Birnbaum-Saunders spatial modelling and diagnostics applied to agricultural engineering data

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Birnbaum-Saunders spatial modelling and diagnostics applied

to agricultural engineering data

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Article:

Garcia-Papani, F, Uribe-Opazo, MA, Leiva, V et al. (1 more author) (2017)

Birnbaum-Saunders spatial modelling and diagnostics applied to agricultural engineering

data. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, 31 (1). pp. 105-124. ISSN

1436-3240

https://doi.org/10.1007/s00477-015-1204-4

© 2016, Springer. This is an author produced version of a paper published in Stochastic

Environmental Research and Risk Assessment. Uploaded in accordance with the

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https://doi.org/10.1007/s00477-015-1204-4

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Leiva et al. (2015c) justified why the BS distribution is suit↵×≈ ≡±→ ≥±…≈×ו″≠ ≈↵→←÷ ↵″… ≈″♠•→±″≥≈″←↵× …↵←↵ ↔↑•″≠ ←÷≈±→≈←•↵× ↵→≠↔≥≈″←↑ ↵↑≈… ±″ ←÷≈ ×↵♥ ±≡ °→±°±→←•±″↵te effects. Rieck and Nedelman (1991) defined ↵ →≈×↵←•±″↑÷•° ≈←♥≈≈″ ←÷≈ ⇒⊆ …•↑←→•↔←•±″ ↵″… •←↑ ×±≠↵→•←÷≥• ♠≈→↑•±″ ″↵≥≈… ←÷≈ ×±≠⌠⇒⊆ …•↑←→•↔←•±″∫ ⊂÷≈♣

used this relationship to propose a BS fixed effect model; whe→≈↵↑ ⊇•××≈≠↵↑ ≈← ↵×∫ ð ±″↑•…≈→≈… ↵ ⇒⊆

mixed effect model. A multivariate extension to the BS fixed e≡≡≈← ≥±…≈× ♥↵↑ ↑←↔…•≈… ♣ ↵→÷↵″← ≈← ↵×∫ ð∫⇓″ ↵°°→±↵÷ ←± ⇒⊆ ↑°↵←•↵× ≥±…≈×ו″≠ ♥↵↑ °→±♠•…≈… ♣ ∪•↵ ≈← ↵×∫ ð ♥÷± °→≈↑≈″←≈… ↵ ≥≈←÷±…±×⌠ ±≠♣ ↵↑≈… ±″ ↑≈≥•⌠↵→∝±♠ °→±≈↑↑ ←± °→±…↔≈ ↵ ↑°↵←•±⌠←≈≥°±→↵× ≥±…≈× ≡±→ ←÷≈ ≥±♠≈≥≈″← ±≡ ←±↔→•↑←↑∫ ⊂÷≈ ↵↔←÷±→↑ ±″↑•…≈→≈… ↑≈♠≈→↵× …•↑←→•↔←•±″↑ •″×↔…•″≠ ←÷≈ ⇒⊆ ≥±…≈×∫ ⊂± …↵←≈ ÷±♥≈♠≈→ ↑°↵←•↵× ≥±…≈×↑ ↵↑≈… ±″ ←÷≈ ⇒⊆ …•↑←→•↔←•±″ ÷↵♠≈ ″±← ≈≈″ ↑←↔…•≈… •″ °→↵←•↵× ≈♦↵≥°×≈↑∫

The identification of cases that can produce substantial cha″≠≈↑ •″ ←÷≈ ≈↑←•≥↵←≈… °↵→↵≥≈←≈→↑ •↑ ↵″ •≥⌠ °±→←↵″← ↑←≈° •″ ↵″♣ ↑←↵←•↑←•↵× •″♠≈↑←•≠↵←•±″∫ ⊂÷≈ ←↵↑∝ ±≡ …≈←≈←•″≠ °±↑↑•×≈ ↵←♣°•↵× ↵↑≈↑ ↵″ ≈ ↵……→≈↑↑≈…

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be influential was proposed by Cook (1987), which is known as local influence. This method studies the

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and it allows us to detect groups of data exerting a joint influ≈″≈∫ ∅÷↔ ≈← ↵×∫ ðð °→±°±↑≈… ↵ ≥≈←÷±…±×±≠♣ ≡±→ ÷±±↑•″≠ ↵ °≈→←↔→↵←•±″ ↑÷≈≥≈ ←÷↵← •↑ ↵°°→±°→•↵←≈ ≡±→ ←÷≈ °↵→←•↔×↵→ ≥±…≈× ≈•″≠ ±″↑•…≈→≈…∫ ∧•≥≈″≈ƒ ↵″… ∧↵×≈↵ ð ↵°°×•≈… ←÷≈ ≥≈←÷±… °→±°±↑≈… ♣ ∅÷↔ ≈← ↵×∫ ðð ←± ÷≈←≈→±↑≈…↵↑←• ≥±…≈×↑ ♥•←÷ ≡↔″⌠ ←•±″↵× ≥≈↵↑↔→≈≥≈″← ≈→→±→↑∫ ∧↵×≈↵ ≈← ↵×∫ ðð ↵°°×•≈… ←÷≈ ×ocal influence method in the BS fixed effect ≥±…≈× ♥÷≈→≈↵↑ ≈•♠↵ ≈← ↵×∫ ð ð ↵″… •↔ ≈← ↵×∫ ð …≈→•♠≈… …•↵≠″±↑←• ←±±×↑ •″ ↵≈×≈→↵←≈… ו≡≈

models, in fixed effect models with stochastic restrictions↵″… •″ ←÷≈ °±↑↑•×♣ ÷≈←≈→±↑∝≈…↵↑←• ו″≈↵→ ≥±…≈× ♥•←÷ ≈♦↵← →≈↑←→•←•±″↑∫ ⋅″ ↑°↵←•↵× ≥±…≈×ו″≠ …•↵≠″±↑←• ←≈÷″•↓↔≈↑ ÷↵♠≈ ≈≈″ …•↑↔↑↑≈… ≡±→ ∧↵↔↑↑•↵″ ≥±…≈×↑

