• No results found

SPECTRAL ANALYSIS OF RANDOM FUNCTIONS OF TRACTION CURRENT AND VOLTAGE ON THE COLLECTOR OF THE ELECTRIC ROLLING STOCK

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "SPECTRAL ANALYSIS OF RANDOM FUNCTIONS OF TRACTION CURRENT AND VOLTAGE ON THE COLLECTOR OF THE ELECTRIC ROLLING STOCK"

Copied!
6
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

УДК 621.313.333

О. И. САБЛИН (ДИИТ)

СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ

СЛУЧАЙНЫХ

ФУНКЦИЙ

ТЯГОВОГО

ТОКА

И

НАПРЯЖЕНИЯ

НА

ТОКОПРИЕМНИКЕ

ЭЛЕКТРОПОДВИЖНОГО

СОСТАВА

Розглянутодва способи визначення спектральногоскладу випадкових функційтягового струму та на

-пруги на струмоприймачі електрорухомого складу. Як приклад визначені інтергармоніки споживаного струмутанапругинаструмоприймачітрамваязреостатнимрегулюванням

Рассмотрены два способаопределения спектрального составаслучайных функций тягового тока ина

-пряжениянатокоприемнике электроподвижногосостава. Вкачествепримераопределены интергармоники потребляемоготокаинапряжениянатокоприемникетрамваясреостатнымрегулированием

Two ways of determining the spectral structure of random functions of the traction current and voltage on elec-tric rolling stock current collectors are considered in the article. As an example, interharmonics of consumed current and voltage on the current collector of a tramcar with rheostatic regulation have been calculated.

Силовые электрические цепи любого вида электроподвижного состава (ЭПС) являются нелинейными цепями переменного тока, так как работают в непрерывных переходных ре-жимах. Последнее обуславливает тот факт, что потребляемые ими токи из сети являются рез-копеременными, а напряжение на токоприем-нике и в сети искажается по форме и колеблет-ся. Указанные изменения тока и напряжения зависят от множества факторов (масса поезда, сопротивления движению, режим управления ЭПС и пр.), являются реакцией питающей сети на резкопеременную нагрузку, какой является ЭПС, а поэтому носят случайный непериодиче-ский характер.

С учетом изложенного и с точки зрения сис-тем электроснабжения любая единица ЭПС как переменного, так и постоянного тока является нелинейной случайно-параметрической нагруз-кой, технологически искажающей формы на-пряжения на токоприемнике и тягового тока.

В связи с вышесказанным, целью настоящей работы является необходимость предложить два метода определения спектрального состава тягового тока I

( )

t и напряжения U

( )

t на токо-приемнике ЭПС.

Однако и U

( )

t , и I

( )

t являются случайными процессами, а классические методы спектраль-ного анализа в этом случае не применимы. По-этому для анализа спектров I

( )

t и U

( )

t необхо-димо применение вероятностных методов, ос-новным из которых является спектрально-корреляционная теория случайных функций. Гармонический состав тока и напряжения ЭПС

в этом случае будет вероятностным. И тогда для спектрального анализа реализаций случай-ных функций I

( )

t и U

( )

t предлагается приме-нение двух методов, назовем их спектрально-статистическим и спектрально-корреляционным.

Первый способ состоит в использовании из-вестного преобразования Фурье или быстрого преобразования Фурье (БПФ) непосредственно к собственно графику токовой нагрузки I

( )

t

или напряжения U

( )

t на токоприемнике. Усло-вием его применения является такая длитель-ность Т реализаций U

( )

t и I

( )

t , при которой успевают проявиться все наиболее характерные их свойства (например, среднеквадратические значения). Тогда каждую такую реализацию

( )

t

U и I

( )

t можно рассматривать как детерми-нированную несинусоидальную функцию (обо-значим ее f

( )

t ) не на интервале [0,Т], а про-долженную периодически за пределы этого ин-тервала. То есть надо преобразовать неперио-дическую функцию в периодическую с произ-вольным периодом Т (рис. 1), для которой спра-ведливо разложение в ряд Фурье [2]. Однако функция f

( )

t несинусоидальная, и поэтому применение известного прямого интегрального преобразования Фурье

( )

=

( )

=

( )

− ( )

0

ω ψ ω ωe

e

ω f t j tdt F j

j

F (1)

(2)

преобразования Фурье. Для этого дискретизи-руем произвольную реализацию функции f

( )

t

на интервалы времени ∆t=tn+1−tn (рис. 1) по

теореме Котельникова [3], где на рис. 1: N – общее количество интервалов дискретизации;

N

n=1,2,..., ; тогда

N T t=

∆ .

