Kong, Maynard - Investigación de operaciones. Programación Lineal. Problemas....pdf

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(1)0$<1$5'.21*. ,19(67,*$&,Ð1 '(23(5$&,21(6 3URJUDPDFLyQOLQHDO_3UREOHPDVGHWUDQVSRUWH_$QiOLVLVGHUHGHV.

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(3) Investigación de operaciones Programación lineal Problemas de transporte Análisis de redes.

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(5) Maynard Kong. Investigación de operaciones Programación lineal Problemas de transporte Análisis de redes.

(6) Investigación de operaciones Programación lineal - Problemas de transporte - Análisis de redes Maynard Kong © Maynard Kong, 2010 De esta edición: © Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, 2010 Av. Universitaria 1801, Lima 32, Perú Teléfono: (51 1) 626-2650 Fax: (51 1) 626-2913 feditor@pucp.edu.pe www.pucp.edu.pe/publicaciones Diseño, diagramación, corrección de estilo y cuidado de la edición: Fondo Editorial PUCP Primera edición: abril de 2010 Tiraje: 500 ejemplares Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2010-03265 ISBN: 978-9972-42-921-7 Registro del Proyecto Editorial: 31501361000223 Impreso en Tarea Asociación Gráfica Educativa Pasaje María Auxiliadora 156, Lima 5, Perú.

(7) Índice. Capítulo 1. Introducción 1.1. Aplicaciones 1.2. Problema de optimización 1.3. Propiedades y ejemplos 1.4. Programación matemática 1.5. Modelo de programación matemática 1.6. Problemas resueltos. 11 11 12 12 17 19 22. Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal 2.1. Formulación del problema de Programación Lineal 2.2. Solución geométrica de problemas con dos variables de decisión 2.3. Problemas propuestos 2.4. Forma estándar del problema de Programación Lineal 2.5. Restricciones equivalentes de la forma estándar 2.6. Variables básicas y soluciones básicas factibles 2.7. Problemas propuestos. 31 31 34 37 41 46 48 53. Capítulo 3. El método del símplex 3.1. Conceptos básicos del método del símplex 3.2. Forma tabular del problema estándar 3.3. Criterios del símplex. Caso máximo. 57 57 64 66.

(8) 3.4. Problema de minimización 3.5. Problemas propuestos. 67 70. Capítulo 4. Método del símplex: variables artificiales. Convergencia del algoritmo 4.1. Variables artificiales 4.2. Problemas propuestos 4.3. Convergencia del algoritmo del símplex 4.4. Métodos para evitar ciclos: regla de Blands y perturbación 4.5. Problemas propuestos. 73 73 80 83 86 93. Capítulo 5. Problema dual 5.1. Definición del problema dual 5.2. Formas típicas de problemas duales 5.3. Reglas para hallar el problema dual 5.4. Problemas propuestos 5.5. Propiedades del problema dual 5.6. Problemas propuestos 5.7. Vector dual de una solución básica factible. 95 95 100 102 104 106 112 114. Capítulo . Análisis de sensibilidad post óptimo 6.1. Introducción 6.2. Pasos del análisis 6.3. Programa ejemplo 6.4. Variación de un costo fijando la solución óptima 6.5. Variación del lado derecho de una restricción fijando las variables básicas 6.6. Inclusión de variable 6.7. Inclusión de restricción 6.8. Dualidad y análisis de sensibilidad 6.9. Costos reducidos y asignación de valores a variables no básicas 6.10. Matriz de operaciones en la tabla final 6.11. Problemas resueltos. 123 123 123 124 125 127 129 131 133 136 137 140.

(9) Capítulo 7. Problemas de transporte y asignación 7.1. Introducción 7.2. Problema de transporte balanceado 7.3. Método del símplex simplificado 7.4. Problemas propuestos 7.5. Problema de transbordo 7.6. Problema de asignación 7.7. Problemas propuestos. 153 153 155 156 174 177 181 192. Capítulo . Análisis de redes 8.1. Introducción 8.2. Rutas en una red 8.3. Problema de ruta óptima 8.4. Problemas propuestos 8.5. Problema de flujo máximo 8.6. Problemas propuestos 8.7. Programación de proyectos 8.8. Problemas propuestos. 197 197 199 200 203 206 213 216 235. Índice alfabético. 241.

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(12) Capítulo 1 Introducción. En este capítulo se introducen los conceptos básicos de la investigación de operaciones. Se define el problema de optimización y se presenta el modelo matemático de la programación matemática. La investigación de operaciones trata el estudio y despliegue de métodos científicos para usar eficazmente los recursos. Tales métodos comprenden modelos matemáticos —y estadísticos— y diversos algoritmos que sirven para tomar decisiones en problemas relacionados con la planificación, coordinación y ejecución de operaciones en las organizaciones.. 1.1 Aplicaciones Mencionamos algunas aplicaciones de la investigación de operaciones: • Problemas de asignación de recursos materiales y servicios: productos, mano de obra, tareas • Procesos de planificación de personal, etapas de producción • Administración de flujos de materias primas a través de cadenas de suministros • Planificación de rutas, redes de telecomunicación • Refinamiento y mezcla de sustancias o componentes, por ejemplo, petróleo • Selección de portafolios de acciones y bonos.

(13) Maynard Kong. 1.2 Problema de optimización El problema general de optimización consiste en determinar el valor óptimo (valor máximo o valor mínimo) que una función asume sobre los elementos de un conjunto dado. De modo preciso, dados un conjunto ; y una función que asigna a cada [ de ;un valor numérico I [

(14) , se desea, para el caso de máximo, encontrar [ de ; que cumpla la condición: . . I [

(15) dI [

(16) para todo [ de ;. y para el caso de mínimo: un [1 de ;que cumpla I [

(17) dI [

(18) para todo [de ; En forma abreviada se escribe I [

(19) 0D[I [

(20) I [

(21) 0LQI [

(22) Los elementos del conjunto ; representan los recursos del problema y I [

(23) puede ser considerado como el valor del recurso [, por ejemplo, es un costo, un tiempo, una cantidad de producción, etc. A la función I [

(24) se le denomina función objetivo. Frecuentemente, el conjunto ; se especifica mediante: condiciones —a las que se llama restricciones— que determinan sus elementos • algoritmos o reglas que describen cómo obtener elementos de ;. Véanse los ejemplos 1, 3 y 4. Es posible que el problema no tenga soluciones, porque el conjunto ;no tiene elementos o porque la función I [

(25) no puede tomar un valor máximo o mínimo.. 1.3 Propiedades y ejemplos Se cumplen las siguientes propiedades 1) 0D[ I [

(26) F

(27) 0D[I [

(28) F Fes una constante 2) 0D[ DI [

(29)

(30) D0D[I [

(31) Des una constante positiva 12.

