ymat_integrall.pdf

Yüksek Matematik 2. Makina mühendisli

Yüksek Matematik 2. Makina mühendisliğği Bölümü.i Bölümü. Prof. Dr. Ramazan Ta

Prof. Dr. Ramazan Taşşaltaltıınn

E

E

ğğ

risel ve Yüzeysel

risel ve Yüzeysel

İİ

ntegraller (3 hafta)

ntegraller (3 hafta)

Gerekli konular 

Gerekli konular ıın özeti, parametrik denklemler, vektor alanlar n özeti, parametrik denklemler, vektor alanlar ıı, uzayda do, uzayda doğğru denklemi,ru denklemi, Cizgisel (e

Cizgisel (eğğrisel) risel) integraller, integraller, Vektör Vektör alanalanıınnıın bir en bir eğğri üzerinde integraliri üzerinde integrali Green Teoremi,

Green Teoremi,

Bir fonksiyonun bir yüzey uzerinde

Bir fonksiyonun bir yüzey uzerinde integraliintegrali Bir vektör alan

Bir vektör alanıınnıın bir yüzey üzerinde integrali.n bir yüzey üzerinde integrali. Stokes Teoremi, Diverjans teoremi.

Stokes Teoremi, Diverjans teoremi.

Diferansiyel Denklemler

Diferansiyel Denklemler

(9 hafta)(9 hafta) I)Diferansiyel denklemlerde genel tan

I)Diferansiyel denklemlerde genel tanıımlar,mlar,

dif denklemein mertebesi, derecesi, lineer ve nonlineer denklemler dif denklemein mertebesi, derecesi, lineer ve nonlineer denklemler II)Birinci Mertebeden ve birinci dereceden denklemler

II)Birinci Mertebeden ve birinci dereceden denklemler Degiskenlerine ayrilabilen diff denklemlerin cozumu Degiskenlerine ayrilabilen diff denklemlerin cozumu

Homojen Denklemler, homojen hale getirilebilen denklemler Homojen Denklemler, homojen hale getirilebilen denklemler Tam diferansiyel denklemler

Tam diferansiyel denklemler Integral Çarpan

Integral Çarpanıı ile tam diff haline getirilebilen denklemler ile tam diff haline getirilebilen denklemler Lineer

Lineer diferansiyel diferansiyel denklemler, denklemler, Bernoelli Bernoelli denklemi, denklemi, Riccati Riccati denklemidenklemi III)Yuksek mertebeden Sabit katsay

III)Yuksek mertebeden Sabit katsayııllıı Lineer  Lineer diff diff denklemlerin denklemlerin ÇözümüÇözümü IV)Diff denklemlerin kuvvet serileri ile çözümü

IV)Diff denklemlerin kuvvet serileri ile çözümü V)Diff

V)Diff denklemlerin denklemlerin Laplas Laplas dönüdönüşşümü ile cozumuümü ile cozumu VI)Diff denklem sistemlerinin Çözümü

VI)Diff denklem sistemlerinin Çözümü

Vize

Vize Final Final Odevler Odevler ve ve quizler quizler ToplamToplam 30

30 60 60 25 25 115115 Takip Edilecek Kaynaklar

Takip Edilecek Kaynaklar Genel

Genel Matematik Matematik 2. 2. BeBeşşinci Bask inci Bask ıı. Mustafa Balc. Mustafa Balcıı. . 2010. 2010. www.balciyayinlari.com.trwww.balciyayinlari.com.tr Thonas Calculus 2. Onbirinci bask 

Thonas Calculus 2. Onbirinci bask ıı. Cev. Recep Korkmaz. 2007 ,. Cev. Recep Korkmaz. 2007 , www.betayayincilik.comwww.betayayincilik.com Diferansiyel Denklemler, Mustafa Bayram, BirsenYayinlari, 2009

Diferansiyel Denklemler, Mustafa Bayram, BirsenYayinlari, 2009 Cozumlu Diferansiyel Denklem Problemleri, Cevdet Cerit. 2006 Cozumlu Diferansiyel Denklem Problemleri, Cevdet Cerit. 2006 Dokuman

Dokuman sayfasi sayfasi http://eng.harran.edu.tr/~rtasaltinhttp://eng.harran.edu.tr/~rtasaltin Elime de

Elime değğil içindekine bak (MEVLANA CELALEDDIN)il içindekine bak (MEVLANA CELALEDDIN) (Kabukla degil

(Kabukla degil öz ile öz ile memeşşgul ol)gul ol) (ayr 

(ayr ııntntıılarla ularla uğğraraşşıı p vakit kaybetme, dersten maximum istifadeye çal p vakit kaybetme, dersten maximum istifadeye çalıışş ) ) Vaktinde teslim

Uzayda Dogru denklemi

A(x

₁

, y

1

, z

1

) ve B(x

2

, y

2

, z

2

) noktalarindan gecen

dogru denklemi

2 1 1 2 1 1 2 1 1

z

-z

z

-z

y

-y

y

-y

x

-x

x

-x

= =

Dogru denklemi ha liyle

1 2 1 1 2 1 1 2 1

z

-z

z

-z

y

-y

y

-y

x

-x

x

-x

= = olarak da yazilabilir. Ornek 231

A(1,2,3) ve B(5,3, 7) noktalarindan gecen dogru denklemini yazin.

