Subtheme 3.1: Presence of an Absence

4) La relación con experiencias pasadas en las matemáticas que producen rechazo a los

problemas matemáticos. Recolección y análisis de resultados

Para referirnos a las evidencias escritas, videos y encuestas se propone un tipo de nomenclatura que facilita la verificación de la información.

Instrumento de recolección Ejemplo de referencia Nomenclatura Prueba escrita Situación problema 1 del

grupo de trabajo 2

(S1,G2)

Video Video 5 en el minuto 0:15

hasta el minuto 1:20

(V5,T 0:15- 1:20)

Encuesta Encuesta 24 (E,24)

No corresponde con ninguna categoría

NC Tabla 5 Nomenclatura de evidencias.

Los errores iniciales que se pudieron evidenciar al estar en la prueba con los estudiantes se presentan a continuación, dichos errores se extrajeron de los posibles procedimientos o afirmaciones que decían los estudiantes durante la sesión, es posible que algunos no se reflejen en la pruebas escritas debido a que pudieron borrar dichos procedimientos.

Prueba 1

● No asocian las propiedades en los triángulos, no tienen en cuenta características de los triángulos.

● No conocen las nociones de semejanza y congruencia, discriminan las propiedades y. características de los triángulos semejantes y congruentes.

● Asocian el teorema de Pitágoras para cualquier triangulo. ● Asocian criterios de semejanza con un solo ángulo.

● No asocian la notación correcta en el teorema del seno y coseno. ● Jerarquía de las operaciones simultaneas.

Prueba 2

● Discriminan los triángulos rectángulos en los ejercicios.

● Aplican resolución de triángulos utilizando teorema de Pitágoras.

● Asumen representaciones con conjeturas que no se dice en el planteamiento del problema.

● Dificultad de operaciones y relaciones con números racionales. Prueba 3

● No realizan la notación de lados a y ángulos A.

● Asumen que para despejar ángulos pueden realizar esta operación. ● Por apariencia asocian ángulos rectos a triángulos cualesquiera. ● Asocian para todo triángulo rectángulo un ángulo de 90° y 2 de 45°.

A partir de esta serie de errores encontrados anteriormente y con la intención de sustentarlos, se realiza un análisis más profundo frete a las pruebas escritas y algunos videos que se tomaron mientras los estudiantes desarrollaban la prueba, la siguiente tabla mostrara la evidencia del error cometido una breve explicación y la categoría que justifica el tipo de error.

Errores encontrados en las pruebas relacionados con las dificultades asociadas a la complejidad del objeto matemático

Número de Evidencia

Error presentado por los estudiantes. Categorí a de dificulta d que lo justifica

1 Correspondiente (S1,G12) El error aquí presente se

debe a la asociación de

semejanza con

congruencia, los

estudiantes asumen que cuando se refieren al término semejanza es lo mismo que hablar de igualdad o congruencia en áreas.

A2

2 Correspondiente (S1,G15) Como se evidencia en la

imagen los estudiantes entienden la semejanza como: igualdad de perímetro entre triángulos, desconociendo la relación que se debe cumplir entre ellos.

A2

3 Correspondiente (S1,G20) Como se evidencia en la

imagen los estudiantes confunden las nociones de semejanza y congruencia, realizando relaciones de semenjanza entre los ángulos, donde es evidente que los angulos son congruentes no semejantes.

4 Video 8 (T 0:00 – 0:20)

Profesor: ¿Qué es lo que entienden por perpendicularidad?

Estudiante 1: ¿no es que sean las líneas opuestas? Profesor: que sean opuestas dices tú, y ¿tú que entiendes por perpendicularidad?

Estudiante 2: perpendicularidad es que son líneas opuestas paralelas ¡aaa! Paralelas no opuestas

La noción que tienen los

estudiantes de

perpendicularidad, no permite identificar que los ángulos que forman dos rectas perpendiculares son rectos.

A2

5

Correspondiente (V2,T 0.29-0.36)

Lizeth: los puntos I, N, J son colineales ¿Qué es colineales? No sé. Los estudiantes no reconocen que es colinealidad. A2 6 Correspondiente (V3, T 0:30–1:18) Santiago: el ángulo NKI es igual a 0.64 radianes Santiago: un radian es igual a 180

José: 2 pi radianes es igual a 360°

Santiago: un radian es igual a 180 por que una circunferencia tiene dos radianes

José: si

Presentan errores al entender que es un radian y realizar operaciones para pasar de un sistema de medidas a otro (grados a radianes o radianes a grados).

