The maximum modulus principle
61
0
0
Full text
(2)
(3) UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo. Magistrsko delo. PRINCIP NAJVEČJE ABSOLUTNE VREDNOSTI na študijskem programu 2. stopnje Matematika. Mentor:. Kandidatka:. izr. prof. dr. Marko Jakovac. Edina Makovec. Maribor, 2018.
(4) ZAHVALA. Zahvaljujem se mentorju, izr. prof. dr. Marku Jakovcu, za strokovno pomoč in odlične nasvete v času nastajanja magistrskega dela. Posebej se zahvaljujem staršema, ki sta mi omogočila brezskrben študij in mi ves čas študija potrpežljivo stala ob strani. Zahvaljujem se tudi sestri in fantu, ki sta me vzpodbujala in mi pomagala na poti do želenega cilja.. Iskrena hvala vsem, ki so del mojega življenja..
(5) UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. IZJAVA. Podpisana Edina Makovec, rojena 3. julija 1991, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa 2. stopnje Matematika, izjavljam, da je magistrsko delo z naslovom PRINCIP NAJVEČJE ABSOLUTNE VREDNOSTI pri mentorju izr. prof. dr. Marku Jakovcu avtorsko delo. V magistrskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.. Maribor, 11. maj 2018. Edina Makovec.
(6) Princip največje absolutne vrednosti program magistrskega dela. Naj bo D povezana, odprta podmnožica kompleksne ravnine C in a ∈ D. Denimo, da za holomorfno funkcijo f : D → C in za vsak z ∈ D velja |f (a)| ≥ |f (z)|. Princip največje absolutne vrednosti pove, da mora f biti konstantna funkcija na množici D. V magistrskem delu naj bodo podane in dokazane različne oblike tega principa. Predstavljeni naj bodo tudi primeri uporabe tega principa pri dokazovanju drugih izrekov tako v kompleksni analizi kot na drugih področjih matematike. Osnovni viri: 1. L. V. Ahlfors, Complex Analysis, An Introduction to The Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, 3. edition, McGraw-Hill Companies, New York, 1980. 2. R. B. Ash, W. P. Novinger, Complex Variables, 2. edition, Dover Publications, New York, 2007. 3. J. B. Conway, Functions of One Complex Variable, 2. edition, Springer-Verlag, New York, 1978. 4. J. Plemelj, Teorija analitičnih funkcij, Slovenska akademija znanosti in umetnosti, Ljubljana, 1953.. izr. prof. dr. Marko Jakovac.
(7) MAKOVEC, E.: Princip največje absolutne vrednosti. Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, 2018.. IZVLEČEK. Magistrsko delo obravnava princip največje absolutne vrednosti, ki predstavlja pomemben rezultat v kompleksni analizi. Izraz princip največje absolutne vrednosti pravzaprav predstavlja skupek izrekov, ki govorijo o največji absolutni vrednosti holomorfne funkcije na nekem območju. Princip lahko uporabimo tudi za dokazovanje nekaterih pomembnih matematičnih izrekov, kot so osnovni izrek algebre, Schwarzova lema in mnogi drugi. V prvem delu magistrskega dela bomo predstavili nekaj osnovnih definicij, izrekov in pomembnih rezultatov, ki jih bomo potrebovali v naslednjih poglavjih. Drugi del je posvečen predstavitvi principa največje absolutne vrednosti. V tem poglavju bomo podali več verzij izreka o največji absolutni vrednosti in jih tudi dokazali. Omenili bomo še Gaussov izrek o srednji vrednosti, ki ga bomo uporabili pri dokazu principa največje absolutne vrednosti. V tretjem in zadnjem poglavju pa bomo prikazali uporabo principa največje absolutne vrednosti pri dokazu drugih matematičnih izrekov in podali še fizikalno interpretacijo. Za konec bomo za boljše razumevanje predstavili princip največje absolutne vrednosti na konkretnem matematičnem zgledu.. Ključne besede: princip največje absolutne vrednosti, holomorfne funkcije, Schwarzova lema, osnovni izrek algebre, Phragmen–Lindelofov princip, Borel–Caratheodoryjev izrek, Hadamardov izrek o treh premicah.. Math. Subj. Class. (2010): 30C80, 32A10, 32A40..
(8) MAKOVEC, E.: The Maximum Modulus Principle. Master Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2018.. ABSTRACT. This master thesis focuses on the maximum modulus principle, which is an important result in complex analysis. We use the term maximum principle for multiple theorems, concerning the maximum modulus of holomorphic functions on a region. The principle can be used for the purpose of proving important mathematical theorems, such as the fundamental theorem of algebra, the Schwarz’s lemma and many others. In the first part of the master thesis, we will introduce some basic definitions, theorems and important results which will be needed in the following chapters. The second part is dedicated to the representation of the maximum modulus principle. In this chapter we will give several theorems of the principle and also prove them. We will mention Gauss’s mean value theorem, which we will use to prove the maximum modulus principle. In the third and the last part, we will show the application of the maximum modulus principle for proving other mathematical theorems and also give a physical interpretation. We will conclude with a concrete mathematical example, for better understanding of the principle.. Keywords: maximum modulus principle, holomorphic functions, Schwarz’s lemma, fundamental theorem of algebra, Phragmen–Lindelof principle, Borel–Caratheodory theorem, Hadamard three-lines theorem.. Math. Subj. Class. (2010): 30C80, 32A10, 32A40..
(9) Kazalo Uvod. 1. 1 Osnovni pojmi. 2. 1.1. Osnovne definicije in izreki kompleksne analize . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Osnovne definicije in izreki algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2 Princip največje absolutne vrednosti. 16. 2.1. Pomen principa največje absolutne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.2. Gaussov izrek o srednji vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.3. Različne oblike principa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.4. Dokaz s pomočjo linearne algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 2.5. Princip najmanjše absolutne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3 Uporaba principa največje absolutne vrednosti 3.1. 29. Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti . . . . . . . .. 29. 3.1.1. Osnovni izrek algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.1.2. Schwarzova lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.1.3. Phragmén–Lindelöfov princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.1.4. Borel–Carathéodoryjev izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.1.5. Hadamardov izrek o treh premicah . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.2. Fizikalna interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.3. Primer uporabe principa največje absolutne vrednosti . . . . . . . . . . . .. 48. Literatura. 50. ix.
(10)
(11) Uvod Tema magistrskega dela je princip največje absolutne vrednosti, ki sodi v področje kompleksne analize, natančneje v področje obnašanja holomorfnih funkcij. S pomočjo tega principa bomo spoznali kje funkcija, ki je holomorfna na nekem območju, zavzame največjo absolutno vrednost in kako lahko ta rezultat uporabimo na drugih področjih matematike. Princip največje absolutne vrednosti uporabljamo pri dokazovanju mnogih matematičnih izrekov, kot so osnovni izrek algebre, Schwarzova lema, Phragmén–Lindelöfov princip in drugi, ki jih bomo omenili in dokazali v zadnjem poglavju magistrskega dela. V strokovni literaturi se pojavljajo različne verzije in formulacije izreka o največji absolutni vrednosti. Te različne oblike principa bomo podali in jih tudi dokazali na več načinov.. Magistrsko delo je razdeljeno na tri dele. V prvem poglavju so predstavljeni osnovni pojmi, izreki in definicije, ki so potrebni za razumevanje, dokaz in uporabo principa največje absolutne vrednosti. V drugem poglavju so predstavljene različne oblike izreka o največji absolutni vrednosti in dokazi le-teh, v tretjem delu je prikazana uporaba principa pri dokazovanju drugih pomembnih matematičnih izrekov, podani pa so tudi primeri njihove uporabe. Prav tako je v tretjem delu podana še fizikalna interpretacija principa največje absolutne vrednosti s primeri, za konec pa še konkretni primer uporabe principa na matematičnem zgledu.. 1.
(12) Poglavje 1 Osnovni pojmi Kompleksna analiza je ena izmed vej matematične analize, ki se (med drugim) ukvarja s proučevanjem funkcij kompleksnih spremenljivk. Ima mnogo elegantnih in pogosto nepričakovanih načinov uporabe na nekaterih preostalih področjih matematike, kot so na primer algebra, teorija števil in kombinatorika, kot tudi pri reševanju številnih fizikalnih problemov. Njen širok spekter uporabe pa seže tudi dlje od matematike in fizike, saj zagotavlja pomembna orodja, ki se uporabljajo na inženirskih področjih, kot na primer v mehaničnem in elektrotehniškem inženirstvu. V prvem poglavju magistrske naloge bomo predstavili osnovne izreke in definicije nekaterih pojmov, ki so potrebni za razumevanje, dokaz in uporabo principa največje absolutne vrednosti. Večina definicij in izrekov v tem poglavju je povzeta po virih [1, 2, 3, 4].. 1.1. Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. Množica kompleksnih števil C je množica vseh urejenih parov (x, y) realnih števil, kjer sta operaciji seštevanja in množenja definirani kot (x, y) + (w, z) = (x + w, y + z), (x, y) · (w, z) = (xw − yz, xz + yw), pri čemer sta (x, y) in (w, z) kompleksni števili, x, y, w, z pa realna števila. Operacija + med kompleksnima številoma (x, y) in (w, z) predstavlja vsoto dveh kompleksnih števil (+ : C × C → C), operacija + med številoma x, w in y, z pa predstavlja vsoto realnih števil (+ : R × R → R). Podobno velja za operacijo množenja kompleksnih števil.. 2.
(13) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 3. Naj bodo (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) in (x3 , y3 ) poljubna kompleksna števila. Za operaciji seštevanja in množenja kompleksnih števil veljajo naslednje lastnosti: • (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x2 , y2 ) + (x1 , y1 ), komutativnost seštevanja, • ((x1 , y1 )+(x2 , y2 ))+(x3 , y3 ) = (x1 , y1 )+((x2 , y2 )+(x3 , y3 )), asociativnost seštevanja, • (x1 , y1 ) + (0, 0) = (x1 , y1 ), obstoj enote za seštevanje, • (x1 , y1 ) + (−x1 , −y1 ) = (0, 0), obstoj nasprotnega elementa, • (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x2 , y2 ) · (x1 , y1 ), komutativnost množenja, • ((x1 , y1 ) · (x2 , y2 )) · (x3 , y3 ) = (x1 , y1 ) · ((x2 , y2 ) · (x3 , y3 )), asociativnost množenja, • (x1 , y1 ) · (1, 0) = (x1 , y1 ), obstoj enote za množenje, • (x1 , y1 ) · (x1 , y1 )−1 = (1, 0) , (x1 , y1 ) 6= (0, 0), obstoj inverznega elementa, • (0, 0) 6= (1, 0), enota za seštevanje ni enaka enoti za množenje, • (x1 , y1 ) · ((x2 , y2 ) + (x3 , y3 )) = (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) + (x1 , y1 ) · (x3 , y3 ), distributivnost. Ker veljajo vse omenjene lastnosti, je množica kompleksnih števil za opisani operaciji komutativen obseg oziroma polje. Če realno število x definiramo kot x = (x, 0), imaginarno enoto pa kot i = (0, 1), je i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −(1, 0) = −1. Ob upoštevanju, da je C tudi vektorski prostor, lahko poljubno kompleksno število (x, y) zapišemo kot (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi, kjer sta x, y ∈ R. Naj bo z = x + yi kompleksno število. Potem x imenujemo realni del in ga označimo z Re(z), y pa predstavlja imaginarni del kompleksnega števila, ki ga označimo z Im(z). Vpeljimo še pojem konjugiranosti kompleksnega števila. Naj bo z = x + yi kompleksno število. Potem je z = x − yi konjugirano kompleksno število števila z. V tej nalogi bo ključni pomen imela absolutna vrednost kompleksnega števila, ki je definirana kot |z| =. √. z·z =. p x2 + y 2 ..