7

-3

3

-z

3

-2

2

-y

5

-1

1

-x

= =

4

-3

-z

1

-2

-y

4

-1

-x

= =

4

3

-z

1

2

-y

4

1

-x

= = Ornek 232

A(0,0,0) ve B(1,1, 1) noktalarindan gecen dogru denklemini yazin.

1

-0

0

-z

1

-0

0

-y

1

-0

0

-x

= =

1

-z

1

-y

1

-x

= = _,

x=y=z

_, Ornek 241

A(1,2,3) ve B(5,3, 7) noktalarindan gecen dogrunun  parametrik denklemini yazin. Ornek 231 den dogrunun

kartezyen denklemi

4

3

-z

1

2

-y

4

1

-x

= = seklinde verilmisti. Burada x=t konulursa

1

2

-y

4

1

-t

= _{, => y=2+}

4

1

-t

=0.25t+1.75

4

3

-z

4

1

-t

= _{, z-3=t-1 z= t+2} r(t)=t

i

+ (0.25t+1.75)

 j

 + (t+2)

 k 

 Not: Ayni denklemi degisik parametrik denklemlerle de ifade edebiliriz.

4

3

-z

1

2

-y

4

1

-x

= = Burada x=4t+1 konulursa

1

2

-y

4

1

-1

4t

= + , => y=2+

4

4t

= t+ 2

4

3

-z

4

1

-1

4t

= + ,

4

3

-z

4

4t

= _{, z-3=4t, z=4t+3} r(t)=(4t+1)

i

+ (t+2)

 j

 + (4t+3)

 k

-

---Ornek 321 r(t) = (at+b)

i

+ (ct+d)

 j

 + (et+f)

 k

denklemini kartezyen koordinatlarda ifade edin. Cozum: r(t) = x

i

+ y

 j

 + z

 k

x = at+b, y= ct+d, z=et+f

e

f 

-z

t

,

c

d 

-y

t

,

a

 b

-x

t

= = =

e

f 

-z

c

d 

-y

a

 b

-x

= =

Egrisel integraller,

Bir fonksiyonun bir egri uzerinde integrali.

Bazi durumlarda egri y=g(x) seklinde degilde g(x,y)=0 seklinde de verilebilir.

Uc boyutlu uzayda. f(x,y,z) fonksiyonunun g(x,y,z)=0 uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayin. Parametrik denklemlerle.

f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integrali t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

|

(t)

r'

|

z(t))

y(t),

(x(t),

f 

∫

== b t  a t    F11 ---x-y duzleminde y=g(x) seklinde verilmisse

dx

dx

dy

1

g(x))

(x,

f 

2

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

∫

 x x₌=ab   F12 ---y=g(x) z=h(x) seklinde verilmisse

dx

)

z'

(

)

y'

(

1

h(x))

g(x),

(x,

f 

+

2

+

2

∫

 x x₌=ab  F13 ---r=g(θ_{) seklinde Kutupsal koordinatlarda verilmisse}

θ  θ  θ  θ  θ 

f 

(r

cos

,

r

sin

)

r 

r 

'

d

y)dl

(x,

f 

=

∫

2

+

2

∫

== b a F14 B x y y=g(x)

f(x,y) fonksiyonunun g(x) uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar

hesaplayinhesaplayin. A

vektor alanlari

vektor alanlari

34)C=3i+4j,

34)C=3i+4j, D=-3i+4j,D=-3i+4j, x-y x-y duzleminde duzleminde birer birer vektoruvektoru ifade ederler.

ifade ederler.

35)F=P(x,y)i+Q(x,y)j,

35)F=P(x,y)i+Q(x,y)j, x-y duzleminde x-y duzleminde her her noktada noktada degisendegisen vektor

vektor alanini alanini ifade ifade ederler.ederler.

41)Vektorun.

41)Vektorun. baslangic noktasi, baslangic noktasi, yonu, siddeti yonu, siddeti verildiginde overildiginde o vektor cizilebilir.

vektor cizilebilir.

Ornek: P(3,4) noktasindan yonu x ekseni ile 60 derecelik aci Ornek: P(3,4) noktasindan yonu x ekseni ile 60 derecelik aci yapan 10 siddetindeki vektoru cizin

yapan 10 siddetindeki vektoru cizin

43)

43) P(6,10) noktasindaki P(6,10) noktasindaki degeri F=3i-8j degeri F=3i-8j olan vektoru olan vektoru cizin.cizin.

