N O N -U N IF O R M P L A S M A
P h . D. T h e s i s S u b m i t t e d to T h e A u s t r a l i a n N a t i o n a l U n i v e r s i t y
T h i s t h e s i s i s p r i m a r i l y c o n c e r n e d w i t h th e d e v e l o p m e n t a n d a p p l i c a t i o n of c e r t a i n e q u a t i o n s in t h e k i n e t i c t h e o r y of p a r t i a l l y
i o n i s e d g a s e s a n d p l a s m a . In p a r t i c u l a r , th e " 1 3 - m o m e n t " e q u a t i o n s , w h ic h w e r e o r i g i n a l l y d e v e l o p e d b y G r a d f o r a s i m p l e g a s a n d a p p l i e d to m o n o - a t o m i c g a s m i x t u r e s b y s u b s e q u e n t a u t h o r s , h a v e b e e n f u r t h e r
d e v e l o p e d a n d e x t e n d e d to i n c l u d e p a r t i a l l y i o n i s e d g a s e s . In d o in g t h i s , a l l p o s s i b l e t y p e s of b i n a r y c o l l i s i o n p h e n o m e n a h a v e b e e n i n c l u d e d . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s a r e m o r e g e n e r a l t h a n c e r t a i n o t h e r s e t s o f m o m e n t e q u a t i o n s (e. g. t h o s e of C h a p m a n a n d E n s k o g ) , a n d a d e q u a t e l y d e s c r i b e th e b e h a v i o u r of n o n - u n i f o r m a n d p a r t i a l l y i o n i s e d g a s m i x t u r e s .
C h a p t e r i s c o n c e r n e d w i t h r e d u c i n g th e m o m e n t e q u a t i o n s to n o r m a l f o r m , a n d o b t a i n i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s in a f o r m a p p r o p r i a t e to t h e s e e q u a t i o n s . A f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e a p p l i c a b l e to t h e r e s u l t i n g
e q u a t i o n s i s a l s o b r i e f l y c o n s i d e r e d . In th e f i n a l P a r t , C h a p t e r s 5 a n d 6, th e p r o p a g a t i o n of h ig h f r e q u e n c y w a v e s i s d i s c u s s e d a c c o r d i n g to th e 1 3 - m o m e n t a n d M a x w e l l ' s e q u a t i o n s . C h a p t e r 5 a p p l i e s to a h o m o g e n e o u s p a r t i a l l y i o n i s e d p l a s m a , w ith a l l p o s s i b l e t y p e s of b i n a r y c o l l i s i o n s b e in g ( i m p l i c i t l y ) i n c l u d e d , a n d in C h a p t e r 6, w a v e m o t i o n in i n h o m o g e n e o u s p l a s m a i s c o n s i d e r e d to th e a p p r o x i m a t i o n of g e o m e t r i c a l o p t i c s , but w i t h c o l l i s i o n s i g n o r e d .
R e f e r e n c e s a r e g i v e n a f t e r e a c h C h a p t e r , a n d , w h e r e a p p l i c a b l e , a f t e r th e a p p r o p r i a t e a p p e n d i c e s . E q u a t i o n s h a v e b e e n n u m b e r e d on th e l e f t h a n d s i d e .
W ith r e g a r d to t h e o r i g i n a l i t y of t h i s t h e s i s , th e I n t r o d u c t i o n a n d C h a p t e r 1 e s s e n t i a l l y s u m m a r i s e e s t a b l i s h e d t h e o r y . T h e g e n e r a l c o l l i s i o n i n t e g r a l s g iv e n in C h a p t e r 2 w e r e o b t a i n e d in c o o p e r a t i o n w ith D r B. S. L i l e y . T h e r e m a i n i n g C h a p t e r s , w h ile p r i n c i p a l l y th e w o r k of th e a u t h o r , owe m u c h to th e f r e e e x c h a n g e of i d e a s a n d d i s c u s s i o n s w ith D r L i l e y . A g a in , th e a u t h o r h a s b e e n f o r t u n a t e to h a v e a c c e s s to th e r e p o r t (a n d t h e s i s ) " T h e N o n - E q u i l i b r i u m T h e o r y of M o n o - A t o m i c G a s M i x t u r e s a n d P l a s m a " b y B. S. L i l e y .
In m a k i n g a c k n o w l e d g e m e n t s , t h e a u t h o r o w e s g r a t e f u l t h a n k s to D r L i l e y , w ith o u t w h o s e a s s i s t a n c e a n d e n c o u r a g e m e n t l i t t l e m a y h a v e b e e n a c h i e v e d . He a l s o w i s h e s to t h a n k th e o t h e r m e m b e r s of th e
f o r m e r l y P r o f e s s o r M. L. O l i p h a n t , f o l l o w e d by M r . J . W. B l a r n e y ( i n t e r i m h e a d of D e p a r t m e n t f o r one y e a r ) a n d p r e s e n t l y P r o f e s s o r G. N e w s t e a d , i s a c k n o w l e d g e d .
T h e a u t h o r i s a l s o g r a t e f u l t o t h e A u s t r a l i a n N a t i o n a l U n i v e r s i t y f o r i t s f i n a n c i a l s u p p o r t in t h e f o r m of a R e s e a r c h S c h o l a r s h i p .
C o n t e n t s
P r e f a c e i
I n t r o d u c t i o n 1
1. G e n e r a l 1
2. T h e B o l t z m a n n E q u a t i o n 2
3. E n s k o g ' s E q u a t i o n s of C h a n g e 4
4. C l o s u r e of t h e M o m e n t E q u a t i o n s 8
5. S o m e R e m a r k s on G e n e r a l M o m e n t E q u a t i o n s 11
R e f e r e n c e s 12
P A R T I
1. T h e D y n a m i c a l E q u a t i o n s 14
1. 1 I n t r o d u c t i o n 14
1 . 2 T h e D y n a m i c a l E q u a t i o n s 14
1 . 2 . 1 C o n t i n u i t y E q u a t i o n 17
1 . 2 . 2 M o m e n t u m E q u a t i o n s 17
1 . 2 . 3 T h e r m a l E n e r g y E q u a t i o n 17
1 . 2 . 4 S t r e s s T e n s o r E q u a t i o n 18
1 . 2 . 5 H e a t F l u x E q u a t i o n 18
1 . 2 . 6 C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s 19
1. 3 T h e D y n a m i c a l E q u a t i o n s W i t h M o m e n t s R e f e r r e d t o a F r a m e M o v i n g W it h t h e
M e a n M a s s V e l o c i t y of t h e S y s t e m 20 1 . 4 T h e D y n a m i c a l E q u a t i o n s R e f e r r e d t o a
F r a m e W i t h V = 21
1 . 4 . 1 C o n t i n u i t y E q u a t i o n 23
1 . 4 . 3 T h e r m a l E n e r g y E q u a t i o n 24
1 . 4 . 4 S t r e s s T e n s o r E q u a t i o n 24
1. 4. 5 H e a t F l u x E q u a t i o n 2 5
1 . 4 . 6 C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s 25
1 . 5 T h e T r a n s p o r t R e l a t i o n s h i p s 2 6
1. 5. 1 T r a n s p o r t R e l a t i o n s h i p s f o r E l e c t r o n s 2 7 1. 5. 2 T r a n s p o r t R e l a t i o n s h i p s f o r " H e a v y "
P a r t i c l e s 31
R e f e r e n c e s 39
2. T h e C o l l i s i o n I n t e g r a l s 40
2. 1 I n t r o d u c t i o n 40
2 . 2 T h e D y n a m i c s of G e n e r a l B i n a r y C o l l i s i o n s 41 2. 3 I n t e g r a t i o n O v e r A z i m u t h a l A n gl e 47 2 . 4 I n t e g r a t i o n O v e r V e l o c i t y S p a c e 50 2. 5 T h e C o l l i s i o n I n t e g r a l s i n T e r m s of t h e
Cl
S 5 3 2. 5. 1 C o n t i n u i t y ( o r M a s s ) I n t e g r a l 532. 5. 2 M o m e n t u m I n t e g r a l 53
