Tree metrics - The School Bus problem - Approximation algorithms for regret minimization in veh

3.2 The School Bus problem

3.2.2 Tree metrics

Como se ver´a a continuaci´on la derivada goza de la propiedad del valor intermedio, incluso cuando es discontinua.

Teorema 5. (Darboux) Sea f : [a, b] → R derivable. Si f′_{(a) <}

d < f′_{(b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f}′_{(c) = d.}

Demostración: Supongamos inicialmente que d = 0. Por el Teore- ma de Weierstrass, la función continua f alcanza su valor m´ınimo en algún punto c del conjunto compacto [a, b]. Como f′_{(a) < 0,}

el Teorema 4 nos asegura que existen puntos x ∈ (a, b) tales que f (x) < f (a), luego tal m´ınimo no se alcanza en el punto a, esto es, a < c. Por los mismos motivos se tiene c < b. As´ı el Corolario 4 nos da f′_{(c) = 0. El caso general se reduce a ´este considerando la fun-}

ci´on auxiliar g(x) = f (x)−dx. Entonces g′_{(x) = f}′_{(x)−d, de donde}

110 Derivadas Cap. 8

Ejemplo 10. Sea g : [−1, 1] → R definida como g(x) = −1 si −1 ≤ x < 0 y g(x) = 1 si 0 ≤ x ≤ 1. La función g no goza de la propiedad del valor intermedio ya que, en el intervalo [−1, 1], sólo toma los valores −1 y 1. Luego no existe f : [−1, 1] → R derivable tal que f′ _{= g. Por otra parte, la función h : [−1, 1] → R, dada por}

h(x) = 2x sen(1/x) − cos(1/x) si x 6= 0 y h(0) = 0, que presenta una discontinuidad bastante complicada en el punto x = 0, es la derivada de la funci´on f : [−1, 1] → R, f(x) = x2_{sen(1/x) si x 6= 0}

y f (0) = 0. En el Cap´ıtulo 10 veremos que toda funci´on continua g : [a, b] → R es la derivada de alguna funci´on f : [a, b] → R, y en el Ejercicio 4.1 de este cap´ıtulo se invita al lector a demostrar que si g : [a, b] → R es discontinua en un punto c ∈ (a, b), donde existen los l´ımites laterales l´ım

x→c−g(x) y l´ım_x→c+g(x), entonces no es posible

que g sea la derivada de una funci´on f : [a, b] → R.

Teorema 6. (Rolle) Sea f : [a, b] → R continua con f(a) = f(b).

Si f es derivable en (a, b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f′_{(c) = 0.}

Demostraci´on: Por el Teorema de Weierstrass, f alcanza su valor m´ınimo m y su valor m´aximo M en puntos de [a, b]. Si dichos puntos fuesen a y b entonces m = M y f ser´ıa constante, luego f′_{(x) = 0}

para cualquier x ∈ (a, b). Si uno de estos puntos, llam´emosle c, estuviera en (a, b), entonces f′_{(c) = 0.}

Teorema 7. (Teorema del Valor Medio, de Lagrange) Sea f : [a, b] → R continua. Si f es derivable en (a, b), existe c ∈ (a, b)

tal que f′_{(c) = [f (b) − f(a)]/(b − a).}

Demostraci´_{on: Consideremos la funci´on auxiliar g : [a, b] → R,} dada por g(x) = f (x) − dx, donde d es escogido de forma que g(a) = g(b), o sea, d = [f (b) − f(a)]/(b − a). Por el Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que g′_{(c) = 0, esto es, f}′_{(c) = d =}

[f (b) − f(a)]/(b − a).

Un enunciado equivalente: Sea f : [a, a + h] → R continua y derivable en (a, a + h). Entonces existe un n´umero θ, 0 < θ < 1, tal que f (a + h) = f (a) + f′_{(a + θh) · h.}

Corolario 1. Una funci´on f : I → R, continua en el intervalo I, con derivada f′_{(x) = 0 para todo x ∈ int I, es constante.}

Secci´on 1 La noci´on de derivada 111

En efecto, dados cualesquiera x, y ∈ I, existe c comprendido entre x e y tal que f (y) − f(x) = f′_{(c)(y − x) = 0 · (y − x), luego}

f (x) = f (y).

