УДК 621.313.333
О. И. САБЛИН (ДИИТ)
СПЕКТРАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
СЛУЧАЙНЫХ
ФУНКЦИЙ
ТЯГОВОГО
ТОКА
И
НАПРЯЖЕНИЯ
НА
ТОКОПРИЕМНИКЕ
ЭЛЕКТРОПОДВИЖНОГО
СОСТАВА
Розглянутодва способи визначення спектральногоскладу випадкових функційтягового струму та на
-пруги на струмоприймачі електрорухомого складу. Як приклад визначені інтергармоніки споживаного струмутанапругинаструмоприймачітрамваязреостатнимрегулюванням
Рассмотрены два способаопределения спектрального составаслучайных функций тягового тока ина
-пряжениянатокоприемнике электроподвижногосостава. Вкачествепримераопределены интергармоники потребляемоготокаинапряжениянатокоприемникетрамваясреостатнымрегулированием
Two ways of determining the spectral structure of random functions of the traction current and voltage on elec-tric rolling stock current collectors are considered in the article. As an example, interharmonics of consumed current and voltage on the current collector of a tramcar with rheostatic regulation have been calculated.
Силовые электрические цепи любого вида электроподвижного состава (ЭПС) являются нелинейными цепями переменного тока, так как работают в непрерывных переходных ре-жимах. Последнее обуславливает тот факт, что потребляемые ими токи из сети являются рез-копеременными, а напряжение на токоприем-нике и в сети искажается по форме и колеблет-ся. Указанные изменения тока и напряжения зависят от множества факторов (масса поезда, сопротивления движению, режим управления ЭПС и пр.), являются реакцией питающей сети на резкопеременную нагрузку, какой является ЭПС, а поэтому носят случайный непериодиче-ский характер.
С учетом изложенного и с точки зрения сис-тем электроснабжения любая единица ЭПС как переменного, так и постоянного тока является нелинейной случайно-параметрической нагруз-кой, технологически искажающей формы на-пряжения на токоприемнике и тягового тока.
В связи с вышесказанным, целью настоящей работы является необходимость предложить два метода определения спектрального состава тягового тока I
( )
t и напряжения U( )
t на токо-приемнике ЭПС.Однако и U
( )
t , и I( )
t являются случайными процессами, а классические методы спектраль-ного анализа в этом случае не применимы. По-этому для анализа спектров I( )
t и U( )
t необхо-димо применение вероятностных методов, ос-новным из которых является спектрально-корреляционная теория случайных функций. Гармонический состав тока и напряжения ЭПСв этом случае будет вероятностным. И тогда для спектрального анализа реализаций случай-ных функций I
( )
t и U( )
t предлагается приме-нение двух методов, назовем их спектрально-статистическим и спектрально-корреляционным.Первый способ состоит в использовании из-вестного преобразования Фурье или быстрого преобразования Фурье (БПФ) непосредственно к собственно графику токовой нагрузки I
( )
tили напряжения U
( )
t на токоприемнике. Усло-вием его применения является такая длитель-ность Т реализаций U( )
t и I( )
t , при которой успевают проявиться все наиболее характерные их свойства (например, среднеквадратические значения). Тогда каждую такую реализацию( )
tU и I
( )
t можно рассматривать как детерми-нированную несинусоидальную функцию (обо-значим ее f( )
t ) не на интервале [0,Т], а про-долженную периодически за пределы этого ин-тервала. То есть надо преобразовать неперио-дическую функцию в периодическую с произ-вольным периодом Т (рис. 1), для которой спра-ведливо разложение в ряд Фурье [2]. Однако функция f( )
t несинусоидальная, и поэтому применение известного прямого интегрального преобразования Фурье( )
=∫
∞( )
− =( )
− ( )0
ω ψ ω ωe
e
ω f t j tdt F j
j
F (1)
преобразования Фурье. Для этого дискретизи-руем произвольную реализацию функции f
( )
tна интервалы времени ∆t=tn+1−tn (рис. 1) по
теореме Котельникова [3], где на рис. 1: N – общее количество интервалов дискретизации;
N
n=1,2,..., ; тогда
N T t=
∆ .
