シ ス テ ム 制 御 情 報 学 会 論 文 誌,Vol. 18, No. 11, pp. 393-399, 2005 393
論
文
ユ ニ モ ジ ュ ラ な連 続 時 間 パ ラ エ ル ミ ー ト多 項 式 行 列 の
ス ペ ク トル 分 解 ア ル ゴ リズ ム *
金 子
修 † ・Paolo Rapisarda
‡・鷹 羽
浄 嗣 §
An
Algorithm
for
the
Spectral
Factorization
of Unimodular
Para-Hermitian
Polynomial
Matrices
in Continuous
Time
*
Osamu KANEKo †, Paolo RAPISARDA ‡ and Kiyotsugu TAKABA §
In this paper,
we address
an algorithm
for the spectral
factorization
of para-Hermitian
unimodular
polynomial
matrices
in the continuous
time case.
Most of the algorithms
for the spectral
factoriza-tions
of matrix
polynomials
depend
on the existence
of the roots
of given
polynomial
matrices,
so
it is almost
impossible
to execute
the spectral
factorization
of unimodular
polynomial
matrices.
In
this paper,
we provide
a new algorithm
for the spectral
factorization
of unimodular
polynomial
ma-trices
without
the existence
of the roots
of polynomial
matrices
or the stability.
The task one has
to do is only to solve a linear
matrix
inequality
consisting
of the coefficients
of a given unimodular
matrix,
which
can be achieved
easily
by the use of numerical
computation
packages.
The algorithm
we present
here is based on the property
of the storage
functions
for the dissipative
systems
in which
there always exists positive
dissipated
energy
for the environment.
This implies
that the fundamental
property
in our algorithm
is also a self-standing
interesting
result
with respect
to theoretical
points
of view.
Finally,
in order
to show the validity
of our results,
we give an illustrative
example
with
respect
to numerical
aspects.
1. は じ め に
ま ず,本 論 文 で と り扱 う 問 題 を 定 式 化 す る.Z(ξ)∈ Rw×w[ξ]1を 以 下 の 条 件
(1). Z(ξ)=Z(-ξ)T (2). Z(jω)〓0
(3). Z(ξ)はRw×w[ξ]上 の ユ ニ モ ジ ュ ラ行 列 を 満 た す 多 項 式 行 列 とす る.こ の と き,次 の 条 件
(a).Z(ξ)=D(-ξ)TD(ξ)
(b).D(ξ)∈Rw×wは
ユ ニ モ ジ ュ ラ行 列
を満 た すD(ξ)を 求 め る問 題 を考 え る2.通 常 の 多 項 式 行
列 の ス ペ ク トル分 解 で は,Z(ξ)は ユ ニ モ ジュ ラで は な く
虚 軸 に対 して 対 称 の位 置 に存 在 す る根 の 対 を もつ パ ラ エ
ル ミー ト行 列 を扱 うが,こ
こで は,そ の よ う な根 が 存 在
し な い場 合 の ス ペ ク トル分 解 と な っ て い る.
よ く知 られ て い る よ う に,多 項 式 行 列 や 有 理 関 数 行 列
の ス ペ ク トル 分 解 は,そ
の理 論 的 な背 景 が 消 散 性 を は じ
め と した 動 的 シ ス テ ム の重 要 な性 質 と深 く関連 す る とい
う こ とか ら,制 御 理 論,シ
ス テ ム理 論,回
路 理 論,信
号
処 理 理 論 の 分 野 に お い て古 くか ら多 くの 研 究 が な さ れ て
き た([1,18]な ど).有 理 関 数 行 列 の ス ペ ク トル分 解 は本
質 的 に多 項 式 行 列 の ス ペ ク トル分 解 を基 礎 と して い る の
で[19],特
に多 項 式 行 列 に お け る ア ル ゴ リズ ム を考 究 し
て い く こ と は重 要 で あ り,多 岐 に わ た る研 究 が 報 告 さ れ
て い る([2-5,10,12,14,16,17,19]な
ど).こ れ らの 研 究 で
提 示 され た ア ル ゴ リズ ム は,そ
の ほ とん どが ユ ニ モ ジ ュ
* 原 稿 受 付2005年3月10日
† 大 阪 大 学 大 学 院 基 礎 工 学 研 究 科Graduate
School of Engineering Science, Osaka University;
1-3 Machikaneyamacho, Toyonaka city, Osaka 560-8531,
JAPAN
‡ サ ザ ン プ ト ン大 学 電 気 ・コ ン ピ ュ ー タサ イ エ ンス 学 科
School of Electronics and Computer Science, University
Southampton; S017 1BJ, United Kingdom
§ 京 都 大 学 大 学 院 情 報 学 研 究 科Department of
Applied Mathematics and Physics, Graduate School
of Informatics, Kyoto University; Yoshida-Honmachi,
Sakyo-ku, Kyoto 606-8501, JAPAN
Key Words : spectral factorization, polynomial matrices,
two-variable polynomial matrices, unimodular matrices,
dissipativeness.
1 表 記 に つ い て は 付 録 を 参 照 の こ と.