В результате дискретизации получаем по-следовательность δ-импульсов, умноженных на

значение f

( )

nt функции f

( )

t в моменты взя-тия отсчетов

( )

( ) (

)

= ∂ ∆ = ∆ − ∆ N n t n t t n f t n f 1

δ (2)

или, переходя к безразмерным интервалам дис-кретизации, получаем

( )

( )

= ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = N п n t t n f п f 1

δ . (3)

Рис. 1. Дискретизацияреализациислучайнойфункции f

( )

t Подставив выражение (3) в формулу

спек-тральной плотности п-го прямоугольного им-пульса [2]

( )

+

( )

− ∂ = 1 ω e ω n n k t t t j

k f п dt

j

F , (4)

имеем

(

)

∫ ∑

+

( )

= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = 1 1 ω e δ ω n n k t t N n t j

k n dt

t t n f j

F . (5)

Изменяя порядок интегрирования и сум-мирования и учитывая «фильтрующее» свой-ство δ-функции, а также то, что дискретная угловая частота k Т k π 2

ω = ,

а tn = ∆n t, получаем (5) в виде

(

)

( )

1 2π

1

ω δ e

n

n

t

N j kt

T k

n t

t

F j f n n dt

t + = ⎛ ⎞ = = ∆ ⎝ ⎠

( )

(

)

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − =

= − ∆ + − N n kt T j t t k T

j n n

n f k j T 1 π 2 π 2 e e π 2

( )

( )

= ∆ − ∆ + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = N n t kn T j t n k T j n f k j T 1 π 2 1 π 2 e e π 2

( )

j ( )k k

F ω e− ψω

= . (6)

Тогда амплитуда ( )k m

А k-той гармоники

ис-комого ряда Фурье функции f

( )

t

( )

( )

(

( )

)

= + = s 1 ψ ωt sin k k k m k A t

f (7)

определится по формуле [3]

( )

( )

T F

Ak k

m

ω 2

= , (8)

а начальная фаза ψ( )k – согласно (6).

(3)

Корреляционная функция, являясь одной из важнейших характеристик случайного процесса, характеризует его внутреннюю структуру, она позволяет судить о степени зависимости между значениями тока или напряжения в различные моменты времени работы ЭПС. Известно, что оценка корреляционной функции случайного процесса определяется выражением [4]

( )

(

( )

) (

(

)

I

)

T

t

I

I Т I t m I t m

K − + −

=

=

τ τ

1

τ τ

0

, (9)

где Т – период, на котором задана реализация случайной функции тока (напряжения); I

( )

t ,

(

t

)

I – соответственно значение случайной

функции в моменты времени t и

(

t

)

; mI – математическое ожидание случайного процесса.

Приведенным выражением рекомендуется пользоваться при τ<T/5, так как при больших значениях τ погрешность оценки корреляцион-ной функции возрастает [4].

Известно [1], что корреляционные функции случайных токов и напряжений резкоперемен-ных нагрузок часто являются незатухающими, а незатухание корреляционной функции с увели-чением τ свидетельствует о неэргодичности слу-чайного процесса. Одной из наиболее характер-ных причин неэргодичности стационарного слу-чайного процесса является наличие в нем перио-дических составляющих. Незатухающая часть корреляционной функции (так называемый «хвост» корреляционной функции) содержит те же частоты, что и сам случайный процесс [4]. В связи с этим для анализа спектрального состава периодических составляющих тока и напряже-ния нагрузки (ЭПС) целесообразно применять преобразование Фурье не к самому случайному процессу, а к «хвосту» корреляционной функ-ции. Это обеспечит фильтрацию периодических составляющих от случайного процесса, который будет описываться одним из видов корреляцион-ных функций:

( )

τ e τ

K =D −α , (10)

( )

τ

0

τ e cosω τ

K =D −α , (11)

( )

τ

0 0

0

α

e cosω τ sinω τ

ω

K τ =D −α ⎛ + ⎞

⎝ ⎠, (12)

где D – дисперсия случайного процесса; α –

коэффициент затухания корреляционной функ-ции; ω0 – собственная частота корреляционной функции.