44)

44) P(6,10) noktasindaki P(6,10) noktasindaki degeri F=-3i-8j degeri F=-3i-8j olan vektoru ciziolan vektoru cizin.n.

Vektorun.

Vektorun. baslangic noktasi, baslangic noktasi, yonu, siddeti yonu, siddeti verildiginde overildiginde o vektor cizilebilir.

vektor cizilebilir. 45)

45) P(6,10) noktasindaki P(6,10) noktasindaki degeri F=3i+8j degeri F=3i+8j olan vektoru cizin.olan vektoru cizin.

51)

51) F=(y-x)i+(x-y)j F=(y-x)i+(x-y)j vektor vektor alaninin alaninin P(6,10) P(6,10) noktasindakinoktasindaki degerini x-y duzleminde gosterin

degerini x-y duzleminde gosterin

Cevap: F=(y-x)i+(x-y)j =(10-6)i+(6-10)j=4i-4j Cevap: F=(y-x)i+(x-y)j =(10-6)i+(6-10)j=4i-4j

52)

52) F=(y-x)i+(y-x)j F=(y-x)i+(y-x)j vektor vektor alaninin alaninin P(6,10) P(6,10) noktasindakinoktasindaki degerini x-y duzleminde gosterin

degerini x-y duzleminde gosterin Cevap: F=(y-x)i+(y-x)j

Cevap: F=(y-x)i+(y-x)j =(10-6)i+(10-6)j=4i+4j=(10-6)i+(10-6)j=4i+4j

x x y y 6 6 10 10 4 4 4 4 x x y y 6 6 10 10 4 4 4 4 x x y y 6 6 10 10 8 8 3 3 x x y y 6 6 10 10 8 8 3 3 x x y y 6 6 10 10 8 8 3 3 60 6000 x x y y 3 3 4 4 10 10 x x y y 3 3 4 4 CC x x y y -3 -3 4 4 D D x x y y

53) Sekildeki vektorun x ekseni ile yaptigi aciyi ve vektorun siddetini(genligini)hesaplayin.

Vektorun genligi (siddeti)

3

2 +

4

2 =

5

aci θ_{=arg tan(4/3)=53.1}0

61)F=j, y yonunde sabit siddetde

62)F=xi, x yonunde, ve x arttikca siddetde artiyor

63)F=yj y yonunde, ve y arttikca siddetde artiyor

64)F=yi, x yonunde, ve y arttikca siddetde artiyor

71)F=yj,  x,y,z duzleminde

oklarin siddetleri ayni oldugunu varsayin.

72) F(x,y)= -y i + x j x y Pi Qj x y Pi Qj 1 0 0 1 -1 0 0 -1 2 2 -2 2 -2 -2 2 -2 3 0 0 3 -3 0 0 -3 0 1 -1 0 0 -1 1 0 -2 2 -2 -2 2 -2 2 2 0 3 -3 0 0 -3 3 0 x y 6 10 3 4 θ x y x y x y x y x y z

F= ‒  _yi+xj

Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali

F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k

Curl F=(R y

 ‒ 

 Qz)i + (Pz

 ‒ 

 R x) j + (Qx

 ‒ 

 Py)k F21 div F =

∇

•

F = P_x+ Q_y+ R _{z F22}

---

---F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

r'

F

∫

== b t  a t    F24

dt

)

dt

dc

R 

dt

db

Q

dt

da

(P

+

+

∫

== b t  a t    F25

r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerinde

dt

)

dz

R 

dy

Q

dx

(P

+

+

∫

== b t  a t 

integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

)

dt

dc

R 

dt

db

Q

dt

da

(P

+

+

∫

== b t  a t    F26

Tutarli (korumali) Vektor alani.

f(x,y,z) fonksiyonunun gradienti

grad f =

∇

f = F = f xi + f y j + f zk F27.

f 

(x,y,z) nin turevleri varsa F her zaman vardir hesaplanabilir. F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) her zaman olmaz.

F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) varsa F ye tutarli (korunmali, konservatif, conservative) vektor alani denir.

F tutarli ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) boyunca yaptigi is) yoldan bagimsizdir.

A noktasindan B noktasina degisik yollar boyunca gidilebilir.