2 後 述 す る よ う に
394 シ ス テ ム制 御 情 報 学 会 論 文 誌 第18巻 第11号(2005)
ラ行 列 に は対 応 不 可 能 で あ る.た とえ ば,代 表 的 なス ペ ク
トル 分 解 ア ル ゴ リズ ム で あ るSymmetric
Extraction [2]
な ど を用 い て 通 常 の(根 を持 つ)ス ペ ク トル 分 解 を行 う
と,共 通 因子 を左 右 か ら く くる こ とが 基 本 的 方針 で あ り,
最 終 的 に は 中 央 に ユ ニ モ ジ ュ ラ行 列 を残 して し まい 共 通
因子 を く く る こ とが で きな くな る.ま
た,参 考 文 献[16]
に 端 を発 した 非 線 形 計 画 法 に よ る微 分 方 程 式 の 解 法 に基
づ く方 法[4]に お い て も,数 値 ア ル ゴ リズ ム の 収 束 性 が
各 ス テ ッ プで 現 れ る ス ペ ク トル 因子 の 安 定 性 に 依 存 して
い る.参 考 文 献[3]や[19]のToeplitz行
列 やHankel行
列 に よ る方 法 に お い て も,与 え られ た行 列 の 係 数 行 列 か
ら構 成 さ れ る線 形 方 程 式 の解 か ら ス ペ ク トル 因 子 を得 る
方 法 を提 案 し て い る が,こ
の線 形 方 程 式 の 可 解 性 が,や
は りス ペ ク トル 因子 の 安 定 性(ま た は 反 安 定 性)に 依 存
して い る.多 項 式 シ ス テ ム理 論 の 一 般 化 とい う立 場 か ら
考 え る と,根 を もつ場 合 と同様 に,ユ ニ モ ジ ュ ラ な 多 項
式 行 列 の ス ペ ク トル 分 解 に 関 して もそ の ア ル ゴ リズ ム を
開発 して お くこ とは 重 要 で あ る.一 方,Jス
ペ ク トル 分
解 で は あ る が,参 考 文 献[10]に お い て,[2]の 方 法 を発 展
させ たユ ニ モ ジ ュ ラス ペ ク トル 分 解 の 解 法 が得 られ て い
る が,行 次 数 や 列 次 数 の 調 整,最
高 次 数 の係 数 行 ベ ク ト
ル か ら作 られ る定 数 行 列 の正 則 化 な ど,煩 雑 な手 続 き を
必 要 と してお り,有 用 な手 法 とは い え な い.し たが っ て,
実 用 的 な観 点 か ら も,よ
り簡 潔 な 方 法 で 汎 用 性 の あ る ア
ル ゴ リズ ム の 開発 が 望 ま しい で あ ろ う.
こ の よ う な観 点 か ら,本 論 文 で は連 続 時 間 で の ユ ニ モ
ジ ュ ラ な パ ラエ ル ミー ト多 項 式 行 列 の ス ペ ク トル 分 解 の
ア ル ゴ リズ ム を与 え る.基 本 的 に は参 考 文 献[14](連 続 時
間)や[5](離 散 時 間)と ほ ぼ 同様 に二 変 数 多 項 式 行 列 に基
づ い た消 散 不 等 式 の 蓄 積 関 数 の 性 質 に 着 目 した 方 法 で あ
る.し
か し,こ れ ま で は,こ
れ らの 方 法 も最 大/最 小 の
蓄 積 関 数 が 反 安 定/安 定 な ス ペ ク トル 因 子 か ら誘 導 さ れ
る消 散 率 に対 応 す る とい う性 質 に立 脚 し て い た た め,ユ
ニ モ ジ ュ ラ な 行 列 に対 す る 適 用 は不 可 能 と され て き た .
しか しな が ら,消 散 シ ス テ ム に お け る供 給 率 が あ る 性 質
を 満 た す と き に蓄 積 関 数 が 唯 一 しか存 在 しな い,と い う
理 論 的 結 果 を導 出 す る こ と に よ り,結 果 的 には[14]や[5]
と同様 に与 え ら れ た 多 項 式 行 列 の 係 数 行 列 か ら構 成 さ れ
る線 形 行 列 不 等 式 の 解 を求 め る の み で よい,と い うシ ン
プ ル な ア ル ゴ リズ ム で 実 行 可 能 で あ る こ と を示 す.こ れ
は,数 値 計 算CADパ
ッ ケ ー ジ が 普 及 して い る 昨今 の 状
況 に お い て は,実 用 的 な 観 点 か ら非 常 に有 効 な結 果 を与
え た と もい え よ う.同 時 に,参 考 文 献[14]や[5]の
結 果
が,よ
り汎 用 性 の 高 い ス ペ ク トル 分 解 の アル ゴ リズ ム で
あ る,と い う一 般 性 を 証 明 した こ と に もな る.そ
して,
そ れ ら以 上 に 本 論 文 の 結 果 は,消 散 シス テ ム にお け る 蓄
積 関 数 に 関 す る重 要 な 性 質 を解 き明 か して い る とい う点
で 理 論 的 に み て も興 味 深 い 成 果 をあ げ た とい え る.
本 論 文 の 構成 は 以 下 の とお りで あ る.続
く第2章
で は,
本 論 文 で 必 要 に な る い くつ か の シス テ ム 理 論,二 変 数 多
項 式 行 列 と そ れ か ら誘 導 さ れ るQDF,そ し て 消 散 性 に 関 す る 基 本 的 な 結 果 を 示 す.第3章 で は,主 要 結 果 の 一 つ と し て,供 給 率 が あ る 性 質 を も つ と き に,蓄 積 関 数 が 満 た す 性 質 を 示 す.そ し て,そ れ ら を も と に し て 連 続 時 間 の ユ ニ モ ジ ュ ラ 多 項 式 行 列 の ス ペ ク トル 分 解 の ア ル ゴ リ ズ ム を 与 え る.第4章 で は,得 ら れ た 成 果 の 妥 当 性 を 検 証 す る た め に,数 値 例 を あ げ る.最 後 に 第5章 で は,ま
と め を 述 べ る.