A2

7 Correspondiente (S1,G11) Como se evidencia en la

imagen los estudiantes al interpretar el problema asumieron que la sección de tecnología era una parte del triángulo completo con la forma de un triángulo equilátero y la sección de video juegos un triángulo escaleno.

8 Correspondiente (S1,G16) Como se evidencia en la imagen al interpretar el problema los estudiantes afirmaron que: Andrea recorre solo el sendero peatonal 2 y se devuelve lo cual es incorrecto evidenciándose un problema de lectura de los estudiantes.

A4

9 Correspondiente (S2,G4) Como se evidencia en las

imágenes los estudiantes a partir de la representación dada realizan una nueva, y de manera errónea ubicaron un ángulo recto en una posición incorrecta, debido a esto al tratar de utilizar el teorema de Pitágoras obtienen un resultado que no corresponde al lado que deseaban hallar. A4 10 Correspondiente (S3, G2) (V2,T 0:03 – 0:15) Como se ve en la imagen los estudiantes asumen que el ángulo GNI es <igual a 90° “por visualización” De igual manera en la conversación del profesor y los estudiantes y estos afirman que el ángulo es recto solamente por visualización.

Estudiante 1: ahí se está manejando un ángulo de 90º

Profesor: ¿Por qué? Solamente por la visualización Estudiante 1: si se puede manejar por visualización Profesor: ustedes dicen que ese ángulo que está ahí es recto.

11

Correspondiente ( S3, G10) Como se ve en la imagen los estudiantes asignan algunos valores erróneos a los ángulos, por tal razón la suma de ellos es superior a 180° por tanto concluyen que el problema no se puede solucionar.

A4

12 Correspondiente (S1,G21) Como se observa en la

imagen los estudiantes realizan la representación de un triángulo rectángulo, cuyo único ángulo suministrado es igual a 90° sin embargo los estudiantes asumen que como la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser igual a 180° cada uno de los ángulos faltantes mide 45°.

13 Correspondiente (S2,G3)

Como podemos ver en la imagen los estudiantes utilizaron los datos suministrados en el problema, sin embargo al realizar la representación gráfica no utilizan estos mismos datos, ya que por ejemplo: los triángulos dibujados no son triángulos rectángulos.

A4

14 Correspondiente (S2,G11) Como se ve en la imagen

los estudiantes ubican dos ángulos rectos en el triángulo lo cual muestra

una incorrecta interpretación del problema y además la discriminación de una propiedad fundamental de suma de ángulos en cualquier tipo de triangulo.

A4

15 Correspondiente (V17,T 0:03 –0:44)

Estudiante 1: digamos aquí KME es igual a 4.68 unidades (señala el segmento ME)

Profesora: pero ahí están diciendo de ángulos o de lados

Estudiante 2: este es el lado

Profesora: estos son ángulos entonces ¿cuál sería el ángulo KME?

Estudiante 2: es este, es M

Los estudiantes confunden ángulos con segmentos (lados).

(señalando el segmento M como el ángulo KME Profesora: entonces ¿Cuánto mide M?

Estudiante 1: 13.6 (señalando el segmento MJ) 16 Correspondiente (V2, T 2:37–3:00)

Lizeth: el ángulo NIK

Juan : N, I, K (señalando los puntos en el plano) Juan: es este (señala el ángulo NIK)

Lizeth: no este (señala el ángulo INK)

No ubican correctamente los ángulos.

(aunque los dos estudiantes hicieron la misma lectura uno de ellos señala el ángulo NIK y y otro el INK como se ve en la imagen al tratar de marcarlos son diferentes ángulos)

A4

17 Correspondiente (V4, T 0:38–1:15)

Laura: el segmento j equivale a 12 unidades, el segmento m a 8.5 unidades.

Paula: ahí ya tenemos dos lados.

Laura: ahh entonces lo podemos sacar por teorema de Pitágoras.

Los estudiantes aplican teoremas sin analizar las características de los triángulos que tienen en la representación ya que por ejemplo: el teorema de Pitágoras no se puede aplicar en cualquier tipo de triangulo.