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normal PDF or from the BS PDF defined in (3); (ii) E∩  ∑ ••• ←÷≈→≈ •↑ ″± ×±↑≈… ≡±→≥ ≡±→ ←÷≈ ♠↵→•↵″≈ ±≡∩ ↔← ↵↑≈… ↔°±″ ↵″ ↵↑♣≥°←±←• ↵°°→±♦•≥↵←•±″ ≡±→ ←÷≈ ≥±≥≈″← ≠≈″≈→↵←•″≠ ≡↔″←•±″ ±≡ ←÷≈ ×±≠⌠⇒⊆ …•↑←→•↔←•±″ •← ≡±××±♥↑ ←÷↵← •≡ _ÿð ←÷≈″ ⊇↵→⊂   _{ ↵″… •≡ ÿ  ←÷≈″ ⊇↵→⊂ }

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×±≠⌠⇒⊆_″ ∑ ∑ •↑ ↔↑≈…∫ ¬≈→≈ ←÷≈ ♠≈←±→ ±≡ ↑÷↵°≈ °↵→↵≥≈←≈→↑ •↑    ″ ♥•←÷ • ð ←÷≈

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∨∩♣∑ ∑ ∑   ″ 

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♥÷≈→≈ ″ ∑ •↑ ←÷≈ ⇑⇐∨ ±≡ ←÷≈″⌠♠↵→•↵←≈ ″±→≥↵× …•↑←→•↔←•±″ ♥•←÷ ≥≈↵″ ♠≈←±→ ≈↓↔↵× ←± ƒ≈→± ↵″… ♠↵→•↵″≈⌠ ±♠↵→•↵″≈ ≥↵←→•♦ ∫ ⊂÷≈→≈≡±→≈ ←÷≈ ∠⇐∨ ±≡∩ ↵″ ≈ ±←↵•″≈… ≡→±≥  ↵↑

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∫ ⊆°↵←•↵× ≥±…≈×↑

⇑±″↑•…≈→ ↵ ↑←±÷↵↑←• °→±≈↑↑_≡∩↑∑ ↑⇐≠, which is defined over a region⇐ ♥•←÷⇐ ∈ …≈↑→•≈… ♣ ←÷≈ ↑°↵←•↵× ×•″≈↵→ ≥±…≈×

∩↑  ↑ ⌡↑∑ ↑⇐∑ 

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_{ ♥÷•÷ ≥≈↵″↑ ←÷↵← ⇔∩↑  ↑↵″… ⊇↵→∩↑ } _{ ≡±→ ↵××↑⇐∫}

⋅≡ ←÷≈ ↑°↵←•↵× °→±≈↑↑_≡∩↑∑ ↑  ⇐≠•↑ ↵↑↑↔≥≈… ←± ≈ ↑←↵←•±″↵→♣ ←÷≈″ •←↑ ≥≈↵″ ≡↔″←•±″ •↑ ±″↑←↵″← ←÷↵← •↑ ↑   ≡±→ ↵××↑⇐∫ ⋅≡ •← •↑ ≡↔→←÷≈→ ↵↑↑↔≥≈… ←± ≈ •↑±←→±°• ←÷≈″ •←↑ ±♠↵→•↵″≈ ≡↔″←•±″ ±″×♣ …≈°≈″…↑ ±″ ←÷≈ …•↑←↵″≈ ≈←♥≈≈″ ↑°↵←•↵× ×±↵←•±″↑ ←÷↵← •↑

⇑±♠∩↑•∑ ∩↑∂ ⇑↑•∑ ↑∂ ⇑÷•∂∑ ↑•∑ ↑∂⇐∑  ♥÷≈→≈÷•∂ ∝↑• ↑∂∝•↑ ←÷≈ ⇔↔ו…≈↵″ …•↑←↵″≈ ≈←♥≈≈″↑•↵″…↑∂∫

∫ ⇑±♠↵→•↵″≈ ↵″… ♠↵→•±≠→↵≥ ≥±…≈×↑

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°→±♠•…•″≠ ←÷≈″⌠♠↵→•↵←≈ →↵″…±≥ ♠≈←±→∩  ∩∑    ∑ ∩″ ♥÷≈→≈ ∩•  ∩↑• ≡±→•  ∑    ∑ ″∫ ⊂÷≈

±♠↵→•↵″≈ ≈←♥≈≈″ ↵×× °↵•→↑ ±≡ →↵″…±≥ ♠↵→•↵×≈↑∩•∑ ∩∂•↑ …≈←≈→≥•″≈… ♣ ↵″″ ″↑↵×≈ ≥↵←→•♦  ⊕ •∂℘

which must be symmetric and positive-definite, where •∂  ⇑÷•∂ ♥•←÷ ⇑  ≠•♠≈″ •″ ∫ ⊂÷≈″ defines the spatial dependence structure for stationary and•↑±←→±°• °→±≈↑↑≈↑ ♣ ↵ °↵→↵≥≈←≈→ ♠≈←±→ ∑ ∑  ♥÷≈→≈ ð∑  ð↵→≈ °↵→↵≥≈←≈→↑ ∝″±♥″ ↵↑ ″↔≠≠≈← ≈≡≡≈← ↵″… °↵→←•↵× ↑•×× →≈↑°≈←•♠≈×♣

♥÷≈→≈↵↑ ð•↑ ↵ °↵→↵≥≈←≈→ →≈×↵←≈… ←± ←÷≈≈≡≡≈←•♠≈ →↵″≠≈ ±→ ↑°↵←•↵× …≈°≈″…≈″≈ →↵…•↔↑↵ ≠∑ ↑≈≈