2. 5. 3 E n e r g y I n t e g r a l 55
2 . 5 . 4 S t r e s s I n t e g r a l 55
2. 5. 5 H e a t F l u x I n t e g r a l 56
2. 6 T h e G e n e r a l C o l l i s i o n I n t e g r a l s f o r E l e c t r o n s
i n a G a s M i x t u r e 59
2. 6. 1 C o n t i n u i t y I n t e g r a l 60
2 . 6 . 2 M o m e n t u m I n t e g r a l 61
2 . 6 . 3 E n e r g y I n t e g r a l 6 5
2. 6. 4 S t r e s s I n t e g r a l 66
2. 6. 5 H e a t F l u x I n t e g r a l 66
P A R T II
3. E v a l u a t i o n of th e £1 3» f o r C e r t a i n C o l l i s i o n P r o c e s s e s
I n v o l v i n g H y d r o g e n 6 9
3. 1 I n t r o d u c t i o n 6 9
3 . 2 T h e D i f f e r e n t i a l C r o s s S e c t i o n s 70 3 . 2 . 1 E l a s t i c C o l l i s i o n s B e t w e e n E l e c t r o n s 72 3 . 2 . 2 E l a s t i c C o l l i s i o n s B e t w e e n E l e c t r o n s
a n d H y d r o g e n A t o m s 72
3 . 2 . 3 E l a s t i c C o l l i s i o n s B e t w e e n E l e c t r o n s
a n d Io n s 72
3 . 2 . 4 E l a s t i c C o l l i s i o n s B e t w e e n H y d r o g e n
A t o m s 73
3 . 2 . 5 E l a s t i c C o l l i s i o n s B e t w e e n H y d ro g e n
A t o m s a n d P r o t o n s 7 3
3 . 2 . 6 E l a s t i c C o l l i s i o n s B e t w e e n P r o t o n s 73 3 . 2 . 7 I s - 2p E x c i t a t i o n C o l l i s i o n s B e t w e e n
E l e c t r o n s a n d H y d r o g e n A t o m s 73 3. 2. 8 I o n i s a t i o n C o l l i s i o n s B e t w e e n E l e c t r o n s
a n d H y d r o g e n A t o m s 74
3 . 2 . 9 C h a r g e E x c h a n g e C o l l i s i o n s B e t w e e n
H y d r o g e n A t o m s a n d P r o t o n s 74
3. 3 E v a l u a t i o n s o f th e ^ S 74
3. 3. 1 E l a s t i c C o l l i s i o n s 74
3 . 3 . 2 I n e l a s t i c C o l l i s i o n s 78
3 . 4 E v a l u a t i o n of th e iTl's 94
3. 4. 1 E l a s t i c C o l l i s i o n s 94
3 . 4 . 2 E l e c t r o n - H y d r o g e n A to m I s - 2p
3. 4. 3 E l e c t r o n - H y d r o g e n A to m I o n i s i n g
C o l l i s i o n s 102
3. 4. 4 H y d r o g e n A t o m - P r o t o n C h a r g e
E x c h a n g e C o l l i s i o n s 106
R e f e r e n c e s 106
4. C h a r a c t e r i s t i c F o r m s a n d B o u n d a r y C o n d i t i o n s 107
4. 1 I n t r o d u c t i o n 107
4. 2 C h a r a c t e r i s t i c s a n d th e N o r m a l F o r m of th e
M o m e n t E q u a t i o n s 108
4. 2. 1 T h e M o m e n t E q u a t i o n s in N o r m a l F o r m 124
4 . 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s 12 8
4. 3. 1 N e c e s s a r y B o u n d a r y C o n d i t i o n s 12 8 4. 3. 2 P h y s i c a l B o u n d a r y C o n d i t i o n s on a W a ll 12 9 4. 3. 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s f o r H y d r o g e n A to m s,
P r o t o n s , a n d E l e c t r o n s 138
4 . 4 U n c o n d i t i o n a l l y S ta b le F i n i t e D i f f e r e n c e M e t h o d s 141
R e f e r e n c e s 144
P A R T III
5. H ig h F r e q u e n c y W a v e s in H o m o g e n e o u s P l a s m a 145
5. 1 I n t r o d u c t i o n 145
5. 1. 1 C o n t i n u i t y E q u a t i o n 147
5. 1. 2 G e n e r a l i s e d O h m ' s L a w E q u a t i o n 148
5. 1. 3 T h e r m a l E n e r g y E q u a t i o n 148
5. 1. 4 S t r e s s T e n s o r E q u a t i o n 148
5. 1. 5 H e a t F l u x E q u a t i o n 148
5 . 2 T h e D i s p e r s i o n E q u a t i o n s 153
5 . 2 . 2 A p p l i e d M a g n e t i c F i e l d P a r a l l e l to th e
D i r e c t i o n of P r o p a g a t i o n : Bo - (QjdjBo) 160 5. 2. 3 A p p l i e d M a g n e t i c F i e l d P e r p e n d i c u l a r
to t h e D i r e c t i o n of P r o p a g a t i o n :
Bo
=C
Bo , 0 ^ 0 ) 1655. 3 S o lu t io n s of th e W av e D i s p e r s i o n E q u a t i o n s 168 5. 3. 1 T r a n s v e r s e M o d e s w i t h No A p p lie d
M a g n e t i c F i e l d 170
5. 3. 2 L o n g i t u d i n a l W a v e s w i t h No A p p lie d
M a g n e t i c F i e l d 17 5
5. 3. 3 T r a n s v e r s e W a v e s w ith a n A p p lie d M a g n e t i c F i e l d P a r a l l e l to th e
D i r e c t i o n of P r o p a g a t i o n 17 9
5. 3. 3(A) T h e O r d i n a r y W a v e M o d e s 181
5. 3. 3(B) T h e E x t r a o r d i n a r y W ave M o d e s 190 5. 3. 4 L o n g i t u d i n a l - T r a n s v e r s e W a v e s w i t h a n
A p p l i e d M a g n e t i c F i e l d P e r p e n d i
c u l a r to t h e D i r e c t i o n of P r o p a g a t i o n 197
5 . 4 D i s c u s s i o n 203
R e f e r e n c e s 204
6. W av e M o tio n i n I n h o m o g e n e o u s P l a s m a 205
6. 1 I n t r o d u c t i o n 205
6 . 2 T h e S t e a d y S ta te I n h o m o g e n e o u s P l a s m a 206 6. 3 T h e W a v e E q u a t i o n s f o r I n h o m o g e n e o u s P l a s m a 208
6. 3. 1 D e n s i t y G r a d i e n t P e r p e n d i c u l a r to th e
D i r e c t i o n of P r o p a g a t i o n 210
6. 3. 2 D e n s i t y G r a d i e n t P a r a l l e l to t h e
6. 4 S o l u t i o n s of t h e W a v e D i s p e r s i o n E q u a t i o n s 22 3 6. 4. 1 S o l u t i o n s w i t h N o A p p l i e d M a g n e t i c F i e l d 225 6. 4. 2 S o l u t i o n s w i t h t h e A p p l i e d M a g n e t i c F i e l d
P a r a l l e l t o t h e D i r e c t i o n of P r o p a g a t i o n 2 29
6 . 5 D i s c u s s i o n 232
R e f e r e n c e s 239
A p p e n d i x A. T h e D i f f e r e n t i a l C r o s s S e c t i o n s a - 1
R e f e r e n c e s a -21
A p p e n d i x B. S u b s i d i a r y R e l a t i o n s f o r E l e c t r o n - H y d r o g e n
A t o m C o l l i s i o n s a -2 2
A p p e n d i x C. T h e M o m e n t E q u a t i o n s i n C y l i n d r i c a l
G e o m e t r y a -32
A p p e n d i x D. P o l a r i s a t i o n a n d F a r a d a y R o t a t i o n a -45
Introduction
1.
G e n era l
The b a sic o b ject of th is th e s is is to extend the ap p licatio n of the
1
13-m o m en t eq u atio n s.
T h ese w e re o rig in a lly developed by G ra d to
d e s c r ib e the b e h av io u r of a sim p le gas, and su b s eq u e n tly a p p lied to
2
gas m ix tu r e s and p l a s m a s by a n u m b er of o th e r a u th o rs (K olodner ,
3
H erdan and L ile y ).
In the f i r s t p a r t of the th e s is , the m o m e n t equations and the
a s s o c ia te d c o llisio n i n te g r a l s a r e g e n e r a lis e d to take full account of
in e la s tic (binary) c o llis io n s , including ex citatio n , io n isatio n , c h a rg e
exchange, fusion, and p a r tic le annihilation and c re a tio n .