(14) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 4. Za absolutno vrednost kompleksnih števil veljata dve pomembni lastnosti: • za poljubna z1 , z2 ∈ C je |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, • za poljubna z1 , z2 ∈ C je |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Kompleksna števila lahko zapišemo tudi v polarni obliki: z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = r(cos ϕ + i sin ϕ).. Kompleksna števila, ki so podana v polarni obliki, pa lahko preoblikujemo v Eulerjev zapis kompleksnega števila, ki ga izpeljemo s pomočjo Taylorjevih vrst elementarnih funkcij ez , sin z in cos z: (iϕ)2 (iϕ)3 (iϕ)4 (iϕ)5 + + + + ... 2! 3! 4! 5! ϕ2 iϕ3 ϕ4 iϕ5 = 1 + iϕ − − + + − ... 2! 3! 4! 5! ϕ2 ϕ4 iϕ3 iϕ5 = 1− + − . . . + iϕ − + − ... 2! 4! 3! 5!. eiϕ = 1 + iϕ +. = cos ϕ + i sin ϕ. Sledi, da je z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ .. V polarni in Eulerjevi obliki zapisa kompleksnega števila z, |z| = r predstavlja oddaljenost kompleksnega števila z od koordinatnega izhodišča, arg(z) = ϕ ∈ [−π, π] pa imenujemo argument števila z. Argument kompleksnega števila predstavlja kot, ki ga oklepa daljica med točkama (0, 0) in (x, y) s pozitivno smerjo realne osi (slika 1.1).. Za nekatere definicije in izreke v tem poglavju je potrebno pojasniti še nekaj osnovnih pojmov o množicah. Naj bo a ∈ C in r > 0. Potem je D(a, r) odprti krog s središčem a in radijem r, ki ga označimo z D(a, r) = {z ; |z − a| < r}. Zaprti krog D(a, r) s središčem a in radijem r pa označimo z D(a, r) = {z ; |z − a| ≤ r}..
(15) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 5. Im. yi. |z |. =. r. z = x + yi. ϕ x. 0. Re. Slika 1.1: Geometrijski prikaz kompleksnega števila z Točka a je notranja točka množice A, če obstaja tak r > 0, da D(a, r) ⊆ A. Množica A je odprta, če je vsaka njena točka notranja. Komplement množice A je množica elementov, ki ne pripadajo množici A (AC = {x ; x ∈ / A}). Množica A je zaprta, če je AC odprta množica. Točka x je zunanja točka množice A, če obstaja tak r > 0, da je D(x, r) ⊆ AC . Dve podmnožici D1 in D2 metričnega prostora, sta ločeni, če obstajata odprti množici G1 ⊇ D1 in G2 ⊇ D2 , za kateri velja, da je D2 ∩ G1 = D1 ∩ G2 = ∅. Množica je povezana, če je ne moremo zapisati kot unije dveh nepraznih ločenih množic. Pravimo, da je podmnožica D ⊆ C povezana s potmi, če za poljubni točki x, y iz D obstaja pot med njima, ki leži v D. To pot lahko parametriziramo z odsekoma zvezno odvedljivo parametrizacijo f : [a, b] → R, s splošnim predpisom f (t) = x(t) + iy(t), kjer sta obe komponenti, x(t) in y(t), zvezno odvedljivi funkciji. Velja, da je s potmi povezana množica povezana. Za odprte množice pa velja tudi obrat te trditve. Območje v kompleksni ravnini je odprta, povezana podmnožica C. Podali smo nekaj osnovnih definicij in lastnosti kompleksnih števil, sedaj pa si oglejmo še obliko funkcij kompleksnih spremenljivk. Naj bo D ⊆ C odprta in povezana podmnožica kompleksne ravnine. Funkcija kompleksne spremenljivke je vsaka funkcija f oblike f : D → C. Splošni predpis takšne funkcije je f (z) = f (x + yi) = u(x, y) + iv(x, y),.
(16) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 6. pri čemer sta u in v realni funkciji dveh spremenljivk in velja x, y, u(x, y), v(x, y) ∈ R.. Potrebovali bomo tudi pojem supremuma funkcije oziroma natančne zgornje meje funkcije. Supremum je najmanjša izmed vseh zgornjih mej. Analogno pa je infimum funkcije največja spodnja meja funkcije. Funkcija lahko natančno zgornjo oziroma spodnjo mejo doseže ali tudi ne (v tem primeru se zgornja oziroma spodnja meja imenuje maksimum oziroma minimum). V nadaljevanju bomo govorili predvsem o odvedljivih kompleksnih funkcijah, zato definirajmo odvod funkcije. Definicija 1.1 Naj bo D ⊆ C odprta množica in z0 ∈ D. Funkcija f : D → C je odvedljiva v z0 , če obstaja limita f (z0 + ∆z) − f (z0 ) , ∆z→0 ∆z lim. pri čemer je ∆z = z − z0 in z, z0 ∈ C. To limito, če obstaja, označimo z f 0 (z0 ) = lim. z→z0. f (z) − f (z0 ) . z − z0. Naj bo D ⊆ C odprta in povezana množica. Če je funkcija f : D → C odvedljiva v vsaki točki z ∈ D, pravimo, da je holomorfna na D. Če je funkcija f : C → C odvedljiva v vsaki točki z ∈ C, pravimo, da je f cela funkcija.. Naj bo D odprta množica, f : D → C in naj u predstavlja realni del, v pa imaginarni del kompleksne funkcije f (u = Re(f ), v = Im(f )). Potem sta u in v realni funkciji na D in velja, da je f = u + iv. Zanima nas, kakšna je povezava med funkcijo f in njenim realnim in imaginarnim delom. Na primer, funkcija f je zvezna v točki z0 , če sta v z0 zvezni u in v. Zanimale nas bodo predvsem povezave, ki vsebujejo odvode. To povezavo si bomo ogledali v naslednjem izreku, ki je eden pomembnejših izrekov v kompleksni analizi.. Izrek 1.2 (Cauchy–Riemann) [2] Naj bo D ⊆ C odprta množica. Funkcija f : D → C, s predpisom f (z) = f (x + yi) = u(x, y) + iv(x, y) je odvedljiva v točki z0 = x0 + iy0 natanko tedaj, ko sta u in v diferenciabilni v točki (x0 , y0 ) in veljata formuli ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ).
(17) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 7. in uy (x0 , y0 ) = −vx (x0 , y0 ). Formuli v tem izreku imenujemo Cauchy–Riemannovi formuli.. Krivulja K je enostavno sklenjena, če nima samopresečišč (razen v točki, v kateri je sklenjena).. Izrek 1.3 (Jordanov izrek) [18] Enostavna sklenjena krivulja K razdeli ravnino na dve komponenti, eno omejeno in eno neomejeno.. Omejenemu območju pravimo notranje območje krivulje K. Območje D ⊆ C je enostavno povezano, če za vsako enostavno sklenjeno krivuljo K ⊂ D tudi notranje območje krivulje K v celoti leži v D. Cauchyjev integralski izrek je eden najpomembnejših rezultatov v kompleksni analizi. Izrek pravi, da je integral funkcije f , ki je holomorfna na enostavno povezanem območju, ki ga omejuje enostavno sklenjena krivulja, zmeraj enak nič. Izrek 1.4 (Cauchyjev izrek) [3] Naj bo D ⊆ C enostavno povezano območje, f : D → C holomorfna funkcija in K ⊂ D enostavna sklenjena krivulja z odsekoma zvezno parametrizacijo. Tedaj velja Z f (z)dz = 0. K. Ena izmed posledic Cauchyjevega izreka je izrek 1.5, ki pravi, da sta integrala po dveh enostavno sklenjenih krivuljah, ki imata enako začetno in končno točko, enaka. Torej, če so izpolnjeni pogoji Cauchyjevega izreka, je integral funkcije odvisen samo od začetne in končne točke poljubne krivulje. Izrek 1.5 [3] Naj bo D ⊆ C enostavno povezano območje, f : D → C holomorfna funkcija na D in K1 , K2 ⊂ D enostavni krivulji z začetno točko A ∈ D in končno točko B ∈ D, ki imata odsekoma zvezno odvedljivo parametrizacijo. Potem velja Z. Z f (z)dz =. K1. f (z)dz. K2.
(18) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 8. V nadaljevanju bomo potrebovali še pojem harmonične funkcije. Naj bo z = x + yi kompleksno število. Omenili smo že, da lahko funkcijo kompleksne spremenljivke, f : D ⊆ C → C, zapišemo s pomočjo realnega in imaginarnega dela: f (z) = f (x + yi) = u(x, y) + iv(x, y), kjer sta u in v realni funkciji dveh spremenljivk. Če je funkcija f holomorfna, zanjo veljata Cauchy–Riemannovi formuli (izrek 1.2): ux = vy in uy = −vx . Sedaj parcialno odvajamo prvo enakost po x, drugo pa po y in ju seštejemo: uxx + uyy = 0, drugo enakost pa najprej odvajamo po y, nato po x: vxx + vyy = 0. Dobili smo dve podobni enačbi, ki ju na kratko zapišemo kot ∆u = 0 in ∆v = 0. Velja, da je funkcija f : D → R harmonična, če zanjo velja Laplacova diferencialna enačba ∆f = 0. Slednje za dve spremenljivki zapišemo kot ∆f = fxx + fyy = 0. To pomeni, da za holomorfno funkcijo kompleksne spremenljivke velja, da sta njen realni in imaginarni del harmonični funkciji. Imenujemo ju konjugiran par harmoničnih funkcij. Torej, kompleksna funkcija je harmonična, če sta harmonična njen realni in imaginarni del. Zapišimo še tako imenovano Greenovo formulo, ki izračun integrala po nekem območju prevede na integral, ki se razteza le po robu tega območja. Izrek 1.6 (Greenova formula) [6] Naj bo K ⊂ R2 pozitivno orientirana enostavno sklenjena krivulja in G notranje območje krivulje K. Če sta funkciji u, v : G → R zvezno.
