Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤ.

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 1

Συναρτήσεις

Πράξεις Συναρτήσεων

Αντίστροφη Συνάρτηση

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 2

Συναρτήσεις

Πράξεις Συναρτήσεων

1.Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: ι) ( ) ₂2 1 2 3 x f x x x     ιι) 7 ( ) | 2 1| 5 x f x x     ιιι) 2 ( ) 3 4 f x  x  x ιν) 2 ( ) ln( 3 10) f x    x x ν) ( ) 2 3 3 | 1| x f x x     νι) ( ) ln( 2) x e f x x   . 2.Ομοίως: ι) ( ) ₂ 1 6 x f x x x     ιι) 2 4 ( ) 1 x f x x    ιιι) 2 | | 3 ( ) 4 x f x x    ιν) ( ) ln( 5) 2 x f x x    . 3.Ομοίως: ι) 2 | | 1 ( ) (9 ) x f x  x  ιι) ( ) 4 1 3 ln( 1) 1 x f x x x       ιιι) 3 22 ln ln ( ) 2 5 6 x x f x x x x      ιν) 2 ( ) ln(2 ) f x  x x x. 4.Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: α) _f(_x)_{ x}3 _27 _{β) f(x) x3 4x} γ) 1 ) ( ₂   x x x f δ) 2 5 2 ) ( ₃     x x x x f ε) _         1 1 ln ) ( _xx e e x f στ)             x x x x x f 3 3 log ) 2 log( ) ( 2 ζ) f₍x_) ex_{1 1ln}x _η)           2 4 5 ln ) ( 2 x x x x f 5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: α) ) 1 ( ) 1 ( 4 ) ( 2     x x x x f β) x x x x f       4 3 1 2 2 ) (

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 3 γ) x x x f    7 3 2 ) ( δ) x x x x x x f        8 3 1 1 2 ) ( 2 ε) f(x) ln(x3) στ) 1 1 1 2 ) (     x x x x f    x[0,2] ζ) _f(_x)_{ x}2 _5_x4_{ x}2 _7_{x }10 _{η) f(x) log (4 x}2₎ x   θ) _f(_x)_ 32x _4.3x _3 _{ι) f(x) 2lnxln}2 _x κ) _{f(x)(x1)}x1 _{λ) ( ) log (4 6.2 8)} 3    _ x x x x f 6.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : 2 1 ( ) ( 1) 2( 1) 3 f x x x          Για τις διάφορες τιμές του λ ε R. 7.Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η συνάρτηση 2 ( ) ( 2) 2 2 3 f x   x  x  έχει πεδίο ορισμού το R. 8.Για ποιες τιμές του λ Rη συνάρτηση f με 4 1 2 ) ( ₂     x x x x f  έχει πεδίο ορισμού το R. 9.Για ποιες τιμές του λ Rη συνάρτηση _f(_x)_ 2_x2 _{x}3 _{έχει πεδίο} ορισμού το R. 10.Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ Rγια τις οποίες η συνάρτηση ) 1 ln( ) (_{x  x}2 _{x} f έχει πεδίο ορισμού το R. 11.Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( ) ln( ) x a f x x     για την οποία ισχύει f(-1)=1 και f(-6)=0. Να βρείτε: ι) τους αριθμούς α,β ιι)το πεδίο ορισμού της f ιιι)την τιμή f(-6). 12.Δίνεται η συνάρτηση ( )f x  3 log( x) για την οποία ισχύει f(101)=1. Nα βρείτε : ι)την τιμή του α ιι)το πεδίο ορισμού της f ιιι)το πεδίο ορισμού της 11 ( ) ( ( )) ln( (2)) 10 g x  f f  x f .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 4 13.Δίνεται η συνάρτηση : 2 , 6 1 ( ) , 1 7 x x f x x x           _{   }  Για την οποία ισχύει f(-2)=5 και f(5)=24. ι)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ιι)Να βρείτε τους αριθμούς α και β. ιιι)Να βρείτε τις τιμές f(-1) και f(f(-3)) ιν)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=3. 14.Δίνεται η συνάρτηση : 2 | | ( ) 4 4 a f x x       _    _  8 2 2 3 3 15               για την οποία ισχύει f(-4)+f(1)+f(12)=7.Να βρείτε: α)το πεδίο ορισμού της f, β)τον αριθμό α, γ)τις τιμές f(-2) ,f(3), f(f(f(-5))). 15.Μια συνάρτηση f :(0,)Rέχει την ιδιότητα ( )lnx f(x)1 e x f για x >0. α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f β) Να γίνει η γραφική παράσταση 16.Μια συνάρτηση f :RR έχει την ιδιότητα 2_f(_x)_{ f}(1_x)_{ x}2 _2_x1_. α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f β) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) f(x2) 17.Αν για τη συνάρτηση f ισχύει: f(x)xf(x) x1, x τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. 18.Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει: _f(_x)_{ f}(1_x)_x2_5 _{με xR} 19.Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε: _{2 ( ) 3 (}1_{) x}2 x f x f   x0 α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f β) Να βρεθεί το f(2)

