V OLATILE COMPONENTS OF RAW AND COOKED VEGETABLES 16

1. Demuestreque las bi ondi ionales siguientes son equivalen ias lóg- i as:

A)

(p → q) ⇔ (∼ p) ∨ q

B)

(

p

↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

C)

∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q

2. Simpli ar utilizando las leyes lógi as: A)

(q →∼ p) ∨ (∼ r →∼ p)

B)

∼ (q →∼ p) ↔ (q ∨ p)

C)

{(∼ p∧ ∼ q)∨ ∼ q} ↔∼ [(

p

∨q) ∧ q]

D)

∼ (p → q) ↔ [(p ∨ q)∧ ∼ q]

3. Si

p ↓ q ≡ (∼ p) ∧ (∼ q)

, enton es ¾a uáles es equivalente

∼ (p ↔ q)

?: A)

[(∼ p) ↓ q] ∨ [q ↓ p]

B)

[(∼ p) ↓ q] ∨ [(∼ q) ↓ p]

C)

[(∼ p) ↓ (∼ q)] ∨ [q ↓ p]

4. Si

p ↓ q ≡ (∼ p) ∧ (∼ q)

, ¾Cuáles de las siguientes proposi iones son tautologías?

A)

[(p ↓ q) ↓ (q ↓ p)] ↔ (p ∨ q)

B)

∼ (p ∧ q) ↔ [p ↓ q]

C)

(p ↓ q) ↔∼ (p ∨ q)

D)

∼ (p ↓ q) ↔ p

△

q

5. ¾Cuántas

F

y uántas

V

tiene el resultado de la tabla de verdad de:

∼ [(p ∧ q) →∼ r] ∧ (s∧ ∼ s)

después de simpli arla?.

6. Determinar los siguientes esquemas más simples equivalentes a las proposi iones: A)

∼ [∼ (p ∧ q) →∼ q] ∨ p

B)

[(p → q)∨ ∼ p] ∧ (∼ q → p)

C)

∼ {∼ [∼ (∼ p ∧ q)∧ ∼ q] → [∼ (p∨ ∼ q)]}

D)

{[(∼ p∧ ∼ q) ∨ p ∨ q] ∧ [(

p

∧q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) ∨ p]} ∧ (∼ q)

E)

[∼ (∼ p →∼ q) ↔∼ (p ∨ q)] ∨ [p → (∼ p ∧ q ∧ r)]

Inferen ias lógi as

Una inferen ia es una opera ión que onsiste enderivar a partir de la verdad de iertos proposi iones ono idas omo premisas a la verdad deotra proposi ión on lusión, estoes,Sean

p1

,

p2

,

p3

,

. . .

,

pn

,proposi- iones llamadas premisas y

q

una proposi ión llamada on lusión. A partir de las eviden ias de

p1

,

p2

,

p3

,

. . .

,

pn

dan la verdad de la on- lusión

q

.

Si

p1

,

p2

,

p3

,

. . .

,

pn

son verdaderas, enton es

q

también es verdadera.

Análisis de inferen ia mediante las tablas de verdad

Una inferen ia es valida mediante la tabla de la verdad si y sólo si al ser formalizada y evaluada su fórmula ondi ional es una tautología, o en otros asos la inferen ia no es válida.

Pasos a seguir

1. Seordena la inferen ia, pero enel aso se su forma lógi a haya sido alterado en el lenguaje natural observando el esquema premisa- on lusión.

2. Se explí ita en forma lógi a.

3. Sehalla su fórmula,expresandosimbóli amentesuspremisasy on- lusión.

4. Se onstruye una formula ondi ional que tenga omo ante edente a las premisas unidas por el operador onjuntivo "

∧

 y omo on- se uente la on lusión.

5. Se evalúa la fórmula mediante la tabla de verdad.

Ejemplo 1.0.8. De ir si la inferen ia El triángulo se llama isos e- les si tiene dos lados iguales. No se llama isós eles. En onse- uen ia no tiene dos lados iguales. es valida o no.

Solu ión: Ha iendo los pasos a seguir:

a) Si el triángulo tiene dos lados iguales, enton es el triángulo se llama isós eles.

b) el triángulo no se llama isós eles.

en onse uen ia: El triángulo no tiene dos lados iguales. ) Expresando simbóli amente:

p

: El triángulo tiene dos lados iguales.

q

: El triángulo se llama isós eles.

P → q

∼ q

∴∼ p

2. Construyendo en forma ondi ional.

[(p → q)∧ ∼ q] →∼ p

3. evaluando en la tabla de verdad:

p q

[(p → q)

∧

∼ q]

→

∼ p

V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V V Pasos 1 3 2 5=3,4 4

Por lo tanto la inferen ia es valida, pues el resultado de la tabla es Tautología.