(19) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 9. parcialno odvedljivi, potem velja Z. ZZ (vx (x, y) − uy (x, y))dxdy.. (u(x, y)dx + v(x, y)dy) = K. G. Na tem mestu definirajmo še oznako za rob množice D, ki ga označimo kot ∂D = D\D. Naslednji izrek (včasih imenovan tudi Cauchyjeva integralska formula za krog) ponazarja očitno razliko med konceptom odvedljivosti kompleksnih funkcij v primerjavi z realnimi. Videli bomo, da če je f holomorfna funkcija na zaprtem krogu, potem je vrednost funkcije f v poljubni točki, ki leži v notranjosti kroga, določena s svojimi vrednostmi na robu tega kroga; še več, obstaja celo formula, ki opiše to odvisnost.. Izrek 1.7 [2] Naj bo D ⊆ C enostavno povezano območje, f : D → C holomorfna funkcija na D in zvezna na D ter ∂D krivulja z odsekoma zvezno parametrizacijo. Tedaj za vsak z ∈ D velja 1 f (z) = 2πi. Z. f (ξ) dξ. ξ−z. ∂D. Iz zgornjega izreka lahko izpeljemo formulo za poljubno mnogokrat odvedljive funkcije.. Izrek 1.8 Naj bo D ⊆ C enostavno povezano območje, f : D → C holomorfna funkcija na D in zvezna na D ter ∂D krivulja z odsekoma zvezno parametrizacijo. Tedaj je funkcija f poljubno mnogokrat odvedljiva in za vsak z ∈ D velja: f. (n). n! (z) = 2πi. Z. f (ξ) dξ, kjer je n ∈ N0 . (ξ − z)n+1. ∂D. Oba sledeča izreka, Cauchyjev in Liouvillov izrek, sta posledici zgornjega izreka za poljubno mnogokrat odvedljive funkcije (izrek 1.8).. Izrek 1.9 (Cauchyjeva neenakost) [2] Naj bo D ⊆ C poljubno območje, f : D → C holomorfna funkcija na D, z0 ∈ D in B = {z ∈ C ; |z − z0 | < R} ⊆ D (funkcija f je zvezna na B, ki je zaprta in omejena, torej kompaktna, zato je tudi sama omejena; obstaja M > 0, da za vsak z ∈ B velja |f (z)| ≤ M ). Tedaj za vsak n ∈ N velja |f (n) (z0 )| ≤. n!M . Rn.
(20) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 10. Dokaz. Naj bo z0 ∈ D. Po Cauchyjevi formuli iz izreka 1.8 za vsak n ∈ N velja. |f. (n). Z. n! (z0 )| = 2πi. n! f (ξ) dξ = n+1 (ξ − z0 ) 2π|i|. ∂B. n! = 2π. Z. |f (ξ)| n! ds ≤ n+1 |ξ − z0 | 2π. n!M 2πRn+1. n! f (ξ) dξ ≤ n+1 (ξ − z0 ) 2π. ∂B. ∂B. =. Z. Z. ds =. f (ξ) ds (ξ − z)n+1. ∂B. Z. M n!M ds = n+1 |ξ − z0 | 2π. ∂B. Z. Z. 1 Rn+1. ds. ∂B. n!M n!M · 2πR = n . n+1 2πR R. ∂B. Izrek 1.10 (Liouvillov izrek) [2] Naj bo f cela, omejena funkcija. Potem je f konstantna funkcija. Torej, če povemo drugače, vsaka holomorfna funkcija f , za katero obstaja neko pozitivno število M , da za poljuben z ∈ C velja |f (z)| < M , je konstantna. Dokaz.. Ker je f omejena na C, obstaja M > 0, da za vsak z ∈ C velja |f (z)| ≤ M .. Za poljuben krog s središčem z in radijem R, K(z, R), kjer je R > 0, lahko uporabimo Cauchyjevo neenakost iz izreka 1.9: |f (n) (z)| ≤ Za n = 1 dobimo |f 0 (z)| ≤. M R.. n!M , za vsak n ∈ N. Rn. Ker je funkcija f cela, je definirana na celotni kompleksni. ravnini C, zato lahko radij R poljubno povečamo. Sledi, da je |f 0 (z)| = 0 oziroma f 0 (z) = 0. Zato za vsak z ∈ C velja f (z) = C, kjer je C konstanta. Liouvillov izrek predstavlja še enega izmed pomembnejših izrekov kompleksne analize, saj iz njega sledijo številne uporabne posledice. K njegovi uporabi se bomo vrnili v zadnjem poglavju magistrskega dela, ko bo ključnega pomena pri dokazovanju osnovnega izreka algebre. Sedaj pa podajmo še nekaj definicij in izrekov, ki bodo imeli pomembno vlogo pri dokazovanju principa največje absolutne vrednosti v naslednjem poglavju. Naj bo f : D ⊆ C → C. Množica ničel funkcije f je definirana kot Z(f ) = {z ∈ D ; f (z) = 0}..
(21) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 11. Točka x ∈ D je mejna točka množice Z(f ) ⊆ D, če ni niti notranja niti zunanja. Torej za poljuben r > 0 krog D(x, r) vsebuje vsaj eno točko iz Z(f ) in vsaj eno točko iz Z(f )C . Lema 1.11 [2] Naj bo funkcija f holomorfna na D in naj bo L množica mejnih točk (imenovane tudi akumulacijske točke) množice ničel Z(f ) v D. Potem je množica L hkrati odprta in zaprta v D. Izrek 1.12 (izrek o identiteti) [2] Naj bo f holomorfna na odprti povezani množici D. Potem je funkcija f bodisi enaka 0 na D bodisi množica Z(f ) nima nobene mejne točke v D. Posledično velja, da če sta f in g holomorfni na odprti povezani množici D in velja enakost f = g na neki neprazni odprti podmnožici D, potem je f = g povsod na D. Izrek 1.13 (Rouchéjev izrek) [7] Naj bosta f in g holomorfni funkciji na nekem območju D. Če za vsak z ∈ ∂D velja |g(z)| < |f (z)|, potem imata funkciji f in f + g enako število ničel (kjer je vsaka ničla šteta tolikokrat, kot je njena kratnost). Omenimo še enega izmed izrekov, ki ga bomo potrebovali pri dokazovanju principa največje absolutne vrednosti in sicer izrek o odprti preslikavi. Definicija 1.14 Preslikava f : D ⊆ C → C je odprta, če je slika poljubne odprte množice E ⊆ D odprta množica. Pravzaprav lahko na princip absolutne vrednosti alternativno gledamo kot na poseben primer izreka o odprti preslikavi, saj če funkcija |f | doseže pri z lokalni maksimum, potem slika dovolj majhne odprte okolice točke z ne more biti odprta. Zato je funkcija f konstantna. Izrek 1.15 (Izrek o odprti preslikavi) [19] Naj bo f nekonstantna holomorfna funkcija na povezanem območju D ⊂ C. Potem je f odprta. Dokaz.. Naj bo U odprta podmnožica kompleksne ravnine in f : U → C nekonstantna. holomorfna funkcija. Pokazati moramo, da je vsaka točka iz f (U ) notranja. Povedano drugače, vsaka točka iz f (U ) ima okolico (odprti krog), ki je tudi sama v f (U ). Izberimo poljuben w0 ∈ f (U ). Potem obstaja nek z0 ∈ U , da velja w0 = f (z0 ). Ker je U odprta, obstaja nek r > 0, da je zaprti krog B s središčem z0 in radijem r v celoti vsebovan v U . Definirajmo funkcijo g(z) = f (z) − w0 ,.
(22) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 12. kjer je z0 ničla funkcije f . Vemo, da je funkcija g holomorfna in nekonstantna. Po izreku o identiteti 1.12, so ničle funkcije g izolirane. Če postopoma zmanjšujemo radij r krožnice B, lahko zagotovimo, da ima funkcija g v B eno samo ničlo (ki je lahko večkratna). Rob kroga B je kompaktna množica na kateri je |g| pozitivna, zvezna funkcija in zato zagotovo obstaja pozitivni minimum e = min{|g(z)| ; z ∈ ∂B}. Naj bo D odprti krog s središčem w0 in radijem e. Po Rouchéjevem izreku 1.13 bo funkcija g imela enako število ničel (z njihovo kratnostjo) v B, kot funkcija h s predpisom h(z) = f (z) − w1 , kjer je w1 ∈ D. To velja, ker lahko predpis funkcije h zapišemo kot h(z) = g(z) + (w0 − w1 ) in ker za vsak z ∈ ∂B velja |g(z)| ≥ e > |w0 − w1 |. Torej za vsak w1 ∈ D obstaja nek z1 ∈ B, da velja f (z1 ) = w1 , kar pomeni, da je krog D vsebovan v sliki kroga B. Slika kroga B je podmnožica slike množice U , zato je w0 točka v notranjosti f (U ). Ker pa je bila w0 ∈ f (U ) poljubno izbrana točka, je f (U ) odprta. Še več, ker je tudi U bila poljubna množica, sledi da je funkcija f odprta. V zadnjem poglavju magistrskega dela bomo potrebovali definicijo konveksne in logaritemsko konveksne funkcije, kjer bomo pokazali njihovo povezavo s holomorfnimi funkcijami. Definirajmo najprej konveksno funkcijo in konveksno množico. Naj bo [a, b] zaprti interval, kjer sta a, b ∈ R in f : [a, b] → R funkcija. Funkcija f je konveksna, če za poljubni točki x1 , x2 ∈ [a, b] in vsak t ∈ [0, 1] velja f (tx2 + (1 − t)x1 ) ≤ tf (x2 ) + (1 − t)f (x1 ). Podmnožica A kompleksne ravnine C pa je konveksna, če za poljubni točki z, w ∈ A in vsak t ∈ [0, 1] velja (tz + (1 − t)w) ∈ A. Torej, množica A je konveksna, ko za poljubni dve točki iz A tudi daljica med njima v celoti leži v A. Kakšna pa je povezava med konveksnimi funkcijami in konveksnimi množicami? Funkcija je konveksna natanko tedaj, ko je del ravnine, ki leži nad grafom funkcije, konve-.
(23) 1.1 Osnovne definicije in izreki kompleksne analize. 13. ksna množica. Torej, funkcija f : [a, b] → R je konveksna, če je konveksna množica A = {(x, y) ; a ≤ x ≤ b za f (x) ≤ y}. Pravzaprav nas bodo najbolj zanimale funkcije, ki niso samo konveksne, ampak so logaritemsko konveksne, torej nas bo zanimala konveksnost funkcije ln f (x). Seveda bo v tem primeru moralo za vsak x veljati f (x) > 0. Vse logaritemsko konveksne funkcije so konveksne, obrat trditve pa ne velja. Primer funkcije, ki je konveksna, ni pa logaritemsko konveksna, je funkcija f : R → R s predpisom f (x) = x2 . Funkcija f je konveksna, njena logaritemska funkcija s predpisom g(x) = ln x2 pa je konkavna. Pri dokazovanju nekaterih izrekov s pomočjo principa največje absolutne vrednosti pa bomo potrebovali še naslednje definicije. V kompleksni analizi pogosto naletimo na funkcije, ki postanejo neskončne, ko se spremenljivka približuje neki dani točki. Za ta namen bomo vpeljali pojem razširjene kompleksne ravnine, z oznako C∞ = C ∪ {∞}. Naj bo funkcija f : D → C in a ∈ D ali a = ∞. Potem je limes superior funkcije f , ko gre z proti a, definiran kot lim sup f (z) = lim sup{f (z) ; z ∈ D ∩ B(a, r)}.. z→a. r↓0. Podobno je limes inferior funkcije f , ko gre z proti a, definiran kot lim inf f (z) = lim inf{f (z) ; z ∈ D ∩ B(a, r)}.. z→a. r↓0. Iz definicije sledi, da lim f (z) obstaja in je enaka α, če je α = lim sup f (z) = lim inf f (z). z→a. z→a. z→a. Oznako za rob množice smo že vpeljali, sedaj pa definirajmo še razširjen rob množice. Naj bo D ⊂ C, potem z ∂∞ D označimo rob D v C∞ in ga imenujemo razširjen rob D. Če je D omejena, je ∂∞ D = ∂D, če pa D ni omejena, pa je ∂∞ D = ∂D ∪ {∞}.. Naj bo D ⊆ C. Množica E je okolica množice D natanko tedaj, ko je okolica vseh točk iz množice D. Oziroma, množica E je okolica množice D natanko tedaj, ko je D podmnožica notranjosti množice E. Pri algebraičnem dokazu principa največje absolutne vrednosti bomo potrebovali naslednjo trditev o holomorfnih funkcijah..