Corolario 2. Si f, g : I → R son funciones continuas, derivables en R

I con f′_{(x) = g}′_{(x) para todo x ∈ int I, entonces existe c ∈ R}

tal que g > (x) = f (x) + c para todo x ∈ I.

En efecto, basta aplicar el Corolario 1 a la diferencia g − f. Corolario 3. Sea f : I → R derivable en el intervalo I. Si existe k ∈ R tal que |f′_{(x)| ≤ k para todo x ∈ I entonces x, y ∈ I ⇒}

|f(y) − f(x)| ≤ k|y − x|.

En efecto, dados x, y ∈ I, f es continua en el intervalo cerrado de extremos x e y, y derivable en su interior. Luego existe z entre x e y tal que f (y)−f(x) = f′_{(z)(y−x), de donde 1f(y)−f(x)| ≤ k|y−x|.}

Corolario 4. Para que una funci´on derivable f : I → R sea mon´otona creciente en el intervalo I es necesario y suficiente que f′_{(x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Si f}′_{(x) > 0 para todo x ∈ I entonces}

f es una biyecci´on estrictamente creciente de I en un intervalo J y su inversa g = f−1 _{: J → I es derivable, con g}′_{(y) = 1/f}′_{(x) para}

todo y = f (x) ∈ J.

En efecto, ya sabemos, por el Corolario 1 del Teorema 4, que si f es mon´otona creciente entonces f′_{(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.}

Rec´ıprocamente, si se cumple esta condici´on entonces, para cualesquiera x, y ∈ I, tenemos f(y) − f(x) = f′_{(z)(y − x), donde z ∈ I}

est´a entre x e y. Como f′_{(z) ≥ 0, vemos que f(y) − f(x) ≥ 0, esto}

es, x, y ∈ I, x < y ⇒ f(x) ≤ f(y). De igual forma se ve que, suponiendo f′_{(x) > 0 para todo x ∈ I, f es estrictamente creciente. Las}

dem´as afirmaciones son consecuencia del Teorema 5, Cap´ıtulo 7, y del corolario de la Regla de la Cadena (Teorema 3).

Ejemplo 11. El Corolario 3 es el recurso más natural para ver si una función es Lipschitziana. Por ejemplo, si p : _{R → R es un} polinomio entonces, para cada subconjunto acotado X ⊂ R, la res- tricción p|X es lipschitziana porque la derivada p′_{, al ser continua,}

está acotada en el compacto X. Como toda función lipschitziana es uniformemente continua, se sigue del Teorema 12, Cap´ıtulo 7, que si la derivada de f : (a, b) → R está acotada entonces existen los

112 Derivadas Cap. 8

l´ımites laterales l´ım

x→a+f (x) y l´ım_x→b−f (x). La derivada de la funci´on

f :R+ _{→ R, dada por f(x) = sen(1/x), no puede estar acotada en}

ning´un intervalo de la forma (0, δ) pues no existe l´ım

x→0+f (x).

5. Ejercicios

Secci´on 1: La noci´on de derivada

1. Demuestre que para que f : X → R sea derivable en el punto a ∈ X ∩ X′ _{es necesario y suficiente que exista una funci´on}

η : X → R continua en el punto a tal que f(x) = f(a) + η(x)(x − a) para todo x ∈ X

2. Sean f, g, h : X → R tales que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para toodo x ∈ X. Si f y h son derivables en el punto a ∈ X ∩ X′_,

con f (a) = h(a) y f′_{(a) = h}′_{(a), demuestre que g es derivable}

en dicho punto y que g′_{(a) = f}′_(a).

3. Sea f : X → R derivable en el punto a ∈ X ∩ X′

+∩ X−′ . Si

xn < a < yn para todo n y l´ım xn = l´ım yn = a, pruebe que

l´ım

n→∞[f (yn) − f(xn)]/(yn− xn) = f

′_{(a). Interprete geom´etrica-}

mente esta propiedad.

4. D´e un ejemplo de una funci´on derivable f : _{R → R y de} sucesiones de puntos 0 < xn < yn, con l´ım xn = l´ım yn = 0,

tales que no exista el l´ımite l´ım

n→∞[f (yn) − f(xn)]/(yn− xn).

5. Sea f : X → R derivable en el punto a ∈ X ∩X′

+∩X−′ . Pruebe

que l´ım

h→0[f (a + h) − f(a − h)]/2h = f

′_{(a). D´e un ejemplo en}

que dicho l´ımite exista y sin embargo f no sea derivable en el punto a.

