THE MODELING OF SOME ASPECTS OF THE BEHAVIOR OF ECONOMIC SYSTEMS IN TWO-DIMENSIONAL SPACE

УДК 510.67+658.012

А. В. ІЛЬМАН, В. М. ІЛЬМАН (ДІІТ)

МОДЕЛЮВАННЯ ДЕЯКИХ ОСОБЛИВОСТЕЙ ПОВЕДІНКИ

ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ У ДВОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

Длямоделюваннядвовимірноїповедінкиекономічнихсистемзапропонованозастосовуватинелінійнупараме -тричнудинамічнумодельіздвомаумовнимистанами «попит» та «пропозиція». Показано, щовповедінцітаких економічнихсімействіснуютьточкирівноваги, граничніциклитарелаксаційніколиваннярізнихпорядків.

Длямоделирования двухмерногоповедения экономическихсистем предложено использоватьнелиней -нуюпараметрическую динамическую модельс двумяусловными состояниями «спрос» и «предложение». Показано, чтовповедениитакихэкономическихсемействсуществуютточкиравновесия, предельныециклы ирелаксационныеколебанияразныхпорядков.

For modeling economic systems with two conditions, it is offered to use the nonlinear variable dynamic model with two conventional conditions «demand» and «proposal». It is demonstrated that the points of balance, limiting cycles and relaxation variations of different order insist of such economic families.

Звичайно, аналізекономічноїдіяльностіпід -приємств, утому числіізалізничної галузі, ви -конується за класичною схемою, тобто оціню -єтьсяїхдіяльністьзаякісьминуліперіодифун -кціонування, оцінюється положення підпри -ємств на теперішній час та досліджується майбутній потенціал економічного розвитку цихпідприємств. Але вбагатьох випадкахана -ліз поведінки будь-якої економічної системи бажано пов’язати звиявленням критичних або особливих станів, в яких може опинитися сис -темапідвпливомзовнішніхта внутрішніхчин -ників – параметрів. Наприклад, зміна податко -вого навантаження на виробничі підприємства, змінаставок кредитуваннядля вітчизняних ре -зидентів і інші зміни внутрішніх та зовнішніх чинників системи можуть призвести до крити -чногостану – економічноїдоцільностііснуван -ня виробництвабодо суттєвогозростання еко -номічнихпоказниківрезидентів.

У випадках зміни чинників економічні сис -темислідрозглядатиякпараметричнісімейства зпозиційзвичайноїстійкості систем, тобто до -сліджувати їх поведінку навколо критичних станів або досліджувати структурну стійкість поведінкисистем заїх штучноствореними мо -делямивзалежності відзмін параметрівсисте -ми. На цьомушляхудосліджень виникаютьде -якіпроблемипов’язанізмоделюваннямсистем, наприклад, при з’ясуванні залежностей між відсотковою ставкою і розміром банківського кредитного портфеля, як правило, цей зв’язок представляється традиційно за допомогою «кращої» маргінальної функції попиту. Але в реальності залежність між «відсотковою став -кою» і «кредитнимпортфелем» неєкласичною

функціональною, а є гістерезисною петлею, тобто при певнихкритичних значеннях «відсо -ткової ставки» кількісний банківський показ -ник «кредитного портфелю» може змінюється стрибком [1; 2].

Зрештоюпринципдослідженняекономічних системполягаєвтому, щобнавести певнийпо -рядок і надати змістовності деякому набору фактів, з’ясувати їх вплив на поведінку сис -теми іпов’язати все це в одне ціле [3]. Конк -ретно, це дослідження може бути пов’язане з аналізом маркетинговихзаходів по виробниц -тву та збуту продукції, дослідженням госпо -дарсько-фінансової діяльності підприємств, аналізом наповненнякредитногопортфелябан -ківських установ і т. ін. Існує велика кількість методів моделювання тих чи інших питань еко -номічних систем [4]. Для дослідженняповедінки економічної системи у двовимірному просторі залежновідчасу

t

виберемоумовністанисисте -ми «попит»

x t

( )