In the second p a r t, th e s e e q u atio n s a re then given in a fo rm
applicable to the b e h av io u r of a sim p le h y d ro g e n ic -lik e p la s m a in a
c y lin d ric a l g e o m e try . C e r ta in co efficien ts in the co llisio n i n t e g r a l s
a r e c a lc u la te d ex p licitly , while in C h a p te r 4 the 13-m o m en t e q u atio n s
a r e e x p r e s s e d in t e r m s of the p h y sic al co m p o n en ts of the m o m e n ts ,
with p a r t i c u l a r r e f e r e n c e to a c y lin d r ic a l g e o m e try . The a s s o c i a t e d
c h a r a c t e r i s t i c eq u atio n is solved and the eig e n v alu es and e i g e n
In t h e t h i r d a n d f i n a l p a r t of t h e t h e s i s t h e p r o p a g a t i o n of h i g h f r e q u e n c y w a v e s in b o t h h o m o g e n e o u s a n d i n h o m o g e n e o u s p l a s m a s i s c o n s i d e r e d . By u s i n g t h e 1 3 - m o m e n t e q u a t i o n s , c o l l i s i o n e f f e c t s s u c h a s r e s i s t i v i t y , t h e r m o e l e c t r i c p r o c e s s e s , v i s c o s i t y e t c . , a r e f u l l y t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e h o m o g e n e o u s c a s e . T h e p r o p a g a t i o n of " s t r e s s " w a v e s i s a l s o d i s c u s s e d i n d e t a i l f o r b o t h c a s e s .
T h u s , b r i e f l y s u m m a r i s i n g , t h e g e n e r a l s c o p e of t h i s t h e s i s i n v o l v e s t he d e r i v a t i o n of a c l o s e d s y s t e m of m o m e n t e q u a t i o n s , i n w h i c h a l l t y p e s of b i n a r y c o l l i s i o n p h e n o m e n a r e l e v a n t t o a p a r t i a l l y i o n i s e d g a s a r e i n c l u d e d , t o g e t h e r w i t h t h e a p p l i c a t i o n of t h e s e e q u a t i o n s to c e r t a i n p a r t i c u l a r p r o b l e m s .
B e c a u s e of t h e l a r g e n u m b e r of s y m b o l s a n d d e f i n i t i o n s i n v o l v e d , a l l e x c e p t t h o s e u s e d l o c a l l y w i t h i n a s e c t i o n h a v e b e e n l i s t e d a t t h e e n d of t h e t h e s i s w i t h a r e f e r e n c e t o t h e p a g e n u m b e r on w h i c h t h e y a r e
4
d e f i n e d . T h e n o t a t i o n i s b a s i c a l l y s i m i l a r t o t h a t of L i l e y , a w o r k t h a t i s f o l l o w e d c l o s e l y in m a n y r e s p e c t s a l t h o u g h of c o u r s e t h i s t h e s i s i s i n t e n d e d to be s e l f - c o n t a i n e d . W h e r e v e r a p p l i c a b l e , t h e m . k. s. s y s t e m of r a t i o n a l i s e d u n i t s h a s b e e n u s e d .
2. T h e B o l t z m a n n E q u a t i o n
T h e p h y s i c a l d e r i v a t i o n of t h i s e q u a t i o n i s w e l l k n o w n . H o w e v e r , i n a t t e m p t i n g a r i g o r o u s d e r i v a t i o n of t h e B o l t z m a n n e q u a t i o n f r o m t h e
L o u i v i l l e e q u a t i o n c e r t a i n a s s u m p t i o n s a n d a p p r o x i m a t i o n s a r e n e c e s s a r y . In g e n e r a l , t h e s e a r e s u c h t h a t t h e a d e q u a c y of a b i n a r y
i n t e g r a l i s o b v i o u s l y o p e n to c r i t i c i s m w i t h t h e t o t a l I n t e g r a l of t h e d i f f e r e n t i a l c r o s s s e c t i o n ( f o r C o u l o m b c o l l i s i o n s ) b e i n g i n f i n i t e .
N e v e r t h e l e s s t h e r e a r e w e l l e s t a b l i s h e d m e t h o d s of c i r c u m v e n t i n g 5
t h i s d i f f i c u l t y , a n d t h e i r u s e h a s b e e n d i s c u s s e d b y G r a d i . H i s a r g u m e n t i s , b r i e f l y , a s f o l l o w s . T a k i n g t h e D e b y e l e n g t h a s a c o n v e n i e n t c u t - o f f d i s t a n c e ( m o r e s t r i c t l y a n e x p o n e n t i a l f o r m of c u t - o f f s h o u l d b e
0
u s e d , b u t i t h a s b e e n s h o w n by L i b o f f t h a t t h e r e i s l i t t l e e r r o r i n r e p l a c i n g i t by t h e s i m p l e D e b y e c u t - o f f ) , on e m a y c o n s i d e r t w o r e g i o n s w i t h i n t h e D e b y e s p h e r e , a n i n n e r " c o r e " a r o u n d t h e p a r t i c l e of
i n t e r e s t w i t h i n w h i c h t h e p a r t i c l e s e x p e r i e n c e b i n a r y c o l l i s i o n s , a n d t h e r e g i o n o u t s i d e t h i s " c o r e " w h e r e t h e r e a r e m u l t i p l e c o l l i s i o n s . S u p p o s i n g t h a t t h e m u l t i p l e d e f l e c t i o n s i n t h i s r e g i o n a r e r a n d o m a n d i n d e p e n d e n t , t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l of t h i s s t o c h a s t i c p r o c e s s i s t h e s a m e a s t h a t f o r t h e d i f f e r e n t p h y s i c a l p r o c e s s of i n d e p e n d e n t r a n d o m b i n a r y d e f l e c t i o n s ; i n o t h e r w o r d s , t h e b i n a r y c o l l i s i o n t e r m m a t h e m a t i c a l l y d e s c r i b e s t h e p r o c e s s u p t o t h e D e b y e c u t - o f f .
T h e q u e s t i o n a s t o w h e t h e r t h e s i m u l t a n e o u s s m a l l d e f l e c t i o n s a r e c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n t , t h u s l i m i t i n g t h e v a l i d i t y of t h i s a r g u m e n t ,
7
h a s b e e n e x a m i n e d b y K o g a in a d i f f e r e n t m a n n e r . U s i n g o r d e r of m a g n i t u d e c a l c u l a t i o n s , he w a s a b l e t o s h o w t h a t t h e c o n t r i b u t i o n t o t he i n t e r a c t i o n t e r m f r o m t h e e f f e c t s of c o r r e l a t i o n s of p a r t i c l e m o t i o n i s in g e n e r a l m u c h l e s s t h a n t h e " b i n a r y " p a r t , t h u s l i m i t i n g t h e c o n s e q u e n c e s of i n a d e q u a t e a s s u m p t i o n s i n t h i s r e g i o n . In f a c t , p r o v i d e d
< ' C~2
(1)
O t h e r a s p e c t s of t h e B o l t z m a n n e q u a t i o n , f o r e x a m p l e , q u a n t u m m e c h a n i c a l e f f e c t s , a r e d i s c u s s e d i n s e v e r a l b o o k s ( e . g . H i r s c h f e l d e r ,
g
C u r t i s s a n d B i r d ). T h e f u l l v a l i d i t y of t h e B o l t z m a n n e q u a t i o n i s a s s u m e d f o r t h e p u r p o s e s of t h i s t h e s i s .
3. E n s k o g ’s E q u a t i o n of C h a n g e
T h e d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s of c h a n g e , o r t h e m o m e n t e q u a t i o n s , 9
i s w e l l k n o w n ( s e e , f o r e x a m p l e , C h a p m a n a n d C o w l i n g ). In p a r t i c u l a r , t h e e q u a t i o n of c h a n g e f o r a m o l e c u l a r p r o p e r t y ( T , t ) i s o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g t h e B o l t z m a n n e q u a t i o n b y dc^ a n d i n t e g r a t i n g o v e r v e l o c i t y s p a c e y b e i n g t h e m o l e c u l a r v e l o c i t y . W i t h t he m o m e n t s r e f e r r e d to a f r a m e m o v i n g w i t h v e l o c i t y V , f o r e a c h p a r t i c l e t y p e
t
p r e s e n t i n a g a s m i x t u r e , t h i s e q u a t i o n i s(2)
< L ( r > i> p ) + n ^ p v - V + v ( r \ i 'V 'O i '0 -
f i 4 i . +
L ci t
+ f i -
+• b •
X W ;
_ b i p
:
j , k
In t h i s e q u a t i o n ,
i . = 1 +
i
Fi := CL i,
4V
Xb j, —
dV
dt
~
dT
z: C\, —
V
} w h e r e C[_ i s t h e p a r t i c l e v e l o c i t y r e l a t i v e toe L ; m;
t t h e c h a r g e a n d m a s s of a n d W 'ua r e s t f r a m e ;
B
w i t hp a r t i c l e s of t y p e
i
a n d ß t h e m a c r o s c o p i c m a g n e t i c f i e l d ;Oft +
i s t h e a c c e l e r a t i o n p e r u n i t m a s s due t o m a c r o s c o p i c f i e l d s (e. g. f o r a n); a n d i s t h e n u m b e r d e n s i t y e l e c t r i c f i e l d E ^
2-i = £> E
o f p a r t ic le s o f ty p e t . T h e r o m a n s u b s c r ip ts d e n o te p a r t ic le type» T h e a v e ra g e o f o v e r v e lo c it y s p a c e , , i s d e fin e d b y
(3) V|U = J_ 1 l b
1 J W i
a n d th e m o m e n t o f i s wy , w h e re t[ i s th e v e l o c it y d i s t r i b u t i o n f u n c tio n o f p a r t ic le s o f ty p e . T h e t e r m on th e r i g h t h a n d s id e o f e q u a tio n (2) i s th e c o l l i s i o n t e r m and w i l l be d is c u s s e d la t e r .
