Special case

Se considera que S2 logró construcciones en un nivel Trans-, ya que logró coordinar el esquema de la Integral con otros en la solución de situaciones problema. Esto se evidencia cuando S2 realiza las actividades con el sensor de movimiento y de temperatura (bloque III) y en el problema del tanque que es llenado con petróleo (bloque II): S2 no necesitó instrucciones previas para identificar cuándo es apropiada la Integral en la resolución de problemas.

Por otro lado, sus aportaciones en el trabajo en pares se encaminaron a proponer a la Integral como mecanismo de solución. En su historieta S2 explica el concepto de la Integral desde representaciones geométricas. Uno de los logros que se pueden destacar de S2 al término del trabajo de campo, es que actualmente es capaz de interpretar geométricamente el comportamiento de la Derivada y su relación (o efecto) sobre la gráfica de la función primitiva, principalmente en aspectos de crecimiento y decrecimiento. De hecho, logró afinar su análisis geométrico con tal profundidad que ahora es capaz de interpretar el significado geométrico de los puntos máximos y mínimos relativos y de inflexión de una gráfica. Este tema, evidentemente está fuera de la investigación, pero es un dato que de alguna manera capta la atención de la misma.

Esto se destaca debido a que en el momento que se realizó el trabajo de campo, S2 estudiaba en el curso de Cálculo Diferencial estos conceptos, y el sujeto sólo repetía procesos sin reflexión geométrica previa. Por esto es satisfactorio saber que con las

situaciones propuestas en la investigación, S2 logró dar significado a procedimientos geométricos, en lugar de los algorítmicos, para localizar extremos relativos de una función y además bosquejar su gráfica, y de este modo logró coordinar los esquemas de la Derivada y la Integral.

Una de las actividades que realizaron los sujetos, la 3.3, consistió en recolectar datos a partir de una situación real, en la cual debían de utilizar dos sensores, uno para registrar el movimiento de un objeto y el otro para medir las temperatura de un líquido en diferentes tiempos. En el primero, figura 31 b, el sujeto identificó la velocidad con la que se mueven un libro y un compañero. A partir de los datos obtenidos, debía describir la posición del objeto en diferentes tiempos, figura 31 c. En la otra, debía obtener la gráfica de las temperaturas del agua (figura 31 a) y, a partir de ésta, otra gráfica que describiera la velocidad con la que se enfría el agua (figura 31 b).

c) Gráfica velocidad-tiempo (CBR) d) Gráfica posición-tiempo de S2

e) Gráfica posición-tiempo del CBR

Figura 31. Respuesta a la actividad 3.3. que proporcionó el sujeto S2.

Las gráficas solicitadas fueron registradas en una calculadora graficadora (TI-Nspire), pero el sujeto no las observó previamente. Una vez que el sujeto registró su respuesta, se le solicitó que comparara sus modelos con los que proporcionó la calculadora graficadora, y que argumentara las diferencias y similitudes que observaba. Justo sobre estas similitudes y diferencias fluyó la entrevista. Cabe mencionar que el sujeto tenía libertad para seleccionar libremente la ruta que lo llevara a la solución del problema y, evidentemente, optó por analizar el comportamiento de la Derivada en lugar de acumular áreas. Se le preguntó cómo obtuvo la gráfica de la velocidad de enfriamiento y por qué en ese cuadrante, a lo que respondió:

S2: La velocidad…(piensa) ¡ah! Porque la velocidad es negativa porque va disminuyendo la temperatura, entonces por eso puse la gráfica velocidad aquí abajo del eje x.

E: Y ¿por qué así y no así? (la entrevistadora invierte la concavidad de la gráfica). S2: Mmm…

E: Digo pues, finalmente sería abajo del eje horizontal.

S2: ¡Ya!, pues como estaba así (señala la concavidad de la gráfica de temperaturas) por eso se queda así (esto es, con la misma concavidad).

E: Te aclaro que no digo que esté mal solamente es distinta forma de expresarlo. S2: Es que la temperatura disminuye…

Se identificó que el sujeto logró procesos de reversibilidad, ya que fue capaz de entender que si la primitiva (aunque no la refiera así) es decreciente es porque su Derivada es negativa, y como sabe que en ningún momento la temperatura del agua crecerá, ya que no hay una fuente de calor que motive a ello, la Derivada siempre será negativa, y por tanto estará debajo del eje horizontal. Se le solicitó también que explicara cómo construyó la gráfica de la posición del libro, que hablara además de sus similitudes y diferencias con la que proporcionó la calculadora graficadora (figura 31 e), y que explicara el movimiento del libro a partir de sus gráficas. Respondió lo siguiente:

E: ¿Por qué tu gráfica no inició en el punto (0, 0)?