Ejemplo 1.0.9. El pueblo es una masa pasiva que sigue bien las ideas de un gran hombre, o bien los pre eptos de la idea absoluta. Sigue los pre eptos de la idea absoluta. Por lo tanto no sigue las ideas de un gran hombre.

La inferen ia es válida.

Solu ión: En la on lusión de la inferen ia podemos ver que hay doble nega ión.

1. Forma lógi a.

a) El pueblo es una masa pasiva que sigue bien la ideas de un gran hombre o el pueblo es una masa pasiva que sigue bien los pre eptos de la idea absoluta.

b) El pueblo es una masa pasiva que sigue los pre eptos de la idea absoluta.

Luego: El pueblo es una masa pasiva que no sigue las ideas de un gran hombre.

2. Expresar en forma lógi a

p

: El pueblo es una masa pasiva que sigue bien las ideas de una gran hombre.

q

: El pueblo es una gran masa pasiva que sigue bien los pre eptos de la idea absoluta.

p ∨ q

q

∴∼ p

3. Construyendo a forma ondi ional.

[(p ∨ q) ∧ q] →∼ p

4. Analizando en la tabla de verdad.

p q

[(p ∨ q) ∧

q]

→

∼ p

V V V V V F F V F V F F V F F V V V V V V F F F F F V V Pasos 1 3 2 5=3,4 4

La inferen ia es invalida pues la tabla de verdad no da una Tautología. Ejemplo 1.0.10. Determinar si

p ∨ q

es una onse uen ia valida de

Solu ión: Las premisas son

p1

≡∼ p →∼ q

,

p2

≡∼ q → r

,

p3

≡∼ r

y la on lusión es

Q ≡ p ∨ q

, debemos mostrar que:

[(∼ p →∼ q) ∧ (∼

q → r) ∧ (∼ r)] → p ∨ q

es una tautología.

Veamos en la tabla de verdad:

n = 3

enton es

2

3

= 8

, tiene o ho per- muta iones posibles la inferen ia.

p q r

[(∼ p →∼ q) ∧

(∼ q → r) ∧

(∼ r)]

→

p ∨ q

V V V V V V F F V V V V F V V V V V V V V F V V V V F F V V V F F V F F F V V V F V V F F V F F V V F V F F F V F V V V F F V V V V F F V V F F F V F F F V V V Pasos 1 5=1,4 2 4=2,3 3 7=6,5 6

por lo tanto, la inferen ia es valida.

Análisis de inferen ia por el método abreviado

Cuando el número de las proposi iones pasa de tres se forma muy engorroso el método de la tabla, por eso se ha e el siguiente método . Elpro edimientoes inverso,empiezademayorjerarquía"

→

 parapasar allos demenorjerarquíaterminandoenlas variables(valores deverdad) de ada proposi ión. Pasos a seguir:

1. Se supone verdadero el ante edente (Hipótesis) y falsa el onse- uente ( on lusión).

2. Se determina los valores de la variable del onse uente de manera que exprese la falsedad de esta inferen ia

3. Setraslada los valores alante edente y se designa loa valores delos demás variables (proposi iones), tratándose de ha er verdadero al ante edente.

4. Se se veri a la hipótesis, la inferen ia es no Tautología (No es valida), y si no se veri a la hipótesis la formula sera Tautología (será una inferen ia valida)

Ejemplo 1.0.11. Mediante el método abreviado diga si la inferen ia es válida o no.

p ↔∼ q

r ∨ q

∼ r

∴∼ q

Solu ión: Sigamos los pasos de la inferen ia 1.

[(p ↔∼ q) ∧ (q ∨ r)∧ ∼ r] →∼ q

suponemos que:

[(p ↔∼ q) ∧ (q ∨ r)∧ ∼ r] →∼ q ≡ F

enton es

[(p ↔∼ q) ∧ (q ∨ r)∧ ∼ r] ≡ V

y

∼ q ≡ F

2.

q ≡ V

3.

p ↔∼ q ≡ V

,

q ∨ r ≡ V

,

∼ r ≡ V

4. Vemos que:

p ≡ V

,

q ≡ V

,

r ≡ F

Notamos que, en la inferen ia que no hay ninguna ontradi ión, en- ton es la inferen ia no es válida.

Ejemplo 1.0.12. Si Raúl parti ipa en el omité ele toral de la Universidad, enton es los estudiantes se enojarán on él, y si no parti ipa en un omité ele toral de la Universidad, las au- toridades universitarios se enojaran on él, Pero Raúl parti i- pará en un omité ele toral de la universidad. Por lo tanto, los estudiantes universitarios o las autoridades se enojarán on él. Diga se la inferen ia es válida o no.