(24) 1.2 Osnovne definicije in izreki algebre. 14. Izrek 1.16 [8] Če je funkcija f holomorfna na okolici D, potem je f limita polinomov na D.. Pravzaprav, če je funkcija holomorfna na okolici zaprtega kroga, jo lahko zapišemo kot potenčno vrsto na nekem večjem krogu in ta vrsta konvergira enakomerno na zaprtem krogu.. 1.2. Osnovne definicije in izreki algebre. V drugem poglavju magistrskega dela bomo, za namen dokaza principa največje absolutne vrednosti, potrebovali še nekaj algebraičnih definicij, lastnosti in izrekov. Enotska matrika je matrika velikosti n × n, katere diagonalni elementi so enaki 1, povsod drugod pa so ničle: 1 0 ··· 0 1 · · · . . I = .. .. . . . 0 0 · · ·. 0 0. . 0 0 .. .. . . . 1 0 0 1. 0 0 ···. Naj bo A poljubna matrika velikosti m × n. Transponirano matriko AT matrike A dobimo tako, da vrstice matrike A zapišemo v stolpce matrike AT . Torej je transponirana matrika matrike A velikosti n × m. Matrika A, velikosti n × n, je obrnljiva, če obstaja matrika A−1 , velikosti n × n, da velja AA−1 = A−1 A = I. Matriko A−1 imenujemo inverzna matrika matrike A. Matrika D, velikosti m×n, je diagonalna, če so vsi njeni elementi, razen tistih na diagonali, ničelni. Diagonalno matriko D lahko zapišemo kot d1 0 0 d2 . .. D = .. . 0 0 0 0. . ···. 0. 0. ··· .. .. 0 .. .. ···. dn−1. ···. 0. 0 .. = diag(d1 , d2 , ..., dn ). . 0 dn.
(25) 1.2 Osnovne definicije in izreki algebre. 15. Unitarna matrika U je kompleksna matrika za katero velja U † U = U U † = I, kjer je I enotska matrika velikosti n×n, U † pa konjugirana in transponirana matrika matrike U. Matriki A in B, velikosti n × n, sta unitarno ekvivalentni, če obstaja taka unitarna matrika U , da velja B = U † AU. Velja, da je vsaka unitarna matrika unitarno ekvivalentna neki diagonalni matriki D, katere vsi diagonalni elementi imajo absolutno vrednost enako ena. Naj bo A kompleksna matrika velikosti n × n. Matrika A je diagonalizabilna, ko je podobna diagonalni matriki. To pomeni, da mora obstajati taka obrnljiva matrika P , da je matrika P −1 AP diagonalna matrika. Pri tem je P tako imenovana prehodna matrika. Postopek pretvorbe matrike v diagonalno matriko imenujemo diagonalizacija.. Naj bo x element iz Cn , torej oblike x = (x1 , x2 , ..., xn ). Njegova Evklidska norma je definirana kot ||x|| =. p |x1 |2 + |x2 |2 + ... + |xn |2 .. Naj bo A matrika velikosti m × n. Njena operatorska norma je definirana kot ||A|| = sup ||Ax||. ||x||=1. Osnovne lastnosti operatorske norme: 1. za poljubni matriki A in B velja ||AB|| ≤ ||A|| · ||B||, 2. če je D = diag(d1 , d2 , ..., dn ), je ||D|| = max{|di | ; i = 1, . . . , n}, 3. če je A unitarno ekvivalentna B, je ||A|| = ||B||..
(26) Poglavje 2 Princip največje absolutne vrednosti V drugem poglavju magistrskega dela bomo predstavili številne oblike principa največje absolutne vrednosti in vsak izrek tudi dokazali s pomočjo definicij in izrekov iz prejšnjega poglavja. Predstavili bomo tudi Gaussov izrek o srednji vrednosti in z uporabo le-tega podali še en dokaz principa največje absolutne vrednosti. Nato bomo princip dokazali še na nekoliko presenetljiv način in sicer s pomočjo linearne algebre. Za konec bomo omenili še principu največje absolutne vrednosti analogen rezultat, princip najmanjše absolutne vrednosti.. 2.1. Pomen principa največje absolutne vrednosti. Princip največje absolutne vrednosti pove, da če je f nekonstantna holomorfna funkcija, potem absolutna vrednost |f | ne more doseči lokalnega maksimuma znotraj definicijskega območja (domene) D ⊆ C funkcije f . Ali drugače, konstantne funkcije so edine holomorfne funkcije na območju D, katerih absolutne vrednosti imajo lokalni maksimum na množici D.. 16.
(27) 2.2 Gaussov izrek o srednji vrednosti. 17. Za boljšo predstavo pomena principa, si oglejmo sliko 2.1 ([22]).. Slika 2.1: Enotski krog (modra barva) in njegova slika s funkcijo | cos z| (rdeča barva). Na sliki je z modro barvo prikazan enotski krog s središčem v izhodišču, rdeči graf pa predstavlja sliko funkcije | cos z|. Rdeči graf dobimo tako, da točke iz modrega območja preslikamo s funkcijo | cos z|. Vidimo, da princip največje absolutne vrednosti velja, saj največja absolutna vrednost ni dosežena v notranjosti rdečega kroga, ampak le na njegovem robu. Princip največje absolutne vrednosti je eden izmed najbolj uporabnih splošnih izrekov v teoriji kompleksnih funkcij. Formuliramo in dokažemo ga lahko na veliko različnih načinov, kar bomo prikazali v nadaljevanju. Preden podamo izreke in se lotimo njihovega dokazovanja, si v posebnem razdelku oglejmo Gaussov izrek o srednji vrednosti, ki ga bomo v nadaljevanju uporabili pri dokazu principa največje absolutne vrednosti.. 2.2. Gaussov izrek o srednji vrednosti. Podajmo in izpeljimo Gaussov izrek o srednji vredosti, ki sledi iz Cauchyjeve integralske formule 1.7..
(28) 2.2 Gaussov izrek o srednji vrednosti. 18. Izrek 2.1 (Gaussov izrek o srednji vrednosti) [2] Naj bo f holomorfna funkcija na zaprtem krogu D ∈ C, s središčem a in radijem r. Potem velja Z2π. 1 f (a) = 2π. f (a + reiϕ ) dϕ.. 0. Ta formula pove, da je vrednost holomorfne funkcije v središču kroga enaka povprečju vrednosti na njegovem robu, pri pogoju, da je krog, podan z neenačbo |z − a| ≤ r, vsebovan v območju holomorfnosti. Dokaz. Ker je f holomorfna funkcija, lahko uporabimo Cauchyjevo integralsko formulo iz izreka 1.7:. Z. 1 f (a) = 2πi. f (z) dz. (z − a). ∂D. Ker je ∂D krožnica s središčem a in radijem r, lahko njeno enačbo zapišemo kot z = a+reiϕ , kjer je ϕ ∈ [0, 2π]. Enačbo krožnice vstavimo v zgornji integral in upoštevamo, da je dz = ireiϕ dϕ: 1 f (a) = 2πi. Z2π. f (a + reiϕ )ireiϕ 1 dϕ = iϕ re 2π. 0. Z2π. f(a + reiϕ ) dϕ.. 0. Lema 2.2 Naj bo f holomorfna funkcija na zaprtem krogu D ∈ C, s središčem a in radijem r. Potem velja Z2π. 1 |f (a)| ≤ 2π. |f (a + reiϕ )| dϕ.. 0. Dokaz. Vzemimo integralsko enačbo iz izreka 2.1, na katero delujemo z absolutno vrednostjo: 1 |f (a)| = 2π. Z2π. 1 f (a + re )dϕ = 2π iϕ. Z. 0. 0. 2π. 1 f (a + re )dϕ ≤ 2π iϕ. Z2π. |f (a + reiϕ )|dϕ.. 0. Sedaj imamo vse potrebno, da se lahko lotimo dokazovanja principa največje absolutne vrednosti. Zapišimo splošno obliko izreka..
(29) 2.2 Gaussov izrek o srednji vrednosti. 19. Izrek 2.3 (Princip največje absolutne vrednosti) [17] Naj bo f nekonstantna holomorfna funkcija na omejenem območju D ∈ C. Potem funkcija |f | zavzame največjo vrednost na robu območja D. Povedano drugače, če funkcija |f | doseže največjo vrednost na točki, ki ne leži na robu D, potem je funkcija f konstantna na D. Dokaz.. Dokaz principa največje absolutne vrednosti s pomočjo izreka 2.1 bomo doka-. zali v dveh korakih. V prvem koraku bomo predpostavili, da je območje D zaprti krog in da se največja absolutna vrednost pojavi na sredini tega kroga D. V drugem koraku pa bomo za D vzeli poljubno območje in v njegovi notranjosti konstruirali kroge, ki jih bomo ustrezno “zlepili” tako, da bomo pokazali, da je funkcija f konstantna na celotnem območju D. 1. korak Naj bo D zaprti krog in naj bo največja absolutna vrednost funkcije f zavzeta v središču kroga D, ki ga označimo z z0 . Torej za vsak z ∈ D velja |f (z)| ≤ |f (z0 )|. Ker je z0 točka v notranjosti D, obstaja krog C, s središčem v z0 in radijem r, ki je v celoti vsebovan v D. Po lemi 2.2 je 1 |f (z0 )| ≤ 2π. Z2π. |f (z0 + reiϕ )| dϕ.. 0. Uporabimo še predpostavko |f (z)| ≤ |f (z0 )|, ki velja za vsak z ∈ D, in dobimo 1 2π. Z2π. 1 |f (z0 + re )| dϕ ≤ 2π iϕ. 0. Z2π |f (z0 )| dϕ = |f (z0 )|. 0. Če združimo obe neenakosti, dobimo enakost 1 2π. Z2π. 1 |f (z0 )| dϕ = 2π. 0. Z2π. |f (z0 + reiϕ )| dϕ. 0. in če ju še odštejemo, dobimo 1 2π. Z2π. |f (z0 )| − |f (z0 + reiϕ )| dϕ = 0.. 0. Ker je integrand nenegativen in zvezen, je zgornji integral lahko enak nič le v primeru, ko je integrand enak nič. Sledi, da je |f (z0 )| − |f (z0 + reiϕ )| = 0 oziroma |f (z0 )| = |f (z0 + reiϕ )|..