і «пропозиція»

y t

( )

. Замодель економічноїдинаміки показників попитута про -позиції візьмемо модель подібну вольтерівській математичніймоделіроступопуляцій [5]

( ) ( ) ,

( ) .

dx

u x x v x y dt

dy

v x y y dt

⎧ _{= −}

⎪⎪ ⎨

⎪ _{= α − β} ⎪⎩

(1)

Модель (1) характеризується функціями економічної системи: попиту –

u x

( )

та швид

-кістюобробки системоюцьогопопиту –

v x

( )

і

пропозицій – β. Поверхневий огляд моделі (1) свідчитьпроте, щосистемаєдвопараметрична, але її параметричний розмір, очевидно, також залежитьвідпараметризації функцій попитута швидкості обробки попиту. Неважко помітити, що економічна система за моделлю (1) має у параметричному просторі, на якому вона ви -значена, поверхню рівноваги, тобто поверхню збалансованості попиту та пропозицій. Очеви -дно, множина точок рівноваги попиту x₀ сут

-тєво залежить відпараметрів α та β і задово -льняєтакіумови:

0

( )

v x = β α, u x x( )_{0 0} =v x( )₀ y₀,

зякихзнаходятьсякритичністанисистеми

* 0 0 y =x =x .

Поведінкусистеми навколоточокрівноваги можна дослідити за допомогою власних зна -ченьматриці лінєаризованоїмоделі (1) замето -дикоюроботи [6]

(

2

)

1,2 0 0 0

1

4

2 a a b

λ = ± − ,

де

0 0

0 0 0 0

0

( ) ( )

( ) ( )

( )

u x v x

a u x u x x

v x ′

⎛ _′ ⎞

= +_⎜ − _⎟

⎝ ⎠ ,

0 0 ( ) ( )0 0

b = αx u x v x′ .

Тоді, якщо точку

x

₀ прийняти за точку бі -фуркації, то, наприклад, коли функції u і v

зростаючі, і попит малий, тобто x₀<x*, тоді

стан рівноваги системи не стійкий (маємо не -стійкий фокус або вузол). Якщо ж у системі маємопоганоадаптованупропозицію, тобто

x

₀

євеликим, апопиткращеадаптованийабо x* є

малиміфункція u – спадає, тоді x₀ >x* ітому

поведінкасистеми навколорівноважного стану може бути стійкою (для моделі (1) стійкийву -золабо фокус). За умови x₀=x*точкою рівно

-ваги є вироджений центр або можливо біфур -каціяХопфа (граничнийцикл).

Конкретні результати у системі з моделлю (1) можливо отримати задавши певну парамет -ризацію на цій моделі. Вважаємо за доцільне запропонувати універсальну для досліджень параметризацію моделі (1) за допомогою екс -поненційно-стабілізуючих функцій попиту та швидкості обробки попиту. Конкретно ці фун -кціївиберемоувигляді:

(

)

(

)

0 0

0 0

( ) ( ) , ( ) 0, 0, 0;

( ) ( ) , ( ) 0, 0, 0,

x n

x m

u x u P x e q u x u q

v x v P x e g v x v g

−δ

−γ

⎫ = + > > _{≥ ⎪} ⎬

= + > > _{≥ ⎪⎭} (2)

де ( )P x_k - поліном k-го порядку відносно по -питу x, авеличини δ і γ – додатніпоказники

збування функційпопиту ташвидкостіпереро -бкипопиту.