(32) Capítulo 1. Introducción. 3) 0LQ EI [

(33)

(34) E0D[I [

(35) Ees una constante negativa 4) 0LQI [

(36) 0D[ I [

(37)

(38) 5) 0D[I [

(39) 0LQ I [

(40)

(41) si existen los valores óptimos de los segundos miembros. Las propiedades 4) y 5) se suelen aplicar a menudo para convertir un problema de minimización en uno de maximización y viceversa. Por ejemplo, de manera explícita, según 4) para encontrar el valor mínimo de I [

(42) : • se halla el valor máximo de la función I [

(43) , por ejemplo I [

(44) • luego se le cambia de signo, y resulta así que I [

(45) es el valor mínimo buscado. A continuación se desarrollan algunos ejemplos sencillos relativos a problemas de optimización Ejemplo 1. Un problema de mezcla Se desea producir una bebida mezclando jugos o zumos de naranja, toronja y mandarina. Los costos de los jugos son , y por litro, respectivamente. Se requiere que la bebida tenga al menos el de toronja y no más del de naranja. Formule el problema de optimización para obtener una mezcla de bebida cuyo costo sea mínimo. Solución Sean Q,Wy P, las cantidades de naranja, toronja y mandarina, en litros, para obtener un litro de mezcla de bebida. Luego, los costos de cada componente son Q, W y P, respectivamente, y el costo de la bebida es & Q W P El problema consiste en obtener el valor mínimo de &. Falta precisar las condiciones sobre las cantidades de jugos. Estas son: 1) las tres cantidades suman un litro: Q W P 13. .

(46) Maynard Kong. 2) la cantidad de toronja al menos es de un litro: Wt 3) la cantidad de naranja no excede el de un litro: Qd y 4) las tres cantidades son evidentemente no negativas: Q,Wy Pt Así, el conjunto ; sobre el cual &queda definida es ; todos los (QWP) tales que. QWP . Wt Qd Q,W Pt. Finalmente, el problema de optimización es Minimizar & QWPsobre el conjunto;. Ejemplo 2. Solución óptima del ejemplo 1 por simple inspección Resuelva el problema de optimización del ejemplo 1, esto es, halle el costo mínimo de un litro de mezcla de bebida. Solución El problema es encontrar el valor mínimo de & Q W P en donde QWy P cumplen las condiciones . QWP Qd Wt Q,W Pt. Observamos que Q, Wy P son menores o iguales a El costo & será menor si se toma la menor cantidad del jugo más caro, que corresponde al de toronja; asíW, que varía entre y , debe tomar su menor valor W Y también &será menor si se toma la mayor cantidad posible Qdel jugo de naranja, pues es el más barato, y como Qse encuentra entre y ha de tomarseQ . 14.

(47) Capítulo 1. Introducción. El valor de P, que se halla entre y , es lo que falta para completar el litro de mezcla, así P Así, la bebida que da un litro de costo mínimo se obtiene mezclando litros de naranja, litros de toronja y litros de mandarina, que tiene un costo de îîî . Ejemplo 3 Sea la función I [\

(48) [\ definida en el conjunto de los puntos [\

(49) [\ números reales, que cumplen las condiciones [\ [t \t Determine los valores máximo y mínimo de I [\

(50) . Solución Reemplazando [\ en la función I [\

(51) [\ [ [\

(52) [ y de las relaciones dadas se observa que los valores de [ varían desde hasta (\ varía a la vez desde hasta ) de manera que el menor valor de [es , cuando \ es , y por eso 0D[I [\

(53) cuando [ \ . Por el mismo razonamiento se obtiene 0LQ I [ \

(54) cuando [ ,\ . Ejemplo 4 Tres máquinas 0, 0 y0 pueden realizar las tareas $, % y &. Los costos de ejecución son dados en la tabla siguiente: 0 0 0. $ . % . 15. & .

(55) Maynard Kong. ¿Cómo se deben hacer las asignaciones de las tareas de manera que cada máquina realice exactamente una de las tareas y el costo total sea el menor posible? Solución En este caso, el conjunto de recursos consiste de todas las posibles asignaciones. Los recursos del problema con sus respectivos costos son dados por $VLJQDFLRQHV XQDFROXPQD

(56) 0. $. $. %. %. &. &. 0. %. &. $. &. $. %. 0. &. %. &. $. %. $. &RVWR. . . . . . . en donde cada columna indica la forma de asignar las tareas a las máquinas, por ejemplo, la tercera columna asigna las tareas %, $, & a las máquinas 0, 0 y 0, respectivamente, y el costo respectivo es , que, como puede observarse, es en verdad el mínimo. Ejemplo 5 Pruebe que 0LQI [

(57) 0D[ I [

(58)

(59) Solución Sea I [

(60) 0LQI [

(61) . Entonces por definición de valor mínimo se tiene I [

(62) dI [

(63) para todo [ de ; o I [

(64) dI [

(65) para todo [ de ; de modo que I [

(66) es el valor máximo de I [

(67) , esto es I [

(68) 0D[ I [

(69)

(70) o 0LQI [

(71) 0D[ I [

(72)

(73) 16.

(74) Capítulo 1. Introducción. 1.4 Programación matemática Los problemas de programación matemática constituyen una parte importante de los problemas de optimización. Un programa matemático tiene la forma Maximizar (o minimizar) \ I [[[Q

(75) , sujeto a las condiciones o restricciones. J [ [Q

(76). ^ d J [ [Q

(77) ^ d. R t ` E R t ` E. J P [ [Q

(78). ^ d. R t ` EP. en donde I [[Q

(79) J [[Q

(80) JQ [[Q

(81) son funciones con valores numéricos que dependen de Q variables numéricas, [[ [Q, EEPson constantesy en cada restricción se emplea uno de los signos d Rt, lo que se indica mediante la notación ^d Rt`. El conjunto ; de definición del problema está formado por todos los [ [[Q

(82) que satisfacen todas las restricciones. A tales [ se les llama soluciones factibles del programa o del problema, y a ;, se le denomina el conjunto de soluciones factibles o región de factibilidad. Generalmente se asume que las variables [ [Q son números reales. No obstante, también se consideran programas matemáticos —llamados de programación entera— en los que las variables toman solo valores enteros. Ejemplo 1 Maximizar ] [\ sujeto a [2\2 d . 17.

(83) Maynard Kong. En este caso: ] I [\

(84) [\ J [\

(85) [\, el signo es d y la constante es E Ejemplo 2 Aplicando métodos geométricos, hallar la solución óptima del ejemplo anterior. Solución La restricción [\d determina el disco ' de radio y centro en el origen. <. DE

(86). ł. ł. \. ;. \. /. /Y. /. Sea Y un valor dado y consideremos la recta /YY [\ En la figura se grafican las rectas correspondientes a los valores de Y y . Observemos que la función objetivo I [\

(87) [\toma el valor Y sobre el disco ', si y solo si la recta /Yinterseca al disco. Esto implica que se debe considerar únicamente rectas /Yque intersequen al disco. Y por otro lado, cuando se aumenta los valores de Y, como de Y a Y , la recta /Yse desplaza en el primer cuadrante alejándose del origen. En resumen, para hallar el valor de Y, el valor máximo u óptimo,. 18.