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 5 20.Δίνεται η συνάρτηση f R: R για την οποία ισχύει: f(x)+3f(2-x)=-4x για κάθε χ ε R. Na βρείτε : α)το f(1) β)τον τύπο της συνάρτησης f. 21. Δίνεται η συνάρτηση f R: R για την οποία ισχύει: 2 ( 2) 2 (5 ) 22 70 f x  f    x x x για κάθε χ ε R. α)Να αποδείξετε ότι: 2 ( ) 2 (3 ) 18 30 f x  f    x x x για κάθε χ ε R. β)Να βρείτε τον τύπο της f. 22. Δίνεται η συνάρτηση f R: R για την οποία ισχύει: 2 ( ) (1 ) (3 ) 1 f x  x f  x x  x για κάθε χ ε R. Na βρείτε : α)το f(1) και το f(2) β)τον τύπο της συνάρτησης f. 23. Δίνεται η συνάρτηση f R: R για την οποία ισχύει: 2 2 ( ) 4 (4 2) ln( 3 3) f x  x f x  x  x για κάθε χ ε R. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 24. Δίνεται η συνάρτηση :f R R για την οποία ισχύει: 2 1 2 ( ) 3f x f x , x    _{ }   x0. Na βρείτε : α)το f(1) και β)τον τύπο της συνάρτησης f. 25.’Εστω συνάρτηση f : (0, ) R για την οποία ισχύει : f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x,y >0. Να αποδείξετε ότι : α) f(1)=0 β) f y( ) f 1 y         για κάθε y>0 γ) ( ) ( ) x f f x f y y         για κάθε x,y >0. 26.Αν η συνάρτηση ικανοποιεί για κάθε x,y εR τη σχέση: f(x+y)+f(x-y)=f(3x) να αποδειχθεί ότι η f είναι σταθερή. 27.Nα βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f R: R με την ιδιότητα: f(x)f(y)=f(x)+f(y)+3 για κάθε x,y εR.

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 6

28. Δίνεται η συνάρτηση f R: R,μη σταθερή με τις ιδιότητες :

f(xy)=f(x)f(y) και f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy για κάθε x,y ε R. Να αποδείξετε ότι: α)f(0)=0 ,f(1)=1 ,f(-1)=1 β)η συνάρτηση f είναι άρτια, γ)ο τύπος της f είναι : 2 ( ) f x x για κάθε χεR. 29.Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5 8 3 x f x x    . Να βρείτε : α )το πεδίο ορισμού της β) το σύνολο τιμών της . 30.Δίνεται η συνάρτηση f :[ 1, 0] R με ( ) 7 1 x f x x    .Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 31.Να βρείτε τα κοινά σημεία με τους άξονες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) 2 ( ) 2 8 f x x  x β ) f x( ) | 2 x 1| 5 γ) f x( )ex1 δ) f x( )ln(x2) 32.Να βρείτε την σχετική θέση με τον άξονα χ’χ των γραφικων παραστάσεων των συναρτήσεων: α) 2 ( ) 2 5 3 f x   x  x β) f x( )ln |x3 | γ) ( ) 1 4 2 x f x  _{ }    δ) ( ) 2 16 1 | | x f x x    . 33.Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρήσεων: α) 3 2 ( ) 3 2 1 f x x  x  x και g x( )x2 x 1 β) f x( )xlnx2x και g x( )x γ) f x( )4x2 και g x( )6(2x1) δ) f x( )exlnx6 και g x( )2ex3lnx 34.Δίνονται οι συναρτήσεις : 2 ( ) 4 | 2 | f x x  x x , g x( ) | x 2 | x 4 και h x( ) 7 x. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποιά : α)η Cf βρίσκεται κάτω από την Cg β)η Ch βρίσκεται πάνω από την Cg.

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 7 35.Δίνεται η συνάρτηση 2 ( ) 4 f x x ax a με α εR. Αν ηCf διέρχεται από το σημείο Μ(-3,5), να βρείτε: α)τον αριθμό α β)τα σημεία τομής τηςCf με τους άξονες γ)τα σημεία τομής της Cf με την γραφική παράσταση της g(x)=-4x+1 δ)τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της 2 2 | 3 | ( ) 2 x x h x    . 36.Δίνεται η συνάρτηση : 2 ( ) | 2 | 1 x a f x x a         1 1 x x   , με αεR. Αν ηCf διέρχεται από το σημείο Μ (1,-3) ,να βρείτε : α)τον αριθμό α β) τα σημεία τομής τηςCf με τους άξονες. 37.Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2 ( ) 1 f x   x ax a και 2 ( ) 2 g x x  x a με αεR ,τέμνονται πάνω στην ευθεία χ=2.Να βρείτε : α)τον αριθμό α β)τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από την g C . 38.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ln( ) ln( ) x a f x x     ,με α,βεR,τέμνει τον άξονα χχ΄ στο -8 και διέρχεται από το Α(-1,3). Να βρείτε: α)τους αριθμούς α,β β)το πεδίο ορισμού της f γ)τα σημεία τομής της f C με την ευθεία y=2. 39.Nα εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: α) ( ) 3 ₂ 4 x f x      β) 4 2 | | ( ) 16 x f x      γ) f x( ) |   3 | |3 | δ) ( ) ln 3 3 x f x x     _{ } _ ε) ( ) 1 1 1 2x 2 f x    . 40.Ομοίως: α) ( ) ₄ 4 , 0 , 0 x x f x x           _   β) 3 2 3 2 , 1 5 3 ( ) , 1 5 3 f x              _{ }   

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 8 41.α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης με πεδίο ορισμού το R διέρχεται από την αρχή των αξόνων . β)Δίνεται περιττή συνάρτηση 3 ( ) 4 f x x  x με αεR. Να βρείτε : ι)τον αριθμό α ιι) τα διαστήματα στα οποία ηCf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ’χ ιιι)τα σημεία τομής της Cf με την γραφική παράσταση της 2 ( ) 4 3 4 g x   x  x . 42.Δίνεται συνάρτηση f R: R για την οποία ισχύει : ( ) ( ) 2( ( ) ( )) f xy  f xy  f x  f y για κάθε χ,y εR. Να αποδείξετε ότι : α)η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των αξόνων. β)η f είναι άρτια γ)ισχύει f(|x|)=f(x) για κάθε χεR. 43. Δίνεται συνάρτηση f R: R για την οποία ισχύει f x( )0 για κάθε χεR και: ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f xy  f xy  f x f y για κάθε χ,y εR. α)Να βρείτε το f(0) β)Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. 44. Δίνεται συνάρτηση f R: R μη σταθερή για την οποία ισχύει : ( ) ( ) ( ) f xy af x  f y για κάθε χ,y εR. α)Να αποδείξετε ότι α=1 β)Να βρείτε το f(0) γ)Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττη. 45.Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f x( )lnx και g x( ) | ln | x β) f x( )lnx και g x( ) ln1 x  γ) f x( )lnx και g x( )ln(e x2 ) δ) f x( )lnx και g x( )ln(x)