2. 準 備
2.1 二 変 数 多 項 式 行 列 とQDF
Rp×w[ζ,η]を 二 変 数 ζ,η を も つp×wの 実 係 数 二 変 数 多 項 式 行 列 の 集 合 と す る.φ(ζ,η)∈Rw×w[ζ,η]に 対 し, φ(ζ,η)=φ(η,ζ)Tを 満 た す よ う な 集 合 をRsw×w[ζ,η]で 表 す.Rw×ws[ζ,η]の 任 意 の 元 φ(ζ,η)=Σ(k ,l)=(0,0)φk,lζkηl は,そ の 級 数 の 和 に つ い て
(1)
の よ う に 上 限 と な る 整 数 を も つ.す な わ ち,φ(ζ,η)=
Σ(N(Φ),N(Φ))(k,l)=(0,0)φk,lζkηlであ る.
ψ(ζ,η)=Σ(N(Φ),N(Φ))(k,l)=(0,0)φk,lζkηl∈RW×Ws[ζ,η]に 対 し,η と ζ を そ れ ぞ れW∈〓 ∞(R,Rw)と ωTに 対 す る 微 分 演 算 子 と す る と,φ(ζ,η)はQΦ:〓 ∞(R,Rw)→(R)Rで 定 義 さ れ るQuadratic Differential Form(以 降,QDFと 略 す る)
(2)
を 誘 導 す る.Φ(ζ,η)が 別 の ψ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]に よ り (ζ+η)ψ(ζ,η)=ψ(ζ,η)と 表 さ れ た と す る.ζ や η が 行 お よ び 列 ベ ク トル に 作 用 す る 微 分 演 算 子 で あ る こ と を 考 え れ ば,誘 導 さ れ るQDFはQΦ=dQψ/dtと な る.
Φ(ζ,η)=Σ(N(Φ),N(Φ))k,l=(0,0)φk,lζkηl∈Rw×w3[ζ,η]に 対 し,各 項 の 係 数 と な る 行 列 か ら 構 成 さ れ る 以 下 の 定 数 行 列
(3)
を 定 義 す る.Φ を 以 降 で は Φ(ζ,η)の係 数 行 列 と よ ぶ. ψ(ζ,η)∈Rws×w[ζ,η]に 対 し て,φ=WTΩ ΦWと し, W∈Rr(ψ)×(N(Φ)+1)wが 行 フ ル ラ ン ク,Ω Φ ∈Rr(Φ)×r(Φ) が 正 則 に な る よ う に 分 解 で き る.こ れ よ り,W(ξ):= W[IwξIw… ξN(Φ)Iw]T∈Rr(φ)×W[ξ]を 臓 す る と
(4)
金 子 ・Rapisarda・ 鷹 羽:ユ ニ モ ジ ュ ラ な 連 続 時 間 パ ラエ ル ミー ト多 項 式 行 列 の ス ペ ク トル分 解 ア ル ゴ リズ ム 395
正 準 因 子 は 唯 一 で は な い.
Φ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]から誘 導 さ れ たQΦ が,任 意 の ω ∈ 〓∞(R,Rw)お よ び 任 意 の 時 刻t∈Rに 対 し,(QΦ(w)(t)〓0 を 満 た す と き に,Φ(ζ,η)〓0と 表 す.ま た,
(5)
の よ う に,係 数 行 列 の 準 正 定 性 と等 価 で あ る こ と も容 易 に 示 せ る[15].さ ら に,Φ(ζ,η)〓0か つQΦ(ω)=0な ら ば ω=0の と き に Φ(ζ,η)>0と 表 す と,[15]で 示 さ れ て い る よ う に,こ れ は Φ(ζ,η)=W(ζ)TW(η)と 正 準 分 解 で き,W(ξ)が す べ て の 複 素 数 で 列 フ ル ラ ン ク で あ る こ
と と 等 価 で あ る.
2.2 QDFに 基 づ く消 散 性
ま ず,動 的 シ ス テ ム を.Σ=(R,Rq,〓)で 表 す と し よ う. Rは シ ス テ ム の 動 特 性 を 考 え る 時 間 軸,Rqは シ ス テ ム が と り う る 信 号 空 間,そ し て,〓 ⊆(Rq)Rを シ ス テ ム が と り う る トラ ジ ェ ク ト リ の 集 合 で ビ ヘ イ ビ ア と よ ぶ[11]. シ ス テ ム Σ が 線 形 ・時 不 変 ・有 限 次 元,そ し て,ビ ヘ イ ビ ァ の 意 味 で 可 制 御 な と き に,す べ て の 複 素 数 で 列 フ ル ラ ン ク な 多 項 式 行 列M(ξ)∈Rq×w[ξ]を 用 い て,任 意 の ω ∈ 〓 が ω=M(d/dt)lで 表 現 可 能 で あ る と い う事 実 が 得 ら れ て い る[11].な お,l∈(Rw)Rは シ ス テ ム の ラ テ ン ト変 数 と よ ば れ る.以 降 の 議 論 で は,シ ス テ ム は 線 形 ・ 時 不 変 ・有 限 次 元 ・可 制 御 で あ る と す る.