(30) 2.2 Gaussov izrek o srednji vrednosti. 20. Ker pa smo radij r izbrali poljubno, za vsak z ∈ D velja |f (z0 )| = |f (z)|. Torej smo dokazali, da je funkcija f konstantna.. 2. korak Naj bo D poljubna odprta in povezana množica in f holomorfna funkcija na D. Predpostavimo, da funkcija doseže največjo absolutno vrednost nekje v notranjosti D, na primer v točki z0 . Naj bo w poljubna točka iz D, ki ni enaka z0 . Potem obstaja pot od z0 do w, ki je v celoti vsebovana v D. Še več, to pot lahko opišemo s končno poligonsko črto (lomljenko), ki je sestavljena iz končno mnogo zaporednih poti, ki povezujejo zaporedne točke z0 , z1 , . . . , zn = w. Za vsak i ∈ {1, . . . , n} naj bo Li daljica med točkama zi−1 in zi . Naj bo manjše izmed naslednjih dveh števil: najkrajša razdalja od poligonske črte do roba D, ali 1. Če bo poligonska črta zelo blizu roba množice D bomo za vzeli najkrajšo razdaljo od poligonske črte do roba, če pa poligonska črta ne bo blizu roba, pa poljubno omejimo, npr. z 1. Nobena izmed točk pa ne bo ležala na robu množice D, ker je D odprta. Sedaj razdelimo poligonsko črto z0 , z1 , . . . , w na novo poligonsko črto z0 = z00 , z10 , . . . , zn0 = w0 = w, kjer je vsak L0i dolžine manjše ali enake 2 . Želene dolžine dobimo tako, da vsako daljico iz originalne poligonske črte razdelimo na ustrezno mnogo delov tako, da so njihove dolžine dovolj majhne. Sedaj okoli vsake točke zi0 narišemo krog z radijem in ga označimo z Di . V 1. koraku smo videli, da če je največja absolutna vrednost dosežena v središču kroga z00 , je f (z00 ) = f (z) za vsako točko z ∈ D0 . Iz definicije druge poligonske črte sledi, da je tudi točka z10 v D0 . Torej je tudi v točki z10 dosežena največja absolutna vrednost in velja f (z10 ) = f (z) za vsako točko z iz D1 . Postopek ponovimo za vsako točko in dobimo, da je f (z00 ) = f (w0 ). Ker pa je bila w0 = w poljubno izbrana točka, sledi, da je f (z00 ) = f (w) za vsak w ∈ D. Torej, če funkcija f doseže največjo absolutno vrednost v notranjosti množice D, je konstantna. Iz tega sledi, da poljubna nekonstantna holomorfna funkcija doseže največjo absolutno vrednost le na robu množice..
(31) 2.3 Različne oblike principa. 2.3. 21. Različne oblike principa. Oglejmo si različne oblike principa največje absolutne vrednosti in njihove dokaze. Dokazi izrekov bodo zelo raznoliki, saj jih bomo dokazovali na analitičen način, s pomočjo topoloških lastnosti preslikav, z uporabo izreka o odprti preslikavi, Gaussovim izrekom, ipd. Večina izrekov in dokazov v tem poglavju je povzeta po virih [1, 2, 3, 4, 7]. Izrek 2.4 (prva oblika) [7] Naj bo funkcija f holomorfna na območju D ⊂ C in K krog s središčem v točki a ∈ D in radijem r > 0, vsebovan v D. Potem po Cauchyjevi oceni velja |f (a)| ≤ max |f (z)|. |z−a|=r. Enakost v izreku velja natanko tedaj, ko je f konstantna funkcija. Izrek izpeljemo podobno, kot smo že naredili v prejšnjem razdelku in sicer iz Cauchyjevega izreka 1.7 z oceno absolutne vrednosti. Iz zgornjega izreka pa sledi naslednja oblika principa. Izrek 2.5 (druga oblika) [7] Naj bo f nekonstantna in holomorfna funkcija na območju D. Potem funkcija |f | nima maksimuma na D. Torej ne obstaja nobena točka z0 ∈ D, da bi za vsak z ∈ D veljalo |f (z)| ≤ |f (z0 )|. Dokaz. Naj bo w0 = f (z0 ) slika poljubne vrednosti z0 ∈ D in izberimo poljuben > 0. Potem obstaja neka okolica točke w0 , podana z neenačbo |w − w0 | < , ki je v celoti vsebovana v sliki območja D. Ampak, v tej okolici so točke, katerih absolutna vrednost funkcije f je večja od |w0 | in zato |f (z0 )| ne more biti maksimum absolutne vrednosti funkcije f . Na začetku pa smo za z0 izbrali poljubno točko iz D, torej maksimum ni dosežen na celotnem območju D.. Izrek 2.6 (tretja oblika) [1] Naj bo f holomorfna na zaprti in omejeni množici D. Potem je največja absolutna vrednost funkcije |f | dosežena na robu množice D. Oziroma, če je največja vrednost funkcije |f | dosežena v neki točki, ki ni na robu D, je funkcija f konstantna na D.. Dokaz. Množica D je zaprta in omejena, torej kompaktna v C. To pomeni, da funkcija |f | zavzame maksimum na D. Očitno je, da če je f konstantna funkcija, je izrek izpolnjen (maksimum je zavzet v vseh točkah). Recimo, da f ni konstantna funkcija in je maksimum njene absolutne vrednosti dosežen.
(32) 2.3 Različne oblike principa. 22. v neki točki z0 , ki leži v notranjosti množice D. Ampak, potem bi |f (z0 )| bil maksimum funkcije |f | na neki okolici točke z0 , podani z neenačbo |z − z0 | < δ, ki je vsebovana v D. To pa ni mogoče, razen če je funkcija f konstantna na tej okolici in poslednično povsod na definicijskem območju (funkcija je holomorfna na D, če je definirana in holomorfna na območju, ki vsebuje D), kar pa je v protislovju s začetno predpostavko. Torej je največja absolutna vrednost funkcije f dosežena na robu D. Vidimo, da je najbolj naravna uporaba zgornjega izreka v primeru, ko je D zaprta množica (absolutna vrednost holomorfne funkcije na zaprti množici doseže maksimum na robu te množice). Kot zanimivost pa omenimo, da lahko te pogoje tudi omilimo. Namreč, dovolj je, da predpostavimo zveznost funkcije f na zaprtem območju in njeno holomorfnost na odprtem območju. Zveznost na zaprtem omejenem območju nam zagotavlja obstoj maksimuma, iz holomorfnosti na odprtem območju pa sledi, da maksimum ne more biti dosežen v notranjih točkah območja, razen če je funkcija f konstantna. Zapišimo in dokažimo sedaj obliko principa, ki je velikokrat poimenovana kot lokalna oblika principa največje absolutne vrednosti. Izrek 2.7 (lokalna oblika) [3] Naj bo D ∈ C odprta in povezana podmnožica kompleksne ravnine in f holomorfna funkcija. Če je z0 ∈ D taka točka, da za vsak z iz njene okolice velja |f (z0 )| ≥ |f (z)|, potem je funkcija f konstantna na D. Dokaz.. Lokalno obliko principa največje absolutne vrednosti bomo ponovno dokazali z. uporabo Gaussovega izreka o srednji vrednosti in oceno njegove absolutne vrednosti. Torej je 1 |f (a)| ≤ 2πi. Z2π. 1 |f (a + re )|dϕ ≤ 2πi iϕ. 0. od koder sledi. Z2π |f (a)|dϕ = |f (a)|, 0. Z2π (|f (a)| − |f (a + reiϕ )|)dϕ = 0. 0. Integrand je zvezen (ker je funkcija f holomorfna) in večji ali enak 0 (po predpostavki). Torej je enak 0 in sledi, da je |f | konstantna funkcija. Naj bo f = u + iv in |f |2 = u2 + v 2 = c2 , kjer je c neka konstanta. Odvajamo absolutno vrednost funkcije po x in po y ter dobimo 2uux + 2vvx = 0 in 2uuy + 2vvy = 0..
(33) 2.3 Različne oblike principa. 23. Sedaj uporabimo Cauchy-Riemannov izrek 1.2: uux − vuy = 0 in uuy + vux = 0. Prvo enačbo pomnožimo z u, drugo pa z v in ju seštejemo: (u2 + v 2 )ux = 0 oz. c2 ux = 0. Če je c = 0, je funkcija f konstantna in enaka 0. Če pa c 6= 0, sta ux = 0 in uy = 0. Torej je u konstantna funkcija in podobno je tudi v konstantna funkcija. Iz tega sledi, da je funkcija f = u + iv konstantna. Dokažimo to obliko še na drug način in sicer z uporabo izreka o odprti preslikavi. Preden pa se lotimo samega dokaza, naredimo še razmislek. Naj bo Ω neka podmnožica kompleksne ravnine in z α označimo točko iz notranjosti množice Ω. Izberimo poljubno pozitivno število r, tako da bo krog s središčem α in radijem r vsebovan v Ω. Sledi, da obstaja neka točka ξ ∈ Ω, za katero velja |ξ| > |α|. Ali če povemo drugače, če je α točka iz Ω za katero za vsak ξ ∈ Ω velja |α| ≥ |ξ|, potem α leži na robu množice Ω. Dokaz.. Naj bo Ω = f (D) in α = f (a). Po predpostavki izreka je |α| ≥ |ξ| za vsak. ξ ∈ Ω. Enako, kot v zgornjem razmisleku, je α ∈ ∂Ω ∩ Ω, zato množica Ω ne more biti odprta (ker bi v tem primeru bil presek roba in notranjosti prazna množica). Torej je po izreku o odprti preslikavi funkcija f konstantna.. Izrek 2.8 (četrta oblika) [3] Naj bo D omejena in odprta podmnožica kompleksne ravnine in funkcija f zvezna na D in holomorfna na D. Potem je max{|f (z)| ; z ∈ D} = max{|f (z)| ; z ∈ D}. Dokaz. Ker je območje D omejeno, obstaja točka a ∈ D za katero za vsak z ∈ D velja |f (a)| ≥ |f (z)|. Če je funkcija f konstantna, izrek drži, če pa funkcija f ni konstantna, pa izrek sledi iz lokalne oblike principa 2.7.. Izrek 2.9 (peta oblika) [3] Naj bo D omejena in odprta podmnožica kompleksne ravnine in funkcija f holomorfna na D. Recimo, da obstaja konstanta M ≥ 0 za katero za vsak a ∈ ∂∞ D velja lim sup |f (z)| ≤ M.. z→a.