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 9 46.Δίνεται η συνάρτηση 2 , 2 1 ( ) ₁ , 1 x x f x x x          . α)Να χαράξετε την γραφική παράστασηCf της f β)Με την βοήθεια της f C να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 47. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2, 0 , 0 x x x f x x e     _  . α)Να χαράξετε την γραφική παράστασηCf της f β)Με την βοήθεια της f C να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 48. Δίνεται η συνάρτηση 2 , 1 ( ) 1, 1 1 1 , 1 ln x x f x x x x x    _{ }       _  _   . α)Να χαράξετε την γραφική παράστασηCf της f β)Με την βοήθεια της f C να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 49.Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R έτσι ώστε: _f 2(_x)_g2(_x)_6_f(_x)_8_g(_x)_25_{. Να βρεθούν οι συναρτήσεις f, g.} 50.Αν για τις συναρτήσεις f,g:RR ισχύει η σχέση: (f g)(x)[(f g)(x)6]252g(x)[1 f(x)]. α) Να βρεθούν οι τύποι των f και g β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 8 )] ( [ )] ( [ )] ( [ 5_ 5_ 6 _  f x g x f x A 51.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.Αν δεν είναι ίσες να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει f(x(=g(x): α) ( ) ₂ 2 9 6 9 x f x x x     και 3 ( ) 3 x g x x    β) 2 2 2 8 ( ) 3 2 x x f x x x      και 4 ( ) 1 x g x x    γ) ( ) 2 ₂4 3 1 x x f x x     και 2 2 3 ( ) 4 3 x g x x x     δ) 2 2 2 | | ( ) x x f x x   και ( ) | | 2 | | x g x x   52.Ομοίως : α) f x( ) x2 x5 και g x( ) x23x10

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 10 β) f x( ) 4x x4 και g x( ) 16x2 γ) 2 ( ) 9 f x  x  και ( )g x  | | 3 | | 3x  x  53.Ομοίως : α) 2 ( ) ln( 3 4) f x   x x και g x( )ln(x 1) ln(4x) β) 2 ( ) ln(9 ) ln( 3) f x  x  x και g x( )ln(3x) γ) ( ) ln 4 1 x f x x    και 1 ( ) ln 4 x g x x     δ) 2 ( ) ln( 2 1) f x  x  x και g x( )2ln(x1) 54.Δίνονται οι συναρτήσεις f g R, : R για τις οποίες ισχύει :





2 2 2 ( ) ( ) 8 4 ( ) ( ) f x g x  x  x f x g x για κάθε χεR. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f,g είναι ίσες. 55.Αν για τις συναρτήσεις f,g:RR ισχύει η σχέση: (f g)(x)[(f g)(x)6]252g(x)[1 f(x)]. α) Να βρεθούν οι τύποι των f και g β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασ_A[_f(_x)]5_[_g(_x)]5_[_f(_x)]6_8 56. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού A R και για κάθε A x ισχύει: _{2(f g)(x)[(f g)(x)2x][(f g)(x)]}2_{[(f g)(x)]}2_4x2 τότε να δείξετε ότι f = g. 57. Δίνονται οι συναρτήσεις f x( ) x1 και 2 2 4 ( ) 3 x g x x x    .Να ορίσετε τις συναρτήσεις f+g ,f-g ,fg και f g . 58. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ₂ 2 2 3 x x f x x x     και 3 2 3 2 9 9 ( ) x x x g x x x      . α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού και να απλοποιήσετε τους τύπους των συναρτήσεων. β)Να ορίσετε τις συναρτήσεις f+g ,f-g ,fg και f g . 59. Δίνονται οι συναρτήσεις f x( )lnx3 και g x( )ex2. α)Να ορίσετε την συνάρτηση f g

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 11 β)Να λύσετε την ανίσωση f ( )x 0 g        . 60.Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 4 , 2 3 2, 2 x x f x x x      _{ }  και 2 , 1 ( ) 1 , 1 x x g x x x       _{  }  . Να ορίσετε την f+g. 61. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ₂2 4 , 1 , 1 2 x x f x x x x       _{ }   και g x( ) x 2. Να ορίσετε την f g . 62.Να προσδιορίσετε την συνάρτηση gοf αν: i) f₍x₎ x2 x _{και g(x) x} ii) f(x)2x και _{g(x) 1x}2 iii) ( ) ₂1 x x x f   και 1 2 ) (    x x x g iv) 1 1 ) ( 2    x x x f και g(x)ln(x1) v) f(x)x και _{g(x) 1x}2 63.Να βρείτε την fog και την gof των παρακάτω συναρτήσεων: α) _{f(x) 1x}2 _{και g(x)lnx} β) _{f(x) 4x}2 _{και g(x)1 x} γ) 1 ) (   x x x f και g(x)2x3 δ) _f(_x)_{ x}2 _16 _{και g(x) 6x18(x3)}2 ε) _f(_x)_25_x2 _20_x2 _{και g(x) x2} 64.Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (0,1]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) _f(_x2) _{β) f(x4) γ) f(ln x)} δ) _f(_x2 _6_x9) _{ε) f(1lnx)} 65. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 2 , 0 2, 0 x x f x x x      _{ }  και 1 , 1 ( ) 2 , 1 x x g x x x      _{ }  . Να ορίσετε την συνάρτηση f g.

