superior. Para optimizar la J se debe minimizar su valor (lo cual se indica en el esquema de la Figura 25.a mediante una flecha).

Para el problema de la estabilidad del frente un ejemplo de esquema sería el de la Figura 25.b. El eje horizontal representa el valor de la presión aplicada en el frente (_L). Esta presión se opone a la rotura, es decir, al movimiento del mecanismo de rotura, por lo que tiene signo negativo. Si _L toma valores próximos a cero, el frente será inestable y, en caso contrario, será estable. Al igual que antes, existirá un valor (!i) que marque el límite entre estable e inestable, se podrán definir dos cotas, inferior y superior (J= y J respectivamente) al valor de !i, y la optimización de la J se hará reduciendo su valor.

Sin embargo, como es habitual en la literatura y como se hace en la presente Tesis Doctoral, se considera que la presión aplicada sobre el frente tiene signo positivo (un signo negativo de la presión significaría que se está tirando del frente). Por lo tanto, cambiando de signo el esquema de la Figura

25.b, se obtiene el nuevo esquema de la Figura 25.c, donde un aumento de _L (presión sobre el frente) mejora la estabilidad. Como se indica en la figura, la solución de contorno superior será mejor cuanto mayor sea el valor que determine de la presión de colapso. Esto tiene dos consecuencias muy importantes para el presente trabajo:

• La optimización de la solución de contorno superior propuesta para el problema de la estabilidad del frente se hará maximizando el valor de la presión de colapso.

• Siempre que se comparen dos soluciones de contorno superior será mejor aquélla que determine un valor más alto de la presión de colapso.

a)

b)

c)

Figura 25. Esquematización de un problema de Análisis Límite: a) para un problema clásico (p. ej., una zapata); b) para la estabilidad del frente de un túnel; c) para la estabilidad del frente de un túnel

considerando la presión aplicada en el frente de valor positivo.