(88) Capítulo 1. Introducción. hay que mover la recta hasta que sea tangente al círculo. El punto de tangencia 3 DE

(89) tiene pendiente , pues el radio del origen al punto 3 es perpendicular a la recta, cuya pendiente es . Así, E D y por estar en el círculo . DE , de donde D . Por tanto, la solución óptima es

(90) y el valor óptimo es I

(91) . Ejemplo 3 Minimizar sujeto a y todas las. ] [[[[ [[[[t [[d [[d [[ [Lt. Ejemplo 4 Maximizar Z [[\\] sujeto a las condiciones [\] \[d [\]t. 1.5 Modelo de programación matemática Para resolver un problema de optimización: 1. Se formula un modelo del problema mediante un programa matemático. 2. Se resuelve el programa matemático.. 19.

(92) Maynard Kong. A partir de la definición o enunciado del problema, los pasos que usualmente se aplican para la formulación o propuesta del modelo son los siguientes: • Se identifican la cantidad o variable de salida que se desea optimizar y las variables de decisión o de entrada[[[Q, de las que depende y se expresa la primera como una función matemática de las últimas. • Se determinan las condiciones, requisitos y limitaciones y se expresan mediante restricciones matemáticas que se imponen a las variables de decisión. • Se incluyen condiciones adicionales que no aparecen de manera explícita pero que deben cumplirse en el problema real, por ejemplo, si algunas variables de decisión han de tomar valores mayores que o iguales a cero, o si deben tener valores enteros. Una vez obtenido el modelo del programa matemático se procede a resolverlo aplicando los métodos y técnicas de optimización; esto es, hallar el valor óptimo, si existe, y una solución óptima, o algunos valores en los cuales las variables de decisión proporcionan el valor óptimo. Ejemplo Un establecimiento de ventas de combustible atiende las horas y tiene los siguientes requerimientos mínimos de empleados para atender a los clientes: +RUDV 1~PHURGHHPSOHDGRV. . . . . Un empleado trabaja horas consecutivas y puede ingresar al iniciarse cualquiera de los períodos indicados. Formule el modelo matemático para minimizar el menor número de empleados que se necesitan en el establecimiento.. 20.

(93) Capítulo 1. Introducción. Solución Sea. [ ... [. número de empleados que empiezan a las horas (primer período) número de empleados que empiezan a las horas (último período). Entonces Q total de empleados requeridos [[[y las restricciones para los respectivos períodos son: . [[t [[t [[t [[t [[t [[t. que toman en cuenta la suma de los empleados de dos períodos consecutivos, por ejemplo, en el primer período se tiene [ empleados que empezaron a las horas y [ empleados que empiezan a las horas. Además, hay que observar que las variables son enteras y mayores que o iguales a . Por tanto, el modelo de programación pedido es Minimizar Q [[[ sujeto a [[t [[t [[t [[t [[t [[t con todas las variables enteras y no negativas.. 21.

(94) Maynard Kong. 1.6 Problemas resueltos Problema 1 Si 0D[I [

(95) calcule a) 0D[ I [

(96)

(97) b) 0LQ I [

(98)

(99) Solución Se tiene a) 0D[ I [

(100)

(101) 0D[I [

(102) u b) 0LQ I [

(103)

(104) 0LQ I [

(105)

(106) 0D[I [

(107)

(108)

(109) Problema 2 Resuelva el problema Maximizar ] \[ sujeto a [\ [t \t Solución Despejando la variable y de la restricción [\ y reemplazándola en la función objetivo . ] \[ [

(110) [ [. Falta determinar el conjunto de valores de [: de [ \ y usando la condición \ t se obtiene [ d , por lo tanto, [ varía desde hasta , de donde resulta que ] varía de

(111) a

(112) . Luego, el mayor valor de ]es y se obtiene en [ , \ . 22.

(113) Capítulo 1. Introducción. Problema 3. Problema de la dieta Se desea mezclar cuatro alimentos de modo que el producto resultante contenga al menos unidades de proteínas, unidades de carbohidratos y unidades de grasa. La tabla siguiente contiene las cantidades nutricionales de los alimentos y el respectivo costo $OLPHQWR . 3URWHtQDV . &DUERKLGUDWRV . *UDVDV . &RVWR . Formule el modelo de programación matemática para obtener una mezcla de costo mínimo. Solución Sean [,[,[, y[, las unidades que se toman de los alimentos, respectivamente, para formar una mezcla. Luego, el costo de la mezcla es & [[[[. La cantidad de proteínas que contiene la mezcla es [[ [[, que debe ser al menos , y por lo tanto se tiene la primera restricción: . [[[[t.. Similarmente, se establecen las restricciones para los carbohidratos y grasas: . [[[[t [[[[t. y es obvio que todas las variables han de ser no negativas. Así, el modelo pedido es Minimizar & [[[[. 23.

(114) Maynard Kong. . sujeto a [[[[t [[[[t [[ [[t todos los [L t . Problema 4 Se dispone de S/. para invertirlos según los dos planes de inversión $y % que ofrecen ganancias o utilidades como se muestran en la tabla:. 8WLOLGDGGH$ 8WLOLGDGGH%. . &DQWLGDGLQYHUWLGD . Los depósitos deben hacerse en cantidades múltiplos de y se puede invertir usando una parte en cada plan. Desarrollar un modelo de programación matemático para obtener la mayor utilidad. Solución Sean D y E, en miles, las cantidades que se invierten en los planes $ y %. Entonces DEd, Dy E enteros no negativos. Las utilidades de los planes pueden expresarse mediante las funciones 8y 9 definidas por . 8

(115) . 8

(116) . 8

(117) . . 9

(118) . 9

(119) 9

(120) 9

(121) . Por tanto, el modelo requerido es Maximizar* DE

(122) 8 D

(123) 9 E

(124) sujeto a DEd D y E enteros no negativos.. 24. 8

(125) .

(126) Capítulo 1. Introducción. Problema 5 Resuelva, por simple inspección, el problema anterior. Solución Para cada valor de D ganancia:. calculamos el valor máximo de la. * DE

(127) , por ejemplo, si D , 8

(128) , 0D[ * E

(129). 0D[ ^8

(130) 9

(131) 8

(132) 9

(133) 8

(134) 9

(135) 8

(136) 9

(137) ` 0D[ ^ ` . que se obtiene en E . Procediendo de esta manera se obtienen los siguientes resultados: . 0D[* E

(138) 0D[* E

(139) 0D[* E

(140) 0D[* E

(141) . . HQE HQE HQE HQE. . La ganancia máxima es en miles, o , y se obtiene en D y E , esto es, invirtiendo en el plan $y en el plan % Problema 6. Problema de transporte Se desea transportar un producto de las fábricas $ y % a los locales y . Los costos de transporte por unidad de producto son: $ %. . . y las cantidades disponibles en $ y % son y , respectivamente, y se requieren y unidades en y , respectivamente. Determine un modelo de programación que minimice el costo total de transporte.. 25.