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 12 66. Να βρείτε τη συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει: α) (_fog)(_x)_x2 _5_x1 _{αν g(x) x2} β) (_fog)(_x)_{ x}2 _x4 _{αν g(x)2x} γ) (_fog)(_x)_x2 _4_x1 _{αν g(x)3x2} δ) _{(fog)(x) 1x}2 _{αν g(x)x}2 ε) (fog)(x)2x x1 αν g(x) x 67.Να βρείτε τη συνάρτηση g τέτοια ώστε να ισχύει: α) (_fog)(_x)_{ x}2 _1 _{αν f(x)e}x1 β) _f(_g(_x))_{ x}2 _4_x2 _{αν f(x)2x1} γ) f(g(x))x αν _{f(x) 1x}2 δ) _f(_g(_x))_ex1_3 _{αν f(x)x3} ε) f(g(x))lnx αν x x x f    2 2 ) ( 68. Δίνονται οι συναρτήσεις 2 ( ) 4 f x  x  x , 2 ( ) 1 g x x  και h x( ) x2 Να ορίσετε την συνάρτηση f g h. 69.Δίνονται οι συναρτήσεις f, g:RR. Να αποδείξετε ότι: α) Αν η f είναι άρτια και η g περιττή τότε οι gof, fog άρτιες β) Αν οι f, g περιττές τότε οι fog, gof είναι περιττές. 70. ’Εστω f :R R συνάρτηση με την ιδιότητα (f f)( )x xf x( ) για κάθε χεR.Να βρείτε το f(0). 71. Δίνεται η συνάρτηση f :R R με την ιδιότητα (f f)( )x  2 x για κάθε χεR. Να αποδειχθεί ότι : α)f(1)=1 και f(2-x)=2-f(x) , β)f(0)+f(2)=0 72. Δίνεται συνάρτηση f R: R _{για την οποία ισχύει} (f f)( )x 3x2 Να βρείτε f(1) .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 13

Μονοτονία-Ακρότατα

Συνάρτησης

1. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f x( ) 5 6 2 x β) ( ) 3 1 2 1 f x x     γ) 3 ( ) x f x e x δ) f x( )ln(x 2) 3x2 ε) f x( ) 2 lnx x   . 2. Δίνεται η συνάρτηση 2 ( ) 4 3 f x x  x . α)Να αποδείξετε ότι 2 ( ) ( 2) 1 f x  x  . β)Να μελετήσετε την f σε καθένα από τα διαστήματα (- ,-2] και [-2,+ ). 3. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: α) 3 1 , 0 ( ) 0 1 2 x x x f x x x x e  _{ }    _     β) ( ) ₂ 3 , 1 3 1, 1 x x f x x x      _{ }  . 4.Έστω δυο συναρτήσεις f, g: RRτότε να δείξετε ότι: α) αν η f γνησίως αύξουσα και g γνησίως αύξουσα τότε gof γνησίως αύξουσα β) αν f γνησίως αύξουσα και g γνησίως φθίνουσα τότε gof γνησίως φθίνουσα γ) αν f γνησίως φθίνουσα και g γνησίως αύξουσα τότε gof γνησίως φθίνουσα δ) αν f γνησίως φθίνουσα και g γνησίως φθίνουσα τότε gof γνησίως αύξουσα . 5. a)Αν f, g συναρτήσεις γνησίως αύξουσες (ή γνησίως φθίνουσες) στο διάστημα Δ τότε να δείξετε ότι και η f + g είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο Δ. β) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης h με τύπο 3 . 2004 2004 ) (x x h _ x _ γ)Να λύσετε την ανίσωση: ( _3( 3 _3 ))_ (_2 _3) x h x x x h .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 14 6.Δίνεται η συνάρτηση _f(_x)_x5 _x3_x3_. α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να λυθεί η εξίσωση: _x5 _x3 _x3 γ) Να λυθεί η ανίσωση: _e5x _e3x _ex _3_. 7.Δίνεται η συνάρτηση f₍x_)ax_x _{με α > 1} α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β) Να λυθεί η 2 4 2 ₂ 2      _a  _{  } a . 8. Δίνεται η συνάρτηση 2 ( ) ln f x x  x. α)Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β)Να βρείτε για ποια χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=1. γ)Να λύσετε την ανίσωση : 2 2 2 | | 3 (3 | | 1) (2 | | 3) ln 3 | | 1 x x x x       . 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 5 2x 3ex 3 β)2 1 ln(x 1) x   γ) 3 1 ln( 2) x e   x . 10. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 1 1 ln x e   x β) 5x3 lnx 2 3 x    γ) 2 2 x ln(x 2) 8. 11. Δίνεται η συνάρτηση 2 ( ) 8 x 2 f x  e   x. α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β)Να λύσετε την ανίσωση f(x)<4. γ) Να λύσετε την ανίσωση ₂ 2 ₂ 8(e x e x) 2 (1x x). 12. Δίνονται οι συναρτήσεις f g R, : (0,).Η f είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα. α)Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση h f g  β)Να λύσετε την ανίσωση : 2 2 ( ) (3 ) (3 ) ( ) 0 f x g x  f x g x  . 13.Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα στο R να λύσετε την ανίσωση: (_fog)(_x2_2_x)_(_fog)(_x4)_. 14.Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων :

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 15 α) f(x)=3+|x-2| β) ( ) 3 4 2 3 f x x     γ) 2 ( ) (ln 2) 4 f x  x  δ) f x( )x26x7. 15.Να βρείτε την μέγιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων: α) f x( ) 5 |x1| β) ( ) ₂6 3 f x x   γ) 2 ( ) 2 4 f x   x  δ) f x( )  x2 4x3 16. Δίνονται οι συναρτήσεις f g R, : R.Αν η f έχει μέγιστο στοx0 και η g είναι γνήσίως φθίνουσα ,να αποδείξετε ότι η f g έχει ελάχιστο στο x0. 17. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 : α) 3 ( ) 2 x 5 f x  e   β) ( ) 3ln 2 4 x f x   γ) ( ) 3 1 x f x x    δ) ( ) ln 2 2 x f x x    ε) ( ) 1 x x e f x e   στ) ln 2 ( ) ln 1 x f x x    .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 16

1-1 Συνάρτηση

Αντίστροφη συνάρτηση

1. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f είναι «1 – 1» και όποια είναι να βρεθεί η αντίστροφή της. α) f(x)5x2 β) _f(_x)_{ x}3 _1 _γ) 1 2 3 ) (    x x x f δ) f(x) 2x3 ε) _f(_x)_x3 _x2 _{στ) f(x) x}2 _{4x7 αν x 2} ζ) x x x f   1 ) ( η) _x x e e x f   1 ) ( θ) f(x)ln(2 x) ι) f(x)2xx 2. Ομοίως: α) 5 3 ( ) 2 7 3 5 f x  x  x  x β) f x( )3ex2lnx1 γ) f x( ) 5 3lnx x   . 3. Δίνεται η συνάρτηση 3 2 ( ) 3 4 f x x  x  . α)Να βρείτε τα σημεία τομής της f με τον άξονα χ’χ. β)Να εξετάσετε αν ηf είναι 1-1. 4. Να εξετάσετε αν οι επόμενες συναρτηήσεις είναι 1-1 : α) ( ) 2₂ 3, 0 2, 0 x x f x x x      _{ }  β) 1 , 3 ( ) , 3 1 3 x x f x x x       _    5. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) 7 1 x e  x β) ln(x  1) 2 x γ) ex 2 8 1x. 6. Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) f x x x. α)Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. β)Να λύσετε την εξίσωση : 3 3 (ex x) ex ( x1) .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 17 7. Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: _{f(x) x}2003_x2005_. α) Να βρεθεί το f(1) β) Να ελέγξετε αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο R γ) Να λύσετε την _x2003_x2005_2_. 8. Δίνεται συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει (f f)( )x  x για κάθε χεR. Να αποδείξετε ότι : α)η f είναι περιττή και β)η f είναι 1-1. 9. Δίνεται συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει 3 (f f)( )x  f ( )x 3x2 για κάθε χεR. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. 10. Δίνεται συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει: 3 ( ( )) ( ) 2 3 f f x  f x  x για κάθε χε R. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β)Να λύσετε την εξίσωση : 3 (2 ) (4 ) 0 f x  x f x  . 11. Δίνεται η συνάρτηση f R:  R για την οποία ισχύει : (f f)( )x (x2) ( )f x για κάθε χε R. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β)Να βρείτε την τιμή f(3). γ)Να λύσετε την εξίσωση : ( 1 (| | 1)) ( 2) 0 f x  f x   f x  . 12. Αν η συνάρτηση f :RRείναι 1-1 τότε να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 1 ) ( ) ( 2 ) (_{x  f}3 _{x  f x } h είναι συνάρτηση 1-1. 13.Αν για τη συνάρτηση f :RR ισχύει ότι: (fof)(x) f(x) x τότε δείξτε ότι η f είναι 1-1. 14. Αν για τη συνάρτηση f :RR ισχύει f(f(x))=x2_{-x+1 για κάθε χεR να} δείξετε ότι: α)f(1)=1 β)η συνάρτηση g(x)= x2_{-xf(x)+1,xεR δεν είναι συνάρτηση 1-1.} 15.Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση g : R →R . α) Να δείξετε ότι η f(x) = g(x101_{) – g(x}100_{) – 2004 δεν είναι «1-1».} β) Να λύσετε στο (1,+∞) την ανίσωση : (x2 _{-100x)(f(x) + 2004) > 0}

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 18 16. Να βρείτε,εφόσον ορίζονται,τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων: α) ( ) 3 2 1 x f x x    β) f x( ) 3 x2 γ) f x( ) 1 ln(x3) δ) 1 ( ) 1 x x e f x e    . 17. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης: ln 2, 0 1 ( ) , 1 1 x x f x x x        _   . 18. Δίνεται η συνάρτηση f :[2, ) R με : 2 ( ) 4 5 f x x  x α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β)Να βρείτε την 1 f . 19. Δίνοντια οι συναρτήσεις f(x)=4x+2 και g(x)=2 1 f (x)+1. Nα βρείτε τη συνάρτηση 1 ( ) g x . 20. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 1 x x e f x e    ,με αεR.Η γραφική παράσταση της f διέρχεται απο΄το σημείο Μ( ln 3, 1 2  ). α)Να βρείτε τον αριθμό α . β) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 . γ) Να βρείτε την 1 f . δ)Να αποδείξετε ότι η 1 f είναι περιττή. 21.Έστω f(x) x2 και _g(_x)_{ x}2 _4_{. Να βρεθεί η gof και η (gof)}1_(x). 22. Δίνεται η συνάρτηση f x( )lnxln(x2) . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 . β) Να βρείτε την 1 f . γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της 1 f με την ευθεία y=3. 23. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 1 x a f x x    ,όπου αεR-{3}. α)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη για κάθε a3 β)Αν ισχύει (f f)( 2) 1,τότε να βρείτε :