18

Correspondiente (S3, G1)

Como se ve en la imagen los estudiantes asignan un valor dado para el segmento k = 4.68 unidades con el valor del ángulo con centro en el punto K.

A5

19 Correspondiente (S3. G3)

Como se ve en la imagen los estudiantes asignan un valor dado para el segmento c = 6.5 al punto C que se encuentra en el plano.

A5

20 Correspondiente (V2, T 3:04–4:10)

Lizeth: k ¿Dónde está k? Ronald : esta acá

Los estudiantes confunden los puntos (letras en mayúscula) con segmentos (letras en minúscula).

Lizeth: esta mediría dos unidades o esta ¿no entiendo?

Juan: ¿Qué no entiende?

Lizeth : estas medidas de que son _{( la estudiante señala las} medidas dadas de los segmentos k, j , l, m, c) Juan: de K

Lizeth: pues si pero K tiene KE O KM ¿entonces esta medida de que son?

Tabla 6 Errores relacionados con la dificultad A

En la siguiente tabla se organizan los errores evidenciados en las pruebas escritas y videos en el proceso de resolución de problemas, asociando errores que tiene la misma naturaleza relacionados con la complejidad del objeto matemático.

Número evidencia

Error Categoría Frecuencia

Cantidad Estudiantes 1,2,3 Error de asociar palabras. Ejemplo

confundir semejanza y congruencia.

A2 16

4,5,6 Errores por confusiones o desconocimiento de conceptos

matemáticos. (Colinealidad, perpendicularidad, radian).

A2 11

12, Errores en aplicar propiedades a las representaciones.

A4 9

7, 8,9, 11, 16 Error al representar los datos del problema.

A4 15

10 Error al asumir propiedades por visualización.

13, 14 Errores en las representaciones realizadas del problema.

A4 26

17 Errores de aplicar teoremas sin

analizar cuando se pueden utilizar. A4 17 15, 18, 19, 20 Errores por confundir símbolos

matemáticos.

A5 13

Tabla 7 clasificación de errores asociados a la dificultad A

Según lo que se pudo evidenciar en cada uno de los errores presentados para esta dificultad, un dato importante a tener en cuenta es que ninguno de los estudiantes, incurrieron en los errores de tipo A1 y A3, se especula que los estudiantes por haber tenido un acercamiento con términos de la trigonometría, no fue usual que asociaran conceptos de la trigonometría con el lenguaje habitual, por esta misma razón se puede decir que tampoco tienen dificultad en distinguir palabras que tienen el mismo significado en el lenguaje habitual y en el matemático.

Por otro lado en A2 palabras mal entendidas del lenguaje exclusivamente de las matemáticas, podemos ver que los estudiantes cometen varios errores de este tipo ya que desconocen o confunden el significado de varios términos matemáticos que usualmente se utilizan en trigonometría por ejemplo, en las evidencias 1,2 y 3 vemos que los estudiantes presentan gran confusión al hablar de semejanza y congruencia, el entender congruencia como algo equivalente a la semejanza, este tipo de errores se presentaron con gran frecuencia en el grupo de estudiantes.

Además en la evidencia 4 al hablar de colinealidad los estudiantes no tienen una confusión o asociación con otro término sino desconocen totalmente el concepto matemático presentándose preguntas como ¿qué es eso?, en la evidencia 5 respecto a perpendicularidad los estudiantes tienen una definición incompleta de este concepto, es decir la definen como rectas opuestas, pero esta definición no les brinda información sobre los ángulos que se forman entre dichas rectas, de esta manera vemos que aunque estos errores se encuentren en la misma categoría tienen diferencias fundamentales algunos se dan por un completo desconocimiento de las palabras, otros por confusión entre dos conceptos y los últimos por conceptos con definiciones insuficientes.

En la categoría A4 que consiste en los errores relacionados con la interpretación errónea del problema y/o en una representación, los errores que se encontraron de este tipo fueron más comunes, sin embargo estos se dan por diversas razones que se explicaran a continuación.

Por tratar de aplicar propiedades en las representaciones: como se ve en la evidencia 12 los estudiantes comprenden que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° sin embargo solo conocen un ángulo igual a 90° por tanto asumen de manera errónea que los dos ángulos restantes son iguales es decir iguales a 45° de esta manera vemos cómo los estudiantes realizan deducciones erróneas partiendo de una propiedad.