F tutarli (korumali) ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) yolu boyunca yaptigi is yoldan bagimsizdir. )

dt

r 

F

dt

r 

F

dt

r 

F

₁'

∫

₂'

∫

₃'

∫

== = = = =

=

=

B t   A t   B t   A t   B t   A t    F28

F=Pi+Qj, (iki boyutlu)

P

y

=Q

x ise F tutarlidir. F31

F=Pi+Qj+Rk

R

y

=Q

z

, P

z

= R

x

, Q

x

 = P

y

ise F tutarli

(uc sartin ucu de saglanirsa tutarlidir,korumalidir) F32

f(A)

-f(B)

dt

r 

F

_X'

=

∫

==  B t   A t    F33

A dan B yeherhangibir yol boyuncaintegralin degeri f fonksiyonunun B deki degeri eksi ve A daki degeridir. r 2(t) x y r 3(t) r 1(t) A B

Green Teoremi

dy

dx

)

dy

dP

dx

dQ

(

dy)

Q

dx

(P

+

=

∫∫

−

∫

 B C  F41

C: Kapali bir egri.

B: bu kapali egrinin icindeki alan.

C egrisi uzerindeki integral C nin cevreledigi alan uzerindeki iki katli integrale donusturulebilir.

F yi C egrisi uzerinde integre etmek zor ise iki katli integrali hesapla.

Veya Iki katli integral zor olursa (P dx+Qdy) ifadesini C uzerinde integre et.

Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali

yuzey denklemi. z=f(x,y) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-y duzlemindeki izdusumu ise.

dy

dx

f 

f 

1

y))

f(x,

y,

g(x,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_x2

+

_y2

∫∫

 B S  F51 ---

---yuzey denklemi. y=f(x,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-z duzlemindeki izdusumu ise.

dz

dx

f 

f 

1

z)

z),

f(x,

g(x,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_x2

+

_z2

∫∫

 B S  F52 - ---yuzey denklemi. x=f(y,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin y-z duzlemindeki izdusumu ise.

dz

dy

f 

f 

1

z)

y,

z),

g(f(y,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_y2

+

_z2

∫∫

 B S  F53 --- ---. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir.

Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integra

li.

F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integrali. Tanim: pozitif z yonunde normal denklemi

2 y 2 x y x

f 

f 

1

k 

 j

f 

i

f 

n

+

+

+

−

−

=

,

 pozitif y yonunde normal denklemi

2 y 2 x z x

f 

f 

1

k 

f 

 j

i

f 

n

+

+

−

+

−

=

,

F vektor, n vektor. Iki vektorun scalar carpimi scalardir. (ai+bj).(ci+dj)=ac+bd (2i+3j).(4i+7j)=8+21=29.

F n=g(x,y,z)

( F vektor, n vektor, ikisinin carpimi g(x,y,z) bir fonksiyon vektor degil)

dy

dx

z)

y,

g(x,

ds

n

F

∫∫

∫∫

=

 B S  F61

dy

dx

R)

dy

df 

Q

dx

df 

P

(

ds

n

F

=

∫∫

−

−

+

∫∫

 B S  F62

B bolgesi S yuzeyinin x-y duzlemindeki izdusumudur. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir.

--- ---grad f =

∇

f = F = f xi + f y j + f zk F26.

f(x,y,z)=xyz+ exy +z2 grad f=?

f _x=yz+y exy f _y=xz+x exy f _z=xy+ 2z

grad f =

∇

f= (yz+y exy)i + (xz+x exy )j + (xy+ 2z)k

Stokes Teoremi

ds

n

F

Curl

dr 

F

∫∫

∫∫

=

S  C    F71

(Curl F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali, S yuzeyini cevreleyen C egrisi uzerindeki F nin integraline esittir. Ozetle: Yuzey integrali egri integraline donusturulebilir.

Diverjans teoremi.

dz

dy

dx

f 

ds

n

F

=

∫∫∫

∇

∫∫

 D S    F81

OZET NOT

Egrisel integraller,

Bir fonksiyonun bir egri uzerinde integrali.

Bazi durumlarda egri y=g(x) seklinde degilde g(x,y)=0 seklinde de verilebilir.

Uc boyutlu uzayda. f(x,y,z) fonksiyonunun g(x,y,z)=0 uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayin.

Parametrik denklemlerle.

f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integrali t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

|

(t)

r'

|

z(t))

y(t),

(x(t),

f 

∫

== b t  a t    F11 ---x-y duzleminde y=g(x) seklinde verilmisse

dx

dx

dy

1

g(x))

(x,

f 

2

⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎝ 

⎛ 

+

∫

 x x₌=ab   F12 ---y=g(x) z=h(x) seklinde verilmisse

dx

)

z'

(

)

y'

(

1

h(x))

g(x),

(x,

f 

+

2

+

2

∫

 x x₌=ab F13 ---r=g(θ_{) seklinde Kutupsal koordinatlarda verilmisse}

θ  θ  θ  θ  θ 

f 

(r

cos

,

r

sin

)

r 

r 

'

d

y)dl

(x,

f 

=

∫

2

+

2

∫

== b a F14 -r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egri uzunlugu

dt

(t)

c'