↵→…•↵ ↵″… ↵→↑÷↵××  ↵″… ⊄→•≈⌠∇°↵ƒ± ≈← ↵×∫ ð∫⊂÷≈ ″↔≠≠≈← ≈≡≡≈← •↑ →≈×↵←≈… ←± ↵″ ↵″↵×♣←•↵× ≈→→±→ •″…•↵←•″≠ ↵″ ↔″≈♦°×↵•″≈… ♠↵→•↵•×•←♣ ≡→±≥ ±″≈ °±•″← ±≡ ←÷≈ ↑↵≥°×•″≠ ≠→•… ←± ↵″±←÷≈→∫ ⊂÷•↑ ♠↵→•↵•×•←♣ ≥↵♣ ≈ ↵←←→•↔←≈… ←± ≥≈↵↑↔→≈≥≈″← ≈→→±→↑ ±→ ←± ↵ ♠↵→•↵•×•←♣ ″±← ↵°←↔→≈… …↔≈ ←± ←÷≈ ↑↵≥°×•″≠ …•↑←↵″≈ ↔↑≈…∑ ↑≈≈ ≡±→ ≈♦↵≥°×≈ ⇑↵≥↵→…≈××↵ ≈← ↵×∫ ∫ ⊂÷≈ ″↔≠≠≈← ≈≡≡≈← ↵″ ↵×↑± ↵← ↵↑ ↵ →≈≠↔×↵←±→♣ ←±±× •″ ↑°↵←•↵×

design for random fields making many designs feasible; see M¨uller and Stehl´ık (2009, 2010)∫ ⊃≈ ↵↑↑↔≥≈ ↵ °↵→←•↔×↵→ °↵→↵≥≈←→• ≡±→≥ ≡±→ ←÷≈ ↑↵×≈ ≥↵←→•♦ ≠•♠≈″ ♣

⇒•→″↵↔≥⌠⊆↵↔″…≈→↑ ↑°↵←•↵× ≥±…≈×ו″≠ ↵″… …•↵≠″±↑←•↑ ↵°°×•≈… ←± ↵≠→•↔×←↔→↵× ≈″≠•″≈≈→•″≠ …↵←↵ 

♥÷≈→≈⋅″•↑ ←÷≈″ ″•…≈″←•←♣ ≥↵←→•♦ ↵″…∈ ⊕→•∂℘•↑ ↵″″ ″↑♣≥≥≈←→• ≥↵←→•♦ ♥•←÷ …•↵≠±″↵× ≈×≈≥≈″←↑ →••   ≡±→• ∑    ∑ ″. Specific forms for→•∂ ≠•♠≈″ ♣→•∂  •∂ ♥•←÷•∂↵″… ð, define the

≥±…≈× ↔↑≈… ←± ≈♦°×↵•″ ←÷≈ ↑°↵←•↵× …≈°≈″…≈″≈ ♥•←÷ ←÷≈ ≥±↑← ±≥≥±″ ≡±→≥↑ ≈•″≠ ←÷±↑≈ ±←↵•″≈… ≡→±≥ ←÷≈ ↵←λ≈→″ ↵″… °±♥≈→ ≈♦°±″≈″←•↵× ≡↵≥•×•≈↑∑ ↑≈≈ ⋅↑↵↵∝↑ ↵″… ⊆→•♠↵↑←↵♠↵  ↵″… ⇐•≠≠×≈ ↵″… ∈•≈•→± ðð∫ ⋅″ ←÷≈ ≡↵≥•×♣ ±≡ ↵←λ≈→″ ≥±…≈×↑ ♥≈ ÷↵♠≈

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  

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♥÷≈→≈ •↑ ↵ ↑÷↵°≈ °↵→↵≥≈←≈→  •↑ ←÷≈ ↔↑↔↵× ≠↵≥≥↵ ≡↔″←•±″ ↵″…∏  is the modified Bessel function

±≡ ←÷•→… ∝•″… ±≡ ±→…≈→ ∫ ∨→±≥  ♥≈ ≠≈←

•∂

  

⌡∑ •∂∑

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 ∑ •∂



⋅″ ←÷≈ ≡↵≥•×♣ ±≡ °±♥≈→ ≈♦°±″≈″←•↵× ≥±…≈×↑ ≡±→•∂ ♥≈ ÷↵♠≈→•∂  ≈♦° ÷•∂° ♥÷≈→≈ð ° 

•↑ ↵ ↑÷↵°≈ °↵→↵≥≈←≈→ ♥÷•÷ •≥°×•≈↑

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  

⌡∑ •∂∑

≈♦° ÷_•∂

°

∑ •∂ 

Although the models in (12) and (13) have no finite range,←÷≈ ≈≡≡≈←•♠≈→↵″≠≈↵can be defined as the smallest

…•↑←↵″≈ ≈←♥≈≈″ ←♥± ×±↵←•±″↑ ↑↔÷ ←÷↵← ←÷≈ ±♠↵→•↵″≈ ÷↵↑ …→±°°≈… ←±  ±≡ ←÷≈ ≥↵♦•≥↔≥ ±♠↵→•↵″≈

⇑ð∫ ⊂÷≈ ≈♦°±″≈″←•↵× ↵″… ∧↵↔↑↑•↵″ ≥±…≈×↑ ↵→≈ ≥≈≥≈→↑ ±≡ ←÷≈ °±♥≈→ ≈♦°±″≈″←•↵× ≡↵≥•×♣ ♥÷≈″° ↵″…

°  →≈↑°≈←•♠≈×♣ ↵″… ↵×↑± ±≡ ←÷≈ ↵←λ≈→″ ≡↵≥•×♣ ♥÷≈″  ð↵″… _{ÿ } →≈↑°≈←•♠≈×♣∫ ⋅″ ↑←↵←•±″↵→♣ °→±≈↑↑≈↑ ≡→±≥ ←÷≈ ±♠↵→•↵″≈ ≡↔″←•±″ ≠•♠≈″ •″  •← •↑ °ossible to define the variogram function by