Secci´on 2: Reglas de derivaci´on

1. Admitiendo que (ex₎′ _{= e}x _{y que l´ım} y→+∞e

/y = +∞, pruebe que la funci´on f :_{R → R, definida por f(x) = e}−1/x2

cuando x 6= 0 y f(0) = 0, tiene derivada igual a cero en el punto x = 0, y que lo mismo ocurre con f′ _: _{R → R, f}′′_{, . . . y}

Secci´on 5 Ejercicios 113

2. Sea I un intervalo abierto. Una funci´on f : I → R se dice de

clase C2 _{cuando es derivable y su derivada f}′ _{: I → R es de}

clase C1_{. Pruebe que si f (I) ⊂ J y g : J → R es de clase C}2

entonces la funci´on compuesta g ◦ f : I → R es de clase C2_.

3. Sea f : I → R de clase C2 _{con f (I) = J y f}′_{(x) 6= 0 para todo}

x ∈ I. Calcule la derivada segunda de f−1

J → R y demuestre

que f−1 _{es de clase C}2_.

4. Sea I un intervalo centrado en 0. Una función f : I → R se llama par cuando f (x) = f (−x) e impar cuando f(−x) = −f(x) para todo x ∈ I. Si f es par, sus derivadas de orden par (si existen) son funciones pares y sus derivadas de orden impar son funciones impares. En particular estas últimas se anulan en el punto 0. Enuncie un resultado análogo para f impar.

5. Sea f : _{R → R derivable, tal que f(tx) = tf(x) para cuales-} quiera t, x ∈ R. Pruebe que existe c ∈ R tal que f(x) = c · x para todo x ∈ R. En general, si f : R → R es k veces derivable y f (tx) = tk_{· f(x) para cualesquiera t, x ∈ R, pruebe que}

existe c ∈ R tal que f(x) = c · xk _{para todo x ∈ R.}

Secci´on 3: Derivada y crecimiento local.

1. Si f : _{R → R es de clase C}1_{, demuestre que el conjunto de}

sus puntos cr´ıticos es cerrado. Dé un ejemplo de una función derivable f : _{R → R tal que 0 sea el l´ımite de una sucesión} de puntos cr´ıticos de f y sin embargo f′_{(0) > 0.}

2. Sea f : I → R derivable en el intervalo abierto I. Un punto cr´ıtico c ∈ I se llama no degenerado cuando f′′_{(c) es diferente}

de cero. Pruebe que todo punto cr´ıtco no degenerado es un punto de m´aximo local o de m´ınimo local.

3. Si c ∈ I es un punto cr´ıtico no degenerado de una función f : I → R, derivable en el intervalo abierto I, pruebe que existe δ > 0 tal que c es el único punto cr´ıtico de f en el intervalo (c − δ, c + δ). Concluya que en un conjunto compacto K ⊂ I, donde todos los puntos cr´ıticos de f son no degenerados, exiten como máximo un número finito de èstos.

114 Derivadas Cap. 8

4. Pruebe directamente (sin usar el ejercicio anterior) que si un punto cr´ıtico c de una funci´on f : I → R es el l´ımite de una sucesi´on de puntos cr´ıticos cn6= c entonces f′′(c) = 0.

5. Pruebe que el conjunto de los puntos de máximo o m´ınimo local estricto de cualquier funci´ón f :_{R → R es numerable.} Sección 4: Funciones derivables en un intervalo

1. Sea g : I → R continua en el intervalo abierto I, excepto en el punto c ∈ I. Pruebe que si existen los l´ımites laterales

l´ım

x→c−g(x) = A y l´ım_x→c+g(x) = B, con A 6= B, entonces no

existe ninguna funci´on derivable f : I → R tal que f′ _{= g.}

2. Sea f : R+_{→ R definida mediante f(x) = log x/x. Admitien-}

do que (log′)(x) = 1/x, indique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , sus puntos cr´ıticos y los l´ımites de f cuando x → 0 y cuando x → +∞.

3. Realice un estudio similar al del ejercicio anterior con la funci´on g :R+ _{→ R, definida por g(x) = e}x_{/x; para esto admita}

que (ex₎′ _{= e}x_.