Будем считать, что «хвост» корреляцион-ной функции начинается с момента времени

0

τ , когда корреляционная функция

случайно-го процесса практически равна нулю. Тогда согласно [5],

к

0 3τ

τ ≥ , (13)

где τк – интервал корреляции, равный

( )

( )

0

τ τ

τ 0

к

K d K

= . (14)

Представим тяговый ток ЭПС (или напря-жение на его токоприемнике) в виде суммы случайного процесса I

( )

t с затухающей корре-ляционной функцией, описываемой каким либо выражением из (10)–(12), и низкочастотных периодических составляющих

( ) ( )

( )

(

( )

)

=

+ +

= n

k

k k

m k t

I t I t I

1

ψ ω

sin , (15)

где ( )k m

I – постоянные амплитуды k-тых

периоди-ческих составляющих случайного процесса изме-нения тягового тока ЭПС; kω – частоты периоди-ческих составляющих; ψ( )k – начальные фазы.

Таким образом, можно выделить из неэргоди-ческого случайного процесса I

( )

t эргодическую случайную функцию I

( )

t и определить, какие же периодические колебания (по амплитудам и час-тотам) входят в спектр случайного процесса.

Если интервал регистрации Т случайной

функции намного больше периода ω 2

k π

наи-меньшей из низкочастотных составляющих, то выражение (9) можно переписать в виде

( )

( )

( )

( )

=

+ ′

= п

k k m I

I k

I K

K

1 2

ωτ cos 2 τ

τ , (16)

где KI

( )

τ – какая либо из корреляционных функций вида (10)–(12).

(4)

На рис. 2, а в качестве примера приведены временные диаграммы потребляемого тягового тока и напряжения на токоприемнике рис. 2, б

трамвая с реостатным регулированием напря-жения на тяговых электродвигателях, а на рис. 3 – их корреляционные функции.

а

б

Рис. 2. Графикиизменениявовременитяговоготокаинапряжения

натокоприемникетрамваясреостатнымрегулированием

а

б

Рис. 3. Корреляционныефункциитяговоготокаинапряжениянатокоприемнике

Вид корреляционных функций свидетель-ствует о наличии в графиках случайного из-менения тока и напряжения периодических составляющих.

Для получения амплитудного спектра раз-ложим кривые напряжения на токоприемнике и тягового тока обоими способами. Восполь-зуемся обычным прямым преобразованием Фурье с кусочно-постоянной аппроксимацией разлагаемой величины. В этом случае, после упрощения выражения (6) разложение в ряд реализуем по формуле для k-той комплексной гармоники тока

( )

=

− −

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− −

= N

n

k N j kn N j n k

I k j I

1

1 2π

1 2π

1 e

e

π

1 . (17)

(5)

а

б

в

г

Рис. 4. Спектры тягового тока и напряжения на токоприемнике Амплитудный спектр, полученный по

кор-реляционной функции, представляет собой распределение дисперсий гармоник по часто-там и позволяет оценить энергию гармониче-ских составляющих в общей энергии случайно-го процесса.

Анализ спектров, полученных разными ме-тодами, показывает, что спектр «хвоста» кор-реляционной функции по сравнению со спек-тром мгновенного графика прорежен, то есть он свободен от случайных колебаний, а содер-жит лишь амплитуды периодических колеба-ний, присутствующих в случайном процессе. Спектры графиков мгновенных величин U

( )

t и

( )

t

I свидетельствуют о наличии гармоник в диапазоне 0,0006…1,0 Гц, а спектры «хвостов» корреляционных функций графиков U

( )

t и I

( )

t – в диапазоне 0,0006…0,1 Гц.

Таким образом, рассмотренные спектры случайных процессов U

( )

t и I

( )

t содержат низкочастотные гармоники (не канонические),

(6)

какой либо ее части на коротком промежутке времени, то на любом из отрезков времени по-лучим различные спектры как по амплитудам, так и по частотам.

Как известно, площадь под кривой спек-тральной плотности свидетельствует об энер-гии случайного процесса и численно равна его дисперсии

∞ −

= S (ω)dω

DI I ,

где SI(ω) – спектральная плотность.