(t)

 b'

(t)

a'

dt

||

(t)

r'

||

∫

2 2 2

∫

=

+

+

=

b a b a  L F15 -- ---

---Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali

F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k

Curl F=(R _{y  ‒}  Q_z)i + (P_{z  ‒}  R _x) j + (Q_{x  ‒}  P_y)k F21

div F =

∇

•

F = Px+ Qy+ R z F22

---

---F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin

r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

r'

F

∫

== b t  a t    F24

dt

)

dt

dc

R 

dt

db

Q

dt

da

(P

+

+

∫

t t ₌=ab   F25

r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerinde

dt

)

dz

R 

dy

Q

dx

(P

+

+

∫

t t ₌=ab

integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

)

dt

dc

R 

dt

db

Q

dt

da

(P

+

+

∫

t t ₌=ab   F26

Yukaridaki Formullerin degisik yazim sekilleri

Tutarli (korumali) Vektor alani.

f(x,y,z) fonksiyonunun gradienti B

x y

y=g(x)

f(x,y) fonksiyonunun g(x) uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar

hesaplayinhesaplayin. A

grad f =

∇

f = F = f _xi + f _y j + f _zk F27.

(F=Pi+Qj+Rk veya F =Mi+Nj+Pk seklinde de yazilir.) grad f=

∇

f=F ifadesine f ningradyani denir.

Bazi kitaplarda gradyan yerine gradient, gradyan alani

ifadeleri de kullanilir.

f 

(x,y,z) nin turevleri varsa F her zaman vardir hesaplanabilir. F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) her zaman olmaz.

F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) varsa F ye tutarli

(korunmali, konservatif, conservative) vektor alani denir.

F tutarli ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F

nin r(t) boyunca yaptigi is) yoldan bagimsizdir.

A noktasindan B noktasina degisik yollar boyunca gidilebilir. F tutarli (korumali) ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) yolu boyunca yaptigi is yoldan bagimsizdir. )

dt

r 

F

dt

r 

F

dt

r 

F

₁'

∫

₂'

∫

₃'

∫

== = = = =

=

=

B t   A t   B t   A t   B t   A t    F28

F=Pi+Qj, (iki boyutlu)

P

y

=Q

x ise F tutarlidir. F31

F=Pi+Qj+Rk

R

y

=Q

z

, P

z

= R

x

, Q

x

 = P

y

ise F tutarli

(uc sartin ucu de saglanirsa tutarlidir,korumalidir) F32

f(A)

-f(B)

dt

r 

F

_X'

=

∫

t t ₌= A B   F33

A dan B yeherhangibir yol boyuncaintegralin degeri f fonksiyonunun B deki degeri eksi ve A daki degeridir.

Green Teoremi

dy

dx

)

dy

dP

dx

dQ

(

dy)

Q

dx

(P

+

=

∫∫

−

∫

 B C  F41

C: Kapali bir egri.

B: bu kapali egrinin icindeki alan.

C egrisi uzerindeki integral C nin cevreledigi alan uzerindeki iki katli integrale donusturulebilir.

F yi C egrisi uzerinde integre etmek zor ise iki katli integrali hesapla.

Veya Iki katli integral zor olursa (P dx+Qdy) ifadesini C uzerinde integre et.

Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali

yuzey denklemi. z=f(x,y) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-y duzlemindeki izdusumu ise.

dy

dx

f 

f 

1

y))

f(x,

y,

g(x,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_x2

+

_y2

∫∫

 B S  F51 ---

---yuzey denklemi. y=f(x,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-z duzlemindeki izdusumu ise.

dz

dx

f 

f 

1

z)

z),

f(x,

g(x,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_x2

+

_z2

∫∫

 B S  F52 - ---yuzey denklemi. x=f(y,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin y-z duzlemindeki izdusumu ise.

dz

dy

f 

f 

1

z)

y,

z),

g(f(y,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_y2

+

_z2

∫∫

 B S  F53 --- ---. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir.

Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integra

li. F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integrali.

Tanim: pozitif z yonunde normal denklemi

2 y 2 x y x

f 

f 

1

k 

 j

f 

i

f 

n

+

+

+

−

−

=

,

 pozitif y yonunde normal denklemi

2 y 2 x z x

f 

f 

1

k 

f 

 j

i

f 

n

+

+

−

+

−

=

,

F vektor, n vektor. Iki vektorun scalar carpimi scalardir. (ai+bj).(ci+dj)=ac+bd

(2i+3j).(4i+7j)=8+21=29.

F n=g(x,y,z)

( F vektor, n vektor, ikisinin carpimi g(x,y,z) bir fonksiyon vektor degil)

r 2(t) x y r 3(t) r 1(t) A B

dy

dx

z)

y,

g(x,

ds

n

F

∫∫

∫∫

=

 B S  F61

dy

dx

R)

dy

df 

Q

dx

df 

P

(

ds

n

F

=

∫∫

−

−

+

∫∫

 B S  F62

B bolgesi S yuzeyinin x-y duzlemindeki izdusumudur. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir.