(34) 2.3 Različne oblike principa. 24. Potem za poljuben z ∈ D velja |f (z)| ≤ M. Dokaz.. Naj bo δ > 0 poljubna konstanta in H = {z ∈ D ; |f (z)| > M + δ}. Izrek bo. dokazan, če dokažemo, da je H prazna množica. Ker je funkcija |f | zvezna, je množica H odprta in ker za vsak a ∈ ∂∞ D velja lim sup |f (z)| ≤ z→a. M , obstaja krogla B(a, r), da za vsak z ∈ D ∩ B(a, r) velja |f (z)| < M + δ, torej je H ⊂ D. Ker pa to velja tudi če je D neomejena in a = ∞, sledi, da je H omejena, torej je H kompaktna in velja četrta oblika principa največje absolutne vrednosti 2.8. Ampak za z ∈ ∂H je |f (z)| = M + δ, ker je H ⊂ {z ; |f (z)| ≥ M + δ}. Torej je funkcija f konstantna iz česar sledi, da je množica H (glede na njeno definicijo) prazna. V prvem poglavju smo že omenili, da za holomorfno funkcijo velja, da sta njeni realni in imaginarni del harmonični funkciji, torej lahko princip največje absolutne vrednosti zapišemo tudi za harmonične funkcije. Nekonstantna harmonična funkcija lahko doseže svoj maksimum le na robu območja na katerem je harmonična. Omenimo še izrek o identiteti za harmonične funkcije, ki pravi, da če je u harmonična funkcija na območju D in omejena na nekem krogu K ⊂ D, kjer je konstantna, potem je konstantna tudi na D. Obstaja pa tudi tako imenovana stroga oblika principa največje absolutne vrednosti za harmonične funkcije, ki pravi, da če je u omejena harmonična funkcija na območju D in za vsak z ∈ D velja |u(z)| ≤ M in |u(z0 )| = M za nek z0 ∈ D, potem je funkcija u konstantna na D. Zapišimo sedaj še splošno obliko izreka. Izrek 2.10 (Princip največje absolutne vrednosti za harmonične funkcije) [2] Naj bo D ∈ C omejeno območje in u harmonična funkcija na D, ki je zvezna na množici D in naj za vsak z ∈ ∂D velja |u(z)| ≤ M . Potem za vsak z ∈ D velja, da je u(z) ≤ M , torej funkcija u doseže največjo absolutno vrednost na množici ∂D. Dokaz izreka sloni na dejstvu, da zvezna funkcija na kompaktni množici zavzame največjo in najmanjšo vrednost, maksimum in minimum. V našem primeru je kompaktna množica unija D in njenega roba, kar je zaprta in omejena množica. Vemo, da če harmonična funkcija doseže največjo absolutno vrednost v neki točki iz D, potem je konstantna. Torej največjo absolutno vrednost vedno doseže na robu ∂D.. Sedaj že vemo, da princip največje absolutne vrednosti ni enolično določen, ampak predstavlja zbirko tesno povezanih rezultatov. V nadaljevanju bomo zbrali štiri že omenjene,.
(35) 2.3 Različne oblike principa. 25. ampak drugače formulirane, verzije principa največje absolutne vrednosti. Dokaze teh izrekov bomo izpustili, saj smo jih že podali. Naj bo funkcija f holomorfna na odprti povezani množici D ⊆ C. 1. Če absolutna vrednost funkcije f (|f |) v neki točki z0 ∈ D zavzame lokalni maksimum, potem je funkcija f konstantna na D. 2. Če je λ = sup{|f (z)| ; z ∈ D}, potem bodisi za vsak z ∈ D velja |f (z)| < λ bodisi je f konstantna na D. 3. Če je D omejeno območje in M ≥ 0 tak, da je lim sup |f (z)| ≤ M. n→∞. za vsako zaporedje {zn } iz D, ki konvergira k robni točki območja D, potem za vsak z ∈ D velja |f (z)| < M , ali pa je f konstantna na D. 4. Naj bo D omejeno območje, kjer je funkcija f zvezna na množici D. Naj bo M0 = max{|f (z)| ; z ∈ ∂D}. Potem za vsak z ∈ D velja |f (z)| < M0 , ali pa je f konstantna na D. Posledično velja max{|f (z)| ; z ∈ D} = max{|f (z)| ; z ∈ ∂D}. Vidimo, da točka (1) implicira točko (2), ki implicira (3), iz točke (3) pa sledi točka (4). Sedaj pa razmislimo, ali velja obratni vrstni red implikacij. Če funkcija f zadošča izreku (2), ne zadošča nujno tudi (1), saj funkcija |f | na D zavzame zgolj supremum. Če f zadošča (3), potem f zadošča (2), saj izberemo M = λ. Torej sta izreka ekvivalentna. Če je D omejena množica in funkcija f zvezna na D, potem (4) implicira (2) in velja, da so izreki (2), (3) in (4) ekvivalentni. Saj, če je točka z0 ∈ ∂D, za katero velja |f (z0 )| = M0 = max{|f (z)| ; z ∈ ∂D}, obstaja zaporedje {zn } ∈ D, ki konvergira k robni točki z0 , zn → z0 , in zato gre |f (zn )| → |f (z0 )|. Torej je λ = sup{|f (z)| ; z ∈ D} ≥ M0 ..
(36) 2.4 Dokaz s pomočjo linearne algebre. 26. Če pa velja |f | < M0 na D, potem je na D tudi |f | < λ.. 2.4. Dokaz s pomočjo linearne algebre. Običajno se princip največje absolutne vrednosti dokazuje s Cauchyjevo integralsko formulo, izrekom o odpri preslikavi, Gaussovim izrekom o srednji vrednosti in s pomočjo ostalih podobnih izrekov. Sedaj pa bomo princip največje absolutne vrednosti dokazali s pomočjo linearne algebre. Dokazati želimo naslednjo verzijo principa največje absolutne vrednosti. Izrek 2.11 [8] Naj bo f holomorfna funkcija na okolici enotskega zaprtega kroga D = {z ∈ C ; |z| ≤ 1}. Potem je max|f (z)| = max |f (z)|. z∈∂D. z∈D. Dokaz. Najprej princip dokažimo za polinome. Naj bo n stopnja polinoma f in z ∈ D p poljubna točka. Dokazati moramo, da je |f (z)| ≤ max|f (z)|. Naj bo s = 1 − |z|2 in U ∂D. unitarna matrika velikosti (n + 1) × (n + 1): z 0 ··· s 0 · · · U = 0 1 · · · . . . . . .. . . 0 0 ···. 0. s. . 0 −z 0 0 . .. .. . . 1 0. Naj bo P stolpična matrika dimenzije (n + 1) × 1, ki ima v prvi vrstici vrednost 1, povsod drugod pa ničle: 1 0 P = 0 . . . . 0 Potem za vsak k = 1, . . . , n velja z k = P T U k P, kjer je P T transponirana matrika matrike P . Ker je stopnja polinoma f enaka n, velja f (z) = P T f (U )P..
(37) 2.4 Dokaz s pomočjo linearne algebre. 27. Iz definicije operatorske norme sledi, da je ||P || = ||P T || = 1 in če uporabimo lastnost norme 1, dobimo |f (z)| ≤ ||f (U )||. Ker velja, da je vsaka unitarna matrika unitarno ekvivalentna diagonalni matriki, je matrika U unitarno ekvivalentna matriki diag(w1 , ..., wn+1 ), kjer so absoultne vrednosti vseh diagonalnih elementov enake 1. Torej je f (diag(w1 , ..., wn+1 )) = diag(f (w1 ), ..., f (wn+1 )) in če uporabimo še lastnosti 2 in 3 operatorske norme, dobimo ||f (U )|| = ||diag(f (w1 ), ..., f (wn+1 ))|| =. max |f (wi )| ≤ max|f |.. 1≤i≤n+1. ∂D. Če združimo oba iz lastnosti operatorske norme dobljena rezultata, je izrek 2.11 dokazan za polinome. Sedaj pa izrek dokažimo še za poljubno funkcijo f .. Predpostavimo, da je funkcija f. holomorfna na okolici enotskega zaprtega kroga D = {z ∈ C ; |z| ≤ 1}.. Naj bo še. > 0. Po trditvi 1.16 o holomorfnih funkcijah, obstaja nek polinom p, za katerega velja sup|f (z) − p(z)| < . Torej je D. max|f (z)| ≤ max|p(z)| + max|f (z) − p(z)| ≤ max|p(z)| + ≤ max|f (z)| + 2, D. D. iz česar sledi trditev izreka 2.11.. D. ∂D. ∂D.
(38) 2.5 Princip najmanjše absolutne vrednosti. 2.5. 28. Princip najmanjše absolutne vrednosti. Analogno principu največje absolutne vrednosti pa lahko definiramo princip najmanjše absolutne vrednosti, ki pove, da če je f : D → C holomorfna funkcija, ki je neničelna v vseh točkah, in D omejena množica, potem |f (z)| zavzame minimalno vrednost na robu množice D. Izrek 2.12 (Princip najmanjše absolutne vrednosti) Naj bo f holomorfna in nekonstantna funkcija na omejeni podmnožici D kompleksne ravnine. Potem |f (z)| zavzame minimalno vrednost ali v ničli funkcije f ali pa na robu množice D. Dokaz. Če ima funkcija f ničlo na D, potem ima |f | v tej točki minimum. Če pa funkcija f nima ničle v D, uporabimo princip največje absolutne vrednosti na funkciji. 1 f..
(39) Poglavje 3 Uporaba principa največje absolutne vrednosti Omenili smo že široko področje uporabe principa največje absolutne vredosti. Zelo uporaben je pri dokazovanju številnih matematičnih izrekov, kot tudi pri reševanju matematičnih in fizikalnih problemov. V prvem razdelku tega poglavja bomo predstavili in dokazali matematične izreke s pomočjo principa največje absolutne vrednosti, v drugem razdelku podali še fizikalno interpretacijo principa, nato pa si v tretjem razdelku ogledali primer uporabe principa na matematičnem zgledu.. 3.1. Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. Princip največje absolutne vrednosti lahko uporabimo pri dokazovanju naslednjih izrekov: • osnovnega izreka algebre, • Schwarzove leme, • Phragmén–Lindelöfovega principa, • Borel–Carathéodoryjevega izreka, • Hadamardovega izreka o treh premicah in treh krožnicah.. 29.