以 上 の 準 備 の も と に,シ ス テ ム Σ が 供 給 率 に 対 し消 散 的 で あ る こ と の 定 義[15,13]を 以 下 に 与 え る.
【定 義1】 Σ=(R,Rq,〓)に 対 し,Φ(ζ,η)∈Rq×qs[ζ,η] に よ り誘 導 さ れ たQφ(w)が 任 意 の ∀ω ∈B∩ 〓 ∞(R,Rq) に 対 し て ∫∞-∞QΦ(ω)dt〓0を 満 た す と き,シ ス テ ム Σ は 供 給 率Q￠ に 対 し て 消 散 的 で あ る と い う.
こ の 定 義 は,(コ ンパ ク トサ ポ ー ト を も つ)ト ラ ジ ェ ク ト リwに 沿 っ た エ ネ ル ギ ー 供 給 量 をQΦ(w)で 評 価 し た と き に 実 質 的 な エ ネ ル ギ ー 供 給 が 存 在 し た こ と を 意 味 す る.シ ス テ ム が ω=M(d/dt)lな る 数 式 表 現 を 持 つ と き に,Φ'(ζ,η):=M(ζ)Tφ(ζ,η)M(η)∈Rw×ws[ζ,η]と す れ ば,上 で 定 義 し た 消 散 性 は,任 意 のL∈ 〓 ∞(R,RW)に 対 し ∫∞-∞QΦ'(l)dt〓0の 成 立 と 等 価 で あ る.し た が っ て, 以 下 で は,一 般 性 を 失 う こ と な く,ψ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η] の 供 給 率 に 対 し て(RW)Rの 全 空 間 を ビ ヘ イ ビ ア と し て 扱 い,lをwと し て 議 論 す る.そ し て,単 に"QΦ が 消 散 的 で あ る"と い う こ と に す る.
こ の 設 定 の も と で 蓄 積 関 数 と 消 散 率 を 以 下 で 定 義 す る[15].
【定 義2】 Φ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]によ り 誘 導 さ れ た 供 給 率QΦ を 考 え る.
・ ψ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]か ら 誘 導 さ れ たQψ が 任 意 の ω ∈ 〓∞(R,Rw)に 対 しd/dtQψ(w)〓QΦ(w)を 満 た す
と き,Qψ をQΦ に 対 す る 蓄 積 関 数 と い う.
・ △(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]から誘 導 さ れ たQ△ が 任 意 の ω ∈
〓 ∞(R,Rw)に 対 し ∫∞-∞QΦ(ω)dt=∫ ∞-∞Q△(ω)dt, お よ び △(ζ,η)〓0で あ る と き に,Q△ をQΦ に 対 す る 消 散 率 と い う.
な お,消 散 率 の 定 義 の 前 半 部 に 関 し て,任 意 の ω ∈ 〓 ∞(R,Rw)に つ い て の ∫∞-∞QΦ(ω)dt＝ ∫∞-∞Q△(ω)dt の 成 立 と
(6)
は 等 価 で あ る[15].そ し て,与 え ら れ た 供 給 率 に 対 し消 散 率 と 蓄 積 関 数 の 関 係 が 以 下 の と お り に 示 さ れ る[15].
【定 理1】 φ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]が供 給 率QΦ を 誘 導 す る と 仮 定 す る.こ の と き,次 の 四 条 件 は 等 価 で あ る.
(a). QΦ が 消 散 的 で あ る. (b). φ(-jω,jω)〓0,∀ ω ∈R.
(c). QΦ に 対 す る 蓄 積 関 数 が 存 在 す る. (d). Qφ に 対 す る 消 散 率 が 存 在 す る.
ψ(ζ,η)と △(ζ,η)か ら誘 導 さ れ る 蓄 積 関 数Qψ と消 散 率 Q△ の 問 に は,任 意 のw∈ 〓∞(R,RW)に つ い て
(7)
ま た は等 価 的 に
(8)
の よ う な 一 対 一 の 関 係 が 存 在 す る.
3. 主 要 結 果
本 論 文 で 提 示 す る ユ ニ モ ジ ュ ラ 多 項 式 行 列 の ス ペ ク ト ル 分 解 の ア ル ゴ リズ ム は 後 述 す る 定 理4で あ る が,そ の た め に 必 要 な 消 散 性 に 関 す る 性 質 を 以 下 で 与 え て い く.
3.1 蓄 積 関 数 の 唯 一 性 に つ い て
ま ず,本 論 文 で 根 幹 を な す 蓄 積 関 数 の 性 質 を 示 す. 【定 理2】 φ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]が供 給 率QΦ を誘 導 し, QΦ が 消 散 的 で あ る と す る.さ ら に,Φ(-ξ,ξ)をRw×w[ξ] 上 の ユ ニ モ ジ ュ ラ 行 列 と す る.こ の と き,QΦ の 蓄 積 関
数 は(し た が っ て,消 散 率 も)唯 一 で あ る.