R e g a r d in g n o ta tio n , i f x u a re s e c o n d r a n k te n s o r s , z. a
P ^
v e c t o r and g c o v a r ia n t a nd c o n t r a v a r ia n t b a se v e c t o r c o m p o n e n ts r e s p e c t iv e ly , 0 th e m e t r i c te n s o r :
X*
^ oc ß °(/8 o(A &
(4) J r * y =■ x o ^ § ^ : B — X c y y g *
is a d o u b le c o n t r a c t io n (u s in g s u m m a tio n c o n v e n tio n ) , w h ile th e c r o s s p r o d u c t o f x a n d z is
(5)
* x 5
a
e * ( e * x Z y § * ) =
§ * ( £ * * £ ) ,
I t is u s u a lly fo u n d m o s t c o n v e n ie n t to p u t
V
e q u a l toVo
, th e m e a n m a s s v e l o c it y o f th e s y s te m o f p a r t ic le s o f a l l ty p e s in th e m i x t u r e , o r e ls e e q u a l toV*L
, th e m e a n m a s s v e l o c it y o f th e p a r t ic le s o f ty p e i, in a r e s t f r a m e , d e p e n d in g on th e p a r t i c u l a r p r o b le m b e in g c o n s id e r e d . I t is , h o w e v e r , im p o r t a n t to a p p r e c ia te th a t th e t e m p e r a t u r e , s t r e s s and h e a t f lu x a r e d e fin e d w i t h r e s p e c t to a m o v in g f r a m e o f r e fe r e n c e (se e b e lo w ) so th a t the c h o ic e o f fr a m e a ffe c ts th ef o u n d " c o r r e c t i o n " t e r m s . In f a c t s u c h t e r m s do n o t e x i s t . T h e a p p a r e n t d i s c r e p a n c y i s due t o the u s e of m o m e n t s r e f e r r e d t o a
t e r m s of t e m p e r a t u r e , s t r e s s a n d h e a t f l u x r e f e r r e d to a f r a m e f o r w h i c h
V
—Vo
• W i t h t h e c o r r e c t r e f e r e n c e v e l o c i t i e s f o r t h e m o m e n t s , t h e r e s u l t s a r e i d e n t i c a l .T h e m o m e n t s , d e n s i t y , m e a n m a s s v e l o c i t y , t e m p e r a t u r e , s t r e s s , e n e r g y f lo w, a nd h e a t f l u x f o r p a r t i c l e s of t y p e I a r e d e f i n e d a s
f o l l o w s :
f r a m e m o v i n g w i t h
V],
i n t h e c o l l i s i o n t e r m s in e q u a t i o n s w r i t t e n i nr
(6) D e n s i t y
f i rnidw^
L
(8) T e m p e r a t u r e
(9) S t r e s s
J y di
(10) E n e r g y f l u x
fc i s B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t a n d
(12) <XL Ä -J3QL—
2 f c T t *
T h e h y d r o s t a t i c p r e s s u r e , , i s d e f i n e d by
(13) p = n T T t •
a n d SpL i s t h e c o n t r a c t i o n o f th e s t r e s s t e n s o r (9). H e n c e t h e non h y d r o s t a t i c c o m p o n e n t of th e s t r e s s t e n s o r , , m a y b e d e fin e d :
(14)
P i
- & - b Ü
w h e r e LI i s t h e u n it t e n s o r . T h i s b r a c k e t n o t a t i o n of (14) w ith a s e c o n d r a n k t e n s o r w i l l be u s e d to d e n o te t h e s y m m e t r i s e d t r a c e l e s s f o r m of a t e n s o r , i. e. i f
A
i s th e t r a n s p o s e ofA ,
<15) {^s = I (6 + ^ )
- ^ ( A „ + A iZ
+
a
33)U
.
T h e c o l l i s i o n t e r m in {2) ? J i s s u m o v e r a l l
p o s s i b l e c o l l i s i o n s b e t w e e n p a r t i c l e s o f t y p e s j ^ t h a t a f f e c t th e p a r t i c l e s o f t y p e f (the f a c t o r i i s a f o r m a l f a c t o r n e c e s s a r y to a v o i d c o u n t i n g c o l l i s i o n s t w i c e , a s s o c i a t e d w i t h m a k i n g th e i n te g r a l, t e r m s y m m e t r i c a l in
j
a n d fe ). T h e c o l l i s i o n i n t e g r a l s c o n s t i t u t i n g t h i s c o l l i s i o n t e r m a r e=jH
Iw h e r e i s l ^ e c h a n g e in ^ ( Jr ^ V ^ t ) in a c o l l i s i o n b e t w e e n p a r t i c l e s of t y p e s j ^ ^ *s d i f f e r e n t i a l c r o s s s e c t i o n f o r t h e c o l l i s i o n in t h e s e n s e t h a t it i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t tw o p a r t i c l e s of t y p e s \ ^ w ith a s y m p t o t i c r e l a t i v e v e l o c i t y
<17)
9jfe = Sr**
w i l l c o l l i d e , p r o d u c i n g p a r t i c l e s of t y p e s w ith a s y m p t o t i c r e l a t i v e v e c l o c i t y in a s o l i d a n g l e , di*X s a y , a n d w i t h k i n e t i c e n e r g y a b s o r b e d f r o m t h e s y s t e m i n t h e c o l l i s i o n . T h i s d i f f e r e n t i a l c r o s s s e c t i o n i s d i s c u s s e d in detail, in A p p e n d ix I.
4. C l o s u r e of th e M o m e n t E q u a t i o n s
A s i s w e l l k n o w n , th e E n s k o g e q u a t i o n s of c h a n g e do n o t f o r m a c l o s e d s e t , s i n c e th e e q u a tio n s (2) f o r a d y n a m i c a l v a r i a b l e c o n t a i n h i g h e r v e l o c i t y m o m e n t s o f t h e f o r m W i . In o t h e r w o r d s , th e m o m e n t e q u a t i o n s f o r m a n i n f i n i t e s e t , b e c a u s e th e s e q u e n c e of fsj e q u a t i o n s in th e v e l o c i t y m o m e n t s a l w a y s c o n t a i n s a t l e a s t (SJ + I v a r i a b l e s . T h u s a s u i t a b l e a p p r o x i m a t i o n m u s t be c h o s e n to o b t a i n a s o l v a b l e s e t of e q u a t i o n s .
One o f th e b e s t k n o w n m e t h o d s i s t h a t of C h a p m a n a n d E n s k o g 9
( d i s c u s s e d in d e t a i l in C h a p m a n a n d C o w lin g ' ). E s e n t i a l l y t h e m e t h o d of t h e s e a u t h o r s w a s to e x p a n d th e d i s t r i b u t i o n f u n c tio n , T , in th e f o r m
T h i s a p p r o x i m a t i o n i s v a l i d o n l y n e a r to e q u i l i b r i u m , a n d th e f i r s t
a p p r o x i m a t i o n c o r r e s p o n d s to a c o l l i s i o n - d o m i n a n t c a s e . U s i n g p e r t u r b -a t i o n t h e o r y t h e y o b t a i n a n e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r "f , a n d h e n c e f o r th e m o m e n t s . It f o l l o w s f r o m t h e i r m e t h o d t h a t d i f f e r e n t g a s c o m p o n
-11 e n t s m u s t h a v e t e m p e r a t u r e s w h i c h a r e s i m i l a r , a n d i n d e e d , G r a d h a s s h o w n t h a t t h e i r s o l u t i o n r e p r e s e n t s o n ly a v e r y r e s t r i c t e d s u b s e t of s o l u t i o n s of t h e B o l t z m a n n e q u a t i o n , a l t h o u g h i t l e a d s to c o r r e c t a s y m p t o t i c s o l u t i o n s .