В качестве примера определим энергию сплошного спектра тягового тока трамвая (рис. 2, б) по его спектральной плотности, по-лученной путем аппроксимации его корреляци-онной функции (рис. 3, б) выражением вида (10) в котором D=69857A2, а α=0,19c−1.

Результат аппроксимации приведен на рис. 5.

Рис. 5 Корреляционныефункциитока:

1 – экспериментальная; 2 – теоретическая

Спектральная плотность потребляемого то-ка, полученная в соответствии с выражением

( )

( )

2 2

0

2 τ cos τ π 2 ω

ω + α

α π = ωτ

=

I

I I

D d

K

S , (18)

приведена на рис. 6. Энергия случайного про-цесса изменения потребляемого тока, получен-ная по кривой сплошного спектра (18), равна

2 4А

10 986 ,

6 ⋅ .

Рис. 6. Спектральнаяплотностьизменения

тяговоготока

В последнее время в промышленной элек-троэнергетике интенсивно ведутся исследова-ния негативного влияния интергармоник, раз-рабатывается их теория и методы подавления, поскольку эти вопросы вплотную связанны с проблемами энергосбережения и надежности функционирования электрооборудования. Ин-тергармоники вызывают дополнительный на-грев оборудования и, как следствие, сокраще-ние срока службы изоляции, являются причи-ной дополнительных потерь активной электро-энергии; ошибочного функционирования уст-ройств связи, измерения, управления и регули-рования. В промышленных сетях низкочастот-ные гармоники также вызывают колебания и искажения синусоидальной формы питающего напряжения, а токи интергармоник могут явиться причиной перегрузки фильтров выс-ших гармоник [6]. Что же касается влияния ин-тергармоник на электрооборудование и сети электроснабжения системы электрического транспорта постоянного тока, то этот вопрос до настоящего времени не исследован, что являет-ся важнейшей последующей нашей задачей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Жежеленко И. В. Высшие гармоники в систе

-махэлектроснабжения. – М.: Энергоатомиздат, 2004. – 326 с.

2. ФихтенгольцГ. М. Курсдифференциальногои интегрального исчисления. В 4 т. Т. 3. – М.:

Наука, 1966. – 656 с.

3. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1977. – 608 с.

4. ПугачевВ. С. Введениевтеориювероятностей. –

М.: Наука, 1968. – 368 с.

5. Жежеленко И. В. Спектральный анализ тока нагрузки источников интергармоник в про

-мышленныхэлектрическихсетях / И. В. Жеже

-ленко, Ю. Л. Саенко, Т. К. Бараненко // Вісник Приазовського державного технічного універ

-ситету. – Маріуполь, 2002. – С. 194–201. 6. Бараненко Т. К. Розробка методів розрахунку

інтергармонік напруги і струму в електричних мережахзелектротехнологічнимустаткуваннямі безпосереднімиперетворювачамичастоти Авто

-реф. дис. … канд. техн. наук, спец. 05.14.02 –

Електричністанції, мережіісистеми, ДонНТУ, 2004, – 19 с.

References

Related documents

A possible source of latex to cause an allergy in a highly allergic infant may be from the powder containing the highly allergenic latex particles coming into contact with the

SOLVING COMPLEX TRIG INEQUALITIES – Method &amp; Examples (Authored by Nghi H Nguyen - Updated March 10, 2021) THE TRIG UNIT CIRCLE AND BASIC TRIG FUNCTIONS.. It is a circle with

Miller (1989) suggests some reason why teenagers probably misbehave, (a) Adolescents misbehave because they are human, (b) Adolescents misbehave because of the turmoil associated

Based on the literature and conducted studies, the variables of labor, capital, the composite index of Islamic economy should have a positive effect and the corruption index

In Turkish adaptation, Individual and Team Character in Sport Questionnaire (appendix 1) has three factors and 36 items in total. In addition, the fact that total item

The purpose of the research carried out at the State Senior High School 2 Singkawang (SMAN 2 Singkawang) was to describe the online-based prospective student

b Thirty-two miRNAs were expressed at higher levels in shp53/wt cells than in parental and shp53 cells ( a ), and 9 of them had homology to the 3 ’ -UTR of the AMAP1 mRNA..

Construction materials should have high compressive and flexural strength, low porosity, low thermal conductivity, low shrinkage and high water vapour permeability