(証 明)ま ず,定 理1か ら,こ のQψ が 消 散 的 で あ る こ と か ら,蓄 積 関 数 と 消 散 率 が 存 在 す る こ と も わ か る.Φ(-ξ,ξ)の ユ ニ モ ジ ュ ラ 性 か ら,Φ(-ξ,ξ)= D(-ξ)TD(ξ)で,D(ξ)を ユ ニ モ ジ ュ ラ と で き る ス ペ ク ト ル 分 解 が 可 能 で あ る[10].こ の と き,△(ζ,η):= D(ζ)TD(η)∈Rw×ws[ζ,η]が,(6)式 お よ び △(ζ,η)〓0を 満 た す こ と は 容 易 に わ か る.し た が っ て △(ζ,η)か ら 誘 導 さ れ るQ△ はQψ に 対 す る 消 散 率 と な り,ψu(ζ,η)∈ Rw×ws[ζ,η]を対 応 す る 蓄 積 関 数 を 誘 導 す る と し て,任 意 のw∈ 〓∞(R,RW)に 対 し
(9)
396
シス テム制御 情 報学 会論 文誌
第18巻
第11号(2005)
を 他 の 任 意 の 消 散 率 と し,H(ξ)∈Rp×w(ξ)を そ の 正 準 因 子 とす る.Q△'に 対 応 す る 蓄 積 関 数 を ψ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]
で 誘 導 さ れ る と し て 任 意 の ω ∈ 〓∞(R,Rw)に 対 し
(10)
な る消 散 関係 を得 る.(10)式
を(9)式 か ら差 し引 くこ と
に よ り任 意 の ω ∈ 〓∞(R,Rw)に
対 し
(11)
を 得 る.こ こ で ψ(ζ,η):=ψu(ζ,η)-ψ(ζ,η)で あ る.D(ξ) の ユ ニ モ ジ ュ ラ 性 を 用 い る と
で あ る こ と か らd:=D(d/d
t)ω を 議 す る と,や は り d∈ 〓∞(R,RW)に な る の で(11)式 は 任 意 のd∈ 〓∞(R,Rw) に つ い て
(12)
の 成 立 と等 価 に な る.さ ら に,dの 任 意 性 よ り(12)式 は
(13)
と も 等 価 で あ る の で,ζ=-ξ,η=ξ と す る と
(14)
を 得 る.こ こ で,N(ξ)=Σd(N)i=0Niξiと 表 現 さ れ る と し て,(14)式 を展 開 し て ξ に 関 す る 恒 等 式 と み な す と
(15)
の2d(N)本 の 式 の 関 係 を 得 る.ま ず,(15)式 の 最 下 段 の 式 か らNd(N)=0p×wが 成 立 す る こ と が わ か る.こ の Nd(N)=0p×wを 用 い る と,最 下 段 か ら3番 目,す な わ ちN(-ξ)TN(ξ)の2d(N)-2次 の 係 数 行 列 の 関 係 よ り, NTd(N) -1Nd(N)+1=0wの 関 係 を 得 る の で,Nd(N)-1= 0P×wを 得 る.こ の よ う な 手 順 を ふ み,iを 偶 数 と し て N(-ξ)TN(ξ)の2d(N)-i次 の 係 数 行 列 の 関 係 よ り,
Nj=0p×w,j=1,2,…,d(N)を 得 る1.そ し て,残 さ れ
た(15)式 の 第 一 等 式 か らN0が 正 規 直 交 行 列 に な る こ と が わ か る.ま た,こ の 関 係 を(12)に 代 入 す る と(ζ+ η)ψD(ζ,η)=0wを 得 る が,こ れ は 任 意 のd∈ 〓∞(R,Rw) 上 でd/dtQψD(d)=0を 意 味 す る.D(ξ)の ユ ニ モ ジ ュ ラ 性 を 使 え ば,こ れ は 任 意 の ω ∈ 〓∞(R,Rw)上 で
(16)
と な る の で,(16)式 の 関 係 を(11)式 に 代 入 す る と,任 意 の ω ∈ 〓∞(R,Rw)に 対 し,
(17)
と な り,H(ζ)TH(η)=D(ζ)TD(η)を 得 る.こ れ は,消 散 率 が 唯 一 で あ る こ と を 意 味 し て お り,定 理1で 述 べ た 一 対 一 の 関 係 か ら 蓄 積 関 数 も 唯 一 と な る. □
(注 意1)上 の 証 明 中 で,H(ζ)TH(η)=D(ζ)TD(η)
を 得 た が,こ れ はH(ξ)=D(ξ)と い う こ と で は な い. 一 般 に は
,H(ξ)とD(ξ)の 問 に は,U(-ξ)TU(ξ)= Iwの 関 係 を 満 た す よ う なU(ξ)∈Rp×w[ξ]が 存 在 し て H(ξ)=U(ξ)D(ξ)な る 関 係 が 存 在 す る.さ ら に,証 明 中 でN(-ξ)TN(ξ)=Iwと な る 行 列 がN(ξ)=N0と 表 さ れ る こ と よ り 明 ら か な よ う に,そ の よ う なU(ξ)は 定 数 行 列 で あ る こ と も わ か る.