÷ ⇑ð ⇑÷∑ ÷ ð∑ 

♥÷≈→≈⇑ð ⌡↵″…⇑÷is specified from C÷•∂  •∂ ≡±→÷÷•∂ ♥•←÷ ↵ ↑↔•←↵×≈ ≥≈≥≈→ ±≡

←÷≈ ↵←λ≈→″ ±→ °±♥≈→ ≈♦°±″≈″←•↵× ≡↵≥•×•≈↑ ≠•♠≈″ •″  ↵″…  →≈↑°≈←•♠≈×♣∫ ⊂÷≈ °×±← ±≡ °±•″←↑ ÷

±←↵•″≈… ≡→±≥ ←÷≈ ♠↵→•±≠→↵≥ ≡↔″←•±″ ≠•♠≈″ •″  •↑ ↵ ↔↑≈≡↔× ←±±× •″ ↑°↵←•↵× ↑←↵←•↑←•↑∫

∫ ∏→•≠•″≠ •″←≈→°±×↵←•±″

⋅″ ≠≈±⌠↑←↵←•↑←•↵× ↵″↵×♣↑≈↑ ↵ ±≥≥±″×♣ ↔↑≈… ≥≈←÷±… ≡±→ •″←≈→°±×↵←•±″ •↑ ∏→•≠•″≠∑ ↑≈≈ ∏→•≠≈ ∫ ⊂÷≈ ∏→•≠•″≠ °→≈…•←•±″ •↑ ≠•♠≈″ ♣ ↵ ו″≈↵→ ±≥•″↵←•±″ ±≡ ←÷≈ ±↑≈→♠≈… …↵←↵♣ ♣∑    ∑ ♣″defined as



♣↑ð 

″

∪

•

•♣•∑ 

♥÷≈→≈♣↑_ ð•↑ ←÷≈ °→≈…•←≈… ♠↵×↔≈ ↵← ↵ ″≈♥ ×±↵←•±″↑ð↵″…  ″ are weights chosen to define the

≈↑← ו″≈↵→ ↔″•↵↑≈…°→≈…•←±→∫ ⊂÷•↑ ↵″ ≈ ↵÷•≈♠≈… ♣ ≥•″•≥•ƒ•″≠ ←÷≈ ♠↵→•↵″≈ ±≡ ←÷≈ ≈→→±→ ♥•←÷ →≈↑°≈← ←± ←÷≈ ♥≈•≠÷←↑ ♥÷•×↑← →≈↓↔•→•″≠ ←÷≈°→≈…•←±→←± ≈ ↔″•↵↑≈…∫ ⋅← ≥↵♣ ≈ ↑÷±♥″ ←÷↵← ↔″…≈→ ←÷≈ ↑←↵←•±″↵→•←♣ ↵↑↑↔≥°←•±″ ←÷≈ ♠↵×↔≈↑  ″↵→≈ ≠•♠≈″ ♣ ←÷≈ ↑±×↔←•±″ ←±   ♥÷≈→≈

⇑

ð ⇒ ⇒ ⇒ ◊

⇑↑∑ ↑  ⇑↑∑ ↑″ 

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∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

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 ⇑ ⇑ ⇑

⇓∑    ″∑ 

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 ∨↵•↵″↵ ∧↵→•↵⌠∠↵°↵″• ≈← ↵×∫

∫ ⇓↔→↵♣ ≥≈↵↑↔→≈↑

⊂± ↓↔↵″←•≡♣ ←÷≈ ↑•≥•×↵→•←♣ ≈←♥≈≈″ ←♥± ≥↵°↑ ←÷≈ ≠×±↵× ↵↔→↵♣ ∧⇓ ↵″… ∝↵°°↵   •″…≈♦≈↑ ↵″ ≈ ↔↑≈…∫ ⇑±″↑•…≈→ ←♥± ≥↵°↑ ±″≈ ↵××≈… ←÷≈ →≈≡≈→≈″≈ ≥↵° ↵″… ←÷≈ ±←÷≈→ ←÷≈ ≥±…≈× ≥↵° ±←÷ …•♠•…≈… •″←± ←÷≈ ↑↵≥≈≥×↵↑↑ …≈″±←≈… ♣• ≡±→• ∑    ∑ ≥∫ ⋅″ ↵……•←•±″ ×≈←•∂ ≡±→•∑ ∂  ∑    ∑ ≥ ≈ ←÷≈ ″↔≥≈→ ±≡

pixels (a pixel is defined as a single point in an image; for exa≥°×≈ •″ ±↔→ ↵°°×•↵←•±″ ±≡ ⊆≈←•±″   °•♦≈× ≥_{ ≈×±″≠•″≠ ←± ×↵↑↑}

•±≡ ←÷≈ ≥±…≈× ≥↵° ↵″… ←± ×↵↑↑∂±≡ ←÷≈ →≈≡≈→≈″≈ ≥↵° ↵″…≈ ←÷≈ ←±←↵×

″↔≥≈→ ±≡ °•♦≈×↑ •″ ≈↵÷ ≥↵°∫ ⊂÷≈ ∧⇓ •″…≈♦ •↑ ↵↑≈… ±″ ←÷±↑≈ °•♦≈×↑ ←÷↵← ≈×±″≠ ←± ←÷≈ ↑↵≥≈ ×↵↑↑ •″ ±←÷

maps and is defined as GA ∠≥_•••∫ ±…≈× ↵″… →≈≡≈→≈″≈ ≥↵°↑ ÷↵♠≈ ↵″ ↵≈°←↵×≈ ↑•≥•×↵→•←♣ •≡

←÷≈ ∧⇓ •″…≈♦ •↑ ≠→≈↵←≈→ ←÷↵″ ð∫∑ ↑≈≈ ⇓″…≈→↑±″ ≈← ↵×∫ ∫ ⊂÷≈ •″…≈♦ •↑ ↵↑≈… ±″ ↵×× ±≡ ←÷≈ °•♦≈×↑