(40) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 3.1.1. 30. Osnovni izrek algebre. Osnovni izrek algebre pravi, da ima vsak nekonstanten polinom s kompleksnimi koeficienti vsaj eno kompleksno ničlo. Najprej bomo izrek dokazali brez uporabe principa največje vrednosti, nato pa bomo dokaz ponovili še z uporabo principa. Izrek 3.1 (Osnovni izrek algebre) [2] Naj bo p(z) = cn z n + cn−1 z n−1 + ... + c0 nekonstanten polinom s kompleksnimi koeficienti, kjer za vodilni koeficient cn velja cn 6= 0. Sledi, da ima polinom p vsaj eno kompleksno ničlo. Osnovni izrek algebre lahko dokažemo na več načinov. Njegov dokaz je možen s pomočjo kompleksne analize, topologije, algebre ali geometrije. V nadaljevanju bomo s pomočjo kompleksne analize prikazali le dva izmed možnih dokazov izreka. V prvem poglavju smo že omenili in dokazali Liouvillov izrek 1.10, ki ga bomo sedaj uporabili pri dokazovanju osnovnega izreka algebre. Dokaz. (S pomočjo Liovillovega izreka) Denimo, da obstaja polinom p : C → C, ki nima kompleksne ničle, p(z) = cn z n + cn−1 z n−1 + . . . + c2 z 2 + c1 z + c0 , kjer so vsi koeficienti ci kompleksna števila (i ∈ {0, . . . , n}), cn 6= 0 in n ≥ 1. Definirajmo novo funkcijo f : C → C s predpisom f (z) =. 1 p(z) .. Ker polinom p nima ničel, je funkcija f holomorfna na C oziroma je cela funkcija. Pokažimo, da je funkcija f omejena: f (z) =. =. |f (z)| = ≤. zn. + cn−1. z n (cn. cn−1 z. cn. |z n | |z|n. +. cn +. z n−1. 1 + ... +. cn−1 z. |cn | −. 1 + . . . + c2 z 2 + c1 z + c0. 1 + ... +. | cn−1 z |. +. c2 z n−2. c1 z n−1. +. +. c1 z n−1. c0 zn ). +. c0 zn. 1 . c1 c2 − . . . − | z n−2 | − | z n−1 | − | zcn0 |. Za z → ∞, je |z| → ∞ in dobimo lim |f (z)| = 0. z→∞. c2 z n−2.
(41) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 31. Torej obstaja nek krog K(z0 , R), da bo za vsak z ∈ C, z lastnostjo |z| > R, veljalo |f (z)| ≤ 1. Ker pa je K(z0 , R) kompaktna množica, je funkcija f omejena tudi na njej. Zato je f omejena povsod na C in po Liouvillovem izreku 1.10 velja, da je f konstantna funkcija. Ker je f konstantna, sledi, da je tudi polinom p konstanten, kar je v protislovju z začetno predpostavko.. Dokaz. (Z uporabo principa največje absolutne vrednosti) Naj bo p : C → C polinom s predpisom p(z) = cn z n + cn−1 z n−1 + . . . + c2 z 2 + c1 z + c0 , kjer so vsi koeficienti ci kompleksna števila (i ∈ {0, . . . , n}), cn 6= 0 in n ≥ 1. Naj bo D zaprti krog s središčem v izhodišču in radijem r. Izberimo radij r tako, da bo za vsak |z| ≥ r veljalo |p(z)| = |z|n cn +. cn−1 c0 cn + . . . + n ≥ |z|n > |c0 |. z z 2. Ker je D kompaktna množica, obstaja minimum absolutne vrednosti |p(z)| na D, ki ga označimo z a ≥ 0. Naj bo z0 ∈ D točka, v kateri je dosežen minimum, torej |p(z0 )| = a. Za vsak z, ki leži na robu D, je |p(z)| > |c0 | ≥ a. Torej je minimum dosežen v neki točki iz notranjosti D, ne pa v točki na njegovem robu. Denimo, da a 6= 0. Torej polinom p ni nikoli enak nič in zato je funkcija f , s predpisom f (z) =. 1 p(z). holomorfna. Odprti krog s središčem v izhodišču in radijem r je odprta pod-. množica kompleksne ravnine in. 1 a. je lokalni maksimum funkcije |f |. Po principu največje. absolutne vrednosti je funkcija |f | konstantna. Torej je tudi polinom |p| konstanten, kar pa je v protislovju z začetno predpostavko, da je p polinom stopnje vsaj ena, kar pomeni, da ne more biti konstanten. Sledi, da je a = 0 in p(z0 ) = 0. Povedano drugače, z0 je ničla polinoma p.. 3.1.2. Schwarzova lema. Schwarzova lema govori o holomorfnih preslikavah, ki slikajo iz odprtega kroga nase. Lema je ključnega pomena pri dokazovanju Riemannovega izreka o preslikavah in je eden izmed najpreprostejših rezultatov, ki zajemajo rigoroznost holomorfnih funkcij..
(42) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 32. Izrek 3.2 (Schwarzova lema) [2] Naj bo D = {z ; |z| < 1} odprti krog v kompleksni ravnini in f : D → C holomorfna funkcija za katero velja f (0) = 0 in |f (z)| ≤ 1 na D. Potem za poljuben z ∈ D velja |f (z)| ≤ |z| in |f 0 (0)| ≤ 1. Če pa v lemi 3.2 za nek z 6= 0 veljata enakosti |f (z)| = |z| in |f 0 (0)| = 1, je za vsak z ∈ D f (z) = az, kjer je a ∈ C in |a| = 1. Geometrijsko funkcija f s predpisom f (z) = az predstavlja razteg in zasuk kompleksnega števila z. Naj bo f (z) = az, kjer sta a, z ∈ C. Zapišimo z in a v polarni obliki: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), a = q(cos ψ + i sin ψ). Če sedaj vstavimo a in z v funkcijo f , dobimo f (z) = az = rq(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)). Torej vidimo, da funkcija f res raztegne in zasuka kompleksno število z glede na izhodišče. Dokaz.. Schwarzovo lemo dokažemo z enostavno uporabo principa največje absolutne. vrednosti na funkciji g podani s predpisom. g(z) =. f (z) ; z. če z 6= 0. f 0 (0) ;. če z = 0. ,. ki je holomorfna na celi množici D in tudi v izhodišču. Naj bo D(0, r) = {z ; |z| ≤ r} zaprti krog s središčem v izhodišču in radijem r. Potem princip največje absolutne vrednosti pove, da za r < 1 in za poljuben z ∈ D(0, r) obstaja zr na robu D(0, r), tako da velja |g(z)| ≤ |g(zr )| = Ko gre r → 1 dobimo |g(z)| ≤ 1. Torej je. |f (z)| |z|. 1 |f (zr )| ≤ . |zr | r. ≤ 1 in za vsak z ∈ D velja. |f (z)| ≤ |z|..
(43) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 33. Sedaj pa se lotimo še drugega dela dokaza in si oglejmo odvod funkcije f : f (z) − f (0) f (z) = lim . z→0 z→0 z z−0. f 0 (0) = lim Sledi, da je. |f 0 (0)| = lim. z→0. |f (z)| ≤ 1. |z|. Če pa za nek neničelni z ∈ D velja |f (z)| = |z| ali |f 0 (0)| = 1, je |g(z)| = 1 za neko točko z iz D. Torej je po principu največje absolutne vrednosti g konstantna funkcija (npr. enaka a): g(z) =. f (z) =a z. in velja, da je |a| = 1. Iz tega sledi, da je f (z) = az.. 3.1.3. Phragmén–Lindelöfov princip. Phragmén–Lindelöfov princip uporablja pomožno parametrizirano funkcijo za dokazovanje omejenosti holomorfne funkcije f : D → C na neomejeni množici D, z dodatnim pogojem, ki omejuje rast funkcije |f | na D. Pri izreku gre za posplošitev principa največje absolutne vrednosti, ki se uporablja le za omejene množice. Po principu največje absolutne vrednosti že vemo, da je absolutna vrednost holomorfne funkcije f v notranjosti omejenega območja omejena z njeno absolutno vrednostjo na robu tega območja. Natančneje, če je nekonstantna funkcija f : C → C holomorfna na omejenem območju D in zvezna na njegovem zaprtju D, za vsak z0 ∈ D velja |f (z0 )| < sup |f (z)|. z∈∂D. Še več, ker je D kompaktna in |f | zvezna, obstaja nek w0 ∈ ∂D za katerega velja |f (w0 )| = sup |f (z)|. z∈∂D. V nadaljevanju bomo potrebovali definiciji poltraka in traka, ki ju podajmo na tem mestu. Množico P = {z = x + yi ; −a ≤ y ≤ a in x ≥ b (ali x ≤ b), a, b ∈ R} imenujemo poltrak, množico T = {z = x + yi ; −a ≤ y ≤ a, a ∈ R} pa imenujemo (cel) trak. Princip največje absolutne vrednosti praviloma uporabljamo le za holomorfne funkcije definirane na omejenih območjih. V primeru, ko imamo opravka z neomejenimi območji, ki premorejo rob (takšna območja so npr. traki in poltraki) je lahko funkcija omejena za vre-.
(44) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 34. dnosti na robu, medtem, ko je pri preostalih vrednostih definicijskega območja neomejena. Za lažje razumevanje si oglejmo konkretni primer. z. Zgled. Naj bo f (z) = ee . Izračunajmo absolutno vrednost funkcije f : x+yi. ee. x+yi ). = eRe(e. x ·cos y. = ee. .. Za nek y = Im(z) z lastnostjo cos(y) > 0 je funkcija neomejena, ko gre x = Re(z) → ∞. Po drugi strani pa je funkcija omejena, ko je cos(y) = 0. Torej je na traku, podanem z neenakostjo − π2 ≤ y ≤. π 2,. funkcija f omejena na njegovem robu (za y = − π2 in y =. π 2 ),. medtem, ko je v notranjosti traku neomejena, ko gre x → ∞. Iz zgleda je razvidno, da je potreben dodaten pogoj, ki omejuje rast funkcije |f | in s katerim omejenost funkcije f na robu razširimo na celotno območje. Torej bomo (ob dodatnem pogoju) z uporabo Phragmén–Lindelöfovega principa pokazali, da omejenost funkcije f na robu območja pravzaprav pomeni, da je funkcija omejena na celotnem območju. S tem razširimo princip največje absolutne vrednosti na neomejena območja. Naj bo f holomorfna funkcija na neomejenem območju S. Ponavadi, ko uporabljamo Phragmén–Lindelöfov princip, izberemo nek multiplikativni faktor h (lim h = 1), ki upočasni →0. naraščanje funkcije f , tako da velja |f h | < M (kjer je M neka konstanta) na robu nekega omejenega območja Sx0 ⊂ S. Sedaj lahko uporabimo princip največje absolutne vrednosti na funkciji f h in vidimo, da je omejena na Sx0 . Območje Sx0 lahko razširimo tako, da bo vsebovalo vse točke iz S, torej dobimo omejenost f h na območju S. Sedaj pošljemo → 0, iz česar sledi f h → f . Zaključimo lahko, da je funkcija f omejena na S. Izrek 3.3 (Phragmén–Lindelöfov izrek) [3] Naj bo D enostavno povezano območje in f : D → C holomorfna funkcija. Denimo, da obstaja povsod definirana, omejena holomorfna funkcija w : D → C, za katero za vsak z ∈ D velja |w(z)| ≤ 1. Naj bo M neka konstanta in ∂∞ D = A ∪ B, tako da velja • za vsak a ∈ A je lim sup |f (z)| ≤ M, z→a. • za vsak b ∈ B in > 0 je lim sup |w(z)| |f (z)| ≤ M. z→b. Potem za poljuben z ∈ D velja |f (z)| ≤ M ..