(注 意2)H(ξ)の 行 の サ イ ズ に 関 し て も,証 明 中 で は 一般 にwと 異 な る よ う にPと お い た が
,実 はP=wと な る. こ れ は 以 下 の よ う に 示 せ る.ま ず,p<wの 場 合 はH(ξ) の ノ ー マ ル ラ ン ク がw未 満 で あ る こ と を 意 味 し て お り, H(-ξ)TH(ξ)=D(-ξ)TD(ξ)=φ(-ξ,ξ)で,Φ(-ξ,ξ)
の ユ ニ モ ジ ュ ラ 性 に 矛 盾 す る.次 にp>wの 場 合 はH(ξ) は 縦 長 に な り,H(ζ)TH(η)の 二 変 数 多 項 式 行 列 と し て
の係 数 行 列 は 定 数 行 列H:=[H0H1…Hd(H)]の
積
の 形 でHTHの よ う に 表 現 さ れ る.一 方,D(ζ)TD(η)
の係 数 行 列 に 関 して も同様 にD:=[D0D1…Dd(D)]
と してDTDと
表 現 さ れ る.な
お,明
ら か な よ う に,
d(H)=d(D)で
あ る.定 数 行 列 と して の ラ ン ク を考 え れ
ば,D(ξ)の
サ イ ズ がw×wで
あ る こ と よ りr(DTD)=w
で あ る の で,DTD=HTHを
考 えれ ば,r(HTH)=wと
な ら な け れ ば な らな い.二 変 数 多 項 式 行 列 の正 準 因子 の
行 サ イ ズ は定 数 行 列 の ラ ン ク な の で,結 局H(ξ)の
行 サ
イ ズ もwで あ る.
以 下,定 理2の
物 理 的 な観 点 か らの 示 唆 につ い て 考 察
して お く.供 給 率QΦ
に対 して,蓄 積 関 数 が 唯 一 に な る
の は,無 損 失[15],す
な わ ち,Φ(-ξ,ξ)=0wの
場 合 と,
こ こで 述 べ た Φ(-ξ,ξ)がユ ニ モ ジ ュ ラ の 場 合 で あ る.前
者 の 無 損 失 に 関 して は,エ
ネ ル ギ ー が 消 散 しな い,す
な
わ ち 必 ず エ ネ ル ギ ーが 蓄 え られ る 性 質 で あ る.一 方,後
者 の本 論 文 で の 場 合 は,D(ξ)が
ユ ニ モ ジ ュ ラ で あ る こ と
1な お
,iを 奇 数 と してN(-ξ)TN(ξ)の2d(N)-i次 の
金 子 ・Rapisarda・ 鷹 羽:ユ ニ モ ジ ュ ラ な 連 続 時 間 パ ラ エ ル ミー ト多 項 式 行 列 の ス ペ ク トル 分 解 ア ル ゴ リズ ム 397
か らす べ て の 複 素 数 で 列 フ ル ラ ン ク な多 項 式 行 列 で あ り,
2章 の最 後 で述 べ た事 柄 よ り,△(ζ,η)=D(ζ)TD(η)>0,
す な わ ち,消 散 率 がQ△(ω)=0と
な る の は 自明 な零 信
号 の み で,そ
れ 以 外 は必 ず エ ネ ル ギ ー が 外 部 に 消 散 す る
場 合 に な る.こ れ は,エ ネ ル ギ ー散 逸 の 観 点 か ら考 え る
と,物 理 的 に 両 極 端 な場 合 にお い て 蓄 積 関 数 が 唯 一 で あ
り,他 の場 合 は無 数 に存 在 す る こ と を示 唆 して い る.こ
の事 実 は理 論 的 に見 て 興 味 深 く,こ の 点 の さ らな る深 い
考 察 は今 後 の 展 望 とい え る.
(注 意3)離
散 時 間 の場 合 に関 して は,著
者 らの 参 考
文 献[8]で 示 した よ う にユ ニ モ ジ ュ ラ の 場 合 で も複 数 の
蓄 積 関数 が 存 在 し,そ の 中 で も最 大 の もの が ユ ニ モ ジ ュ
ラ な ス ペ ク トル 因子 か ら誘 導 され る消 散 率 に対 応 す る蓄
積 関 数 に な る.議 論 は こ こ で の連 続 時 間 とは異 な る の で,
証 明 な どの 詳 細 は 参 考 文 献[8]や[9]を
参 照 され た い.
3.2
蓄 積 関 数 を 誘 導 す る 二 変 数 多 項 式 行 列 の 係
数 行 列 の サ イ ズ
前 節 の 定理2か
ら,与 え られたZ(ξ)∈Rw×w[ξ]に対 す る
ユ ニ モ ジ ュ ラ ス ペ ク トル 因 子 を得 る に はZ(ξ)=φ(-ξ,ξ)
とな る Φ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]か
ら誘 導 さ れ る供 給 率 を考 え,
そ の消 散 不 等 式 を満 たす(唯 一 の)蓄 積 関数 に対 応 す る消
散 率 を求 め れ ば よ い.そ の 際 に,蓄 積 関 数 を誘 導 す る二
変 数 多 項 式 行 列 の 係 数 行 列 の サ イ ズ を知 る必 要 が あ る.
そ の た め に有 用 な以 下 の 定 理 を あ げ る.
【
定 理3】
定 理2で
得 ら れ る 蓄 積 関 数 が ψu(ζ,η)∈
Rw×ws[ζ,η]で
誘 導 され る とす る.こ の と き,N(ψu)<N(φ)
で あ る.