(142) Maynard Kong. Solución Sean D1 y D2 las cantidades que se envían desde $ a los locales, y E1, E2, similarmente para %. Según las cantidades disponibles se tiene . DD EE . y para los locales . DE DE . siendo el costo de envío & DDEE Así, el modelo del problema es Minimizar & DDEE sujeto a DD EE DE DE y todas las variables enteras y no negativas. Problema 7. Problema del corte mínimo Una fábrica de papel que produce rollos de papel $ y % de papel de y metros de ancho, respectivamente, recibe un pedido de rollos de papel, uno de 2 metros de ancho y 800 metros de longitud y otro de 5 metros de ancho y 900 metros de longitud. Suponiendo que los recortes de rollos del mismo ancho pueden ser pegados para satisfacer las longitudes requeridas, se desea determinar cómo deben recortarse los anchos de los rollos $ y % para minimizar la cantidad de papel que se pierde.. 26.

(143) Capítulo 1. Introducción. Solución Hay que considerar las distintas maneras de cortar los anchos de y en anchos de y. Para el rollo $, . î, que nos indica tres cortes de sin sobrante , que da un corte de y sobra unidad de ancho. Si D y D son las longitudes de los cortes de $, para cada caso, la cantidad sobrante es D 1D2 metros cuadrados. Puesto que se trata de minimizar las cantidades sobrantes, se omiten los casos en los cuales los cortes originan partes sobrantes con valores mayores. Y para el rollo B, . î cuatro cortes de y sobra îdos cortes deuno de cinco y sobra. de donde, designando por E y E las longitudes de los cortes en ambos casos, la cantidad sobrante es EE La cantidad total de papel sobrante es 6 D E en metros cuadrados. Los datos se muestran en la tabla: $. %. FODVH. D. D. E. E. /RQJLWXGWRWDO. DQFKR

(144) DQFKR

(145) VREUDQWH. . . . . . Las longitudes totales de los rollos producidos dan lugar a las restricciones . DDEEt, para la clase 1 D DE Et, para la clase 2. 27.

(146) Maynard Kong. Finalmente, el modelo requerido es Minimizar 6 DE sujeto a DEEt DEt y todas las variables son no negativas. Problema 8. Problema de programación de producción Un producto $ requiere dos unidades del componente % y tres unidades del componente &. Los componentes se fabrican con materias primas y , de las que se disponen y unidades, respectivamente. Se dispone de dos procesos de producción 3y 4. Una ejecución del proceso 3requiere y unidades de las materias primas y , respectivamente, y produce unidades de %y unidades de &. Y cada corrida del proceso 4 demanda y unidades de materias primas y da y unidades de % y &. Formule el modelo de programación que halle cuántas veces debe ejecutarse cada proceso para obtener el máximo de unidades del producto $. Solución Se tiene la siguiente tabla por corrida de cada proceso 3URFHVR 3 4. 0DWHULDUHTXHULGD XQLGDGHV

(147) . &RPSRQHQWHSURGXFLGR XQLGDGHV

(148) % & . Si S y T los números de veces que se ejecutan los procesos 3 y 4, respectivamente, se tiene: cantidad requerida de materia 1 STd cantidad requerida de materia 2 STd y las cantidades de componentes producidos son: 28.

(149) Capítulo 1. Introducción. S T de tipo % ST, con lo que se puede completar S T productos$ S T y de tipo &ST, que permite completar S T pro ductos $ El número 1 de productos $ resultante es el menor de estos, o sea. . 1 ST. Así, el modelo es Maximizar 1 TS sujeto a STd STd S y T enteros no negativos. Problema 9 En un terreno de hectáreas se puede cultivar arroz y frijoles. En un año bueno, la ganancia por hectárea de arroz es y la de frijoles ; en cambio, en un año malo, las ganancias son de y , respectivamente. Se dedica a cada planta no más de de hectáreas del terreno y se requiere determinar cuántas hectáreas deben cultivarse de cada producto para maximizar la ganancia total en un año bueno y asegurar que la ganancia en un año malo sea al menos de . Formule el modelo del programa. Solución Sean D y I las cantidades de hectáreas de arroz y frijoles a cultivar. Entonces D I d D d , los de Id La ganancia en un año bueno es *E DI y la de un año malo es *P D I, que debe ser al menos . 29.

(150) Maynard Kong. Por lo tanto, el modelo del problema es 0D[ *E DI sujeto a D I d D d Id DI t D y I no negativas.. 30.

(151) Capítulo 2 Introducción a la Programación Lineal. 2.1 Formulación del problema de Programación Lineal Se dice que una función numérica I [[Q

(152) , que depende de variables numéricas [[[Q, es lineal si se expresa como una suma de múltiplos de las variables I [[Q

(153) P[P[PQ[Q en donde P PPQson constantes. Por ejemplo, . I [[[[

(154) [[[[. Un problema de programación lineal (PPL) tiene la forma: Maximizar (o Minimizar) ] F[F[FQ[Q sujeto a las condiciones o restricciones D [ D [ DQ [Q ^ d t ` E D [ D [ D Q [Q. ^ d. t ` E. DL [ DL [ DLQ [Q. ^ d. t `. EL. DP [ DP [ DPQ [Q. ^ d. t ` EP.

(155) Maynard Kong. en donde [[[Q son variables, . F1, F2, ..., FQ, D11, D12, ..., Dm1, ...,Dmn, EEEP son constantes. y en cada condición se asume uno de los signos d o t. Así, tanto la función objetivo ] ] [[Q

(156) como las funciones que definen los miembros izquierdos de las condiciones o restricciones son funciones lineales de las variables de decisión [[[Q En este caso, a las constantesFFFQ de la función objetivo se les suele denominar costos o coeficientes de costos. Se llama solución factible a cualquier colección de valores [[[Q que cumplan todas las restricciones. El problema consiste en determinar el mayor ]PD[ (o menor ]PLQ) de los valores de la función objetivo ] [[[Q

(157) , evaluada sobre todas las soluciones factibles y, desde luego, indicar una solución óptima, esto es, una solución factible que produzca ese valor. Ejemplos 1. Maximizar ] [[ sujeto a [[d [[t [t El valor máximo de ] es y se obtiene en la solución óptima [ [ 2. Maximizar ] [[[ sujeto a [[[ [[[t [t [t En este caso ]PD[ en [ [ [ . 32.

(158) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. 3. Minimizar ] [[[[ sujeto a [[[[[ [2 2[4 d 5; y todas las variables t El valor óptimo es ]PLQ y se alcanza en [ [ [ [ . 4. Minimizar ] [[[[ sujeto a [[d [[[t todas las variables no negativas. En este problema el valor mínimo no existe, pues, si se asigna a las variables de decisión . . . [ [ W[ [ cualquierWt,. se comprueba que estas son soluciones factibles (cumplen todas las restricciones) en las que la función objetivo vale . . . ] ] W

(159) W. y, por lo tanto, adquiere un valor menor que cualquier número que se precise (en notación de límites: ] W

(160) tiende a f cuando W tiende a f). 5. Minimizar: ] [[[[ sujeto a [[d [[[t [t [t El problema no tiene soluciones factibles, pues las restricciones son incompatibles o inconsistentes. En efecto, de las dos últimas restricciones se obtiene la desigualdad [[tu ó [[t que contradice a la primera restricción [[d.. 33.