M o r e r e c e n t l y , s e v e r a l a u t h o r s h a v e p r o p o s e d r e p r e s e n t i n g th e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a s a s e r i e s o f o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s , w i t h th e c l o s u r e a p p r o x i m a t i o n b e in g o b t a i n e d f r o m a t e r m i n a t i o n ( s o m e w h a t 12 a r b i t r a r i l y ) o f th e p o l y n o m i a l s e r i e s . W a n g - C h a n g a n d U h l e n b e c k u s e d a s e r i e s of S o n in e p o l y n o m i a l s , b u t t h e s e l e d to c o m p l i c a t e d
13 r e s u l t s w n ic h h a v e n ot b e e n m u c h e x t e n d e d . I k e n b e r r y a n d T r u e s d e l l h a v e d i s c u s s e d t h e u s e of a ty p e o f s p h e r i c a l m o m e n t p o l y n o m i a l e x p a n s i o n s o c h o s e n to g iv e s i m p l e r e s u l t s f o r M a x w e llia n m o l e c u l e s ( i n v e r s e fif th p o w e r f o r c e la w ), but w n i c h i s f o r o t h e r c a s e s r e l a t i v e l y
14
i n t r a c t a b l e . M o t t - S m i t h h a s c o n s i d e r e d a S o n in e e x p a n s i o n a p p l i c a b l e o n ly to s p e c i a l c a s e s of e x t r e m e d e p a r t u r e s f r o m e q u i l i b r i u m , in p a r tic u L a r, f o r s h o c k s .
H o w e v e r o n e of th e m o s t u s e f u l p o l y n o m i a l e x p a n s i o n s f o r m o d e r a t e d e p a r t u r e s f r o m e q u i l i b r i u m i s t h a t u s e d b y G ra d * to c o n s i d e r t h e n o n - e q u i l i b r i u m b e h a v i o u r of a s i m p l e o n e - c o m p o n e n t g a s . T h e
d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s e x p a n d e d a s a n i n f i n i t e s e r i e s o f m u l t i
f o r a g iv e n p a r t i c l e t y p e (but i g n o r i n g ttie s u b s c r i p t s ) m a y be w r i t t e n
w h e r e w , ? J w3 a r e t h e p a r t i c l e v e l o c i t y c o m p o n e n t s r e l a t i v e
o r d e r 71 . B e c a u s e of t h e c o n v e n i e n t o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s , t h e c o e f f i c i e n t s c< a n d (X^ a r e o b t a i n e d d i r e c t l y , i n o r d e r c o r r e s p o n d i n g t o t h e o r d e r of t h e m o m e n t e q u a t i o n s , b y t a k i n g t h e m o m e n t of t h e
d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n . To a c h i e v e a c l o s e d s e t of m o m e n t e q u a t i o n s a n d t o c o m p r o m i s e b e t w e e n c o m p l e x i t y a n d a c c u r a c y of d y n a m i c a l d e s c r i p t i o n , t h i s d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s a p p r o x i m a t e d b y t h e f i r s t f o u r t e r m s in t h e s e r i e s ( a c t u a l l y u s i n g a c o n t r a c t e d f o r m of t h e f o u r t h t e r m ) , s i n c e t h e s e c o n t a i n t h e p h y s i c a l l y s i g n i f i c a n t . T h i s g i v e s ( f o r p a r t i c l e s of t y p e I )
T h i s a p p r o x i m a t i o n (20) to t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s e x p r e s s e d
- i ^ pi ) B i y a n d t h e 5 i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t s of P*t T h e r e f o r e w i t h t h e u s e of t h i s a p p r o x i m a t i o n f o r t h e d i s t r i b u t i o n
f u n c t i o n s , a l l h i g h e r m o m e n t s t h a n t h o s e l i s t e d a b o v e c a n be e x p r e s s e d i n t e r m s of t h e l i s t e d o n e s , t h u s c l o s i n g t h e e q u a t i o n s w i t h a s m u c h a c c u r a c y a s t h e 13 v a r i a b l e s a l l o w . A f u r t h e r a d v a n t a g e o f t h i s m e t h o d i s t h a t i t p l a c e s no r e s t r i c t i o n on t h e r e l a t i v e t e m p e r a t u r e s of d i f f e r e n t c o r r e s p o n d i n g d y n a m i c a l f u n c t i o n ,
vi/
, w i t h t h i s e x p a n s i o n of t h e(2 0)
c o m p o n e n t p a r t i c l e t y p e s .
O b v io u s ly , h o w e v e r , t h i s a p p r o x i m a t i o n d o e s in v o lv e a r e s t r i c t i o n on t h e d e p a r t u r e of e a c h g a s c o m p o n e n t f r o m i t s l o c a l e q u i l i b r i u m . At w h a t d e g r e e of n o n - u n i f o r m i t y th e a p p r o x i m a t i o n c e a s e s to be r e a s o n a b l e i s not c l e a r , f o r i t i s d i f f i c u l t to u n d e r s t a n d th e p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e of th e h i g h e r m o m e n t s n e g l e c t e d . It m a y be p o s s i b l e to c o m e to m o r e d e f i n i t e c o n c l u s i o n s a f t e r a c o m p a r i s o n w ith s u i t a b l e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . F u r t h e r m o r e , it i s n o t c l e a r a t t h i s s t a g e how m u c h e f f e c t th e c h o i c e of r e f e r e n c e v e l o c i t y h a s o n t h i s a p p r o x i m a t i o n , in th e s e n s e of
" b e s t " f r a m e of r e f e r e n c e f o r t h e m o m e n t s t e m p e r a t u r e , s t r e s s a n d h e a t flu x ( b e a r i n g in m i n d t h a t th e a l g e b r a i c r e s u l t s a r e i n d e p e n d e n t of t h e c h o i c e of f r a m e ) .
5. S o m e R e m a r k s on G e n e r a l M o m e n t E q u a t i o n s
T h e m o m e n t e q u a t i o n s m a y be r e g a r d e d a s a m e a n s o f o b t a i n i n g a s o l u t i o n to th e B o l t z m a n n e q u a t i o n . H o w ev e r, t h e y a r e p r o b a b l y b e t t e r r e g a r d e d s i m p l y a s a s e t of e q u a t i o n s f o r t h e m o m e n t s c o n c e r n e d ^ i n f a c t a s p o s s i b l y th e " b e s t " s e t of e q u a t i o n s f o r s u c h p h y s i c a l v a r i a b l e s . H e n c e t n e y a r e in no r e a l w a y i n c o m p e t i t i o n w i t h th e B o l t z m a n n
e q u a t i o n i t s e l f . A lth o u g h in g e n e r a l t h e y do n o t c o n t a i n L a n d a u d a m p i n g , w n ic h f o ll o w s d i r e c t l y f r o m th e l i n e a r i s e d B o l t z m a n n o r V l a s o v e q u a t i o n s ,
15
On the o th er hand th e B o ltzm a n n eq u a tio n i t s e l f i s an e x t r e m e ly d iffic u lt eq u a tio n to s o lv e . W hen s u ffic ie n t a p p r o x im a tio n s a r e m a d e to e n a b le fu ll a c co u n t to be ta k en of ( e la s t ic ) c o l l i s i o n s , a s in C hapm an
9
and C o w lin g , the s o lu tio n s b e c o m e v e r y r e s t r ic t e d , w h ile a tte m p ts to o b ta in m o r e g e n e r a l s o lu tio n s u s u a lly r e q u ir e the n e g le c t of c o ll is i o n t e r m s to a g r e a t e r o r l e s s e r e x te n t. The m o m en t e q u a tio n s a r e p a r t ic u l a r ly e f f e c t iv e in ta k in g fu ll a cco u n t o f c o llis io n s ; in d e e d a s show n in th is t h e s i s , th e y a r e ab le to tak e p r o p e r a cco u n t e v e n o f (b in a ry ) in e l a s t i c p r o c e s s e s . A fu r th e r advan tage o f the 1 3 -m o m e n t e q u a tio n s p a r tic u la r ly , i s th e ir d ir e c t r e la t io n s h ip to the p h y s ic a l v a r ia b le s of g a s e o u s p h en o m en a , and in p a r tic u la r , to th e boundary c o n d itio n s . F in a lly it i s to be n o ted that c e r ta in p h en om en a su ch a s the s o - c a l l e d fin ite L a r m o r r a d iu s e f f e c t s , f i r s t r e c o g n is e d in o b ta in in g s o lu tio n s o f the V la s o v eq u a tio n , a r e a u t o m a tic a lly in c lu d e d in th e m o m en t
16
e q u a tio n s ( s e e fo r e x a m p le S e d la c e k ). A s a m a tte r o f fa c t, the m o m en t e q u a tio n s m a k e th e p h y s ic a l sig n ifica n ce of o r d e r in g o f t e r m s in su c h c o n s id e r a t io n s m u ch c l e a r e r .