Errores al representar los datos del problema: en este caso se dio con mayor frecuencia como vemos por ejemplo en la evidencia 8 vemos que los estudiantes no tienen en cuenta uno de los datos suministrados en el problema, es decir en el problema les indican el recorrido que realiza Andrea, sin embargo los estudiantes solo reconocen un fragmento de esta manera desde la interpretación que realizan del problema ignoran algunos datos suministrados y por tanto establecen deducciones erróneas. En la evidencia 9 vemos que los estudiantes al tratar de realizar una nueva representación del problema partiendo de una inicial, confunden datos fundamentales como la ubicación de los ángulos, al intercambiar estos datos y resolver el problema aunque apliquen de manera correcta el teorema de Pitágoras los datos son erróneos.

Por otro lado en la evidencia 11 vemos que los estudiantes realizan una interpretación y análisis incorrecto de los datos suministrados, por tanto los ángulos que obtienen de un triángulo son superiores a 180° por tal razón asumen que el problema no se puede solucionar, en lugar de revisar por ejemplo si los procedimientos con los que obtuvieron los datos eran correctos. De esta manera observamos que los estudiantes pueden cometer errores al ignorar datos suministrados en el problema, realizar nuevas representaciones y ubicar incorrectamente en estas los datos suministrados, o interpretar incorrectamente los datos suministrados y establecer conclusiones erróneas.

Errores al asumir propiedades por visualización: como se ve en la evidencia 10 los estudiantes asumen que el triángulo que están analizando es rectángulo porque visualmente “parece” que tiene un ángulo recto, por tanto asumen esta deducción como verdadera sin antes realizar una verificación utilizando los datos suministrados en el problema.

Errores en las representaciones realizadas del problema: como se ve en la evidencia 13 aunque los estudiantes utilizan los datos suministrados en el problema estos no se ven claramente en la representación gráfica de estos mismos en este caso los estudiantes colocan la medida de los segmentos pero los triángulos que dibujan no son rectángulos es decir la representación de los ángulos no es correcta. Por otra parte en la evidencia 14 los estudiantes

realizan la representación de un triángulo con dos ángulos rectos, sin embargo en la interpretación simbólica no se ve reflejado este error es decir los sistemas de representación utilizados no se relacionan. De esta manera vemos que los estudiantes pueden realizar representaciones gráficas incorrectas pero aun así procesos algorítmicos correctos.

Errores de aplicar teoremas sin analizar cuando se pueden utilizar: en este caso como se ve en la evidencia 17 los estudiantes asumen que pueden utilizar un teorema en este caso el de Pitágoras sin analizar con detenimiento cuales son las características mínimas que debe tener un triángulo para aplicar este mismo.

En la categoría A5 errores y confusiones a partir de los símbolos matemáticos: Como vemos en la evidencia 15 los estudiantes tienen confusión en el concepto de ángulo y lado lo que se ve reflejado al tratar de ubicar estos mismos en las representaciones gráficas del problema lo que se repiten en la evidencia 18,19 y 20 en diferentes procedimientos los estudiantes confunden ya sea el concepto de ángulo y segmento debido a la notación de estos mismos ángulos con letras mayúsculas y segmentos con letras minúsculas, lo que se puede presentar al tener asignada el mismo símbolo solo cambiando si es mayúscula o minúscula.

Errores encontrados en las pruebas relacionados con las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.

Número evidencia

Error presentado por los estudiantes Categoría de dificultad

que lo justifica 1

Correspondiente a la situación 1 grupo 11 (S1,G11)

Como se evidencia en la imagen, los estudiantes

argumentan su

respuesta por medio de la comparación de área de los triángulos, sin tener en cuenta que se debe realizar una comparación de los triángulos según su perímetro.

2 Correspondiente (S1,G13) Como se ve en la imagen los estudiantes no interpretan correctamente la representación del centro comercial, ya que en el problema la distancia de la salida hasta el punto de información es igual a 8 metros y no a 10 metros. B1 3 Correspondiente (S1,G15) Como se ve en la

imagen los estudiantes utilizan datos arbitrarios, ya que estos no se dan en la situación problema, sin embargo utilizan estos mismos para realizar procedimientos

algebraicos y tratar de llegar a una solución.