(161) Maynard Kong. 2.2 Solución geométrica de problemas con dos variables de decisión Los problemas de programación lineal con dos variables de decisión y un número reducido de restricciones pueden ser resueltos gráficamente por métodos geométricos sencillos utilizando un plano cartesiano cuyos ejes de coordenadas son las variables de decisión. Allí se trazan la región factible y algunas rectas asociadas a la función objetivo que permiten determinar en qué puntos esta obtiene su valor óptimo, cuando existe. Este método muestra gráficamente dos propiedades de los problemas de programación lineal: 1) el conjunto factible es un polígono, esto es, una región del plano limitada por rectas 2) si la función objetivo tiene óptimo, entonces este se alcanza en uno de los vértices del polígono. y por lo tanto para encontrar una solución óptima es suficiente calcular los vértices y evaluar la función objetivo en estos. Además, si el polígono es cerrado —sus lados forman una poligonal cerrada— la función objetivo siempre tiene valor óptimo. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento que se aplica en estos casos. Ejemplo 1 Resuelva geométricamente el problema Maximizar ] [\ sujeto a las restricciones. . (1) [\d (2) [\d (3) [\d (4) [t (5) \ t 34.

(162) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. Solución Trazamos la región factible 5 <. % [ \ . [ \ . $. 5. ] ] ]. & [ \ . ] [ \. ' . ;. 5 es el polígono cerrado con vértices los puntos $ % & ' y el origen del sistema. Se hallan los conjuntos 5 5 de puntos que satisfacen las restricciones

(163)

(164) respectivamente. Por ejemplo, para determinar 5 que corresponde a

(165) [\d se traza la recta dada por la ecuación [\ , que resulta de sustituir el signo de desigualdad por el de igualdad, y en la figura es la recta que pasa por los puntos $ y %. Esta recta divide al plano en dos semiplanos, determinados por las desigualdades [\dsemiplano inferior y [\t, semiplano superior. Para saber cuál de los semiplanos es5basta seleccionar arbitrariamente un punto fuera de la recta, y comprobar cuál de las dos desigualdades satisface. Por ejemplo, el punto

(166) satisface la primera desigualdad, que es la restricción tratada, y por lo tanto, 5es el semiplano que contiene a

(167) , o el semiplano inferior o debajo de la recta. La región factible 5 es la intersección de los semiplanos obtenidos.. 35.

(168) Maynard Kong. A continuación se analiza cómo varía la función objetivo ] [\ respecto del conjunto factible 5. Con este propósito se fija un valor constante Y y se considera la recta ] Y [\, que es el conjunto de puntos [\

(169) en los cuales la función ] vale Y. Todas las rectas así obtenidas son paralelas. Para apreciar el comportamiento de la función objetivo se trazan las rectas (paralelas) correspondientes a dos valores distintos deY. En la figura, se muestran las rectas ] [\ y ] [\. Ahora se observa que para que la función objetivo tome un valor Y se requiere que la recta asociada interseque la región poligonal 5 y además cuando Y aumenta, por ejemplo de a , la recta ] Y [\se desplaza paralelamente de izquierda a derecha. Así, por simple inspección se concluye que el valor máximo de ] se alcanza en el vértice %

(170) y por lo tanto ]PD[ Y

(171)

(172) A veces es un tanto complicado apreciar directamente cuál es el vértice de valor óptimo y en estos casos simplemente se evalúa la función objetivo en los vértices vecinos y se comparan estos valores. Ejemplo 2 Determine los valores máximo y mínimo de la función ] ] [\

(173) [\ sujeta a las restricciones del ejemplo anterior. Solución Puesto que la región factible es un polígono cerrado es suficiente evaluar la función en los vértices del polígono: . ]

(174) ]

(175) ]

(176) ]

(177) ]

(178) . . de donde ]PD[ en [ , \ , y ]PLQ en [ , \ . 36.

(179) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. 2.3 Problemas propuestos Problema 1 Resuelva por métodos geométricos el problema Maximizar ] [\ sujeto a [\d 3[ 4\d7 \t2 [\ t Halle todos los vértices del polígono de soluciones factibles. Respuesta ]PD[ en [ , \ Los vértices son

(180)

(181)

(182) \

(183) Problema 2 Resuelva gráficamente el problema Minimizar ] [ \ sujeto a [\ t [\ t [\d Respuesta ]PLQ en [ , \ Problema 3 Resuelva el problema Minimizar ] [\ sujeto a las restricciones del problema 3.. 37.

(184) Maynard Kong. Respuesta La función objetivo no tiene mínimo pues las rectas ] Y [\, paralelas a la diagonal \ [, intersecan al polígono factible para cualquier valor negativo de Y, que es lo que se observa cuando la diagonal se desplaza paralelamente de izquierda a derecha. Problema 4 El siguiente es el modelo de programación del problema , Capítulo 1, 1.6: Max *E sujeto a . DI DId Dd Id DIt D y I no negativas.. Por métodos geométricos encuentre cuántas hectáreas del terreno deben dedicarse a cada cultivo para obtener la mayor ganancia en un buen año. Respuesta I D ganancia máxima Problema 5 Resuelva el problema Maximizar [[ sujeto a [[d [d [[d [[t Respuesta Máximo. en[ [ 38. 60000.

(185) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. Problema 6 Determine el valor mínimo de ] [[ sujeto a [[tF [d [t [d [t en cada caso siguiente: a) cuando F , b) cuando F Respuesta a) F : mínimo en [ [ b) F : el problema no tiene soluciones Problema 7 Halle el valor máximo de ] [[ sujeto a [[t -10[1 [2d10 -4[1 [2d20 [1 4[2t20 [1, [2t0. Respuesta No existe valor máximo pues la función ] toma valores arbitrariamente grandes. Problema 8 Resuelva el problema Max ] ] [\

(186) mínimo ^[\[\` sujeto a las condiciones 2x -5yt-10 2x -yd6 x, yt0. 39.

(187) Maynard Kong. Indicación Este problema no tiene la forma de un problema de programación lineal pues la función objetivo no es lineal. No obstante, de la definición de la función se tiene ] ] [\

(188) [\ si [\d[\, o [\d y ] ] [\

(189) [\ si [\d[\, o [\t y por lo tanto agregando sucesivamente las restricciones [ \ d , [\t el problema se descompone en los subproblemas lineales: (P1) 0D[] [\ sujeto a [\t 2[ -\d6 [, \t0 [ -\d0 (P2) 0D[] [\ sujeto a [\t 2[ -\d6 [, \t0 [-\t0 El valor máximo del problema inicial es el máximo de los valores óptimos de estos subproblemas. Geométricamente, mediante la recta \ [, se ha dividido el polígono factible en dos subpolígonos sobre los cuales la función objetivo adquiere una expresión lineal. Respuesta (P1) tiene máximoen [ \ (P2) tiene máximo en [ , \ El valor máximo del problema es el de (P2), esto es, en [ , \ . 40.