R e f e r e n c e s
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C h a p t e r 1
T h e D y n a m i c a l E q u a t i o n s 1. 1 I n t r o d u c t i o n
T h e m a i n p u r p o s e of t h i s c h a p t e r i s to g iv e in d e t a i l th e 1 3 - m o m e n t e q u a t i o n s . In f o r m u l a t i n g th e d y n a m i c a l e q u a t i o n s th e r e l e v a n c e of c o l l i s i o n t e r m s to o t h e r t e r m s m a y be s e e n , a l t h o u g h th e d e t a i l e d e v a l u a t i o n o f th e c o l l i s i o n i n t e g r a l s i s l e f t to C h a p t e r 2. T h e f o r m of th e e q u a t i o n s w i t h th e m o m e n t s r e f e r r e d to c e r t a i n p a r t i c u l a r f r a m e s i s d i s c u s s e d in s o m e d e t a i l . A p p l i c a t i o n of t h e m o m e n t
e q u a t i o n s to th e d e r i v a t i o n of t r a n s p o r t r e l a t i o n s h i p s i s c o n s i d e r e d , e f f e c t s a s s o c i a t e d w i t h i n e l a s t i c c o l l i s i o n s a n d p a r t i c l e m i x t u r e s b e i n g i n c l u d e d .
1. 2 T h e D y n a m i c a l E q u a t i o n s
R e f e r r i n g to th e E n s k o g e q u a t i o n s of c h a n g e (2), g iv e n in th e I n t r o d u c t i o n , t h e 1 3 - m o m e n t e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d by s p e c i a l i s i n g th e d y n a m i c a l v a r i a b l e Wf ?t ) to be
(i.i)
m
L
j
j i. n
v
L
w
i
;
m
i, w
t w
;
1
wL (w * -
,
w i t h c o r r e s p o n d i n g m o m e n t s
(1-2>
/°i i
AU-i. ,
i
f i
3
•
c o r r e s p o n d i n g t o , m a y be u s e d . & B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t .
i s
In o b t a i n i n g t h e m o m e n t e q u a t i o n s i n a c l o s e d f o r m , t h e m o m e n t s of " h i g he r " o r d e r , w h i c h o c c u r i n t h e e q u a t i o n s of c h a n g e , a r e e x p r e s s e d i n t e r m s of t h e s e v a r i a b l e s b y u s i n g t h e 1 3 - m o m e n t a p p r o x i m a t i o n , e q u a t i o n (20). T h e e q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e v a r i a b l e s y-l a n d T i a r e w e l l k n o w n ( C h a p m a n a n d C o w l i n g ^ ) , w h i l e f o r t h e
e q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o
Pt
a n djVv
, t h e r e l e v a n t t e r m s , i n c l u d i n g t h e " h i g h e r " m o m e n t s , o c c u r r i n g i n t h e e q u a t i o n s of c h a n g e a r e a s f o l l o w s ( L i l e y ^ ) .( l . 3) y • n^mn[ | Wpj Wt = ^ | V R t | -¥ 2
( 1 . 4 ) d _
rn;
j d t 1L - 1Wi | -
o
( 1 . 5 ) • V ITI; | W-L WL | =. 0
( 1. 6 ) F ; • m L [ f i u t]
( 1 . 7 )
b t
• ! _ W i O W ix
w i = 2 _ { P t xb-J
b
W j. n '‘* v ^(1.9)
wL = v - i T P l
d-io)
= — -C- ft U-i d ll
(1
- - f r ^ U r VTi + hVTt)
(i- 13) ^ r \ — I i
(wl - JL )\ x we
ä
JL. R-
l
x
B w i V 2 1 LV> 2 <x/y - L
r\-v
tvs£ - i
6 ‘ - v y+ A_(Rt7-y +Bi-vv +vy-Rv) + feTl(ulv-v
+ u-i-vv -+ vv
• u-L) .
Of t h e s e , ( 1 . 3 ) , (1. 9) a n d (1. 14), i n v o l v i n g th e " h i g h e r " m o m e n t s , h a v e b e e n d e t e r m i n e d b y u s i n g th e 1 3 - m o m e n t a p p r o x i m a t i o n .
T h e c o l l i s i o n t e r m s in e q u a t i o n (2), w h ic h h a v e th e f o r m
a r e c o n v e n i e n t l y e x p r e s s e d in t h e n o ta tio n :
w h e r e it i s c l e a r t h a t b e c a u s e of t h e i n h o m o g e n e o u s t e n s o r i a l r a n k , c e r t a i n of th e
jfe/L
a r e n e c e s s a r i l y z e r o f o r e a c h c a s e . It s h o u ld be n o te d , h o w e v e r , t h a tT h e d y n a m i c a l e q u a t i o n s c a n now be w r i t t e n in a c o n v e n i e n t f o r m , 3 T h e e q u a t i o n s a r e q u o t e d b a s i c a l l y a s d e r i v e d by H e r d a n a n d L i l e y , b ut w ith o u t s p e c i f y i n g
V
to be V o , a n d w ith a slightly m o r e g e n e r a l f o r m f o r th e c o l l i s i o n t e r m s so t h a t i n e l a s t i c p r o c e s s e s a r e i n c l u d e d , T h e S j k l in th e fo ll o w i n g e q u a t i o n s a r e of c o u r s e d i f f e r e n tf o r e a c h e q u a t i o n .
1 . 2 , 1 C o n t i n u i t y E q u a t i o n
T a k i n g ^ = nv L in e q u a t i o n (2) g i v e s th e m a s s c o n t i n u i t y e q u a t i o n . F o r i n e l a s t i c c o l l i s i o n s , t h e c o l l i s i o n t e r m i s n o t n e c e s s a r i l y z e r o .
__ (o)
<i. ! 7 )
| t pi
+V- ( p i Ui + p l V
)= i l Sjfc/i
1 . 2 . 2 M o m e n t u m E q u a t i o n s
T h e m o m e n t u m e q u a t i o n s f o r p a r t i c l e s of ty p e j, a r e o b t a i n e d by t a k i n g -=
x x\[
, a n d u s i n g th e f o r m of c o l l i s i o n t e r m in(1. 16):
( 1- 18)
sL(pi“0
+P i^ v - y +V-Pl+7pL
_ pTi - /°L^L* h
+
/ny - vy
= y T (
-j + ik,i yt. +
Bk J .
j j k
1 . 2 . 3 T h e r m a l E n e r g y E q u a t i o n
T h i s e q u a t i o n i s o b t a i n e d by t a k i n g
= n t R I { , i t c o u l d a l t e r n a t i v e l y be e x p r e s s e d in t e r m s of 1 L . T h e c o l l i s i o n t e r m i n v o l v e s e l a s t i c a n d i n e l a s t i c c o l l i s i o n s .
<1- 19>
+
\ + ^ * B i
■+
y^ ‘
-'*•) - / ° i f i * ü i
* i v - n
+
-
n
< $ ,
1. 2. 4 S t r e s s T e n s o r E q u a t i o n
T h r o u g h o u t th e t h e s i s , a p a r t f r o m th e i n t r o d u c t i o n , t h e t e r m " s t r e s s t e n s o r " w i l l be u s e d f o r P ; , a l t h o u g h t h i s i s a c t u a l l y o n ly
A y
th e n o n - h y d r o s t a t i c c o m p o n e n t of th e f u l l s t r e s s t e n s o r S , ; , g iv e n
in e q u a t i o n s (7) a n d (12). T a k i n g { YXi * a n d
u s i n g r e l a t i o n s ( 1 . 3 ) to ( 1 . 8 ) in e q u a t i o n (2), g i v e s t h e s t r e s s e q u a t i o n . T h e f o r m o f c o l l i s i o n t e r m s u s e d i s a g a i n f r o m (1. 16).
<i-20> i f i + £
v
-Y +
+ a fy ^ y } _ 2/ol (_Fi ulj
x b i ) + 2 { P i ^ V j + 2 p ( w }
= i I ( sS/i pj 4 &
jt;L
Pfe) .