B1

4 Correspondiente (S3, G9)

Como se ve en la imagen los estudiantes restan a 180° (la suma de los ángulos internos de un triángulo) con la medida de uno de los lados 6.5 obteniendo como resultado 1735.

B1

5

Correspondiente (S3, G9) Como se ve en la imagen los estudiantes tratan de convertir unidades a grados, es decir las medidas 6.5und, 4.67und y

10.6und que

corresponden a medidas de segmentos, por lo cual pueden estar pensando por ejemplo: que estas no

corresponden a lados si no a ángulos.

6 Correspondiente (S3, G10) Como se ve en la

imagen los estudiantes asignan valores arbitrarios al ángulo MJI = 6.9 y al segmento g= 4.

B1

7 Correspondiente (S1,G1) Los estudiantes

asocian criterios de semejanza con un solo

ángulo (90°)

argumentando que todos los triángulos rectángulos son semejantes, este tipo de error se debe a la deducción lógica y conocimientos previos que tienen los estudiantes.

B1

8

Correspondiente (S1,G21) Como lo muestra la figura el error aquí consiste en que los estudiantes le asignaron valores a los ángulos de manera arbitraria al triángulo rectángulo: 7.9 7.39 desconociendo la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

9 Correspondiente (S2,G3)

Como se observa en la imagen los estudiantes asumen que en un triángulo el lado con mayor longitud es la hipotenusa,

discriminando que esto solo ocurre en triángulos rectángulos y proceden a resolver el problema utilizando la terna pitagórica. B1

10 Correspondiente (S3,G7) Los estudiantes

asocian propiedades de las razones trigonométricas en triángulos rectángulos con triángulos cualesquiera, a partir de esto se evidencian errores en la ecuación asumiendo que el ángulo B es igual al seno del cateto opuesto sobre la hipotenusa, sin tener en cuenta que no son triángulos rectángulos.

11 (V2,T 0:25- 1:05)

Estudiante 2: ustedes suman todos estos tres lados y les dan los 180

Estudiante 1: 34.9 más 55.1 más 90 igual a 180 Profesor: ok ustedes solo sacaron el ángulo de acá y dijeron, no ese es 90 entonces cojamos este sumémosle este y restémosle 180 y meda este (ángulo IKN).

Estudiante 2: no está mal y yo a usted le digo porque no, porque todo esto si es un ángulo recto toda la suma de los ángulos tiene que dar 90 si es un ángulo recto

La estudiante

confunde la suma de los ángulos internos de un triángulo con la medida de un ángulo recto.

B1

12 Correspondiente (S1,G13) Como se ve en la

imagen los estudiantes cometen dos errores aritméticos el primero ocurre cuando tratan de resolver 2² obteniendo como resultado 8 y el otro error cuando proceden a sacar la raíz de 24 obteniendo como resultado 4.

B3

13 Correspondiente (S3 G8) Como se ve en la

imagen los estudiantes cometen errores aritméticos ya que al elevar 132 _{𝑦 6.5}2 obtienen correspondientemente 26 y 13 es decir creen que elevar al cuadrado es multiplicar por el exponente 2. B3 14 Correspondiente (S2,G3) (V6,T 0:05 – 0:21) Como se ve en la imagen los estudiantes al tratar de obtener 2/3 de una cantidad inicial ya que aunque el algoritmo lo realizaron correctamente este no

Estudiante 1: para sacar el 2/3 lo sumo 3 veces el mismo número y lo divido en dos (estudiante hace la siguiente representación 1443_{÷ 2}

Profesor: ósea tu elevas este número al cubo y lo divides en dos para sacar las dos terceras partes

es un procedimiento acertado para obtener una fracción de una cantidad inicial.

15 Correspondiente (S2,G4)

En la imagen se evidencia que los estudiantes utilizan el teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sin embargo al emplear el algoritmo usan un signo de manera incorrecta por lo cual la medida del lado buscado /Fontibón- Soacha) es incorrecta.

B3

16 Correspondiente (S3, G2)

Como se ve en la imagen los estudiantes realizan

incorrectamente la conversión de la relación 𝑐𝑜𝑠−1_0.4539

a grados ya que dicen

In document Losing an Identical Co twin in Older Adulthood: An Interpretative Phenomenological Analysis (Page 94-101)