(those belonging to the same class or not) and is defined as  ∠≥_••• ∠≥• •• 

∠≥

• ••  ♥÷≈→≈•  ∠≥∂•∂ ↵″… •  ∠≥∂∂•∫ ±…≈× ↵″… →≈≡≈→≈″≈ ≥↵°↑ ÷↵♠≈ ↵ ×±♥

↑•≥•×↵→•←♣ •≡ ð ↵ ≥≈…•↔≥ ↑•≥•×↵→•←♣ •≡ð ðð ↵″… ↵ ÷•≠÷ ↑•≥•×↵→•←♣ •≡ ðð∑ ↑≈≈ ∏→•°°≈″…±→≡≡ ðð∫

 ⊂÷≈ ⇒•→″↵↔≥⌠⊆↵↔″…≈→↑ ↑°↵←•↵× ≥±…≈×

∫ ∨±→≥↔×↵←•±″ ±≡ ←÷≈ ≥±…≈×

≈←_≡⊂↑∑ ↑  ⇐≠ be a stochastic process defined over a region⇐ ♥•←÷⇐ ∈∫ ⊆↔°°±↑≈ ←÷↵←″

≥≈↵↑↔→≈≥≈″←↑⊂  ⊂∑    ∑ ⊂″ ♥÷≈→≈⊂•  ⊂↑• ≡±→•  ∑    ∑ ″ ↵→≈ ±××≈←≈… ↵← ↵ ↑≈← ±≡ ∝″±♥″

↑°↵←•↵× ×±↵←•±″↑↑≡↑∑    ∑ ↑″≠∫ ⇑±″↑•…≈→ ↵ ↑°↵←•↵× ≥±…≈× ±≡ ←÷≈ ≡±→≥

⊂• ≈♦° • •∑ • ∑    ∑ ″ 

⇓↑↑↔≥≈ ↑←↵←•±″↵→•←♣ ↑↔÷ ←÷↵← •  ↑•   ↵″… ←÷≈ ≥±…≈× ≈→→±→ •  ↑• ⇒⊆  ≡±→•  ∑    ∑ ″∫ ⊂÷≈″≈♦° •↑ ←÷≈ ≥≈…•↵″ ±≡ ←÷≈ ≥±…≈×∫ ±←≈ ←÷↵← ←÷≈ ↑÷↵°≈ °↵→↵≥≈←≈→ •↑ ↵×↑± ↵↑↑↔≥≈… ←± ≈ ±″↑←↵″← ↵→±↑↑ ←÷≈ ↑°↵←•↵× ×±↵←•±″↑∑ ↑≈≈ ↵→÷↵″← ≈← ↵×∫ ð∫ ⇓°°×♣•″≠ ↵ ×±≠↵→•←÷≥• ←→↵″↑≡±→≥↵←•±″ ←±  ↵ ⇒⊆ ↑°↵←•↵× ×±≠⌠ו″≈↵→ ≥±…≈× •↑ ±←↵•″≈… ↵↑

∩• ×±≠⊂•  ⌡ ×±≠ •  ⌡•∑ • ∑    ∑ ″∑  ♥÷≈→≈• ×±≠ • ×±≠⌠⇒⊆ ð ≡±→• ∑    ∑ ″. Note that the BS spatial log-linear model defined in

 ÷↵↑ ↵ ↑•≥•×↵→ ≡±→≥ ←± ←÷≈ ≥±…≈× ≠•♠≈″ •″ ∫ ∨±→ ≈↵↑≈ ±≡ ″±←↵←•±″ ←÷≈ ≥±…≈× •″  ↵″ ≈ ♥→•←←≈″ •″ ≥↵←→•♦ ≡±→≥ ↵↑

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♥•←÷∩  ∩∑    ∑ ∩″  ∑    ∑ ↵″…   ∑    ∑ ″ ≈•″≠ ″ ♠≈←±→↑∫ ¬≈→≈•↑ ↵

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The ML method defines the estimator ±≡ ↵↑ ←÷≈ ♠≈←±→ ♥÷•÷ ≥↵♦•≥•↑≈↑_  ±→ ≈↓↔•♠↵×≈″←×♣ℵ  ±♠≈→ ←÷≈ °↵→↵≥≈←≈→ ↑°↵≈ ±≡ ∫ ⊂÷↔↑

↵→≠≥↵♦ℵ  

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⇑⋅ ⊕ ℘ ðð ÷ ƒ ⊆⇔∑⌡ƒ ⊆⇔•∑

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3.3 Local influence

≈←ℵ ≈ ←÷≈ ×±≠⌠ו∝≈ו÷±±… ≡↔″←•±″ ≡±→ ←÷≈ ♠≈←±→ ±≡ ≥±…≈× °↵→↵≥≈←≈→↑   ∑ ∑ 

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∈″ _{≈ ↵″″ °≈→←↔→↵←•±″ ♠≈←±→ ♥÷≈→≈ •↑ ↵″ ±°≈″ ↑≈← ±≡ →≈×≈♠↵″← °≈→←↔→↵←•±″↑∫ ≈←ℵ ∂ÿ}

≈ ←÷≈ ×±≠⌠ו∝≈ו÷±±… ≡↔″←•±″ °≈→←↔→≈… ♣ÿ ↵××≈… ←÷≈ °≈→←↔→≈… ×±≠⌠ו∝≈ו÷±±… ↵″… ÿ ≈ ←÷≈  ≈↑⌠ ←•≥↵←≈ ±≡ ±←↵•″≈… ≡→±≥ℵ ∂ÿ∫ ⋅″ ↵……•←•±″ ×≈←ÿð  ≈ ↵″″ ″±″⌠°≈→←↔→↵←•±″ ♠≈←±→ ↑↔÷ ←÷↵←

ℵ ∂ÿð ℵ ∫ ⊆↔°°±↑≈ ←÷↵←ℵ ∂ÿ•↑ ←♥•≈ ±″←•″↔±↔↑×♣ …•≡≡≈→≈″←•↵×≈ •″ ↵ ″≈•≠÷±↔→÷±±… ±≡∑ÿð∫