Яквиднозіспіввідношень (2) розмірпараме -тричного сімейства C економічної системи мо

-же бути досить великим. Частково розмір цього сімействаштучнознижується задопомогоювве -дення нових позначень для виразів δx, u qδ0 ,

0

v g,γ δ/ тавідповіднихвиразівдлякоефіцієнтів

поліномів, якщо, наприклад, q>0 і g>0. Коли

жзалишитистаріпозначеннязміннихіпарамет -рів у системі, то модель (1) стане незмінною, а вирази (2) наберутьвигляду:

(

)

(

)

0

0

( ) ( ) 1 ;

( ) ( ) 1 .

x n

x m

u x u P x e

v x v P x e −

−γ ⎫

= + _⎪

⎬

= _{+ ⎪⎭} (3)

Модель економічної системи (1), (3) – нелі -нійна івзагалі аналітичноне розв’язується, то -мучисельнийаналізповедінки економічноїси -стеми в подальшому будемо виконувати для значень поліномів при n≤2 і m≤3, тобто не

вище як для 11-параметричного економічного сімействаС.

Наведемодеякірезультатичисельних дослі -дженьповедінкиекономічноїсистемизавведе -ноюмоделлю (1), (3).

Нехайспочаткуувиразах (3) n= =m 0, то

-ді система залежить тільки від параметрів

0 0 1

( , , , , , , )u v α βa a γ і може матирівноважні ста

-ни у досить вузькому діапазоні зміни парамет -рів. Наприклад, якщо α > β, u₀>v₀ для зна

-чень коефіцієнтів

a

= −

0, 2

,

a

₁

=

0,3

відповід -нихполіномів P_n і P_m, топрицьомупопитзро

-стаєінтенсивнішеніжпропозиція.

У випадку n≤1 і m=1 система, залежно відзначеньзростаннякоефіцієнтів u₀, v₀ фун

-кцій u і v, має більш широкі діапазони зна -ченьпараметрів, приякихіснуютьстанирівно -ваги. Якщо попит зростаєповільніше пропози -ції, тобто u₀<v₀, то система немає рівноваж

-никомпропозицій β, тобто β α <1, упротиле -жному випадку вона складає, що свідчить про погану адаптованість системи відносно запро -понованихпропозицій.

Зрозуміло, щовипадок n≤2 і m≤3 охоплює

отриманірезультатипри меншихзначеннях n і

m, але очевидно тут можливі інші результати поведінки економічної системи. Так чисельний аналізсистеми за моделлю (1) у цьому випадку показав наявність морсівських особливостей у напрямку попиту x критичних станів. Напри -клад, при значеннях параметрів: u₀=5, v₀ =2,

1

α = , 1β = ; коефіцієнтівполінома P_n: a= −0,5,

0,7

b= , 1c= − ; ікоефіцієнтів –

P

_m: a₁= −0,95,

1 1,2

b = − , c₁=1, d₁= −0,75 і γ =2 – фазова

крива залежності ( , )y x (рис. 1) має особливий

стануточці

A

. Наявністьособливоїточкиуси -стемі дозволяє виконувати певне керування в економічнійсистемі. Нехайактивністьпопиту у системінизька, а активність пропозицій висока, тоді, знижуючиактивипропозиційі «розігріваю -чи» попитдоточки

A

понижнійчастинікривої, маємо можливість суттєво активізувати попит і надолужитивтраченіактивипропозиційзаверх -ньоючастиноюцієїкривої.

Рис. 1

Якранішебуловказано, автономні економі -чні системи можуть мати особливості типу бі -фуркацій Хопра. Характерний нестійкий гра -ничний цикл (рис. 2) виникає при значеннях параметрів системи: u₀ =5, v₀=2, α =2,

1

β = , 0,5a=− , 0,7b= , 1c= − , a₁= −1, b₁= −2,

1 2

c = , d₁= −0,75, 2,527γ = . Системі з таким

циклом відповідають періодичні коливання з постійною амплітудою попиту і пропозиції. Причому, маємо у нашому випадку те, що ко -ливальна поведінка у системі відбуваються за наявностірівноважнихстанів (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Замкнена орбіта (див. рис. 2) може бути зруйнованазадопомогоюлишеодногопараме -тра γ, що свідчить про наявність інших пері -одичних коливань у системі. Так малі зміни параметра γ < γ =* 2,527 породжують на фазо -вій площині стійкий фокус, а мале збільшення параметру γ > γ* – нестійкийфокус. Таким чи -ном, якщо системазнаходитьсяу стійкомуста -ні γ < γ*, іповільнозбільшуєтьсяпараметрзбу -ванняшвидкостіпереробкипопиту, топоведін -касистемистабільнадозначення γ*. Припере -ході через це значення рівновага системи стає не стійкою, тобто амплітудаколивань попиту і пропозиції з часом зростає, поведінка системи стаєнестабільною.