(190) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. Problema 9 Resuelva el problema 0D[] ] [\

(191) sujeto a las restricciones del problema 8.. máximo ^[\[\`. Respuesta El valor óptimo es en [ , \ . 2.4 Forma estándar del problema de Programación Lineal Se dice que un problema de programación lineal tiene la forma estándar si (1) todas las variables de decisión son no negativas, y (2) las (restantes) restricciones son de igualdad con constantes no negativas en el lado derecho. De manera explícita, el problema dado en forma estándar es Maximizar (o Minimizar) ] F[F[FQ[Q sujeto a D [ D [ DQ [Q E D [ D [ D Q [. E. DP [ DP [ DPQ [P. EP. [[[Qson no negativas y las constantes EEEP son no negativas.. 2.4.1 Ejemplos Tienen la forma estándar los siguientes problemas: 1) Maximizar ] [\] sujeto a [\] \] [\]t 41.

(192) Maynard Kong. 2) Minimizar ] [[[[ . sujeto a [[[[ [[[[ [[[ y todas las variables son no negativas.. 2.4.2 Importancia de la forma estándar Cualquier problema de programación lineal expresado en forma estándar puede ser resuelto por el método del símplex debido a George Dantzig. Como se verá a continuación, si un problema de programación lineal no es dado en la forma estándar, este puede transformarse en uno que tiene esta forma y el mismo valor óptimo y, además, cuyas soluciones óptimas dan lugar a soluciones óptimas del problema inicial. Así, para resolver un problema de programación lineal (1) si es necesario, se transforma en uno equivalente que tiene la forma estándar y (2) se resuelve en la forma estándar y se obtienen las soluciones del problema dado. 33/*(1(5$/o33/(67È1'$5o6Ë03/(;o62/8&,Ï1. 2.4.3 Conversión a la forma estándar Las operaciones para llevar un problema de programación lineal a la forma estándar son las siguientes: 1) Si es negativo el término constante del lado derecho de una restricción, se intercambian los dos miembros; esto equivale a cambiar de signo a todos los términos en ambos lados de la restricción y, adicionalmente, cuando la restricción es de desigualdad, a invertir el sentido de la desigualdad. 42.

(193) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. Es decir, si la restricción es si DL[DLQ[Q ^d Rt` en dondeELes negativo entonces DL[DLQ[Q

(194) ^d Rt`EL con EL positivo y, cuando se aplique, con el signo de desigualdad invertido. Se indican algunos ejemplos: UHVWULFFLyQ [\]d [\[d [\]d. UHVWULFFLyQWUDQVIRUPDGDFRQ WpUPLQRFRQVWDQWHQRQHJDWLYR [\]d [\[d [\]d. 2) Una restricción, de desigualdad con signo d, puede ser reemplazada por una de igualdad si se suma una variable no negativa al lado izquierdo para convertirla en una de igualdad: si DL[DLQ[QdEL entonces DL[DLQ[QKL EL con KL no negativa Esta variable se llama variable de holgura (por defecto). Por ejemplo, la restricción [\]d se reemplaza por [\]K Kt 3) Una restricción de desigualdad con signo t puede ser reemplazada por una de igualdad si se resta una variable no negativa al lado izquierdo para convertirla en una de igualdad: si DL[DLQ[QdEL entonces DL[DLQ[QKL EL 43.

(195) Maynard Kong. con KL no negativa. Esta variable se llama variable de holgura (por exceso o superávit) Por ejemplo, la restricción [\]t se reemplaza por [\]K Kt Las operaciones (1), (2) y (3) no modifican la función objetivo. 4) Una variable irrestricta, lo cual significa que puede tomar valores negativos y positivos, puede ser reemplazada por la diferencia de dos variables no negativas. Si [2 es irrestricta, entonces se escribe [2 XY con dos nuevas variables X y Y no negativas. 5) Una variable [ no positiva, esto es, menor que o igual a cero, puede ser reemplazada por una variable no negativa precedida del signo menos, es decir, se efectúa el cambio de variable . . [. -X, en donde X es no negativa.. La sustitución de una variable irrestricta o una no positiva se realiza tanto en las restricciones como en la función objetivo. Ejemplo 1 Exprese en forma estándar el problema Minimizar [\]Z sujeto a [\ [\] ]Z [, \, ] no negativas Z irrestricta.. 44.

(196) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. Solución No es necesario cambiar de signo a ninguna restricción pues todas ya tienen términos constantes no negativos. Sumando las variables de holguras K1, K2 a las dos primeras restricciones y restando la variable de holgura K3 a la tercera restricción . [\K1 [\]K ]ZK . Luego, reemplazando la variable irrestricta Z por Z Z1 Z2 en la función objetivo y en las restricciones, se obtiene la forma estándar Minimizar [\]ZZ sujeto a [\K [\]K ]ZZK con todas las variables no negativas. Ejemplo 2 Escriba en forma estándar el problema Maximizar ] [[[[ sujeto a las restricciones [1 - [2 5[3 t -12 [[[ [[[[[ [ es no positiva y las demás variables no negativas. Solución La primera restricción se convierte en . [[[K . después de cambiar los signos de los términos y el signo de la desigualdad y de sumar la variable de holgura K. 45.

(197) Maynard Kong. A la segunda restricción se le cambian los signos de los términos y a la tercera restricción se le resta la variable de holgura K. Puesto que [ es no positiva, se reemplaza [ X en donde Xes una variable no negativa. Así, la forma estándar es Maximizar ] X[[[ sujeto a las restricciones X[[K X[[ X[[[[K con todas las variables no negativas.. 2.5 Restricciones equivalentes de la forma estándar El conjunto de restricciones de igualdades de la forma estándar . D[D[ DQ[Q E DL[DL[ DLQ[ E DP[DP[DPQ[P EP. es un sistema de ecuaciones lineales con Pecuaciones y Q incógnitas [[[Qy una solución factible es, en particular, una solución de este sistema. Una ventaja de esta representación se refiere a la posibilidad de modificar o reemplazar estas ecuaciones por otras de manera que las soluciones son las mismas y las nuevas restricciones son más adecuadas para resolver el problema. Las soluciones del sistema se preservan cuando (1) una ecuación se multiplica por una constante k distinta de cero; en efecto, son equivalentes las ecuaciones DL[DLQ[Q EL y NDL[NDLQ[Q NEL 46.

(198) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. o (2) se suma, o resta, G veces una ecuación a otra, ya que,cuandoLM son distintos, las dos ecuaciones DL[DLQ[Q EL DM[DMQ[Q EM . son equivalentes a las ecuaciones DL[DLQ[Q EL DMGDL

(199) [ DMQGDLQ

(200) [Q EMGEL Estas operaciones son las que se aplican para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminación de Gauss.. Ejemplo Sea el problema Maximizar ] [\ sujeto a las restricciones [\X [\Y [\XYno negativas. (1) Mediante las operaciones indicadas obtenga restricciones equivalentes de manera que cada una contenga solo una de las variables [\. (2) Determine la expresión de la función objetivo que resulta de reemplazar las variables [\ despejadas de las ecuaciones. (3) Encuentre el valor máximo de ]. Solución (1) Se elimina la variable \ de la primera ecuación restándole 2 veces la segunda ecuación: . . [XY R [XY . Similarmente, se elimina [ de la segunda ecuación sumándole 2 veces la primera ecuación: . . \XY R \XY . 47.