(45) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 35. Dokaz. Definirajmo funkcijo F : D → C s predpisom F (z) = w(z) f (z). Ker w 6= 0, lahko z uporabo logaritmiranja dobimo w(z) = e ln(w(z)) , ki je dobro definirana holomorfna funkcija. Iz predpostavk izreka 3.3 sledi, da za vsak z0 ∈ ∂D velja lim sup |F (z)| ≤ M.. z→z0. Sedaj uporabimo princip največje absolutne vrednosti in dobimo, da je |F (z)| ≤ M za vsak z ∈ D. Torej za poljuben z ∈ D velja |f (z)| ≤ |w(z)|− M. Ker pa je > 0 poljuben, ga lahko pošljemo proti 0 ( → 0) in dobimo, da je za vsak z ∈ D, |F (z)| ≤ M.. Izrek 3.4 (Phragmén–Lindelöfov izrek za poltrak) [21] Naj bo f holomorfna funkcija na poltraku. n o π π z = x + yi ; − ≤ y ≤ in x ≥ 0 . 2 2. Če za neko konstanto 0 ≤ C < 1 velja |f (z)| < ee. C·Rez. ,. potem iz tega, da je absolutna vrednost funkcije f manjša ali enaka 1 povsod na robovih poltraku, sledi, da je |f (z)| ≤ 1 tudi v notranjosti poltraku. Dodatni pogoj, ki omejuje rast funkcije na enem izmed robov, zagotavlja omejenost funkcije tudi na celotnem traku. Dokaz.. Dokaz izreka poteka z uporabo principa največje absolutne vrednosti. Najprej. izberimo poljuben D, tak, da je C < D < 1. Za > 0 je funkcija s predpisom Fe (z) =. f (z) e·eD·z. omejena z 1 na robovih poltraku, v notranjosti traku pa gre proti 0, ko gre x → ∞ za nek fiksen > 0. Torej je na pravokotniku, ki je podan z množico n o π π z = x + yi ; − ≤ y ≤ in 0 ≤ x ≤ T 2 2.
(46) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 36. za dovolj velik T > 0, ki je odvisen od , funkcija Fe omejena z 1 na njegovem robu. Običajni princip največje absolutne vrednosti pravi, da je Fe omejena z 1 povsod. Torej za poljuben > 0 in za vsak fiksen z0 , ki leži v notranjosti poltraku, velja D·Re(z0 ). |f (z0 )| ≤ e·e. .. Če pada proti nič ( ↓ 0), dobimo |f (z0 )| ≤ 1. z. Izreke za trake drugačnih širin lahko dobimo z uporabo funkcije s predpisom f (z) = ec·e , kjer je c poljubna konstanta. Izrek 3.5 (Phragmén–Lindelöfov izrek za cel trak) [21] Naj bo f holomorfna funkcija na celem traku. n πo π . z = x + yi ; − ≤ y ≤ 2 2. Če je za neko konstanto 0 ≤ C < 1, cosh C·Re(z). |f (z)| < ee. ,. potem iz tega, da je absolutna vrednost funkcije f manjša ali enaka 1 povsod na robovih tega traku, sledi, da je |f (z)| ≤ 1 tudi v notranjosti tega traku. Dokaz izreka poteka podobno kot dokaz za poltrak, s to razliko, da funkcijo Fe definiramo s predpisom Fe (z) =. f (z) , e·cosh D·z. ki je omejena z 1 na robovih traku, v notranjosti traku pa. gre proti 0, ko gre x → ±∞ za nek fiksen > 0.. 3.1.4. Borel–Carathéodoryjev izrek. Pri Borel–Carathéodoryjevem izreku gre za uporabo principa največje absolutne vrednosti v smislu omejenosti realnega dela holomorfne funkcije. Izrek 3.6 [15] Naj bo funkcija f holomorfna na omejenem krogu s središčem v izhodišču in radijem R. Naj velja, da je 0 < r < R. Potem je kf kr ≤. R+r 2r sup Re f (z) + |f (0)|, R − r |z|≤R R−r. kjer kf k predstavlja največjo vrednost funkcije f na zaprtem krogu, kf kr = max |f (z)| = max |f (z)|. |z|≤r. |z|=r.
(47) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 37. Zadnja enakost v izreku sledi iz principa največje absolutne vrednosti. Dokaz.. Naj bo A(R) = sup Re(f (z)) in naj velja f (0) = 0. Ker je Re(f ) harmonična, |z|≤R. vzemimo A(R) > A(0) = 0. Definirajmo funkcijo ϕ s predpisom ϕ(z) =. f (z) , 2A(R) − f (z). ki je holomorfna na zaprtem krogu, ki je podan z neenakostjo |z| ≤ R, in velja ϕ(0) = 0. Naj bo f = u + iv. Ker je −2A(R) + u ≤ u ≤ 2A(R) − u, velja |ϕ(z)|2 =. u2 + v 2 ≤ 1. (2A(R) − u)2 + v 2. Sedaj uporabimo Schwarzovo lemo 3.2, |ϕ(z)| ≤ in dobimo |f (z)| =. r , R. 2A(R)ϕ(z) 2A(R)r ≤ , 1 + ϕ(z) R−r. kar zaključi dokaz. Sedaj pa vzemimo primer, ko f (0) 6= 0. V tem primeru zgoraj dobljeni rezultat namesto na f (z) uporabimo na f (z) − f (0) in dobimo |f (z) − f (0)| ≤ in |f (z)| ≤. 3.1.5. 2r 2r sup Re(f (z) − f (0)) ≤ (A(R) + |f (0)|) R − r |z|≤R R−r. 2r 2r R+r (A(R) + |f (0)|) + |f (0)| = A(R) + |f (0)|. R−r R−r R−r. Hadamardov izrek o treh premicah. Hadamardov izrek o treh premicah govori o obnašanju holomorfnih funkcij, ki so definirane na območjih omejenih z vzporednimi premicami v kompleksni ravnini..
(48) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 38. Izrek 3.7 (Hadamardov izrek o treh premicah) [11] Naj bo f omejena funkcija kompleksne spremenljivke z = x + yi, x, y ∈ R, ki je definirana na območju P = {x + iy ; a < x < b}. Naj bo funkcija f holomorfna in zvezna na P . Definirajmo M : [a, b] → R kot M (x) = sup|f (x + iy)|. y∈R. Potem je funkcija ln M (x) konveksna na zaprtem intervalu [a, b].. Preden se lotimo dokaza izreka, opomnimo, da konveksnost funkcije ln M pomeni, da za poljubne vrednosti a ≤ x < u < y ≤ b velja (y − x) ln M (u) ≤ (y − u) ln M (x) + (u − x) ln M (y). Upoštevamo pravila za računanje z logaritmi in enačbo preoblikujemo: M (u)(y−x) ≤ M (x)(y−u) M (y)(u−x) . Ker je funkcija ln M konveksna, velja še, da je omejena z max{ln M (a), ln M (b)}. Torej za vsak x ∈ [a, b] velja M (x) ≤ max{M (a), M (b)}. Iz zgornjih rezultatov sledi, da če sta funkcija f in množica P definirani kot v izreku 3.7, kjer f ni konstantna funkcija, za vsak z ∈ P velja |f (z)| < sup |f (w)|. w∈∂P. Torej lahko izrek 3.7 z drugimi besedami zapišemo, da če je x = ta+(1−t)b, kjer je t ∈ [0, 1], potem velja M (x) ≤ M (a)t M (b)1−t . Za dokaz izreka 3.7 bomo potrebovali še pomožno trditev, ki jo bomo tudi dokazali. Lema 3.8 Naj bo f omejena funkcija kompleksne spremenljivke z = x + yi, x, y ∈ R, ki je definirana na območju P = {x + iy ; a < x < b}. Naj bo funkcija f holomorfna in zvezna na P in naj za vsak z ∈ ∂P velja še |f (z)| ≤ 1. Potem za vsak z ∈ P velja |f (z)| ≤ 1. Dokaz. Za poljuben > 0 in z = x + yi ∈ P definirajmo g (z) = (1 + (z − a))−1 . Potem velja |g (z)| ≤ (Re(1 + (z − a)))−1 = (1 + (x − a))−1 ≤ 1..
(49) 3.1 Dokazovanje s pomočjo principa največje absolutne vrednosti. 39. Torej za z ∈ ∂P velja |f (z)g (z)| ≤ 1 in ker je funkcija f omejena (npr. s konstanto B) in definirana na območju P , je |f (z)g (z)| ≤ B(1 + (x − a))−1 ≤ B(|Im(z)|)−1 . Naj bo R = {x + yi ; a ≤ x ≤ b, |y| ≤. B }.. Potem iz prejšnje neenakosti za poljuben z ∈ ∂R. dobimo |f (z)g (z)| ≤ 1. Sedaj uporabimo princip največje absolutne vrednosti in sledi, da je za vsak z ∈ R, |f (z)g (z)| ≤ 1. Ker pa smo izbrali poljubno, ga lahko zmanjšamo ( ↓ 0) in je izrek dokazan. Če pa je |y| >. B ,. je |f (z)g (z)| ≤ 1 in za vsak z ∈ P velja |f (z)| ≤ |1 + (z − a)|.. Želen rezultat sledi, ko poljubno zmanjšamo ( ↓ 0). Dokaz. (izreka 3.7) Da dokažemo izrek, moramo za poljuben u ∈ (a, b) dokazati M (u)(b−a) ≤ M (a)(b−u) M (b)(u−a) . Naj bo A > 0 poljubna konstanta in funkcija Az , ki jo z logaritmiranjem preoblikujemo v ez ln A , cela funkcija brez ničel. Definirajmo funkcijo g s predpisom b−z. z−a. g(z) = M (a) b−a M (b) b−a , ki je cela in povsod definirana. Ker je |Az | = ARe(z) , za z = x + yi, velja b−x. x−a. |g(z)| = M (a) b−a M (b) b−a . Predpostavimo, da M (a) in M (b) nista enaka 0 (če bi bila, bi funkcija f bila enaka 0). Ker je funkcija |g| zvezna za vsak x ∈ [a, b] in povsod definirana, obstaja inverz |g|−1 , ki je omejena funkcija na območju P . Velja še |g(a + yi)| = M (a) in |g(b + yi)| = M (b), tako da za vsak z ∈ ∂P velja f (z) ≤ 1. g(z).
Related documents
Because community colleges typically serve students representing a wide diversity of ages, community college leaders and faculty must understand the impact of generational
Other sebaceous gland functions are also associated with the development of acne, including sebaceous proinflammatory lipids; different cytokines produced locally;
The goal of our approach is to generate a complete and cor- rect natural language representation of an arbitrary SPARQL query, where completeness means in this context that we aim
For example, chemical treatments and other prac- tices used to prevent fungi and insects in unseasoned wood often are designed to protect logs during pro- cessing and construction
For older people with dementia living in the community, estimated average annual costs of secondary health care are higher in the first year after diagnosis of dementia than
relies upon the contents of this report does so acknowledging that the following clauses, which define the Scope and Limitations of the inspection, form an integral part of the
In this paper, we forecast EU-area inflation with many predictors using time-varying parameter models. The facts that time-varying parameter models are parameter-rich and the time