S2:Yo creo que porque lo tenía así (se refiere a que el libro estaba a cierta distancia del CBR), y luego antes de lo presionar el botón le hice así (lo aleja y lo acerca al sensor), pues ya tenía un movimiento. Luego le empecé hacer más despacito.

E: O sea que empezaste a sensar ya con un movimiento. S2:Si.

E: Ahora quiero que me digas qué significan estos puntos (señala los puntos máximos y mínimos relativos).

S2: Mmm… pues sería como aquí. Aquí la velocidad, aunque está bajando, es positiva, porque yo iba así con el libro para arriba (lo aleja del sensor) y luego llegué como a este punto (señala donde la gráfica velocidad es cero) y paré. Luego ya bajé el libro y luego aquí paré y lo subí y luego paré y lo bajé…

E: …Tu gráfica de posición es muy parecida a la gráfica de la TI… S2: Sí, buen,o no salió tan bien ¿verdad?, más o menos.

En el caso de S2, resultó relativamente claro explicar el comportamiento de una gráfica primitiva a partir de la comprensión del de su Derivada. No enfrentó dificultades en

interpretar velocidades negativas y su efecto sobre la gráfica posición; esto se declara de acuerdo a las evidencias que hubo en otras actividades. Se cree que no era necesario, aunque sucedió, que el sujeto asociara el movimiento del libro con sus gráficas. Esto resultó esencialmente útil para otros sujetos, como para S1 y S4, a quienes se les dificultó entender el significado geométrico de una velocidad negativas; les resultó más claro cuando trabajaron con el sensor de movimiento, ya que se les mostró el video, en donde se grabó el movimiento de un compañero y al mismo tiempo se registró la velocidad del movimiento en el CBR. El sujeto analizó la gráfica de posición, la de velocidad y el video, y de esta manera dedujo el significado de una velocidad negativa y su relación con la posición de un objeto.

En el diagrama de la figura 32 se explicitan las acciones, los procesos y objetos matemáticos que construye S2 para comprender el concepto de la Integral. Nuevamente, si se compran los diagramas de las figuras 29, 30 y 32, se advierten similitudes, como debe ser; sin embargo, se destacan diferencias sustanciales ya que la construcción del objeto matemático de la Integral difiere en grado de profundidad. Se afirma que en el nivel Inter- el sujeto logra operar el objeto, pero todavía no muestra evidencias de que haya un significado de la utilidad que le puede dar a este concepto; sin embargo, las actividades que desarrolló en el bloque III, dan cuenta de que puede trasladar el esquema a otros escenarios y además muestra evidencias de que sabe cuándo le será útil y cuándo no es posible aplicar el conocimiento adquirido.

Figura 32. Diagrama que representa las construcciones en el nivel Trans- del sujeto S2.

Otra diferencia radical es la profundidad con la que recurre a los esquemas previos. Si en etapas anteriores le resultó útil imitar procesos al resolver situaciones problema, en el nivel Trans- eso resultó insuficiente, ya que requirió de las acciones, procesos y objetos construidos, referentes al esquema, como un todo. Algunos esquemas que le fueron útiles en sus construcciones en los niveles Intra- e Inter- son aquellos que le permitieron interpretar conceptos de la cinemática pero sin un sentido geométrico, sólo el concepto

Objeto

Suma de áreas limitadas por gráficas

Acumula áreas en gráficas de diferentes familias Procesos Objeto Gráfica de funciones primitivas Acción 1 Acción 2 F1 A1 F2 R1 Interioriza Encapsula F3 F1 M1 I2 Interioriza Encapsula M2 Objeto Gráfica de una función Obtiene primitivas de diferentes familias Procesos Objeto Gráfica de funciones primitivas Acción 3 F1 M2 I2 D2 Y desencapsula Desencapsula y I3 F2 D2 F3 Generaliza Generaliza I2 D2 R2 M1 A1 I2 M1 M2 F2 Esquema

(M1), pero en sus construcciones en un nivel Trans- requirió de mayores elementos del esquema (M2).

A continuación se describen los esquemas mentales que S2 moviliza en la solución de las situaciones, mismos que son referidos en el diagrama de la figura 32:

I2: Construcciones en un nivel operativo de la Integral como objeto matemático, tratado