(201) Maynard Kong. . Luego, las nuevas ecuaciones o restricciones son [XY \XY y todas las variables no negativas.. (2) Despejando las variables de las ecuaciones obtenidas y reemplazando en la función objetivo ] [\ se tiene ] XY

(202) XY

(203) ] XY (3) De ] ] [\XY

(204) XY se tiene ]d pues X y Y son no negativas. Luego, haciendo X Y en las ecuaciones de la parte (1) se obtiene [ , \ , y por lo tanto se encuentra la solución factible [ , \ , X , Y , en la que la función objetivo vale . Así, se cumple ] [\XY

(205) d ]

(206) y esto demuestra analíticamente que es el valor máximo.. 2.6 Variables básicas y soluciones básicas factibles Sea el sistema de ecuaciones lineales . D[DQ[Q E D[DQ[Q E DP[DPQ[Q EP. dadas por las restricciones de igualdad de la forma estándar. Si el sistema es compatible, esto es, tiene soluciones, se puede asumir que el número P de ecuaciones es menor que o igual al número Q de variables, ya que si P!Q aplicando las operaciones con las ecuaciones, descritas en la sección anterior, se encuentra que hay al menos PQ ecuaciones redundantes y por lo tanto pueden eliminarse del sistema. Así, en lo que sigue asumiremos PdQ. 48.

(207) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. Se dice que P variables son básicas si el sistema puede ser escrito de manera que cada ecuación contiene solamente una de ellas. Las QP variables restantes se denominan no básicas, para distinguirlas de las anteriores. De modo explícito, renombrando las variables y reordenando las ecuaciones si es necesario, las variables [[P, son básicas si el sistema de ecuaciones puede ser escrito, o convertido, en uno de la forma [DP[PDQ[Q E [PDPP[PDQ[Q EP de modo que tales variables aparecen (con coeficientes ) exactamente una vez en las distintas P ecuaciones y dependen de las variables no básicas [P[Q. Haciendo cero cada variable no básica en el sistema se obtiene la solución factible . [ E[P EP[P [Q . que se denomina solución básica factible correspondiente a las variables básicas.. 2.6.1 Cálculo de soluciones básicas factibles Una manera directa de determinar soluciones básicas factibles es hacer Q-P variables iguales a cero y resolver el sistema resultante. Si este tiene una única solución con valores no negativos, entonces (1) estos valores juntos con los ceros de las variables anuladas forman una solución básica factible y (2) son básicas las variables del sistema resuelto. Ejemplo 1 Halle las soluciones básicas factibles del conjunto de restricciones [\] [\] 49.

(208) Maynard Kong. Solución En este caso P Q de manera que hay que anular QP variable. (1) Si [ y se resuelve el sistema \ -] \ -] se encuentra la solución única \ , ] - y por lo tanto [ , \ , ] -es una solución básica. Sin embargo, no es factible pues la variable ] tiene un valor negativo. (2) Haciendo \ , el sistema resultante es [ - ] [ - ] que no tiene solución pues restando 2 veces la primera ecuación de la segunda se obtiene la contradicción (3) Haciendo ] , se resuelve el sistema [ \ [ \ que tiene única solución [ \ Luego, [ \ ] es una solución básica factible con variables básicas [\ En resumen, para las restricciones dadas solamente hay una solución básica factible: [ \ ] con variables básicas [\. Ejemplo 2 Encuentre las soluciones básicas factibles de las restricciones [[[[ [[[[ Solución En este caso se deben anular variables y resolver las ecuaciones para las variables restantes. 50.

(209) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. Se analizan los casos posibles (1) [ , [ , el sistema es [[ [[ de donde [ [ y la solución es básica pero no es factible. (2) [ [ para el sistema [[ [[ se halla [ [ y, por lo tanto, la solución [ [ [ [ es básica factible. (3) [ [ resolviendo el sistema [[ [[ se observa que tiene infinitas soluciones (la segunda ecuación se obtiene de la primera). Así, no se obtiene una solución básica. Los restantes casos (4) [ [ (5) [ [ (6) [ [ se tratan de modo similar; en (4) y (5) se hallan soluciones básicas factibles y en (6) no, pues tiene infinitas soluciones. La siguiente tabla muestra los resultados de los cálculos. &$626. 9$5%È6,&$6. 62/8&,Ï1%È6,&$)$&7,%/(. [ [ . [[. [ [ [ [ . [ [ . [[. [ [ [ [ . [ [ . [[. [ [ [ [ . 51.

(210) Maynard Kong. Así, este conjunto de restricciones tiene dos soluciones básicas factibles. Ejemplo 3 Dado el conjunto de restricciones [\d [\d [\ no negativas (a) calcule los vértices del polígono que representa la región factible en el plano ;<, (b) obtenga la forma estándar del conjunto de restricciones y determine las soluciones básicas factibles, (c) muestre que a cada vértice del polígono le corresponde una solución básica factible de la forma estándar. Solución (a) El polígono en cuestión es el cuadrilátero limitado por las rectas [\ [\ [ \ . Los vértices son los puntos (), (), () y (). (b) La forma estándar de las restricciones se obtiene sumando una variable de holgura a cada restricción de igualdad [\K [\K y las soluciones básicas son (1) (2) (3) (4). 9$5,$%/(6%È6,&$6. . 62/8&,Ï1. [\ [K \K KK . K K K K. K K K K . [ [ [ [. \ \ \ \. 52.

(211) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. (c) Según (a) los vértices del polígono factible son [ \ [ \ [ \ [ \ y estos están en correspondencia con las soluciones básicas factibles indicadas por (4),(3),(1) y (2), respectivamente.. 2.6.2 Importancia de las soluciones básicas factibles Se demuestra que el valor óptimo del problema lineal estándar se obtiene necesariamente en una solución básica factible. Por esta razón, la búsqueda del valor óptimo sobre la región factible se restringe al conjunto de las soluciones básicas factibles, que es finito. Esta propiedad puede comprobarse cuando se resuelven gráficamente los problemas de programación lineal con dos variables de decisión, para los cuales, como se ha visto, las soluciones óptimas se ubican en algunos de los vértices del polígono factible. El ejemplo anterior muestra que los vértices son precisamente las soluciones básicas de la forma estándar del problema. Así, geométricamente, las soluciones básicas factibles son los vértices de la región factible, en el caso de dos variables.. 2.7 Problemas propuestos Problema 1 Exprese en forma estándar el problema Maximizar ] [[ sujeto a [[t [[d \ [[t 53.

(212) Maynard Kong. Solución Las restricciones son [[K [[K con todas las variables no negativas. Problema 2 Halle la forma estándar de Minimizar ] [\XY sujeto a [\t \Xt [\Y [XXt y la variable \ irrestricta. Solución Maximizar ] [\\XY sujeto a [\K \XK [\\Y y todas las variables no negativas en donde se ha reemplazado \ \\, diferencia de variables no negativas. Problema 3 Considere el problema Maximizar ] [[[[ sujeto a [[d [t [d [t Exprese el problema en la forma estándar. 54.