--- ---grad f =

∇

f = F = f xi + f y j + f zk F26.

f(x,y,z)=xyz+ exy +z2 grad f=?

f _x=yz+y exy f _y=xz+x exy f _z=xy+ 2z

grad f =

∇

f= (yz+y exy)i + (xz+x exy )j + (xy+ 2z)k

Stokes Teoremi

ds

n

F

Curl

dr 

F

∫∫

∫∫

=

S  C    F71

(Curl F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali, S yuzeyini cevreleyen C egrisi uzerindeki F nin integraline esittir. Ozetle: Yuzey integrali egri integraline donusturulebilir.

Diverjans teoremi.

dz

dy

dx

f 

ds

n

F

=

∫∫∫

∇

∫∫

 D S    F81

(F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali

∇

F nin S nin kapladigi hacim uzerindeki integraline esittir.

(Harran Univ. Makina Muh) Yuksek Matematik II I vize Vize Sinavi

Sinavda dikkat edilecek Hususlar :

A) “...

 integrali hesaplayin”, “ .... diff denklemi Cozun” 

seklindeki sorularda istenen sey integralin veya diff

denklemin hesabidir. Bu tip sorularda sadece sonuc

yazmaniz yetmez. Adim adim yaptiginiz hesabi kagidinizda

gostermeniz grekir.

B)“

Gerekli integralleri yazin

”

“

 Diff denklemi elde edin

”

seklindeki sorularda istenen sey, integralin veya diff

denklemin elde edilmesidir. Cozumu degil.

Istenen integral, integral sinirlari ile beraber net olarak

 belirtilmelidir.

Ornek olarak

∫

= =

+

+

3 t 2 t 6 2

dt

5

t

4t)

(t

istenen integraldir. Tam not alir.

Burada integral sinirlari ve integrali alinacak fonksiyon

dogru olarak yazilmis.

Ancak

∫

+

₊

t 6 2

dt

5

t

4t)

(t

,

∫

= = 3 t 2 t

dt

(t)

r'

f(t)

,

∫

C

dt

(t)

r'

f(t)

,

∫

S

dt

(t)

r'

f(t)

seklindeki ifadeler sifir not alir. Cunku sinirlar veya integre

edilecek fonksiyon eksik yazilmis veya yazilmamis.

Sorularla ilgili aciklama

(122-125): Soru tiplerinde verilen sorulardan soru numarasi

122 ile 125 arasindan bir soru gelecek demektir.

(521, 534): Soru tiplerinde verilen sorulardan soru numarasi

521 ile 534 arasindan bir soru gelecek demektir.

(521, 534): bir sonraki sayfadaki sorulardan soru numarasi

521 ve 534den bir soru demektir.

Ornek Sorular

1) Asagidaki islemleri yapin (122-125 arasindan )

2) Asagida istenen grafikleri cizin (131-136 arasindan)

3)r(t)=... egrisi uzerinde t=.. dan t=.. re kadar f(x,y,z)=...

integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. (

141-161 arasindan)

4) denklemi ... olan eğri parças

ı

n

ı

n ..<x<.. icin uzunluğunu

 bulunuz. 181

5)F(x,y,z)=... vektor alaninin grafigini cizin. (211-224

arasindan)

6) C eğrisi ... seklinde verildigine gore

F(x,y,z)

vektorunun C egrisi uzerindeki integralini hesaplamak icin

gerekli integralleri yazin. (231-256 arasi)

7) F(x,y,z) vektorunun yaptigi is yoldan bagimsiz oldugunu

gosterin. F vektorunun A(...) noktasindan B(....) noktasina

kadar integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin.

(2 soru 261-298 arasi)

8) C eğrisi ... denklemli eğri olduğuna göre

... integralini hesaplamak icin gerekli

integrali Green teoreminden faydalanarak yazin. (integrali cift

katli integrale donusturun) ( 311-333)

9) S yuzeyi ... denklemli yuzey olduğuna göre

... integralini hesaplamak icin gerekl integrali

Green teoreminden faydalanarak yazin. (integrali egrisel

integrale donusturun ( 311-333)

10) S yüzeyi ... olduğuna göre

∫∫

g(x,

y,

z)ds

S 

integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. (

410-440)

11) F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S

yuzeyi uzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli

integralleri hesaplayin.