4. Suponiendo conocidas las reglas de derivaci´on de las funciones seno y coseno, pruebe que sen : (−π/2, π/2) → (−1, 1), cos : (0, π) → (−1, 1) y tan = sen / cos : (−π/2, π/2) → R son biyecciones con derivadas 6= 0 en todo punto; calcule las derivadas de las funciones inversas arc sen : (−1, 1) → (π/2, π/2), arc cos : (−1, 1) → (0, π) y arctan : R → (−π/2, π/2).

5. Dada f derivable en el intervalo I, sean X = {f′_{(x) : x ∈ I}}

e Y = {[f(y) − f(x)]/(y − x) : x 6= y y, x ∈ I}. El Teorema del Valor Medio nos asegura que Y ⊂ X. D´e un ejemplo en el que Y 6= X. Pruebe que Y = X, concluya que sup X = sup Y e ´ınf X = ´ınf Y .

6. Sea f : (a, b) → R acotada y derivable. Si no existe l´ım

x→a+f (x)

o l´ım

x→b−f (x), pruebe que, para todo c ∈ R, existe x ∈ (a, b) tal

Secci´on 5 Ejercicios 115

7. Sea f : [a, b] → R continua y derivable en el intervalo abierto (a, b), tal que f′_{(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Si f}′_{(x) = 0 so-}

lamente en un conjunto finito, pruebe que f es estrictamente creciente.

8. Use el principio de los intervalos encajados para probar directamente (sin usar el Teorema del Valor Medio) que si f : I → R es derivable, con f′_{(x) = 0 en todo punto x del intervalo I,}

entonces f es constante.

9. Usando la t´ecnica del ejercicio anterior, pruebe que una funci´on derivable f : I → R, tal que |f′_{(x)| ≤ k para to-}

do x en el intervalo I, cumple la condici´on de Lispschitz |f(y) − f(x)| ≤ k|y − x| para todo x, y ∈ I.

10. Sea f : [a, b] → R una funci´on con derivada acotada en (a, b) que cumple la propiedad del valor intermedio (cfr. Ejercicio 2.3, Cap´ıtulo 7). Pruebe que f es continua.

11. Si f : I → R cumple |f(y) − f(x)| ≤ c|y − x|α _{para todo}

x, y ∈ I, con α > 1 y c ∈ R, pruebe que f es constante. 12. Pruebe que si f : X → R es derivable y f′ _{: X ∩ X}′ _{→ R}

es continua en el punto a, entonces, para cualquier par de sucesiones xn 6= yn ∈ X con l´ım xn = l´ım yn = a, se tiene

9 F´ormula de Taylor

y aplicaciones de la derivada

Las aplicaciones más elementales de la derivada, relacionadas con problemas de máximos y m´ınimos, y la regla de L’Hôpital, se en- cuentran ampliamente divulgadas en los libros de cálculo. Aqu´ı ex- pondremos dos aplicaciones, a saber, el estudio de las funciones convexas y el método de Newton.

1. F´ormula de Taylor

La n-ésima derivada (o derivada de orden n) de una función f en el punto a se indicará con la notación f(n)_{(a). Para n = 1, 2 y}

3 se escribe f′(a), f′′(a) y f′′′(a), respectivamente. Por definici´on f′′_{(a) = (f}′₎′_{(a), y as´ı sucesivamente: f}(n)_{(a) = (f}(n−1)₎′_{(a). Para}

que f(n)_{(a) tenga sentido es necesario que f}(n−1)_{(x) est´e definida}

en un conjunto del que a sea punto de acumulaci´on y que sea derivable en el punto x = a. En todos lo casos que consideraremos tal conjunto ser´a un intervalo. Cuando existe f(n)_{(x) para todo x ∈ I,}

se dice que la funci´on f : I → R es derivable n veces en el intervalo I. Cuando f es derivable (n − 1) veces en un entorno de a y existe f(n)_{(a) decimos que f : I → R es derivable n veces en el punto}

a ∈ I.