Оскільки при дослідженнях за моделлю (1) можливі економічно обґрунтовані результати, коли u₀≥v₀, то подальші наближені дослі

-дження критичних станів системи виконуємо для досить великих значеньпоказників u₀ фу

-говиконаємопараметризаціюзмінної v y u_{0 0} у

моделі (1), тоді, зберігаючи тіжсаміпозначен -нязмінних x і

y

врівняннях (1), отримаємо:

(

)

1 2

0

0 2

1

( ) ( ) ;

( ) ,

dx

f x x f x y u dt

dy

v f x y dt

⎫

= −

⎪⎪ ⎬ ⎪ = α − β

⎪⎭

(4)

де

1( ) n( )exp( ) 1

f x =P x − +x ,

2( ) m( )exp( ) 1

f x =P x −γ +x .

Рівняннямоделі (4) єрівняннями зсингуля -рним збуренням [7] за малим значенням пара -метру µ =1u₀ >0. Формальнопри µ →0 змо -делі (4) маємовиродженумодель

(

)

1 2

0 2

( ) ( ) 0;

( ) .

f x x f x y

dy

kv f x m y dt

− = ⎫

⎪ ⎬

= − _⎪⎭ (5)

Першерівняннявиродженоїмоделі (5) визна -чаєповерхнюрівновагиекономічноїсистеми

1 2

( )

( )

f x x

y

f x

=

, (6)

параметричнийрозмірякоїнеперевищуєсеми. За результатами роботи [7], поведінка сис -теми змоделлю (4) навколо її рівноважної по -верхні (6) не суттєва по відношенню до малих значень параметра

µ

, якщо виконується на -ступнаумова:

1 2

( ( )f x x− f ( ) )x y′_x <0,

тобто

(

1 2 1 2

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F x = f x f′ x − f x f′ x x+

1( ) ( ) 02 f x f x + < .

Заумови ( ) 0F x > точкина поверхні рівно

-вагибудуть нестійкими. Зауважимо, щонапо -верхнірівноваги (6), де ( )F x змінюєзнак, фун

-кція ( ) 0F x = , тобто вцих точках поверхня (6)

маєвертикальну дотичну

y

=

const

. Точки пе -ретинупрямих

y

=

const

зповерхнеюрівнова -ги (6) є особливими точками економічної сис -теми. Особливі точки розбивають прямі

const

y

=

натраєкторіїшвидкогоруху, вздовж якихвідбуваєтьсястрибкиуповедінці економі -чноїсистеми. Такимчином, поведінка системи відбувається уздовжповерхнірівноваги (6) по

-вільно доти, поки на шляху змін її поведінки не зустрінетьсяособлива точка, вякійсистема можливо стрибкомперейдеу новий стан, іда -ліїї поведінказновубудеповільнозмінювати -ся. Зрозуміло, що така поведінка системи мо -же змінюватися циклічно за так званим гісте -резиснимциклом.