(213) Capítulo 2. Introducción a la Programación Lineal. Respuesta Maximizar ] X[[[ sujeto a -X [ K XK todas las variables no negativas. Puesto que [ es no positiva se ha hecho el cambio de variable [ X, de modo que X es una variable no negativa. Problema 4 Sea el conjunto de restricciones . [[[[[ [[[[[ . halle todas las soluciones básicas factibles y las variables básicas correspondientes. Respuesta [. 6ROXFLRQHVEiVLFDVIDFWLEOHV [ [ [ [. . . . . . YDULDEOHVEiVLFDV DVRFLDGDV [[ [[ [[ [[ [[ [[. Hay dos soluciones básicas factibles y seis pares de variables básicas. Problema 5 Sea el conjunto de restricciones . [\]X [\]X [\]X . 55.

(214) Maynard Kong. Determine si las siguientes variables son básicas y halle la solución básica factible correspondiente en cada uno de los casos (1) [\] (2) \]X Respuesta (1) Haciendo X y resolviendo las ecuaciones se encuentra [ \ ] X que es una solución básica factible, y las variables [\] son básicas. (2) Haciendo [ , el sistema tiene solución pero la variable X toma un valor negativo. Las variables no son básicas. Problema 6 Sea el problema Maximizar ] [[ sujeto a [[[ [[[ y todas las variables no negativas. (1) Pruebe que las variables [[ son básicas hallando la solución básica respectiva. (2) Exprese la función objetivo en términos de las variables no básicas [[, y pruebe que la solución básica hallada es óptima. Respuesta (1) La solución básica es [ [ [ [ [ [ (2) ] . 56.

(215) Capítulo 3 El método del símplex. 3.1 Conceptos básicos del método del símplex El método del símplex es un procedimiento para hallar una solución óptima de una programación lineal estándar en el conjunto de soluciones básicas factibles. El método se aplica a un problema estándar para el que ya se dispone de una solución básica factible y su correspondiente conjunto de variables básicas. A continuación se introducen los conceptos básicos del método del símplex por medio de ejemplos sencillos. Ejemplo 1. Criterio de máximo Sea el problema Maximizar ] [[[[ sujeto a [[[ [[[ y todas las variables no negativas. El primer paso es determinar un conjunto de variables básicas del sistema de restricciones. En este problema, por simple inspección se observa que [ y [ son variables básicas, pues cada una está en una.

(216) Maynard Kong. ecuación distinta y con coeficiente 1, y la solución básica factible es [ [ [ [ en la cual la función objetivo tiene el valor ] . El segundo paso es expresar el problema mediante una tabla para facilitar las operaciones con las ecuaciones. YDUEiV. [. [. [. [ [ F. . . . [ E . . ¿OD HFXDFLyQ ¿OD HFXDFLyQ ¿ODFHFXDFLyQGH]. Las dos primeras filas representan las ecuaciones de restricciones, y la última fila representa la función ] escrita mediante la ecuación [[[[ ] La columna de la izquierda indica las variables básicas seleccionadas. El propósito de disponer los datos de esta manera es expresar la función z de manera que no aparezcan las variables básicas, esto es, que estas tengan coeficientes nulos. Esto equivale a hacer cero los costos -1 y 5 de la fila c, para lo cual a la fila c: se suma la fila 1 y luego se resta 5 veces la fila 2, obteniéndose F. . . . . . ¿ODFHFXDFLyQGH]. Los coeficientes de la fila F F F F yF se denominan costos reducidos, relativos a las variables básicas [[. Así, la tabla, incluyendo los costos reducidos, es YDUEiV. [. [. [. [. E. [ [ F F. . . . . . en donde la última fila da la expresión de la función objetivo ]mediante la ecuación [[[[ ] 58.

(217) Capítulo 3. El método del símplex. de donde ] [[[[ [[ El criterio de máximo indica que si todos los costos reducidos son d, entonces la tabla actual proporciona el valor máximo y se alcanza en la solución básica de la misma. Esto puede demostrarse en este caso, ya que la representación de la función objetivo con los costos reducidos puede escribirse así ] [[d en donde la desigualdad d se cumple porque los costos reducidos son d y las variables son t. Luego ]d valor en la solución básica factible y por lo tanto ]0D[ en [ [ [ [ . Según lo desarrollado se puede adelantar el criterio de máximo: Si todos los costos reducidos son , entonces la función objetivo tiene valor máximo en la solución básica factible.. Ejemplo 2. Criterio de divergencia Sea el problema Maximizar ] [[[[ sujeto a [[[ [ [[ y todas las variables no negativas. Como puede apreciarse, este problema tiene el mismo conjunto de restricciones del ejemplo anterior y la función objetivo se diferencia de la anterior solo en el término de la variable [, que ahora tiene coeficiente -. Escribiendo la tabla correspondiente con los costos de esta función objetivo y calculando los costos reducidos relativos a las variables básicas [ y [ 59.

(218) Maynard Kong YDUEiV. [. [. [. [. E. [ [. . . . . . F F. . . . . . Igual que antes para anular los costos - y de las variables básicas, a la fila F se le suma la fila y se le resta veces la fila . La fila F da la siguiente expresión de la función objetivo ]: ] [[ en términos de costos reducidos. No se puede aplicar el criterio de máximo pues hay un costo reducido positivo, que es el coeficiente de la variable [. El siguiente criterio es el de divergencia, según el cual si existe un costo reducido ! y la variable asociada tiene coeficientes d en todas las restricciones, entonces el problema no tiene valor máximo, porque se puede hallar soluciones factibles en las cuales la función objetivo toma valores arbitrariamente grandes. En este problema, el costo reducido positivo es el de la variable [ y sus coeficientes en las restricciones son -y -, que son d. Para comprobar que la función objetivo toma valores muy grandes se generan las siguientes soluciones factibles: se hace [ W, donde el parámetro W es t, se hace igual a cero la otra variable no básica [ y se hallan los valores de las variables básicas resolviendo las ecuaciones (dadas por las filas), así finalmente se obtiene . [ [ [ [ . W W W. para cualquier Wt.. 60.

(219) Capítulo 3. El método del símplex. Puede comprobarse que estos valores dan soluciones factibles, esto es satisfacen las restricciones y son t, en las que la función objetivo ] vale ] W W Puesto que W puede ser cualquier valor positivo, es claro que ] no puede tomar un valor máximo. Se anota el criterio de divergencia Si algún costo reducido es ! y la variable asociada tiene coeficientes d en todas las restricciones, entonces la función objetivo no tiene valor máximo.. Ejemplo 3. Cambio de base. Criterio de la razón mínima Sea el problema Maximizar ] [\XY con restricciones ] [\X [\Y En este ejemplo se verá que no se cumple ninguno de los criterios de máximo ni de divergencia. Entonces se elegirá una variable no básica para que reemplace a una variable básica, de modo que la función objetivo en la nueva solución básica factible tenga un valor mayor o igual que en la solución básica actual. Solución Usando las variables básicas X, Y, la tabla del problema es YDUEiV X Y F F. [ . \ . X . Y . E . No se cumple la condición de máximo porque hay un costo positivo, el coeficiente de la variable \; tampoco se cumple el criterio de 61.

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