В результате дискретизации получаем по-следовательность δ-импульсов, умноженных на
значение f
( )
n∆t функции f( )
t в моменты взя-тия отсчетов( )
∑
( ) (
)
= ∂ ∆ = ∆ − ∆ N n t n t t n f t n f 1δ (2)
или, переходя к безразмерным интервалам дис-кретизации, получаем
( )
∑
( )
= ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∆ = N п n t t n f п f 1δ . (3)
Рис. 1. Дискретизацияреализациислучайнойфункции f
( )
t Подставив выражение (3) в формулуспек-тральной плотности п-го прямоугольного им-пульса [2]
( )
∫
+( )
− ∂ = 1 ω e ω n n k t t t jk f п dt
j
F , (4)
имеем
(
)
∫ ∑
+( )
= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∆ = 1 1 ω e δ ω n n k t t N n t jk n dt
t t n f j
F . (5)
Изменяя порядок интегрирования и сум-мирования и учитывая «фильтрующее» свой-ство δ-функции, а также то, что дискретная угловая частота k Т k π 2
ω = ,
а tn = ∆n t, получаем (5) в виде
(
)
( )
1 2π1
ω δ e
n
n
t
N j kt
T k
n t
t
F j f n n dt
t + − = ⎛ ⎞ = ⎜ − ⎟ = ∆ ⎝ ⎠
∑
∫
( )
(
)
= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − =∑
= − ∆ + − N n kt T j t t k Tj n n
n f k j T 1 π 2 π 2 e e π 2
( )
( )∑
= ∆ − ∆ + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = N n t kn T j t n k T j n f k j T 1 π 2 1 π 2 e e π 2( )
j ( )k kF ω e− ψω
= . (6)
Тогда амплитуда ( )k m
А k-той гармоники
ис-комого ряда Фурье функции f
( )
t( )
∑
( )(
( ))
= + = s 1 ψ ωt sin k k k m k A tf (7)
определится по формуле [3]
( )
( )
T F
Ak k
m
ω 2
= , (8)
а начальная фаза ψ( )k – согласно (6).
Корреляционная функция, являясь одной из важнейших характеристик случайного процесса, характеризует его внутреннюю структуру, она позволяет судить о степени зависимости между значениями тока или напряжения в различные моменты времени работы ЭПС. Известно, что оценка корреляционной функции случайного процесса определяется выражением [4]
( )
(
( )
) (
(
)
I)
T
t
I
I Т I t m I t m
K − + −
−
=
∑
−=
τ τ
1
τ τ
0
, (9)
где Т – период, на котором задана реализация случайной функции тока (напряжения); I
( )
t ,(
t+τ)
I – соответственно значение случайной
функции в моменты времени t и
(
t+τ)
; mI – математическое ожидание случайного процесса.Приведенным выражением рекомендуется пользоваться при τ<T/5, так как при больших значениях τ погрешность оценки корреляцион-ной функции возрастает [4].
Известно [1], что корреляционные функции случайных токов и напряжений резкоперемен-ных нагрузок часто являются незатухающими, а незатухание корреляционной функции с увели-чением τ свидетельствует о неэргодичности слу-чайного процесса. Одной из наиболее характер-ных причин неэргодичности стационарного слу-чайного процесса является наличие в нем перио-дических составляющих. Незатухающая часть корреляционной функции (так называемый «хвост» корреляционной функции) содержит те же частоты, что и сам случайный процесс [4]. В связи с этим для анализа спектрального состава периодических составляющих тока и напряже-ния нагрузки (ЭПС) целесообразно применять преобразование Фурье не к самому случайному процессу, а к «хвосту» корреляционной функ-ции. Это обеспечит фильтрацию периодических составляющих от случайного процесса, который будет описываться одним из видов корреляцион-ных функций:
( )
τ e τK =D −α , (10)
( )
τ0
τ e cosω τ
K =D −α , (11)
( )
τ0 0
0
α
e cosω τ sinω τ
ω
K τ =D −α ⎛⎜ + ⎞⎟
⎝ ⎠, (12)
где D – дисперсия случайного процесса; α –
коэффициент затухания корреляционной функ-ции; ω0 – собственная частота корреляционной функции.