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 19 ι)τον αριθμό α και ιι) τη συνάρτηση 1 f _. 24. Δίνονται οι συναρτήσεις f x( )ex1 και ( ) 1 1 x x e g x e    . α)Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να βρείτε την 1 f _. β)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι περιττή. γ)Να βρείτε την συνάρτηση g f1_. 25. Δίνεται συνάρτηση f :R R,η οποία έχει σύνολο τιμών το R και ικανοποιεί τη σχέση : 3 ( ) 2 ( ) 0 f x  f x  x για κάθε χεR. α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. γ) Να βρείτε την 1 f . 26. Δίνεται συνάρτηση f :R R,η οποία έχει σύνολο τιμών το R και ικανοποιεί τη σχέση : (f f)( ) 3 ( )x  f x  x 4 για κάθε χεR. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β)Να βρείτε τον τύπο της 1 f (x) συναρτήσει της f(x). 27. Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) 2 f x x  x . α)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β)Να βρείτε το 1 ( 3) f  . γ)Να λύσετε την εξίσωση : 1 2 ( ( 5) 15) 2 f f x    28. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη στο R με σύνολο τιμών το R για την οποία ισχύει: _f5(_x)_{ f}3(_x)_{ f}(_x)_x4_{. Να δειχθεί ότι είναι 1-1 και να} βρεθεί η _f1 _. 29. Δίνεται συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f(2)=10 και: (f f)( )x 3x5 για κάθε χεR. α)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β)Να βρείτε το 1 (2) f . γ)Να λύσετε την εξίσωση : 1 ( (| | 2) 5) 2 f f x    .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 20 30. Δίνεται η συνάρτηση 1 ( ) x f x e x. α)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β)Να λύσετε την ανίσωση 1 (1 ) f x x. 31.Δίνεται η γνησίως μονότονη f :RR της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα Α(3,2) και Β(5,9). α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να λυθεί η _f(2_{ f} 1(_x2 _x))_9 γ) Να λυθεί η ανίσωση: _f



_f 1(_x2_8_x)_2



_2_. 32. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( x 1) f x  ae  όπου αεR ,της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(2ln2,2ln3). α)Να βρείτε τον αριθμό α β)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. γ)Να ορίσετε την 1 f δ) Να λύσετε την ανίσωση 1 ( ) (ln 7) f x  f . 33. Δίνεται η συνάρτηση f :R R ,η οποία έχει σύνολο τιμών το R και ικανοποιεί την σχέση : 3 2f ( )x  f x( ) x 16 για κάθε χεR. α)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β)Να ορίσετε την 1 f γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας y=x. 34. ’Εστω συνάρτηση f :R R , η οποία έχει σύνολο τιμών το R .Αν η f f είναι αντιστρέψιμη ,να αποδείξετε ότι και η f είναι αντιστρέψιμη. 35. Δίνεται η συνάρτηση f :R R ,γνησίως μονότονη.Να αποδείξετε ότι και η 1 f _{έχει το ίδιο είδος μονοτονίας.} 36. Δίνονται οι συναρτήσεις f g R, : R,με f(R)=R,για τις οποιίες ισχύει: (f f)( ) (x  g f)( )x 2x3 για κάθε χεR. α)Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β)Να γράψετε τον τύπο της 1 ( ) f x συναρτήσει των f,g. 37.Δίνεται η συνάρτηση φ(x) = x101 _{+ x}99 _{+ 1} α) Να δείξετε ότι η φ είναι αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την ανίσωση φ(φ(x)) < -1

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 21 γ) Αν φ-1_(φ-1_{(x)-1) = -1, να υπολογίσετε το x .} 38. Δίνεται η συνάρτηση : 1 ( ) 1 x x e f x e    , χεR. Nα αποδείξετε ότι : α)η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. β)η εξίσωση 1 ( ) 0 f x  έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. 39. ’Εστω f g R, : R συναρτήσεις,ώστε η f g να είναι 1-1. α)Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1. β)Αν για κάθε χ>0 ισχύει: g(f(lnx)+1)=g(x+2) ,να αποδείξετε ότι f x( )ex1 για κάθε χεR. 40. Δίνεται συνάρτηση f R: R,για την οποία ισχύει: 3 ( ) 2 ( ) 12 x f x  f x  e για κάθε χεR. α)Να αποδείξετε ότι f(x)>0 για κάθε χεR. β)Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y’y. γ)Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 δ)Να λύσετε την εξίσωση : 2ln 2 2 1 (| | 3) ln f x e e    .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 22

Όρια

Συνέχεια

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 23

Όριο συνάρτησης στο χ

0

εR

1. Να βρείτε το 0 x x lim f(x)_ και το f(x )0 , εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι: 2. Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [-2,+ ) και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς. i) lim ( ) 2 2    f x x ii) lim ( ) 1 1    f x x iii) lim ( ) 2 1   f x x iv) lim ( ) 3 2   f x x v) lim ( ) 4 3   f x x vi) lim ( ) 3 4   f x x 3. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το lim ( ) 0 x f x x , όταν: i)f(x) =x -5x+62 x-2 , x =20 ii) x, x 1 f(x) = 1_{, x > 1} x      , x =10 iii)f(x) = x , x 12 -x +1, x > 1     _, 0 x =1 iv) 2 x f(x) = x + x , x =00 . O y=f (x) 1 1 4 3 2 4 3 -2 2 x y O x0=3 y=f(x) 3 2 x y O y=f(x) x0=2 2 4 2 x y O x0=1,2 y=f(x) 1 1 2 2 x y O x0=1,2,3 y=f(x) 1 1 2 3 2 x y

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 24 4. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το lim ( ) 0 x f x x , όταν: i),f(x) =x +3x -x-33 ₂2 x -1 x =10 ή x = -10 ii) 2 (x +1) 9x -6x +1 f(x) = 3x -1 , 0 1 x = 3. 5. Δίνεται η συνάρτησηf x =

 

2x x -2x+12 1-x . Να χαράξετε τη Cf και με τη βοήθεια της να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα

 

₊

 

_{x 1-}

 

_{x 1}

 

x 1

f 1 , lim f x , lim f x , limf x    . 6. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x =  x x και να προσδιορίσετε το x₀ στο οποίο δεν υπάρχει το.

