Validation of the inverse analysis approach on welded sample

1:1 estudio de la geometría supone un número de dificul- tades para los que la aprenden, de alguna forma de naturaleza diferente de aquéllas presenradas en aritmética y en álgebra, debido fundamentalmente a su naturaleza visual Mientras en aritmética, por ejemplo, los signos numéricos representan

meramenu: números y la figura de los primeros no se LA ÍMEÍÍANZA DC relaciona con el número, en geometría un concepto como el LAS MATEMÁTICAS de triángulo y su forma gráfica es esencialmente una y la

misma cosa.

Así, uno puede considerar un triángulo arbitrario (es decir, un triángulo que no posea otras propiedades que las que tengan codos los triángulos) pero, una vez que lo dibuja, resulta ser un triángulo muy específico en forma, tamaño y

orientación e, inevitablemente, posee características que no pertenecen a todos los triángulos. En la formulación de definiciones o en la introducción de ideas se necesita ir con cuidado para asegurarnos de que tales características acciden- tales no formen parte del pensamiento de los alumnos en cuanto a esa definición o idea.

Los tres ejemplos siguientes ilustran estos puntos.

1. Ya que los rectángulos siempre se dibujan con lados adyacentes desiguales, muchos alumnos piensan que c&ta desigualdad forma parte de ta definición de rec- tángulo y fallan al intentar comprender que los cuadra- dos son también rectángulos.

2. Las longitudes de los lados do un ángulo no afectan a la definición del tamaño del mismo pero, como unos lados largos incrementan el tamaño total de la configu-

ración angular, se puede pensar con facilidad que lados largos significan un ángulo grande.

3. Las ideas y definiciones que se refieren a los triángulos rectángulos tienden a ser introducidas usando triángulos en cualquiera de las siguientes posiciones:

Muchos alumnos tienen entonces dificultades en identificar la hipotenusa o los lados adyacentes y opuestos a un ángulo si el triángulo es dibujado así:

Como la geometría es principalmente una asignatura visual, no hay forma de evitar este conflicto entre Jo particular y lo general. El proceso de aprendizaje de la geometría requiere la capacidad de distinguir las características

106 esenciales de una configuración particular que aparece dibujada,

DIFICULTADES DE a partir de las características accidentales e irrelevantes. Los APKENDQAJS niveles de Van Hiele del pensamiento geométrico, discutidos IVHEUMTESAIA en el Capítulo 4, se refieran a esto, así como los Principios ASIGNATURA de variabilidad perceptiva y matemática de Dienes, encontrados

en el Capítulo 3.

Una segunda dificultad general que surge al tratar con conceptos geométricos espaciales es la relación entre la experiencia visual y el pensamiento lógico. Con el actual declive de la enseñanza de la geometría tradicional con su énfasis en la deducción formal, las distinciones entre la experiencia visual y la demostración se han hecho imprecisas, de donde resulta que muchos alumnos pueden llegar a creer que ta! experiencia es equivalente a la demostración. Este punto de vista tiene considerables inconvenientes, no sólo porque reduce la geometría al nivel de una actividad observa- cional, sino porque hace que la apariencia de las figuras geométricas sea determinante de sus propiedades- Por ejemplo, si en un diagrama dado aparece un rectángulo que parece estar cerca de ser un cuadrado, muchos alumnos admitirán lácilmente que es un cuadrado; si una cuerda de un círculo está cerca de ser un diámetro se admitirá entonces que lo es.

La geometría de experiencia es una geometría aproximada.

9 Puede dar una guía de lo que es probable que sea cierto pero

nada más. El alumno que recorta los tres vértices de un triángulo y los dispone lado p o r lado o que mide los tres ángulos y los suma, puede razonablemente estar convencido de que la suma de los ángulos es de cerca de 180° para los pocos y pequeños triángulos que ha usado, pero es una cuestión muy diferente conocer que la suma es exactamente de 180> para cualquier triángulo de cualquier tamaño. De igual forma, en el nivel de la escuela primaria, las explicaciones que surgen a partir de las teselaciones triangulares del plano están dentro de la capacidad de muchos alumnos y deben estar disponibles. Tales explicaciones también sirven para dejar claro que la propiedad de la suma de los ángulos es una consecuencia de la existencia de una red de líneas paralelas equidistantes. Como es bien conocido, tales redes no existen en la geometría no euclídca; la geometría de la teoría de ta relatividad muestra que tales propiedades de las paralelas se cumplen en la realidad sólo a pequeña escala. La suma de los ángulos de un triángulo sobre la superficie de una esfera, por ejemplo, es siempre mayor que Í 8 0 \ mayor cuanto más grande sea el triángulo; consideremos, por ejemplo, un triángulo con un vértice en el polo norte terrestre y los dos restantes en el ecuador. Tales consideraciones también con- ducen a la discusión de lo que es realmente una línea recta. Algunos alumnos no estarán satisfechos con el ejemplo anterior del triángulo sobre la esfera porque verán los lados

curvados, antes que rectos. Cuestiones similares se tratan al LA ENSEÑAKZA DE considerar triángulos astronómicos. El desarrollo de los LAS MATEMÁTICAS

vuelos espaciales y la moderna ciencia ficción hacen más fáciles de discutir en el aula estas ideas.