1 . 2 . 5 H e a t F l u x E q u a t i o n
T h e h e a t flu x e q u a t i o n i s o b t a i n e d by t a k i n g ■= 17)^
( 1 . 2 1 )
- P r f , - Bi*bi+ i BCV-V + 2. Bi - W + | vy-Bu
+ K ( y i V * V + V V
- U L + U i - V V )
i l
(
Cöjk / i ü j +
sjk;i
m
+ % , i Bj t
)
J ■> K
1 ,2 .6 C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s
S in c e i n e l a s t i c c o l l i s i o n s a r e a l l o w e d , n e i t h e r e n e r g y n o r p a r t i c l e n u m b e r i s c o n s e r v e d . O v e r th e w h o le s y s t e m , h o w e v e r , t h e r e i s s t i l l c o n s e r v a t i o n o f m a s s a n d m o m e n t u m . S t r i c t l y s p e a k i n g , th e m a s s a n d m o m e n t u m a s s o c i a t e d w i t h p h o t o n s s h o u l d a l s o be i n c l u d e d ; in g e n e r a l , th o u g h , t h e s e a r e i n s i g n i f i c a n t a n d c a n be i g n o r e d .
A lth o u g h n o t s t a t e d e x p l i c i t l y b e f o r e , i t i s o b v io u s f r o m (7) a n d t h e d e f i n i t i o n of WL ( a f t e r (2)) t h a t
( i . 2 2 ) = / o V o
i
w h e r e ä . U s i n g t h i s r e l a t i o n a n d s u m m i n g
(1. 17) o v e r a l l p a r t i c l e t y p e s , s i n c e m a s s i s c o n s e r v e d in c o l l i s i o n s , it fo ll o w s t h a t
( 1 . 2 3 ) ^
S i m i l a r l y , on s u m m i n g th e m o m e n t u m e q u a t i o n s o v e r a l l p a r t i c l e t y p e s ( n o tin g t h a t c o n t a i n s a t e r m - c i V ) J a n d on u s i n g ( 1 . 2 2 ) ,
( 1 . 2 3) t h e m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n i s
T h e s e e q u a t i o n s ( 1 . 2 3 ) a n d (1.24),, o r r e a r r a n g e m e n t s of t h e m , a r e t h e o n ly o n e s f o r w h i c h t h e c o l l i s i o n i n t e g r a l s a l w a y s v a n i s h .
1, 3 T h e D y n a m i c a l E q u a t i o n ^ w ith M o m e n t s R e f e r r e d to a F r a m e M o v in g w i t h t h e M e a n M a s s V e l o c i t y of t h e S y s t e m
O b v i o u s l y th e e q u a t i o n s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n a r e not c o m p l e t e w i t h o u t s p e c i f y i n g
V
. A s s u g g e s t e d e a r l i e r , t h e m o s t u s e f u l c h o i c e s f o rV
a r e t h e m e a n m a s s v e l o c i t y of th e p a r t i c l e s of ty p eL p
V
I , o r th e m e a n m a s s v e l o c i t y of th e c o m p l e t e s y s t e m , \ / o * a n d i t i s th e l a t t e r w h i c h i s c o n s i d e r e d in t h i s s e c t i o n . T h e i m p o r t a n c e of t h i s c a s e i s i t s c o n v e n i e n c e in d e a l i n g w ith a g a s m i x t u r e , th em o m e n t s f o r a l l g a s c o m p o n e n t s b e i n g r e f e r r e d t o t h e s a m e f r a m e . A s c o m p a r e d w i t h a n y o t h e r v a l u e of
V
w h ic h i s t h e s a m e f o r a l l c o m p o n e n t s , th e c h o i c e o fV
—Vo
i s p h y s i c a l l y t h e m o s t r e a l i s t i c f o r a g a s m i x t u r e a t o r n e a r e q u i l i b r i u m .T h e a d d i t i o n a l r e l a t i o n s w h ic h d e t e r m i n e
Vo
a r e th e c o n s e rv a tio n , e q u a t i o n s . S in c e , w h e nV
=V
o,
(by d e f in itio n ) , o n p u t t i n g
V s. V
0 in e q u a t i o n s (1 .2 3), ( 1 . 2 4 ) , th e ( 1 . 2 5 )t
p a r t i c u l a r c o n s e r v a t io n e qu atio ns a re :
(1.26)
j O+ y • yOVo a O
and
( 1 . 27)
| _ / ° Y 0
a
X
p i( ® i + V» X b L)
+
I / ) l U l x b l
L ^
- v-(P+ pa +/>VoVo)
w h e r e again
1. 4 The Dyna mic al Eq uations with Mo m e n ts R e f e r r e d to a F r a m e
with
V
— V t
Th is r e f e r e n c e veloc ity for the m o m e n t s has the advantage of
giving a much s i m p l e r set of eq uations f o r the dy n a m ic a l v a r i a b l e s ,
but the di sa dvantage that the t e m p e r a t u r e , s t r e s s and heat flux a r e
r e f e r r e d to a differ ent f r a m e f or e ach gas component. It is t h e r e f o r e
g e n e r a l l y u n s a t i s f a c t o r y for dealing with gas m i x t u r e s , except when
c o ll i s i o n s can be c o m p l e t e ly i g n o r e d o r (as will be shown l a t e r for a
m i x t u r e of e l e c t r o n s and ions) w h e r e the gas co mp o n en ts co m p l et e ly
"decouple".
F o r t h is c a s e , the veloc ity d i st r ib u t i o n functions "fj ^ ^
a r e
r e f e r r e d to V'L , and t h e r e f o r e , in the m o m e n t equations for p a r t i c l e s
of type
\ ,the d y na m ic a l v a r i a b l e s for the p a r t i c l e s of types j j k
m e a n m a s s v e l o c i t i e s , V j ^ V k 5* • • . L e t t h e s u b s c r i p t e d d y n a m i c a l v a r i a b l e hji, r e p r e s e n t t h e v a r i a b l e h of p a r t i c l e s of t y p e j w h e n r e f e r r e d t o a f r a m e m o v i n g w i t h \ / ^ . C o n s i d e r t e m p e r a t u r e f i r s t . B y d e f i n i t i o n ,
( 1 . 2 8) T j j
2
sftnj
a n d s o
( 1 . 2 9)
TjL
On e x p a n d i n g t h e s e d e f i n i t i o n s i t i s c l e a r t h a t
( i . 3 0 ) Tji_ = T jj + l -
3
(Vj - VL)
S i m i l a r l y ,
( 1 . 3 1 ) Pji
( 1 . 3 2 ) RjL
f r o m w h i c h
( 1 . 3 3 ) L
^ J L
( 1 . 3 4 ) Rj i
-vt)[(cj-yL)5
- & +/°jt(Vj-yL)(vJ -vL)}
=
Bjj +
( Vj -Y
l
) [ l(Yj ~^i)
In o b t a i n i n g t h e s e e x p r e s s i o n s u s e h a s b e e n m a d e of th e r e l a t i o n s
( 1 . 3 5 ) njTDj
CI - 3 P j j
4-n i ™ J -j — 3 j j
4-a n d s i n c e
( 1 . 3 6 ) 1 11
F
ol
1! \
°^ji « j j
ftYf
h
Vj
Yi
- + f(Yj-Vi)
2
e q u a t i o n (1. 34) m a y be r e w r i t t e n a s
JJ
+ tVi-yd - ( & - l-PjjU)
.
W ith th e v a r i a b l e s f o r e a c h p a r t i c l e t y p e j r e f e r r e d to th e r e s p e c t i v e
Vj
? i t i s c o n v e n i e n t to w r i t eTjj ^
^ —JJ > e^C' s^mP^ as
T j ; P j 3 R j , e t c . i n th e e q u a t i o n s t h a t fo llo w . It s h o u l d be m e n t i o n e d t h a t th e c o l l i s i o n c o e f f i c i e n t s ^ a l s o i n v o l v e th e d y n a m i c a l v a r i a b l e s j 9 j*Tj
an<3 , a n d c o r r e s p o n d i n g c h a n g e s s h o u l d b e m a d e in t h e s e a s w e l l . W ith t h e a b o v e f o r m u l a t i o n , th e 1 3 - m o m e n t e q u a t i o n s f o r th e p a r t i c l e s of ty p e t > w i t h th e m o m e n t s r e f e r r e d to t h e m e a n m a s s v e l o c i t y of t h e i r ow n p a r t i c l e t y p e , a r e :1 . 4 . 1 C o n t i n u i t y E q u a t i o n
T h i s e q u a t i o n f o l l o w s f r o m (1. 17).
L Z
r ( p)
1 . 4 . 2 M o m e n t u m E q u a t i o n s
T h e m o m e n t u m e q u a t i o n s c o r r e s p o n d t o (1. 18) .