(証 明)φ(ζ,η)=W(ζ)TΩ
Φ2W(η)と ψu(ζ,η)=F(ζ)T
ΩψuF(η)を お の お の の 正 準 分 解 の 一 つ とす る.ま
ず,
W(ξ)が ノー マ ル列 フル ラ ン クで ない とす る と,φ(-ξ,ξ)=
W(-ξ)TΩ
ΦW(ξ)も ノ ー マ ル ラ ン クがw未
満 に な る の
で,φ(-ξ,ξ)の ユ ニ モ ジ ュ ラ 性 に 反 す る.し
た が っ て,
W(ξ)は ノ ー マ ル列 フル ラ ン クで あ る.さ ら に,W(ξ)が
あ る 複 素 数 λ0∈Cで
列 フ ル ラ ン ク性 が 成 り立 た な い と
す る と,det(φ(ｰξ,ξ))が(ξ 一λ0)iと(ξ+λ0)iな る 因子
(iは 自然 数)を もつ こ と に な り,こ れ もユ ニ モ ジ ュ ラ 性
に 矛 盾 す る.し た が っ て,W(ξ)は
す べ て の 複 素 数 で列
フル ラ ン ク で あ る.こ
の と き,一 般 性 を 失 う こ とな く,
W(ξ)=[U(ξ)TY(ξ)T]Tの よ う に 分 割 し,U(ξ)を 正 則, Y(ξ)U(ξ)-1を プ ロ パ ー に す る こ と が で き る.正 準 因 子 の こ の よ う な 分 解 が 可 能 な ら ば,参 考 文 献[13]ま た は[15] の 結 果 を 用 い れ ば,F(ξ)U(ξ)-1が 厳 密 に プ ロ パ ー で あ る こ と が い え る.そ して,あ る 適 当 なE(ξ)∈Rr(ψu)×w[ξ]
とg(ξ)∈R[ξ]が 存 在 し,
の よ う に表 現 し
(18)
と で き る.す な わ ちF(ξ)9(ξ)=E(ξ)U(ξ)と な る が,こ の 等 式 の 次 数 に 着 目 す る と
(19)
と な る.(18)式 と(19)式 に 着 目 す れ ば
(20)
を 得 る.ま た,明 ら か にd(U)=d(W)で あ り,正 準 因 子 の 作 り方 よ り,d(W)=N(Φ)で も あ る の で,d(U)=N(Φ) と な る.ψu(ζ,η)とF(ξ)に 関 し て も 同 様 にd(F)=N(ψu) が い え る の で(20)式 よ りN(ψu)<N(φ)が い え る. □
(注 意4)な お,離 散 時 間 の 場 合 に は,連 続 時 間 の 場 合 と 違 い 任 意 の 蓄 積 関 数 に お け る 上 のF(ξ)U(ξ)-1の 厳 密 プ ロ パ ー 性 が 成 立 す る と は 限 ら な い[6,7].し た が っ て, こ の 性 質 の 証 明 に は 注 意 が 必 要 と な る[8].
3.3 ユ ニ モ ジ ュ ラ 行 列 に 対 す る ス ペ ク トル 分 解 の ア ル ゴ リ ズ ム
定 理2と,(5)式 で 表 さ れ た 等 価 関 係 を 用 い れ ば, Z(ξ)∈Rw×w[ξ]に 対 して,Z(ξ)=ψ(-ξ,ξ)と な る Φ(ζ,η)∈ Rw×ws[ζ,η]が誘 導 す る 供 給 率 に 対 す る 消 散 不 等 式
φ(ζ,η)-(ζ 十 η)ψ(ζ,η)〓0
の 係 数 行 列 の 不 等 式 を,ψ(ζ,η)∈Rw×ws[ζ,η]の 係 数 行 列 ψ を 未 知 行 列 と し て 解 け ば よ い こ と も わ か る.な お,定 理 3に よ っ て,N(ψ)は 上 限N(Φ)-1を も つ こ と も わ か る の で,未 知 行 列 ψ の サ イ ズ も あ ら か じ めN(Φ)w×N(Φ)wと 決 め て お く こ と が で き る.
以 上 の 議 論 よ り,ユ ニ モ ジ ュ ラ 行 列 の ス ペ ク トル 分 解 の ア ル ゴ リ ズ ム が 以 下 の よ う に 得 ら れ る.
【定 理4】Z(ξ)=∑ri=0Ziξi∈Rw×w[ξ]を 与 え ら れ た パ ラ エ ル ミ ー トな ユ ニ モ ジ ュ ラ 多 項 式 行 列 と す る.こ の 行 列 に 対 し,
(21)
を 定 義 す る.つ ぎ に,未 知 行 列 をP=PT∈Rnw×nwと し て,以 下 の 線 形 行 列 不 等 式 を た て る.
(22)
以 上 の 準 備 の も と で,以 下 の 性 質 が 成 立 す る. 1).(22)式 は 唯 一 解(Puと し よ う)を も つ.
2).r(Γ(Pu))=w,す な わ ち,行 フ ル ラ ン ク な 定 数 行 列 D∈Rw×(n+1)wが 存 在 し て Γ(Pu)=DTDの よ う に 分 解 で き る.
3).D(ξ):=D[IwζIw… ξnIw]Tの よ う に 構 成 し た D(ξ)∈RW×w[ξ]はZ(ξ)の ユ ニ モ ジ ュ ラ な ス ペ ク
トル 因 子 と な る.
(証 明)n=N(Φ)と な る こ と と こ れ ま で の 議 論 よ り明 ら
398 シ ス テ ム 制 御 情 報 学 会 論 文 誌 第18巻 第11号(2005)
4.
例 題
得 ら れ た 結 果 の妥 当 性 を み る た め に 例 題 を挙 げ て 検 証
す る.以 下 の よ う なパ ラエ ル ミー トな行 列 を考 え よ う.