Aparte de estas consideraciones generales de la base sobre la que son ciertos los hechos geométricos, existen dos áreas particulares en geometría donde la distinción entre el enfoque de la experiencia y las consecuencias lógicas ha de ser comprendida: i) ia medida y ü) las construcciones con regla y compás.

i) Medida

El cálculo de la distancia o la longitud en la geometría ordinaria euclídea se basa en el teorema de Pitágoras. Esto conduce a longitudes cuyo valor numérico es irracional. Un triángulo rectángulo isósceles con sus lados iguales de longitud

1 tiene una hipotenusa de y 2 , por ejemplo. Este no es un

hecho experimental. De igual forma, el hecho de que la longitud de la circunferencia de un círculo es TT veces la longitud del diámetro no es accesible a la experiencia.

ii) Construcciones con regla y compás

Los alumnos al final de la primaria y comienzos de la secundaria no entienden a menudo el propósito de las construcciones geométricas tales como la bisección de un ángulo o de un segmento, o el dibujo de un segmento perpendicular a otro y que pase por un punto dado. Se puede utilizar un transportador o una regla para dividir ángulos o segmentos y una escuadra es adecuada para la construcción mencionada en tercer lugar. Mientras que es

indudablemente cierto que algo del énfasis dado a las cons- trucciones con regla y compás proviene del interés de los griegos por la geometría de la recta y el círculo, también sucede que estas construcciones aclaran la distinción entre exactitud teórica y experiencia práctica. Al igual que en teoría la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con los lados iguales de longitud 1 es exactamente V 2 , de igual forma la construcción de la bisección de un ángulo se puede hacer teóricamente con exacritud, mientras que la aplicación de un transportador estará inevitablemente sujeta a un error de medida. El hecho de que la ejecución práctica de la construcción no sea perfecta no le resra valor. En el mundo ideal de los objetos geométricos, la constmeción es exacta. (Desde el punto de vista práctico las construcciones

DIFICULTADES DE pueden ser simples de ejecutar ya que son independientes de APRENDIZAJE los recursos de medida, que no son fáciles de usar con un (NHFACNTFS A LA alto grado de exactitud).

ASIGNATURA Volvamos ahora a dos aspectos más de ia geometría en

los que el sentido visual es predominante.

El primero de ellos se refiere a la percepción de los hechos de una configuración geométrica como un resultado de identificar o aislar partes de la figura dentro del todo. Esta habilidad corresponde a uno de los niveles más altos de Van Hiele, y también se relaciona con la capacidad de formar gucstalts (Capítulo 3, Sección 6). De igual manera, en los niveles elementales, por ejemplo en el cálculo de un área, es necesario ser capaz de dividir una figura en sus componentes o verla en el contexto de un todo mayor, mientras que para alguna forma de geometría deductiva, la habilidad es esencial, Esto puede llevar a una considerable simplificación y unifica- ción de ías explicaciones y demostraciones geométricas.

Consideremos, por ejemplo, el siguiente diagrama, donde las flechas indican líneas paralelas:

P

Esta es una configuración habitual que surge del enrejado triangular del plano. Si se aisla el A ABC y se relaciona con A PQR» se puede comprobar que las perpendiculares que dividen en dos a tos lados de A PQR son las alturas de A ABC. Así, la intersección de unas se sigue de la intersección de las otras. Como la intersección de estas perpendiculares es un hecho completamente comprobado (basado en la equidis- tancia), obtenemos una demostración de la intersección de las alturas.

Una reflexión más aclara el hecho de que A P Q R y A ABC tienen las mismas medianas. Se sigue de que si las medianas de A P Q R no se intersectaran, entonces ninguna sería mediana del A A B C Por otra parte, como los dos triángulos son semejantes con los lados en proporción 2:1, los lados del triángulo encerrado p o r las medianas del A ABC tienen la mitad de longitud que los del triángulo encerrado por las medianas del A P Q R . Como los dos triángulos formados por ¡as medianas son uno y el mismo, llegamos a una contradicción. La suposición de la no inter- sección de las medianas es, por tanto, falsa, y el teorema de la intersección ha de cumplirse.

La habilidad geométrica depende de una gran extensión LA FNSEÑAHZA DF de este tipo de intuiciones, y muchas diíicultades de aprendí- LAS KATUIATICAS 2a¡e son debidas a su ausencia, Por tanto, la realización de

estas intuiciones debe ser perseguida como una meta especí- ficamente identificada.