З’ясуємо наявність особливих точок рівно -ваги у площинній економічній системі. Одна з таких особливостей нами отримана раніше (див. рис. 2). Тутточка

A

– точкарівновагиіє особливою (у системі стрибків не відбуваєть -ся). Зрозуміло, що такий ізольований особли -вийстансистемиєнайпростішим, івінєанало -гом морсівськоїповедінкинаповерхнірівнова -ги особливості типу A₂ – однопараметричної

«складки» [8]. Наступний тип особливостей (рис. 4) – переріз поверхні рівноваги (6) гіпер -площиною (

a

= −

0,5

, 2b= , 1c= − , a₁=0,

1

0,5

b

= −

, c₁= −1, 1γ = ). З іншого боку, ця

крива є перерізом поверхні рівноваги, яка від -повідаєутеоріїкатастрофособливостітипу A₃ –

«збірка». Особливостітипу «збірка» виникаютьу системах із параметричним розміром dimC≥2, проекція поверхні рівноваги на цю двовимірну параметричну площину утворює криву особли -вих станів економічної системи, або стрибків у системі. Стрибкиусистемівідбуваютьсяпридо -сягненні системою особливих станів, які позна -чені точками

A

і

B

(див. рис. 4). На частині кривоїрівновагиміжцимиточками станиеконо -мічноїсистемиєнестійкимиіможутьбутиреалі -зованітількиштучно. Загаломуправлінняеконо -мічними подіями усистемі вцьому випадку мо -жливізанаступнимиосновнимисценаріями:

– повільне зростання пропозицій уздовж кривої рівноваги доособливого стану системи, потім стрибок у новий рівноважнийстанізно -вуповільне зростанняпропозицій, алеприсут -тєвозбільшеномупопиті;

– повільне збування попиту уздовжверх -ньої частиникривоїрівноваги доособливоїто -чки, потім швидкезниженняпопитувсистеміі подальше повільне зменшення попиту і відпо -віднопропозицій;

– зростанняпропозицій запершимсцена -рієм, потім відтворенняподійусистемі задру -гим сценарієм, у результаті отримаємо релак -саційнийциклповедінкисистеми.

Наприклад, вособливій поведінціекономіч -ної системи маємо можливість піймати «мете -лик» – A₅, який з’являється при значенняхпа

-раметрів:

a

= −

0,5

,

b

=

0,5

, c=1,

a

₁

= −

0,95

,

1

1,35

b

= −

, c₁=1, d₁= −0,55, 1γ = . За модел

-люсистеми (1), (3) в цьому випадку маємо пе -рерізповерхнірівноваги (рис. 5).

Рис. 5

Зрис. 5 видно, щосистемамаєчотириособ -ливихстани (точки

A

,

B

, C і

D

, див. рис. 5), тому її поведінка може супроводжуватися по -двійними стрибками при зростанні пропозицій або при зниженні попиту. Таким чином керу -вати економічними системами за наявності в їх поведінці декількох релаксаційних циклів

більш складно. Подальші дослідження показа -ли, що для моделі (1), (3) при обмеженнях

2

n≤ і m≤3 максимальноможливарівноважна

поведінка економічноїсистеми зтрьомарелак -саційнимициклами.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙСПИСОК

1. Опойцев В. И. Нелинейная системостатика. – М.: Наука, 1986. – 248 с.

2. Ільман А. В. Моделювання деяких особливос -тей поведінки економічнихсистем / А. В. Іль -ман, В. М. Ільман // Проблемиекономікитранс -порту: Матеріали V наук. конф. – Д.: ДІІТ, 2006. – С. 31–32.

3. Макконнелл К. Р. Экономикс: принципы, про -блемы и политика / К. Р. Макконнелл, С. Л. Брю. – К.: Хагар-Демос, 1993. – 785 с.

4. БакановМ. И. Теорияэкономическогоанализа / М. И. Баканов, А. Д. Шеремет. – М.: Финансыи статистика, 2000. – 416 с.

5. Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. – М.: Наука, 1976. – 288 с. 6. ЕгоровА. И. Обыкновенныедифференциальные

уравнениясприложениями. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 384 с.

7. Тихонов А. Н. Дифференциальные уравнения уравнения / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. – М.: Наука, 1980. – 232 с.

8. Арнольд В. И. Особенности дифференцируе -мых отображений / В. И. Арнольд, А. Н. Вар -ченко, С. М. Гусейн-Заде. – М.: Наука, 1982. – 304 с.