(23)
こ れ が,R2×2[ξ]上 で ユ ニ モ ジ ュ ラ で あ る こ と は 容 易 に 確 認 で き る.R2×2s[ζ,η]の も と で,一 変 数 多 項 式 行 列 に し た と き にZ(ξ)に な る も の の 候 補 と し て φ(ζ,η)= 1
/2(z(ζ)T+Z(η))を 選 び,そ の 係 数 行 列 φ は
(24)
と表 せ る(た だ し,Φij∈R2×2).つ ぎ に,未 知 行 列
を導 入 し(22)式 の 線 形 行 列 不 等 式 をた て る と
(25)
と な る.右 下 の2×2ブ ロ ッ ク が 零 行 列 な の で,不 等 式 が 成 立 す る た め に は Φ02=P2とP3=02と な る 必 要 が あ る.未 知 行 列 の 残 さ れ たP1に 関 し て は,PijをP1∈R2×2 のi,j要 素 と し,(25)式 の 左 上4×4ブ ロ ッ ク の 不 等 式 を 着 目 す る と,行 列 の 構 造 か ら,先 と 同 様 な 理 由 に よ
りP22=0か つP12=-1/
2で あ る こ と が わ か る.さ ら に,( 25)式 の 左 上3×3ブ ロ ッ ク に 着 目 し シ ル ベ ス タ ー の 慣 性 則 な ど よ りP11=-1も 成 立 す る こ と が わ か る.結 局 Γ(P)〓0は
(26)
を唯 一解 と して もち,定 数 行 列 Γ(Pu)は
(27)
と し て,Γ(pu)=DTDの よ う に 分 割 で き る.し た が っ て,ス ペ ク トル 分 解 は
(28)
の よ う に 得 ら れ る.実 際 に,こ のD(ξ)が ユ ニ モ ジ ュ ラ 行 列 で あ る こ と が 確 か め ら れ,∂ Φ(ξ)=D(-ξ)TD(ξ)も 確 認 で き る.
ま た,MatlabやScilabな ど の 数 値 計 算CADパ ッケ ー ジ を 用 い れ ば(25)式 の 解 を 求 め る と
(29)
と な る.こ れ は,(26)式 のPuと 比 較 す る と,誤 差 が 最 大10-4の オ ー ダ 差 で 正 確 に 求 め ら れ て い る こ と が わ か
る.さ ら に,ユ ニ モ ジ ュ ラ ス ペ ク トル 因 子 は
(30)
の よ う に得 られ る.こ れ も,D(ξ)と
同様 にZ(ξ)の ス ペ
ク トル 因 子 と な っ て い る こ と,お よび ユ ニ モ ジ ュ ラ行 列
で あ る こ とが確 認 で きる.
5.
お わ り に
本 論 文 で は,連 続 時 間 の ユ ニ モ ジ ュ ラ な 多 項 式 行 列 の
ス ペ ク トル 分 解 の ア ル ゴ リズ ム を 導 出 した.得
ら れ た 結
果 は,与
え ら れ た 多 項 式 行 列 か ら構 成 さ れ る 線 形 行 列 不
等 式 を解 き最 大 解 を求 め る こ とが 主 要 な タス ク で あ り,
解 析 的 に,ま
た は,近 年 発 達 して きて い る こ の 種 の 問題
に対 応 可 能 な 数 値 計 算CADパ
ッケ ージ を援 用 す る こ と
で 数 値 的 に も容 易 に求 め る こ とが で き る.ま た,こ
こ で
の アル ゴ リズ ム構築 の た め に,消 散 シ ス テ ム に お い て重
要 な 役 割 を演 じる蓄 積 関 数 の性 質 に つ い て も考 察 した.
今 後 は,本 文 中 で も述 べ た よ う に,エ ネ ル ギ ー が 無 損
失 また は必 ず 消 散 す る 場 合 に つ い て 蓄 積 関 数 が 唯 一 で あ
る とい う事 実 を理 論 的 に考 究 して い く.ま た,本
ア ル ゴ
リズ ム の 根 幹 を な して い る こ の よ う な消 散 性 に 関 す る い
くつ か の 結 果 が す で に離 散 時 間 の 場 合 に つ い て得 られ て
い るが[9],連 続 時 間 に拡 張 す る際 の 理 論 的 な 問題 を克 服
す る こ とが 課 題 で あ る.さ
ら に,本 論 文 の 結 果 の 応 用 例
も示 す 必 要 もあ る.た
とえ ば,多 項 式 シ ス テ ム 理 論 に お
け る特 異 最 適 制 御 問 題 に お い て はユ ニ モ ジ ュ ラ行 列 の ス
ペ ク トル分 解 が必 要 に な る の で[8
,9],そ の よ うな場 面 で
の 本 論 文 の 適 用 例 を示 す こ と も必 要 で あ ろ う.
金 子 ・Rapisarda・ 鷹 羽:ユ ニ モ ジ ュ ラ な連 続 時 間 パ ラ エ ル ミー ト多 項 式 行 列 の ス ペ ク トル 分 解 ア ル ゴ リズ ム 399
参 考 文 献
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付
録
付 録1.表 記
ま ず,R,(C,Zを お の お の 実 数,複 素 数,整 数 の 集 合 と す る.サ イ ズ がp×wの 実 数 行 列 の 集 合 はRP×Wで 表 す.サ イ ズ がwの 単 位 行 列 をIw,サ イ ズ がp×wの 零 行 列 を0p×wで 表 し,後 者 に 関 し て 正 方 な 場 合 に は 単 にOw