( 1 . 3 9 ) V - P L
+ V p ( _ /Oi r i
=i X
[ ( V j- V i.)
J fc
+ kj|(,l ( Yk ~Yi.) +
( Bj + ^(Vj'VOi 2^
-i-C V j -VLf ) + (Vj - Y 0 - ( P j + i P j U j ) + & f U R k + A (Vi>
- T(-fe_^ o + ( - fe~v0- ( pfe + f pky)}.
1. 4. 3 T h e r m a l . E n e r g y E q u a t i o n
C o r r e s p o n d i n g t o e q u a t i o n (1. 19), t h i s e q u a t i o n b e c o m e s
( 1 . 4 0 )
£i = »Vi-i-T
1 , 4 . 4 S t r e s s T e n s o r E q u a t i o n
T h i s e q u a t i o n f o l l o w s f r o m ( 1 . 2 0 ) w i t h t h e u s e of r e l a t i o n s (1. 33).
a.*» i P t + is» -» - U * 8 .) -lf e » k) + ijjcvV.)
dt
T I [
(Pj + fit(Y , - Y,)(Vj - Y
l
)} )
j . k u
+
6j?i ( £i +p»(<Yk'Yi.)(Yk-Yi)p
1 . 4 . 5 H e a t F l u x E q u a t i o n
U s i n g (1. 37) t h i s e q u a t i o n c o r r e s p o n d s to ( 1 . 2 1 ) .
( 1 . 4 2 )
1. 4. 6 C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s
C o n s e r v a t i o n of m a s s s i m p l y g i v e s ( f r o m 1. 2 3)
( 1 . 4 3 )
0
_
O4. V yoVo
= 0
,
a n d f r o m ( 1 . 2 4 ) i t f o l l o w s t h a t t h e c o n s e r v a t i o n of m o m e n t u m e q u a t i o n i s
( 1 . 4 4 )
a
oV
0a t '
Vj x bj)
I
w h e r e
P = Y . £ ,
J P = I P . •
J
!
J
1. 5 T h e T r a n s p o r t R e l a t i o n s h i p s
D e p e n d in g on t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s of th e c o l l i s i o n f r e q u e n c i e s , th e r a t e s of c h a n g e o f v a r i a b l e s due to e x t e r n a l s o u r c e s , a n d of th e a p p l i e d e l e c t r i c o r m a g n e t i c f i e l d s , d i f f e r e n t a p p r o x i m a t i o n s to th e p r e c e d i n g e q u a t i o n s a r e p o s s i b l e . G e n e r a l l y s p e a k i n g , of t h e s e , t r a n s p o r t r e l a t i o n s h i p s c o r r e s p o n d to a p p r o x i m a t i o n s v a l i d f o r low f r e q u e n c y p h e n o m e n a . T h e i n c l u s i o n of t h e t r a n s p o r t r e l a t i o n s h i p s in t h i s c h a p t e r i s p r i n c i p a l l y a n i l l u s t r a t i o n o f th e u s e o f th e 1 3 - m o m e n t e q u a t i o n s , a n d a l s o to i n d i c a t e how th e t r a n s p o r t p a r a m e t e r s of
v i s c o s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d r e s i s t i v i t y a r e a f f e c t e d by i n e l a s t i c c o l l i s i o n s a n d th e p r e s e n c e of s e v e r a l g a s c o m p o n e n t s . T h e g e n e r a l m e t h o d o f d e r i v i n g t r a n s p o r t r e l a t i o n s h i p s f r o m th e 1 3 - m o m e n t
3 e q u a t i o n s h a s b e e n g i v e n e l s e w h e r e ( H e r d a n a n d L i l e y ).
A s s h o w n in s e c t i o n 2 . 6 of C h a p t e r 2, w h e n c e r t a i n i n e q u a l i t i e s i n v o l v i n g th e c o m p o n e n t t e m p e r a t u r e s a r e s a t i s f i e d , th e c o l l i s i o n
t e r m s in v o l v i n g th e v a r i a b l e s U. ? Pf ^ B l i n th e e l e c t r o n c o m p o n e n t e q u a t i o n s a r e d o m i n a t e d by th e t e r m s in v o l v i n g th e e& ctron c o m p o n e n t v a r i a b l e s U.e Pe ^ R e . S i m i l a r l y , in th e " h e a v y " p a r t i c l e c o m p o n e n t m o m e n t e q u a t i o n s t h e c o l l i s i o n t e r m s i n v o l v i n g U-l -> P i , B f of p a r t i c l e t y p e s o t h e r t h a n e l e c t r o n s a r e m u c h l a r g e r t h a n t h o s e in v o lv in g th e e l e c t r o n v a r i a b l e s , Jje
,
B e . T h i s w i l l be t e r m e d " d e c o u p l i n g " .T h e t r a n s p o r t e q u a t i o n s a r e t h e e q u a t i o n s r e l a t i n g t h e " s e c o n d a r y " v a r i a b l e s
P
a n d B to th e r e m a i n i n g v a r i a b l e s (EL ^
, T j j. . . ). O fte n i t i s m o r e c o n v e n i e n t to u s e th e c u r r e n t
t h e n e g l e c t of t e r m s of o r d e r of t h e e l e c t r o n - p r o t o n m a s s r a t i o ,
U . 4 5 )
T
=ne e e u e
S i n c e t h e t r a n s p o r t r e l a t i o n s w i l l r e f e r to a g a s m i x t u r e , a l l m o m e n t s w i l l b e r e f e r r e d t o Vo . It s h o u l d be m e n t i o n e d t h a t , i n v i e w of t h e u s e of p a r t i c l e t y p e s u b s c r i p t s , t h e e l e c t r o n c h a r g e € e a l w a y s i n
-_ j(j
e l u d e s i t s s i g n , t h a t i s , 6 e = ~ U 6 0 x 10 c o u l o m b s . 1. 5. 1 T r a n s p o r t R e l a t i o n s h i p s f o r t h e E l e c t r o n s
W i t h t h e d e c o u p l i n g of e l e c t r o n c o m p o n e n t m o m e n t e q u a t i o n s f r o m t h e e q u a t i o n s f o r t h e a t o m i c p a r t i c l e t y p e s , t h e f i r s t a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e t r a n s p o r t r e l a t i o n s h i p s f o r e l e c t r o n s a r e ( n e g l e c t i n g s u b s c r i p t s )
( 1 . 4 6 )
J_ 5 X §
JrE + V X B = r> T + °< R
(1.47) _
2
p j v \ / } +
2
.j£ x b^; +
1
ne 1 U-ti + Y * ? ) } = £ P
( 1 4 8 )
- ü k i V T
+ R x b
± e P ■ ( E
+-
V
x B) = _L
R
+ T .
T h e o r d e r i n g of t e r m s f o r w h i c h t h e s e e q u a t i o n s a r e v a l i d i s a p p a r e n t o n c o m p a r i n g t h e m w i t h (1. 18), ( 1 . 2 0 ) a n d ( 1 . 2 1 ) r e s p e c t i v e l y .
T h e s o l u t i o n s of e q u a t i o n s (1. 46) to (1. 48) a r e f o r m a l l y t h e s a m e 3
a s g i v e n b y H e r d a n a n d L i l e y . B e g i n n i n g w i t h (1. 47), d e f i n e
( 1 . 4 9 )
e
=( W i
{
t
( E + V
x
B)}
~X
-d ire c tio n , i. e.
B
~
o)
. Then using the s c a l a r
c y c lo tro n freq u en cy
^ = 6 B / TT\ * the com ponents of the e le c tro n
s t r e s s te n s o r a re :
( 1 . 5 0 )
P
x x
JX X-
2
yU.e
p
A
p * 8
— 2
e *a .
b x e x z
l + bax V /0 x
'
J
pX*
-
i M '- b x e * 3
1
\
+ b^-xV/S1
t
J
pyy - 2 / ^
_ 2 b V . 2. bT o
1 4 4 V» ' 7 ^
-p y * - 1 / J L
e y* _ b x _ 2 b l e
i + 4 b n v /«2 yS1 fi
Oz i
/ rx ^ ^
being a t r a c e l e s s t e n s o r ; r
is given by
- [ r
r
)
is the coefficient of v i s c o s ity defined by
]
] .
( 1 . 5 1 ) / t
It is a p p a re n t th at a m agnetic field c a u s e s the c o llisio n coefficient,
f i
/ X
, to e n te r the so lu tio n s in a com plex m a n n e r.
Since
d - 52» 4 ^ e =
(me { w e We}) _ L I
jjk (not } = k = 6.)