Будем считать, что «хвост» корреляцион-ной функции начинается с момента времени
0
τ , когда корреляционная функция
случайно-го процесса практически равна нулю. Тогда согласно [5],
к
0 3τ
τ ≥ , (13)
где τк – интервал корреляции, равный
( )
( )
0τ τ
τ 0
к
K d K
∫
∞
= . (14)
Представим тяговый ток ЭПС (или напря-жение на его токоприемнике) в виде суммы случайного процесса I′
( )
t с затухающей корре-ляционной функцией, описываемой каким либо выражением из (10)–(12), и низкочастотных периодических составляющих( ) ( )
∑
( )(
( ))
=
+ +
′
= n
k
k k
m k t
I t I t I
1
ψ ω
sin , (15)
где ( )k m
I – постоянные амплитуды k-тых
периоди-ческих составляющих случайного процесса изме-нения тягового тока ЭПС; kω – частоты периоди-ческих составляющих; ψ( )k – начальные фазы.
Таким образом, можно выделить из неэргоди-ческого случайного процесса I
( )
t эргодическую случайную функцию I′( )
t и определить, какие же периодические колебания (по амплитудам и час-тотам) входят в спектр случайного процесса.Если интервал регистрации Т случайной
функции намного больше периода ω 2
k π
наи-меньшей из низкочастотных составляющих, то выражение (9) можно переписать в виде
( )
( )
∑
( )( )
=
+ ′
= п
k k m I
I k
I K
K
1 2
ωτ cos 2 τ
τ , (16)
где K′I
( )
τ – какая либо из корреляционных функций вида (10)–(12).На рис. 2, а в качестве примера приведены временные диаграммы потребляемого тягового тока и напряжения на токоприемнике рис. 2, б
трамвая с реостатным регулированием напря-жения на тяговых электродвигателях, а на рис. 3 – их корреляционные функции.
а
б
Рис. 2. Графикиизменениявовременитяговоготокаинапряжения
натокоприемникетрамваясреостатнымрегулированием
а
б
Рис. 3. Корреляционныефункциитяговоготокаинапряжениянатокоприемнике
Вид корреляционных функций свидетель-ствует о наличии в графиках случайного из-менения тока и напряжения периодических составляющих.
Для получения амплитудного спектра раз-ложим кривые напряжения на токоприемнике и тягового тока обоими способами. Восполь-зуемся обычным прямым преобразованием Фурье с кусочно-постоянной аппроксимацией разлагаемой величины. В этом случае, после упрощения выражения (6) разложение в ряд реализуем по формуле для k-той комплексной гармоники тока
( )
∑
=
− −
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
− −
= N
n
k N j kn N j n k
I k j I
1
1 2π
1 2π
1 e
e
π
1 . (17)
а
б
в
г
Рис. 4. Спектры тягового тока и напряжения на токоприемнике Амплитудный спектр, полученный по
кор-реляционной функции, представляет собой распределение дисперсий гармоник по часто-там и позволяет оценить энергию гармониче-ских составляющих в общей энергии случайно-го процесса.