El segundo de los dos aspectos donde el sentido visual predomina es en la representación en e! plano de objetos de

tres dimensiones. Mientras los sólidos constituyen una ayuda visual obviamente importante en el trabajo tridimensional, la capacidad de traslación de dos a tres dimensiones y viceversa

es también importante. Parte de la dificultad que implica es que ta representación bidimensional de un objeto tridimen- sional tiene una apariencia visual ambigua, siendo al mismo tiempo interpretable como un diagrama plano y como un objeto sólido. Algunos artistas modernos como Escher y Magritte expÜcitan CSU ambigüedad para producir resultados desorientadores. En particular, Escher se interesa en lo que aparentemente son representaciones bidimensionales de objetos sólidos, pero objetos que un examen detallado revela como imposibles en tres dimensiones. Una variedad de ejemplos puede ser encontrada en The Graphic Work o/M. C. Escher*. Otras dificultades pueden surgir en los alumnos, ya que los ángulos que en el objeto sólido son rectos pueden aparecer como no rectos en el diagrama bidimensional y el efecto de U perspectiva visual hará que líneas paralelas parezcan diverger. El familiar diagrama bidimensional de un cubo ilustra este primer punto.

O t r o punto (explotado por Escher) es la interpretación actual de tal diagrama como un objeto de eres dimensiones. ¿Es el punto A el más cercano o el más alejado del

observador?

• "La interpretación simultánea de la figura anterior como un cubo y como una configuración plana de paralelogramos tiene, como una interesante consecuencia, el hecho de que los segmentos C F , BG y DE sean concurrentes ya que son tres de las diagonales espaciales del cubo. Tratadas puramente en el plano, una explicación de esta concurrencia requiere mucho razonamiento. Una idea similar que trata de la intersección de alturas puede ser encontrada en una nota a

110 9 Eieher, M. C »967; The Graph* Work ofM C E*dm. Oldboume.

DIFICULTADES DE pie de página de los autores <D5M) en la Mathematical AjftEttüftAjt- Gazetted

INHERENTES A LA Para resumir, las dificultades en el aprendizaje de h ASIGNATURA geomecría pueden surgir porque

a) las certezas geométricas tienen que ser distinguidas de las caracteríscicas accidentales/irrelevantes de los dia- gramas concretos»

b) debe diferenciarse la observación de las consecuencias lógicas.

c) debe distinguirse el cálculo teórico exacto de la medida práctica,

d) es necesaria una intuición reflexiva para percibir los aspectos implícitos de los diagramas geométricos»

e) es necesario ser capaz de aprehender objetos tridimen- sionales y sus propiedades a través de su representación bidimensional

Para muchos alumnos, la aplicación de las ideas algebraicas a la geometría es una dificultad añadida. Esto no se debe a una seria falta de entendimiento del álgebra misma, sino a la ausencia de apreciación de las relaciones entre los métodos abstractos del álgebra y los diagramas geométricos concretos. Para tales alumnos, la geometría parece relacionar cosas que uno cree ver y tocar, mientras que el álgebra está más allá de la experiencia sensorial. Ix>$ métodos vectoriales, en particular, son vistos con antipatía por los alumnos mayores porque la aplicación formal délas reglas del álgebra vectorial se extraen de la realidad de las figuras geométricas. Mientras el uso de las técnicas algebraicas empiece a partir de donde acaban los diagramas geométricos, la etapa manípulauva del álgebra no puede ser relacionada con estos diagramas o, al menos, no de

forma obvia. Esta dificultad no se aplica tanto a la represen- tación de los lugares geométricos por medio de ecuaciones e inecuaciones algebraicas, ya que en el nivel educativo superior a los 16 años tales representaciones se refieren raramente al pensamiento geométrico y son utilizadas por razones pura- mente algebraicas o numéricas —por ejemplo, obteniendo las coordenadas del punto (o puntos) de intersección de dos Jugares geométricos.

Quizá, una de las piedras de toque de la capacidad real en matemáticas sea que un alumno utilice métodos algebraicos con confianza para el establecimiento de resultados geométri- cos- Ya que ésta es un área donde pueden demostrar el valor de la técnica de manipulación algebraica, debe ser tomada en

10 Matnab, D. S. 1984; The Eukr line and wberc it led to. Matfama-

rumia por la enseñanza de forma que se 1« den ai alumno UEMtfAKZADf aplicaciones del algebra por este camino. Tal experiencia t-v> HA TEMÁTICAS ayuda también a dar a los alumnos una perspectiva de la

unidad esencial de las matemáticas.

* a *

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CAPÍTULO 6

Lenguaje y numeración