Decimos que f : I → R es un funci´on de clase Cn_{, y escribimos}

f ∈ Cn_{, cuando f es derivable n veces y, adem´as, la funci´on f}(n) _:

I → R es continua. Cuando f ∈ Cn _{para todo n ∈ N, decimos que}

f es de clase C∞_{, y escribimos f ∈ C}∞_{. Es conveniente considerar}

f como su propia “derivada de orden cero” y escribir f(0) _{= f .}

118 F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9

As´ı f ∈ C0 _{quiere decir que f es una funci´on continua.}

Ejemplo 1. Para n = 0, 1, 2, . . . sea fn :R → R definida mediante

fn(x) = xn|x|. Entonces, fn(x) = xn+1 si x ≥ 0 y fn(x) = −xn+1

si x ≥ 0. Cada funci´on fn es de clase Cn pues su n-´esima derivada

es igual a (n + 1)!|x|. Sin embargo fn no es derivable (n + 1) veces

en el punto 0, luego no es de clase Cn+1_{. Las funciones de uso m´as}

frecuente, tales como polinomios, funciones racionales, funciones trigonom´etricas, exponenciales y logaritmo son de clase C∞_.

Sea f : I → R definida en el intervalo I y derivable n veces en el punto a ∈ I. El polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f en el punto a es el polinomio p(h) = a0+ a1h+ · · · anhn(de grado ≤ n)

cuyas derivadas de orden ≤ n en el punto h = 0 coinciden con las derivadas del mismo orden de f en el punto a, esto es, p(i)_{(0) = f}(i)_(a),

i = 0, 1, . . . , n. Ahora bien, las derivadas p(0)_{(0), p}(1)_{(0), . . . , p}(n)₍₀₎

determinan un´ıvocamente el polinomio p(h), pues p(i)_{(0) = i!a} i. Por

tanto, el polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f en el punto a es:

p(h) = f (a) + f′_{(a) · h +}f′′(a) 2! h 2 + · · · + f (n)_(a) n! h n_.

Si p(h) es el polinomio de Taylor de orden n de la función f : I → R es el punto a ∈ I entonces la función r(h) = f(a + h) − p(h), definida en el intervalo J = {h ∈ R : a + h ∈ I}, es derivable n veces en el punto 0 ∈ J; además r(0) = r′_{(0) = · · · = r}(n)_{(0) = 0.}

Lema 1. Sea r : J → R derivable n veces en el punto 0 ∈ J.

Para que r(i) _{= 0, i = 0, 1, . . . , n, es necesario y suficiente que}

l´ım

h→0r(h)/h n _{= 0.}

Demostraci´on: En primer lugar supongamos que las derivadas de r de orden menor o igual a n, se anulan en el punto 0. Para n = 1, esto quiere decir r(0) = r′_{(0) = 0. Entonces l´ım}

h→0r(h)/h =

l´ım

h→0[r(h) − r(0)]/h = r

′_{(0) = 0. Para n = 2 tenemos r(0) = r}′_{(0) =}

r′′_{(0) = 0. Por lo que acabamos de ver esto implica l´ım} x→0r

′_{(x)/x = 0.}

El Teorema del Valor Medio nos asegura que, para todo h 6= 0, existe x en el intervalo de extremos 0 y h tal que r(h)/h2 _{= [r(h) −}

r(0)]/h2 _{= r}′_(x)h/h2 _{= r}′_{(x)/h. Por consiguente, l´ım}

h→0r(h)/h 2 ₌

Secci´on 1 F´ormula de Taylor 119 l´ım h→0r ′_{(x)/h = l´ım} h→0[r ′_{(x)/x][x/h] = 0, pues h → 0 implica x → 0}

y, adem´as. |x/h| ≤ 1. El mismo argumento nos permite pasar de n = 2 a n = 3 y as´ı sucesivamente. Rec´ıprocamente, supongamos que l´ım

h→0r(h)/h

n _{= 0. De aqu´ı resulta que, para i = 0, 1, . . . , n,}

l´ım

h→0r(h)/h

i _{= l´ım}

h→0(r(h)/h

n_)hn−i _{= 0. Por tanto r(0) = l´ım}

h→0r(h) = l´ım h→0r(h)/h 0 _{= 0. Adem´as, r}′_{(0) = l´ım} h→0r(h)/h = 0. Respecto a r ′′₍₀₎

consideremos la funci´on auxiliar ϕ : J → R, definida como ϕ(h) = r(h) − r′′_(0)h2_{/2. Evidentemente, ϕ(0) = ϕ}′_{(0) = ϕ}′′_{(0) = 0. De}

la parte del lema ya demostrada se deduce que l´ım

h→0ϕ(h)/h 2 _{= 0.}

Como ϕ(h)/h2 _{= r(h)/h}2_−r′′_{(0)/2 y sabemos que l´ım}

h→0r(h)/h 2 _{= 0,}

resulta que r′′_{(0) = 0. El mismo argumento nos permite pasar de}

n = 2 a n = 3, y as´ı sucesivamente.