 

xlim f x_x0 7. Να υπολογίσετε τα όρια:













x 1 x 0 x 0 x 0 2 x +1-2 2 x 2

. lim x +3x-2 .lim ln 2-e .lim 2ημ x+4 .lim x-1         . 8. Να υπολογίσετε τα επόμενα όρια:



 



x 0 x 1 x 0 3 7 ₂ 3x-10

i.lim x-2 2x-1 ii.lim x +5x-7 iii.lim x +5          . 9. Να υπολογίσετε το x 2 x 2 lim 2xημ +xσυνx 2       . 10.Αν   x 1 lim f x 1   , να υπολογίσετε τα όρια: i. _{lim fx 1}



2

   

_{x -2f x +3}



 ii.

 

 

x 1 f x +3 lim f x +1  iii. lim f x +f x +2x 1 2

   

iv._{x 1}



_{   }

 



4 2 f x -2 +2 lim f x +f x +1  11. Έστω μια συνάρτηση f με x 2 lim f(x)=4  .Να βρείτε το lim g(x)x2 αν: i)_{g(x)=3(f(x)) -5}2 ii) 2 |2f(x)-11| g(x)= (f(x)) +1 iii) g(x)=(f(x)+2)(f(x)-3).

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 25 12. Να υπολογίσετε τα όρια: α) 2 2 4 lim 2 x x x    β) 2 2 3 9 lim 3 x x x x    γ) 2 2 1 4 5 lim 1 x x x x     δ) 2 2 3 4 3 lim 7 12 x x x x x      ε) ₂ 1 1 lim 2 7 5 x x x x     στ) 3 2 4 2 2 lim 16 x x x x x     13. Ομοίως: α) 3₂ 2 8 lim 4 x x x    β) 4 3 2 1 1 lim x x x x    γ) 4 2 3 1 2 3 lim 1 x x x x     δ) 3 4 2 7 6 lim 16 x x x x     ε) ₂ 3 2 2 6 11 6 lim 6 8 x x x x x x       στ) 3 2 4 2 2 3 4 lim 8 16 x x x x x      14. Ομοίως: ι)_{x 2}limx +3x -9x-23 ₃ 2 x -x-6  ιι) 2 5 4 2 2 2 2 lim 5 6        x x x x x x x 15. Ομοίως: α) ₂ 1 2 1 lim 1 1 x _{x x}  _   _{ }    β) ₂ 3 2 1 4 lim 2 2 x _{x x x}  _   _{ }    γ) ₃ 2 1 2 lim 3 4 3 x _{x x x}  _   _{  }    δ) _{2 3} 1 1 lim 2 1 x x x x x   _   _{  }    16. Ομοίως: α) 2 1 1 lim 1 x x x x x    β) 1 1 lim 2 3 x x x x x     17. Ομοίως: α) 1 3 lim 2 x x x    β) 3 3 lim 2 4 x x x x      γ) 1 2 1 lim 3 2 x x x     δ) 2 2 1 5 lim 2 x x x     ε) 7 4 9 lim 1 8 x x x      στ) 2 1 lim 1 x x x x    18. Να υπολογίσετε τα όρια: α) 0 4 2 lim x x x    _β) 0 1 1 lim x x x x     _γ) 2 2 4 lim 2 3 2 x x x x      δ) ₂ 1 1 lim 2 3 x x x x     ε) 2 2 2 ( 4)( 2 2) lim 4 4 x x x x x       στ) 2 3 2 5 ( 5 )( 4 3) lim 10 25 x x x x x x x      

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 26 19. Ομοίως: α) 4 3 5 lim 1 5 x x x      β) ₁ 2 3 5 lim 1 x x x x      γ) 2 2 lim 2 8 x x x x     δ) 2 0 1 1 2 lim x x x x     20. Ομοίως: α) 3 0 1 1 lim x x x    _β) 2 3 3 2 3 lim 5 2 x x x x      γ) 3 3 2 5 3 13 lim 25 x x x x      δ) ₃3 2 1 1 lim 6 2 x x x      21. Ομοίως: α) ₂ 1 3 3 lim 1 x x x x      β) ₂ 2 2 2 5 1 lim 2 x x x x x       γ) 3 2 3 1 5 4 lim 2 3 x x x x x        δ) 3 2 5 1 3 lim 5 x x x x x      ε) 3 2 0 3 1 1 2 lim x x x x x      στ) ₂ 2 3 5 2 5 2 lim 4 x x x x x       22. α) 2 32 8 2 lim 2 2       _x x x x x β) 1 4 5 1 3 lim 1       _x x x x x 23. Αν

 

 

x 1

x 1lim f x β+2 lim f x α+3, xlim f x2

 

3β-4xlim f x2

 