Solu ión: Seas las proposi iones ompuestas:

p

: Raul parti ipa en el omité ele toral de la Universidad.

s

: Las autoridades universitarias se enojarán on él. Enton es la inferen ia es:

p → q

∼ p → s

p∨ ∼ p

∴

q ∨ s

luego el esquema mole ular es:

[(p → q) ∧ (∼ p → s) ∧ (p∨ ∼ p)] → (q ∨ s)

1. Supongamos de la inferen ia es Falsa.

[(p → q) ∧ (∼ p → s) ∧ (p∨ ∼ p)] → (q ∨ s) ≡ F

2. Como

q ∨ s ≡ F

, enton es

q ≡ F

y

s ≡ F

3. Vemos que:

q ≡ F

y

p → q ≡ V

enton es

p ≡ F

s ≡ F

,

∼ p ≡ V

y

∼ p → s ≡ V

enton es

s ≡ V

p∨ ∼ p ≡ V

enton es

p ≡ V

o

F

Por lo tanto, La inferen ia es válida.

Análisis de inferen ia por el método analíti o:

Para este métodoes ne esario ha eruna lista de impli a iones no- tables:

1. Ley del Modus Ponens: Su esquema mole ular es:

p → q

p

∴

q

2. Ley del Modus Tollens: Su esquema mole ular es:

p → q

∼ q

3. Ley del Silogismo disyuntivo: Su esquema mole ular es:

p ∨ q

∼ p

∴

q

4. Ley de la inferen ia equivalente: Su esquema mole ular es:

p ↔ q

p

∴

q

5. Ley del Silogismo Hipotéti o: Su esquema mole ular es:

p → q

q → r

∴

p → r

6. Ley de la transitividad simétri a: Su esquema mole ular es:

p ↔ q

q ↔ r

∴

p ↔ r

7. Ley de la simpli a ión:Su esquema mole ular es:

p ∧ q

∴

p

8. Ley de Adi ión: Su esquema mole ular es:

p

∴

p ∨ q

9. Ley del Absurdo: Su esquema mole ular es:

p → (q∧ ∼ q)

Ejemplo 1.0.13. Demuestre que la inferen ia es válida, mediante el método analíti o.

{[(p ∧ q) ∧ r] → s} ∧ [p ∧ (q ∧ r)] → s

. Solu ión: Su esquema lási o es:

(p ∧ q ∧ r) → s

(p ∧ q ∧ r)

∴

s

por Modus Ponens (1), la inferen ia es válida

Ejemplo 1.0.14. Diga si la inferen ia es válida: Tanto la dinámi a omo la inemáti a estudian el movimiento. Por tanto la in- emáti a estudia el movimiento.

Solu ión:Llevando en forma lógi a:

La dinámi a estudia elmovimiento yla inemáti a estudia elmovimien- to. Por lo tanto la inemáti a estudia el movimiento.

Expresando simbóli amente:

p

: La dinámi a estudia el movimiento.

q

: La inemáti a estudia en movimiento.

p ∧ q

∴

q

La inferen ia es válida por simpli a ión (7)

Ejemplo 1.0.15. Demostrar que la inferen ia es válida.

1)

p → q

2)

q → r

3)

∼ r

4)

p ∨ s/

∴

s

Trabajaremos por la sugeren ia. De

1)

y

2)

on la ley del Silogismo hipotéti o (5), se tiene

5) p → r

De

3)

y

5)

on la ley del Moduns Tollens (2), se tiene

6) ∼ p

De

4)

y

6)

on la ley del Silogismo disyuntivo (3), se tiene

Por lo tanto, siguiente nuestras hipótesis llegamos a la on lusión, en- ton es la inferen ia es válida.

Un trabajo para los estudiantes se puede ha er por a observa ión. Ejemplo 1.0.16. Demostrar que la inferen ia es válida.

1)

p → q

2)

∼ r →∼ q

3)

∼ (∼ p∧ ∼ t)

4)

t → s

5)

∼ r/

∴

s

Solu ión: La inferen ia es equivalente a:

1)

p → q

2)

q → r

3)

∼ p → t)

4)

t → s

5)

∼ r/

∴

s

De

1)

y

2)

, tenemos

6)

p → r

3)

∼ p → t)

4)

t → s

5)

∼ r

De

3)

y

4)

, tenemos

6)

p → r

7)

∼ p → s ≡∼ s → p

5)

∼ r

De

7

y

6)

, tenemos

8)

∼ s → r

5)

∼ r

nalmente, de

8)

y

5)

, tenemos

s

In document An Investigation into Factors Influencing the Sensory Properties of Selected Irish Grown Organic and Conventional Vegetables (Page 36-47)