Teorema 1. (F´_{ormula de Taylor infinitesimal) Sea f : I → R} n veces derivable en el punto a ∈ I. La funci´on r : J → R, definida

en el intervalo J = {h ∈ R : a + h ∈ I} mediante la igualdad

f (a + h) = f (a) + f′_{(a) · h +}f′′(a) 2! · h 2 + · · · +f (n)_(a) n! · h n_{+ r(h) ,} cumple l´ım h→0r(h)/h n _{= 0. Rec´ıprocamente, si p(h) es un polinomio}

de grado ≤ n tal que r(h) = f(a+h)−p(h) cumple l´ım

h→0r(h)/h n_{= 0,}

entonces p(h) es el polinomio de Taylor de orden n de f en el punto

a, esto es, p(h) = n X i=0 f(i)_(a) i! · h i_.

Demostración: La función r, definida a partir de la fórmula de Taylor, es n veces derivable en el punto 0 y sus derivadas, hasta la de orden n, son nulas en dicho punto. Luego, por el Lema, se tiene l´ım

h→0r(h)/h n

= 0. Rec´ıprocamente, si r(h) = f (a + h) − p(h) es tal que l´ım r(h)/hn _{= 0 entonces, de nuevo por el Lema, las}

derivadas, hasta la de orden n, de r en el punto 0 son nulas, luego p(i)_{(0) = f}(i)_{(a) para i = 0, 1, . . . , n, o sea, p(h) es el polinomio de}

Taylor de orden n de la funci´on f en el punto a.

Ejemplo 2. Sea f : I → R n veces derivable en el punto a ∈ int I y tal que f(i)_{(a) = 0 para 1 ≤ i < n y f}(n)_{(a) 6= 0. Si n es par,}

120 F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 9

entonces f posee un m´ınimo local estricto en el punto a siempre que f(n)_{(a) > 0, un m´aximo local estricto siempre que f}(n)_{(a) < 0.}

Si n es impar entonces a no es punto ni de m´ınimo ni de m´aximo local. En efecto, en este caso podemos escribir la f´ormula de Taylor como f (a + h) − f(a) = hn f (n)_(a) n! + r(h) hn .

Por la definici´on de l´ımite existe δ > 0 tal que para a + h ∈ I, 0 < |h| < δ, la suma de los t´erminos dentro de los corchetes tiene el mismo signo que f(n)_{(a). Como a ∈ intI, podemos tomar δ de modo}

que |h| < δ → a+h ∈ I. Entonces, cuando n es par y f(n)_{8a) > 0, la}

diferencia f (a + h) − f(a) es positiva siempre que 0 < |h| < δ, luego f posee un m´ınimo local estricto en el punto a. An´alogamente, si n es par y f(n)_{(a) < 0, la diferencia f (a + h) − f(a) es negativa}

cuando 0 < |h| < δ, luego f tiene un m´aximo local en el punto a. Finalmente, si n es impar, el factor hn _{tiene el mismo signo que h,}

luego la diferencia f (a + h) − f(a) cambia de signo cuando h as´ı lo hace, luego f no tiene ni un m´aximo ni un m´ınimo local en el punto a.

Ejemplo 3. (De nuevo la Regla de L’Hˆopital) Sean f, g : I → R n veces derivables en el punto a ∈ I, con derivadas nulas en dicho punto hasta la de orden n − 1. Si g(n)_{(a) 6= 0 entonces}

l´ım x→a f (x) g(x) = f(n)_(a) g(n)_(a) .

En efecto, por la f´ormula de Taylor, tenemos f (a + h) = hn f (n)_(a) n! + r(h) hn y g(a + h) = hn g (n)_(a) n! + s(h) hn , donde l´ım h→0 r(h) hn = l´ım_h→0 s(h) hn = 0. Por tanto l´ım x→a f (x) g(x) = l´ımh→0 f (a + h) g(a + h) = l´ımh→0 f(n)_(a) n! + r(h) hn g(n)_(a) n! + s(h) hn = f (n)_(a) g(n)_(a) .

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