2α+1, να

βρείτε τις τιμές των α και β, έτσι ώστε να υπάρχουν τα     x 1 x 2 limf x limf x    . 24. Δίνεται η συνάρτηση : ₂ 2 1 3 2 ( ) 3 5 2 x x f x x x x x            _  , 1 0 1 x x    Να βρείτε αν υπάρχει το 1 lim ( ) x f x . 25. Δίνεται η συνάρτηση : 2 9 , 3 ( ) 3 , 3 3 5 x f x x x     _{ }  _{ }      . Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια: α) 4 lim ( ) x f  β) xlim2 f( ) γ) limx3 f( ) .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 27 26. Δίνεται η συνάρτηση : 2 3 2 2 2 2 4 0 2 4 2 0 2 2 8 ( ) 2 4 2 2 3 2 x x x x x x x x f x x x x x x x x       _{ }         _       _{ }  α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β)Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια: ι) 0 lim ( ) x f x ιι) lim ( )x2 f x 27. Δίνεται η συνάρτηση : 1 2 1 1 3 2 4 ( ) 2 2 2 1 x x x x x f x x x x x             _{ }   _{ }  . Να βρείτε αν υπάρχει το 2 lim ( ) x f x . 28. Δίνεται η συνάρτηση

 

3 x -1_{, x<1} f x = x-1 2 x +αx-2, x 1       . Να βρείτε τις τιμές του α, έτσι ώστε να υπάρχει το

 

x 1 lim f x_ . 29. Δίνεται η συνάρτησηf(x)= 2αx+β, x 3 αx+3β, x>3     . Να βρείτε τις τιμές των α,β , για τις οποίες ισχύει x 3 limf(x)=10_ . 30. Ανf x = x+2β,

 

3αx+1, -1<x 2x<-1 2x+4α, x>2       , να υπολογίσετε τις τιμές των α και β για τις οποίες υπάρχουν τα_xlim f x_1

 

 limf x_x2

 

. 31. Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια: α) ₂ 2 3 1 lim 2 x x x x x      β) 2 3 3 4 1 3 lim 9 x x x x x       γ) 2 2 3 2 3 1 lim | 3 8 | 10 x x x x x x         δ) 2 2 3 1 lim 3 1 x x x x       .

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 28 32. Ομοίως: α) ₃ 2 3 2 6 lim 9 x x x x      β) 2 2 2 4 lim | 5 | 3 x x x x       γ) 2 2 2 2 4 | 5 6 | lim | 3 | x x x x x x x        δ) 2 2 2 3 3 6 9 lim | 9 | x x x x x x       ε) 2 3 2 2 2 5 8 4 lim | 2 | x x x x x x x x         . 33. Nα υπολογιστεί το όριο: lim x3 2_{-x -12|+|x +3|} x +3 x | 34. Nα υπολογιστεί το όριο: lim x x x x x x         1 6 1 4 2 35. Δίνεται συνάρτηση :f RR για την οποία ισχύει: 2 2 2x 7x 5 f x( )x  x 4 για κάθε χε(2,6).Να βρείτε τα όρια : α) 3 lim ( ) x f x β) 3 ( ) 2 lim 3 x f x x    . 36. Δίνεται συνάρτηση :f RR για την οποία ισχύει: 3 3 2 2 3 5 ( ) 3 2 x x x x x f x x x x          για κάθε χε(0,1) (1,+ ).Να βρείτε το 1 lim ( ) x f x . 37. Δίνεται συνάρτηση :f RR για την οποία ισχύει: 2 ( ) 12 3 22 x  x f x  x  για κάθε χεR. Nα βρείτε τα όρια : α) 1 lim ( ) x f x β) 1 ( ) (1) lim 1 x f x f x    38. Δίνεται συνάρτηση :f RR για την οποία ισχύει: ( ) 3 2 f x x  _{ για κάθε χεR*.} Nα βρείτε το 0 lim ( ) x f x . 39. Δίνεται συνάρτηση :f RR για την οποία ισχύει: 2 ( ) 2 f x  x για κάθε χεR. Να βρείτε τα επόμενα όρια:

georgefrang-math-trip.blogspot.gr Page 29 α) 0 lim ( ) x f x β) 0 ( ) 4 lim x f x x x    . 40. Δίνεται συνάρτηση :f RR για την οποία ισχύει: 2 2 3 2 ( )( 2 1) (12 12)( 3 2) x  x  f x x  x  x x  για κάθε χεR. Nα βρείτε το 1 lim ( ) x f x . 41. Δίνεται συνάρτηση :f RR για την οποία ισχύει: 2 2 |xf x( ) 2 ( ) f x x  4 | x 4x4 για κάθε χεR. Να βρείτε το 2 lim ( ) x f x . 42. Δίνεται συνάρτηση :f RR για την οποία ισχύει: 2 ( ) 6 ( ) 3 3 f x f x x x     για κάθε χ>-3. Να βρείτε το 0 lim ( ) x f x . 43.Έστω f:RR μία συνάρτηση.Να βρείτε το 0 lim ( ) x f x ,όταν: ι)f2_(x)≤2x2_{f(x), για κάθε χεR.} ιι) f2_{(x)≤2 f}2_{(x)ημχ, για κάθε χεR.} ιιι) f2_(x)+συν2_{χ≤2f(x) , για κάθε χεR.} 44. Να υπολογίσετε τα όρια: α) 0 6 lim 1 x      β) 6 lim 2 x      γ) ₂ 4 3 2 lim x        _δ) 2 2 lim 3 x         45. Ομοίως: α) lim_{x 0} 2      β) 2 1 lim x       γ) 0 1 lim x     δ) 0 lim 4 2 x    _{ } ε) 2 0 lim 4 2 x     _{  } στ) 2 2 0 9 3 lim x       η) 2 0 4 lim 2 1 x         θ) ₂ 0 5 3 lim 3 x        ι) lim_{x 0} 3      κ) 0 1 1 lim x          46. Ομοίως: α) 0 1 lim 1 x        β) ₀ 2 1 2 lim x      