( 450-490)

12)F(x. y. z) = Pi + Qj+R k ve S de ... olsun. Bu

yüzeyin normali yuzeyin d

ı

ş

ı

na doğru yönlendirildiğine göre

ds

n

F

Curl

∫

S 

integralini hesaplamak icin gerekli

integralleri Stokes teoremini kullanarak yazin. (521, 534)

13) S yüzeyi ... olduğuna göre

F{x, y, z) = Pi + Qj+R k, vektör alan

ı

n

ı

n S nin s

ı

n

ı

r eğrisi

üzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli integralleri

Stokes teoremini kullanarak yazin. n normali yuzeyin d

ı

ş

ı

na

SORU TIPLERI ile ilgili aciklama

F:

Ozet not

’daki formul numarasidir. Problemin

cozulmesi icin gereken formulu gosterir.

F11: formul 11, F12:formul 12.

 b182: kaynak kitap (Mustafa Balci)182.inci sayfada

ornek var

 b183: kaynak kitap 183.uncu sayfada ornek var

TH1148 soru 9: Thomas Calculus kitabinin 1148 inci

sayfasindaki 9.uncu soru.

SORU TIPLERI

Vektorler

•:

Scalar carpim

.

X:kartezyen (vektorel) carpim

122) (3i+4j )

•

 (5i+6j )=?

123) (3i+4j +5k)

•

 (6i+7j+8k )=?

124) (3i+4j ) X (5i+6j )=?

125) (3i+4j +5k) X (6i+7j+8k )=?

131) 3ti+4tj vektorunu x-y duzleminde cizin

132) ti+ t

2

 j vektorunu x-y duzleminde cizin

133) ti+ t

2

 j+k vektorunu uzayda cizin

134) ti+ t

2

 j+10k vektorunu uzayda cizin

135) ti+ tj+tk vektorunu uzayda cizin

136) ti+ t

2

 j+tk vektorunu uzayda cizin

137) F=z i +

2 2

 y

 x

+

 j + xy k ise

∇

f, Curl F i hesaplayin

Bir fonksiyonun bir egri boyunce integrali

141)r(t)=2ti+t

2

 j + 3 t

3

k egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar

f(x,y,z)=x

2

+y

2

+z

2

integralini hesaplamak icin gerekli

integralleri yazin. .

F11-b182-184

142)r(t)=2ti+t

2

 j egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar

f(x,y,z)=x

2

+y

2

+z

2

integralini hesaplamak icin gerekli

integralleri yazin. .

F11-b182-184

143)r(t)=2ti+t

2

 j egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar

f(x,y,z)=x

2

+y

2

integralini hesaplamak icin gerekli

integralleri yazin. .

F11-b182-184

144)A(1,2,3) den B(5,2,1) dogrusu uzerinde

f(x,y,z)=x

2

+y

2

+z

2

integralini hesaplamak icin gerekli integrali

yazin.

F11-b182-184

145) z=0 (x-y) duzleminde x

2

+y

2

=4 cemberi uzerinde ilk

 bolgede (x>0, y>0) f(x,y,z)=x

2

+y

2

  integralini hesaplamak

icin gerekli integrali yazin.

F11, x= rcos(t), y=rsin(t),

146) z=1 duzleminde x +y =4 cemberi uzerinde ilk

 bolgede (x>0, y>0) f(x,y,z)=x

2

+y

2

+z

2

 integralini

hesaplamak icin gerekli integrali yazin.

F11, , x= rcos(t), y=rsin(t), z=1,

147) f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=3 cos(t) i + 3 sin(t) j +tk

egrisi uzerindeki integrali 0<t<2π araliginda hesaplayin.

F11

148- TH1148 soru 9

149- TH1148 soru 10

150- TH1148 soru 11

...

...

soru 12,13,14,15,16,17,18,19

161- TH1148 soru 22

141-161 arasi icin F11 .

181) Parametrik denklemi r(t)=2ti+t j + 3t k olan eğri

 parças

ı

n

ı

n 0<t<3 icin uzunluğunu bulunuz.

F15,el5,

Vektor alanlari

211)Iki boyutlu uzayda (duzlemde )verilen vector alanlarinin

grafigini cizin.

F=i F=10j F=xi F=xj F=yi F=xi+yj F=yi+xj F=2i+yj

F=xi+3j

212)Uc boyutlu uzayda (duzlemde )verilen vector alanlarinin

grafigini cizin.

F=i F=k F=xi F=xj F=yi F=xi+yj F=yi+xj+zk

F=zk F=2j+zk

221 TH1158 soru 1

222 TH1158 soru 2

223 TH1158 soru 3

224 TH1158 soru 4

Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali

231

)

F(x,y,z)=(x

2

-2xz)i+(y

2

+xz)j+(z

2

-3xy)k  vektör alan

ı

n

ı

n

eğ

risel

İ

ntegralini, (0,0

,0) noktas

ı

n

ı  (1,1,1)

nok 

tasına birle

ş

tiren a

ş

a

ğ

ıdaki egri parçalari

  üzerinde

hesaplay

ı

n

ı

z.