±♥ ±≥°↵→•″≠ ←÷≈ °↵→↵≥≈←≈→ ≈↑←•≥↵←≈↑ ↵″…ÿusing local influence, we are able to investigate how the •″≡≈→≈″≈ •↑ ↵≡≡≈←≈… ♣ ←÷≈ °≈→←↔→↵←•±″∫ ⇑±″↑•…≈→ ←÷≈ ו∝≈ו÷±±… …•↑°×↵≈≥≈″← ⇐ ≠•♠≈″ ♣

⇐ÿ  ℵ ℵÿ∑ 

which is used to assess the influence of the perturbationÿ∫ ↵→≠≈ ♠↵×↔≈↑ ±≡ ⇐ÿ•″  •″…•↵←≈ ←÷↵←  ↵″… ÿ …•≡≡≈→ ±″↑•…≈→↵×♣ →≈×↵←≈… ←± ←÷≈ ±″←±↔→↑ ±≡ ←÷≈ ″±″⌠°≈→←↔→≈… ×±≠⌠ו∝≈ו÷±±… ≡↔″←•±″ℵ ∫ ⊂÷≈

method studies the local behaviour of the influence plot↵ÿ  ÿ_{∑⇐ÿ}_{↵→±↔″…ÿ}

ð∫ ⇑±±∝ 

↑↔≠≠≈↑←≈… •″♠•≠•×↵←•″≠ ←÷≈ …•→≈←•±″ ±≡ ≥↵♦•≥↔≥ ↔→♠↵←↔→≈⇑≥↵♦ ±≡ ←÷≈ ↑↔→≡↵≈↵ÿ∫ ∨±→ ⇐ÿ•″ 

⇑≥↵♦ ≥↵♦∂∂…∂∂⇑… ♥÷≈→≈⇑… ∂…⇒…∂ ♥•←÷⇒≈•″≠ ↵″″ ″≥↵←→•♦ ↵″……↵ ↔″•←⌠×≈″≠←÷ …•→≈←•±″

 ∨↵•↵″↵ ∧↵→•↵⌠∠↵°↵″• ≈← ↵×∫

←÷≈ ¬≈↑↑•↵″ ≥↵←→•♦ ±←↵•″≈… ≡→±≥  ≈♠↵×↔↵←≈… ↵←  ∑ ↑≈≈ …≈←↵•×↑ ±≡ ←÷≈ ¬≈↑↑•↵″ ≥↵←→•♦ •″ ⇓°°≈″…•♦ ⋅⋅∫ ¬≈→≈ •↑ ↵ ″≥↵←→•♦ ±←↵•″≈… ≡→±≥ ←÷≈ °≈→←↔→≈… ×±≠⌠ו∝≈ו÷±±… ≡↔″←•±″ ↵″… ≠•♠≈″ ♣

 ◊

_{ℵ ∂ÿ}

◊ ◊ÿ  ð ⇒ ⇒ ◊

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ℵ ∂ÿ

ÿ ◊

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ℵ ∂ÿ

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that the case is likely to be influential. Other important dir≈←•±″↑ ±→→≈↑°±″… ←± ←÷≈ ↵″±″•↵× ↵↑•↑ ♠≈←±→↑

…≈• ≡±→• ∑    ∑ ″ ♥÷≈→≈≈••↑ ↵ ♠≈←±→ •″∈″♥•←÷ ↵ ±″≈  •″ •←↑•←÷ °±↑•←•±″ ↵″… ƒ≈→±↑ ð •″ ←÷≈ ±←÷≈→

°±↑•←•±″↑∫ ⋅″ ←÷•↑ ↵↑≈ ←÷≈ ↔→♠↵←↔→≈ •↑ ≠•♠≈″ ♣⇑• ∂••∂ ♥÷≈→≈•••↑ ←÷≈•∑ •≈×≈≥≈″← ±≡ ←÷≈ ≥↵←→•♦⇒ ≡±→• ∑    ∑ ″∫ ⊂÷≈ °×±← ±≡⇑•⇑…•♠≈→↑↔↑ ←÷≈ •″…≈♦•can also be used to identify influential cases. We

↔↑≈ •″…≈♦ °×±←↑ ±≡⇑•↵″…_∂…≥↵♦•∂as diagnostic measures of local influence in Section 5.⇓×←÷±↔≠÷ ←÷≈→≈ •↑ ″± consensus about a benchmark to determine an influential case ♥≈ ↔↑≈ ↵ ♠↵×↔≈ ↵″↵×±≠±↔↑ ←± ←÷↵← °→±°±↑≈… ♣ ∅÷↔ ↵″… ≈≈ ðð ♥÷•÷ •″…•↵←≈↑ ←÷≈ ↵↑≈•as influential if⇑•  ⇑⌡ ⊆⇔⇑ ≡±→• ∑    ∑ ″

♥÷≈→≈⇑ ↵″… ⊆⇔⇑…≈″±←≈ →≈↑°≈←•♠≈×♣ ←÷≈ ≥≈↵″ ″±→≥↵× ↔→♠↵←↔→≈ ↵″… ←÷≈ ±→→≈↑°±″…•″≠ ↑↵≥°×≈ ⊆⇔∫ ⊆•≥•×↵→×♣ •″ ←÷≈ •″…≈♦ °×±← ±≡_∂…≥↵♦•∂ ←÷≈ ↵↑≈•is indicated as influential if∂…≥↵♦•∂∂…≥↵♦∂⌡ ⊆⇔∂…≥↵♦∂ ≡±→•  ∑    ∑ ″ ♥÷≈→≈∂…≥↵♦∂↵″… ⊆⇔∂…≥↵♦∂…≈″±←≈ →≈↑°≈←•♠≈×♣ ←÷≈ ≥≈↵″ ±≡ ←÷≈ ≈×≈≥≈″←↑ •″ ↵↑±×↔←≈ ♠↵×↔≈ ±≡ ←÷≈ ♠≈←±→…≥↵♦↵″… ←÷≈ ±→→≈↑°±″…•″≠ ↑↵≥°×≈ ⊆⇔∫ ⊃≈ ↔↑≈ ←÷≈↑≈ ≈″÷≥↵→∝ ♠↵×↔≈↑ •″ ←÷≈ ↑•≥↔×↵←•±″ ↑←↔…♣ ↵″… •″ ←÷≈ ↵≠→•↔×←↔→↵× ↵°°×•↵←•±″ ±″↑•…≈→≈… •″ ⊆≈←•±″↑  ↵″…  →≈↑°≈←•♠≈×♣∫