Анализ спектров, полученных разными ме-тодами, показывает, что спектр «хвоста» кор-реляционной функции по сравнению со спек-тром мгновенного графика прорежен, то есть он свободен от случайных колебаний, а содер-жит лишь амплитуды периодических колеба-ний, присутствующих в случайном процессе. Спектры графиков мгновенных величин U
( )
t и( )
tI свидетельствуют о наличии гармоник в диапазоне 0,0006…1,0 Гц, а спектры «хвостов» корреляционных функций графиков U
( )
t и I( )
t – в диапазоне 0,0006…0,1 Гц.Таким образом, рассмотренные спектры случайных процессов U
( )
t и I( )
t содержат низкочастотные гармоники (не канонические),какой либо ее части на коротком промежутке времени, то на любом из отрезков времени по-лучим различные спектры как по амплитудам, так и по частотам.
Как известно, площадь под кривой спек-тральной плотности свидетельствует об энер-гии случайного процесса и численно равна его дисперсии
∫
∞
∞ −
= S (ω)dω
DI I ,
где SI(ω) – спектральная плотность.
В качестве примера определим энергию сплошного спектра тягового тока трамвая (рис. 2, б) по его спектральной плотности, по-лученной путем аппроксимации его корреляци-онной функции (рис. 3, б) выражением вида (10) в котором D=69857A2, а α=0,19c−1.
Результат аппроксимации приведен на рис. 5.
Рис. 5 Корреляционныефункциитока:
1 – экспериментальная; 2 – теоретическая
Спектральная плотность потребляемого то-ка, полученная в соответствии с выражением
( )
( )
2 20
2 τ cos τ π 2 ω
ω + α
α π = ωτ
=
∫
∞ II I
D d
K
S , (18)
приведена на рис. 6. Энергия случайного про-цесса изменения потребляемого тока, получен-ная по кривой сплошного спектра (18), равна
2 4А
10 986 ,
6 ⋅ .
Рис. 6. Спектральнаяплотностьизменения
тяговоготока
В последнее время в промышленной элек-троэнергетике интенсивно ведутся исследова-ния негативного влияния интергармоник, раз-рабатывается их теория и методы подавления, поскольку эти вопросы вплотную связанны с проблемами энергосбережения и надежности функционирования электрооборудования. Ин-тергармоники вызывают дополнительный на-грев оборудования и, как следствие, сокраще-ние срока службы изоляции, являются причи-ной дополнительных потерь активной электро-энергии; ошибочного функционирования уст-ройств связи, измерения, управления и регули-рования. В промышленных сетях низкочастот-ные гармоники также вызывают колебания и искажения синусоидальной формы питающего напряжения, а токи интергармоник могут явиться причиной перегрузки фильтров выс-ших гармоник [6]. Что же касается влияния ин-тергармоник на электрооборудование и сети электроснабжения системы электрического транспорта постоянного тока, то этот вопрос до настоящего времени не исследован, что являет-ся важнейшей последующей нашей задачей.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Жежеленко И. В. Высшие гармоники в систе
-махэлектроснабжения. – М.: Энергоатомиздат, 2004. – 326 с.
2. ФихтенгольцГ. М. Курсдифференциальногои интегрального исчисления. В 4 т. Т. 3. – М.:
Наука, 1966. – 656 с.
3. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1977. – 608 с.
4. ПугачевВ. С. Введениевтеориювероятностей. –
М.: Наука, 1968. – 368 с.
5. Жежеленко И. В. Спектральный анализ тока нагрузки источников интергармоник в про
-мышленныхэлектрическихсетях / И. В. Жеже
-ленко, Ю. Л. Саенко, Т. К. Бараненко // Вісник Приазовського державного технічного універ
-ситету. – Маріуполь, 2002. – С. 194–201. 6. Бараненко Т. К. Розробка методів розрахунку
інтергармонік напруги і струму в електричних мережахзелектротехнологічнимустаткуваннямі безпосереднімиперетворювачамичастоти Авто
-реф. дис. … канд. техн. наук, спец. 05.14.02 –
Електричністанції, мережіісистеми, ДонНТУ, 2004, – 19 с.