C1... r(t)=ti+tj+tk 0

≤

 t

≤

 1

C2... r(t)=ti+t2 j+t3k 0

≤

 t

≤

 1

F25, b192,

232)

C

eğrisi, parametrik gösterimi

r(t)=(1+t)i+2tj+3tk 0

≤

 t

≤

 1

dz

xy

dy

xz

dx

yz

I

C

∫

+

+

=

_{integralini hesaplay}

ı

n

ı

z.

F26, b193

233)C eğrisi

 y = x2

 parabolünün (0,0) noktas

ı

n

ı

(2

,

4)

noktas

ı

na birleştiren parças

ı

 olduğuna göre

∫

−

+

=

C 3 2

_2xy

_)dx

_x

_dy

(y

I

integralini

hesaplay

ı

n

ı

z.

F26, b193

241) TH1158 soru 7

242) TH1158 soru 8

243) TH1158 soru 9

... .... ... ...

soru 10,11,12,13,14,15,16

251) TH1158 soru 17

252) TH1159 soru 37

253) TH1159 soru 38

254) TH1159 soru 39

255) TH1159 soru 40

256) TH1159 soru 41

F26

Yoldan Bagimsizlik

261)C eğrisi, parametrik gösterimi

r(t)=cos t i+ sin t j+tk 0

≤

 t

≤

 2

π

,

olan helis parças

ı

olduğuna göre

F(x,y,z)=y

2

z i+2xyzj+xy

2

k, üzerindeki

integralini hesaplay

ı

n

ı

z.

Yol gosterme :

 f(x,y,z) = xy

2 z

fonksiyonunun gradyenidir

F31, F33, b195

262)

2)dy

(2xy

6x)dx

-(y

I

2 , 1 0 , 0 2

∫

+

+

=

_{integralini hesaplay}

ı

n

ı

z.

Çözüm :

P(x,y)=y

2

-6x, Q(x,y)=2xy+2, olduğundan

P

y

(x,y)=2y, Q

x

(x,y)=2y, P

y

=Q

x

Dolay

ı

s

ı

yla integralin degeri yoldan bagimsiz

F32,F33, b198

---

---271) TH1168 soru 1

272) TH1168 soru 2

... ... ..

soru

3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,2

5,26,27

297) TH1168 soru 27

298) TH1168 soru 28

F31, F32,F33

---

---Green Teoremi

311)

C

eğrisi

X6

+

Y2

=

1 denklemli eğri olduğuna göre

dy

e

dx

)

e

x

(cos

C y x 3

∫

+

+

İntegralini hesaplay

ı

n

ı

z.

F41,b201

312)C eğrisi,  y

=

1

−

 x2 yan çemberi île (1.0) ve (-1,0) noktalar ını birleştiren doğru parçasının oluşturduğu kapah eğri olup

 bunun yönü saat yönünün tersidir.

integralini hesaplayınız.

F41,b201

313) C eğrisi, birinci bölgede x2 _{+ y}2  _{- 2y = 0 , x}2_{+ y}2  _{- 4y = 0}

çemberleri ile y =

3

 x

, y

=

x

3

1

doğrulan tarafmdan sınırlanan

 B bölgesinin çevre eğrisi olduğuna göre

integralini Green formülünden yararlanarak hesaplay

ı

n

ı

z.

F41,b20

314) TH1179 soru 1

315)TH1179 soru 2

...

soru 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19.

333)TH1179 soru 20

---

---Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali

411) S yüzeyi z = x

2

+2y

2

 paraboloidinin z=2 ve z= 6

düzlemleri aras

ı

nda kalan parças

ı

 olduğuna göre

ds

z

y

x

I

=

∫

+

+

S 

 integralini hesaplay

ı

n

ı

z.

F51, b215

412) S yüzeyi y = x

2

+2z

2

 paraboloidinin y=2 ve y= 6

düzlemleri aras

ı

nda kalan parças

ı

 olduğuna göre

ds

z

y

x

I

=

∫

+

+

S 

 integralini hesaplay

ı

n

ı

z.

F52, b215

413)S , x + 2y ‒  z = 2 düzleminin birinci bölgedeki parças

ı

olsun. g(x, y, z) =2x + 3y + 4z fonksiyonunun S üzerindeki

integralini hesaplay

ı

n

ı

z.

F51,b215,el15_521,

Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integrali.

454) S yüzeyi x

2

 + y

2

+ z

2

= 1 yüzeyi olsun. S yüzeyini,

yönü d

ı

şari doğru olan normalle yönlendirelim.

F(x, y,z) = yi- xj + zk vektör alan

ı

 için

I

=

∫

F

n

ds

S 

integral

ı

ni hesaplay

ı

n

ı

z.