∫ ⊆≈×≈←•±″ ±≡ ←÷≈ ↵°°→±°→•↵←≈ °≈→←↔→↵←•±″ ↑÷≈≥≈

⊆↔°°±↑≈ ←÷↵← ←÷≈ °≈→←↔→↵←•±″ ±≡ ←÷≈ →≈↑°±″↑≈ ♠↵→•↵×≈ •↑ ±≡ ←÷≈ ≡±→≥∩ÿ↑ ∩↑ ⌡⇓ÿ ♥÷≈→≈⇓ •↑ ↵ ↑♣≥≥≈←→• ↵″… ″±″⌠↑•″≠↔×↵→ ≥↵←→•♦∫ ¬≈″≈∩ÿð↑ ∩↑↵″…∩ÿ↑• ∩↑• ⌡↵•ÿ ♥÷≈→≈↵••↑

←÷≈•←÷ →±♥ ±≡ ←÷≈ ≥↵←→•♦⇓∫ ⋅″ ←÷•↑ ↵↑≈ ←÷≈ °≈→←↔→≈… ×±≠⌠ו∝≈ו÷±±… ≡↔″←•±″ •↑ ≠•♠≈″ ♣

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⇑±″↑•…≈→ ←÷≈ ♠↵→•↵″≈ ±≡ ←÷≈ ↑±→≈ ♠≈←±→ ≠•♠≈″ •″  ↵↑ ↵ ≡↔″←•±″ ±≡ ←÷≈ °≈→←↔→↵←•±″ ♠≈←±→ÿ ←÷↵← •↑

∧ÿ  ⊇↵→⊄ÿ  ⇔ ⊄ÿ⊄_{ÿ  →≈↵×ו″≠ ←÷↵← ⇔⊄ÿ  ð∫ ∨±→ ←÷≈ ⇒⊆ ↑°↵←•↵× ×±≠⌠ו″≈↵→}

≥±…≈× ♥≈ ÷↵♠≈ ←÷↵← ↵≠↵•″ ↑≈≈ …≈←↵•×↑ •″ ⇓°°≈″…•♦ ⋅⊇

∧ÿ ⇓  

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♥•←÷∧ ≠•♠≈″ •″ ∫ ⋅″ ≠≈″≈→↵× ≡±→ ↵″ ↵→•←→↵→♣ ↑♣≥≥≈←→• ↵″… ″±″⌠↑•″≠↔×↵→ ≥↵←→•♦⇓∧ÿ⋅″∫ ⋅″↑←≈↵… ≡±→ ←÷≈ °≈→←↔→↵←•±″ ←± ≈ ↵°°→±°→•↵←≈⇓≥↔↑← ≈ ≡±↔″… ↔↑•″≠ ←÷≈ ±″…•←•±″

⇓  



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

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≡±→ ↑±≥≈ ♠↵×↔≈ ±≡ ð∫ ∧•♠≈″ ←÷↵←•↑ ″±″⌠″≈≠↵←•♠≈ ±″↑•…≈→•″≠  •≥≥≈…•↵←≈×♣ ↑÷±♥↑ ←÷↵←⇓      



 satisfies the condition given in (29). Thus, for the BS spatia× ×±≠⌠ו″≈↵→ ≥±…≈× ↵″ ↵°°→±°→•↵←≈ °≈→←↔→↵←•±″ ↑÷≈≥≈ ≡±→ ←÷≈ →≈↑°±″↑≈ ♠↵→•↵×≈ •↑ ≠•♠≈″ ♣

∩ÿ↑ ∩↑ ⌡

 



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±♥ ±″↑•…≈→ ←÷≈ °≈→←↔→↵←•±″ ≥↵←→•♦ defined in (25), the perturbation given in (30), and

◊ℵ ∂ÿ ◊ÿ 



⊇ 

ÿ ⇓⌡

 ⊇



ÿ ⇓⊇ÿ

  _⌡  ⋅″ ⇓  ⊂÷≈″ ←÷≈ ≈×≈≥≈″←↑ ±≡ ±←↵•″≈… ≡→±≥  ↵→≈ ≈♦°→≈↑↑≈… ↵↑  ◊

_{ℵ ∂ÿ}

ÿ 

 



 

⋅″ ⇓∑ 

 ◊

_{ℵ ∂ÿ}

ÿ ⇐

   _⌡ ⋅″ ⇓∑ ⌡⊇ ÿ   _⇓⌡   _⌡  ⋅″ ⇓     ⌡    ⇓ ∑  

◊_{ℵ ∂ÿ}

◊_◊ÿ 

◊_{ℵ ∂ÿ}

◊◊ÿ∑

◊_{ℵ ∂ÿ}

◊◊ÿ∑

◊ℵ ∂ÿ ◊◊ÿ



∑ 

♥÷≈→≈⇐  …∑    ∑ …″ ♥•←÷ …∂  וÿ ≡±→ •  ∑    ∑ ″ ↵″… ו ≈•″≠ ←÷≈•←÷ →±♥ ±≡ ←÷≈ ≥↵←→•♦ ⇓ _ 

 ⌡  

⇓∫ ⊂÷≈ ≈×≈≥≈″←↑ ±≡ _given in (34) are defined as

◊_{ℵ ∂ÿ}

◊•◊ÿ 

   _⌡ ⋅″ ⇓⌡⊇  ÿ   ◊ ◊•  ⇓ ⌡   _⌡ ⋅″ ⇓   ◊   ◊•  ⌡  ◊  ◊• ⇓∑

♥÷≈→≈ ≥∑    ∑ ≥″ ♥•←÷≥•וÿ ≡±→• ∑    ∑ ″ ↵″…ו≈•″≠ ←÷≈•←÷ →±♥ ±≡ ←÷≈ ≥↵←→•♦

⇓  ◊   ◊•   ⌡  ◊  ◊• ⇓ ⇐≈←↵•×≈… ↵×≠≈→↵ ±≡ ←÷≈ ↵±♠≈ ≈♦°→≈↑↑•±″↑ •↑ °→≈↑≈″←≈… •″ ⇓°°≈″…•♦ ⊇∫ ⊆•≥↔×↵←•±″ ↑←↔…♣ ⋅″ ←÷•↑ ↑≈←•±″ ♥≈ ±″…↔← ←♥± ⇑ ↑•≥↔×↵←•±″ ↑←↔…•≈↑ ↵↑≈… ±″″↑↵≥°×•″≠ °±•″←↑♣ ♣∑    ∑ ♣″

≠≈″≈→↵←≈… ≡→±≥ ↵ ×±≠⌠⇒⊆ …•↑←→•↔←•±″ ♥•←÷ ↑÷↵°≈ °↵→↵≥≈←≈→ _{ ≡}ð∑ð≠ ↑↵×≈ °↵→↵≥≈←≈→  ↵″… ↑°↵←•↵× ↑←→↔←↔→≈ …≈↑→•≈… ♣ ←÷≈ ↵←λ≈→″ ≥±…≈× ♥•←÷  ð  ≡ð∑ð≠  ≡ð∑ð≠↵″…

  ≡ð∑≠∫ ⊃≈ ±″↑•…≈→ ↵ →≈≠↔×↵→ ≠→•… ♥•←÷ ↵ ≥•″•≥↔≥ …•↑←↵″≈ ≈←♥≈≈″ °±•″←↑ ±≡ ±″≈ ↔″•←∫ ⊃≈

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∫⊆←↔…♣ ⋅  ≈↑←•≥↵←•±″

To assess the efficiency of the estimator_•≈≥°•→•↵××♣ ♥≈ ↔↑≈ ←÷≈ ↵↑±×↔←≈ →≈×↵←•♠≈ •↵↑ ⇓∈⇒ ↵″… ←÷≈

root mean squared error (RMSE) defined as the square root of th≈ ≥≈↵″ ↑↓↔↵→≈… ≈→→±→ ≠•♠≈″ ♣

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∫Study II: influence diagnostics

⊃≈ ≈♠↵×↔↵←≈ ←÷≈ °≈→≡±→≥↵″≈ ±≡ ←÷≈ ±→→≈↑°±″…•″≠ …•↵≠″±↑←•c tools in detecting influential cases. In ±→…≈→ ←± ↵→→♣ ±↔← ←÷•↑ ≈♠↵×↔↵←•±″ ♥≈ ≠≈″≈→↵←≈ ←♥± …↵←↵ ↑≈←↑ ↔↑•″≠ ↵ →≈↑°±″↑≈ ♠↵→•↵×≈ ↵↑ ≠•♠≈″ •″  ♥•←÷ ↑↵×≈ ≥↵←→•♦ ↑←→↔←↔→≈ …≈↑→•≈… ♣ ↵←λ≈→″ ≡↵≥•×♣ ≥±…≈× ±″↑•…≈→•″≠ ←÷≈ ↑÷↵°≈ °↵→↵≥≈←≈→ _{ ≡}ð∑ð≠ ↵″…″  ðð∫ ⇓≡←≈→ ≠≈″≈→↵←•″≠ ≈↵÷ …↵←↵ ↑≈←♣  ♣∑    ∑ ♣″ ♥≈ ±″←↵≥•″↵←≈ •←↑ ≥↵♦•≥↔≥ ♠↵×↔≈ ←±

≠≈″≈→↵←≈ ↵″ ±↔←ו≈→∫ ⊂÷•↑ ±″←↵≥•″↵←•±″ •↑ ↑•≥•×↵→ ←± ←÷↵← ↔sed in Ortega et al. (2003) to study the influence ±≡ ↵ °≈→←↔→↵←•±″ •″ ↵″ ≈♦°×↵″↵←±→♣ ♠↵→•↵×≈ ≡±→ ≠≈″≈→↵וƒ≈d log-gamma fixed effect models. Specifically, we ±″↑•…≈→ ←÷≈ ±″←↵≥•″↵←•±″

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For the first data set (  ð∑ ″ ðð ←÷≈ ±″←↵≥•″↵←≈… ↵↑≈ ↵±→…•″≠ ←±  →≈↑↔×←↑ ←± ≈ ↵↑≈ ∫ ∨•≠∫ ×≈≡← ↑÷±♥↑ ←÷≈ ±♦⌠°×±← ≡±→ ←÷•↑ …↵←↵ ↑≈← ♥÷•÷ •…≈″tifies case #59 as an outlier. Fig. 2(right) displays ←÷≈ ±→→≈↑°±″…•″≠ ≥±…≈× ≥↵° …•♠•…≈… •″←± ↓↔↵→←•×≈↑ ≡→±≥ ♥÷•÷ •← •↑ °±↑↑•×≈ ←± •…≈″←•≡♣ ♥÷≈→≈ ±↔←ו≈→↑ ↵→≈ ×±↵←≈…∫ ⇓≡←≈→ ←÷≈ ±″←↵≥•″↵←•±″ ←÷≈ ≈↑←•≥↵←≈↑ ±≡ ←÷≈ °↵→↵≥≈←≈→↑ ±←↵•″≈… ↔↑•″≠ ←÷≈ ⇒∨∧⊆ ≥≈←÷±… ♥•←÷ ←÷≈•→ ≈↑←•≥↵←≈… ↵↑♣≥°←±←• ⊆⇔↑ •″ °↵→≈″←÷≈↑•↑ ↵→≈_  ð _{ ð ð∑}

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potential influential∫



    ð

 

 ð

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