Estimating and Testing Asset Pricing Models: A Comparison of Beta and SDF Methods

学校编码 学校编码 学校编码 学校编码：：：：10384 分类号 分类号 分类号分类号 密级密级密级密级 学号 学号 学号 学号：：：：27720091152419

UDC

硕

士

学

位

论

文

资产定价模型的估计与检验

资产定价模型的估计与检验

资产定价模型的估计与检验

资产定价模型的估计与检验：

：

：

：

Beta

方法

方法与

方法

方法

与

与

与随机折现因子方法

随机折现因子方法

随机折现因子方法

随机折现因子方法比较

比较

比较

比较

Estimating and Testing Asset Pricing Models:

A Comparison of Beta and SDF Methods

许晓红

指导教师姓名：

任 宇 副教授

林 明 副教授

陈灯塔 副教授

专 业 名 称：金 融 学

论文提交时间：2012 年 4 月

论文答辩日期：2012 年 5 月

学位授予日期：2012 年

6

月

答辩委员会主席：

评

阅

人：

2012 年 5 月

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年 月 日

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于 年 月 日解密，解密后适用上述授权。

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委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认

为公开学位论文，均适用上述授权。）

声明人（签名）：

年 月 日

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I

摘

摘

摘

摘

要

要

要

要

随机折现因子定价方法为资产定价模型的研究提供了统一的框架，和传统的 beta定价方法比，更具一般性。虽然二者在理论上是等价的，可以相互转换，但 在实证中的表现又是如何呢？本文主要研究 beta 方法和随机折现因子方法的有 限样本表现的区别。文中采用蒙特卡罗模拟的方法，对单因素定价模型和多因素 定价模型应用 beta 方法和随机折现因子方法来检验二者在不同类型的资产组合 中定价误差、模型设定检验以及参数估计性质三方面的表现。 在参数估计方面，beta方法下采用了两阶段普通最小二乘，以及两阶段广义 最小二乘和两阶段加权最小二乘三种估计方法；随机折现因子方法下，当随机折 现因子表示为因素的线性函数m= −1 b f' 时采用普通广义矩估计，Hansen and Jagannathan (1997) 的广义矩估计和Hansen, Heaton, and Yaron (1996) 的连续更 新 广 义 矩 估 计 ； 当 随 机 折 现 因 子 表 示 为 去 均 值 因 素 的 线 性 函 数

1 '( ( ))

m= −b f −E f 时采用普通广义矩估计和Cochrane (2005)广义矩估计。 研究结果表明：在定价误差方面，以Hansen-Jagannathan distance作为衡量 标准，随机折现因子方法下的Hansen and Jagannathan (1997) 广义矩估计表现最

好；在模型设定检验方面，beta方法下，多因素模型表现并没有优于单因素模型， 而在随机折现因子方法下，多因素模型的定价表现优于单因素模型。另外，按多 个特征交叉分组的资产组合比按单一特征分组的组合更难定价；在参数估计性质 方面，beta方法和随机折现因子方法不管是在单因素还是在多因素资产定价模型 中的表现是一样的。 关键词 关键词 关键词 关键词：：：：Beta定价模型 随机折现因子 Hansen-Jagannathan 距离

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II

Abstract

Stochastic discount factor method provides a unify framework for the research of asset pricing models, which is more general comparing to the traditional beta method. Although both methods are equivalent in theory, what are their performances in the empirical research? This paper focuses on the differences of the finite sample performances between beta method and stochastic discount factor method.

By simulation, this paper studies the finite sample properties of various estimation procedures under beta method and stochastic discount factor method respectively for both one factor pricing model and multifactor pricing model. The finite-sample performances contain the pricing error, specification test, and properties of estimators.

The estimation procedures include the OLS, WLS, and GLS two-pass estimator under the beta method; traditional GMM whose weighing matrix is identity matrix, GMM by Hansen and Jagannathan (1997), and continuous updating GMM by Hansen, Heaton, and Yaron (1996) when stochastic discount factor method is m=1-b’f; traditional GMM and GMM by Cochrane (2005) when stochastic discount factor method is m=1-(b’f-E(f)).

On the pricing error, the simulation result shows that measuring by Hansen-Jagannathan distance, Stochastic Discount Factor/HJ (1997) GMM achieves the lowest one. On the specification test, we conclude that multifactor model does not perform better than one factor model under beta method, while it does help for the portfolios’ valuation under stochastic discount factor method. On the finite-sample properties of estimators, we find that there is no difference between Beta method and stochastic discount factor method under both one factor model and multifactor.

Key Words: Beta pricing model; Stochastic discount factor; Hansen-Jagannathan

distance

III

目

目

目

目

录

录

录

录

摘

摘

摘

摘

要

要

要

要

... I

Abstract...II

第一章

第一章

第一章

第一章

引言

引言

引言

引言

...1

第二章

第二章

第二章

第二章

资产定价模型

资产定价模型

资产定价模型

资产定价模型

...5

2.1 Beta方法资产定价模型方法资产定价模型方法资产定价模型方法资产定价模型...5 2.2 随机折现因子方法资产定价模型随机折现因子方法资产定价模型随机折现因子方法资产定价模型随机折现因子方法资产定价模型...7 2.3 Beta方法和随机折现因子方法的联系与区别方法和随机折现因子方法的联系与区别方法和随机折现因子方法的联系与区别方法和随机折现因子方法的联系与区别...9 2.3.1 Beta 方法和随机折现因子方法的相互转化...10 2.3.2 Beta 方法和随机折现因子方法的区别...12

第三章

第三章

第三章

第三章

参数估计与检验

参数估计与检验

参数估计与检验

参数估计与检验

...14

3.1 Beta方法的参数估计与检验方法的参数估计与检验方法的参数估计与检验方法的参数估计与检验...14 3.1.1 时间序列回归...14 3.1.2 横截面回归...15 3.1.3 小结...18 3.2 随机折现因子方法的参数估计与检验随机折现因子方法的参数估计与检验随机折现因子方法的参数估计与检验随机折现因子方法的参数估计与检验...18 3.2.1 GMM: Hansen (1982)...19 3.2.2 对m= −1 b f' 的估计与检验...20 3.2.3 对m= −1 b f'( −E f( ))的估计与检验...21 3.2.4 小结...23

第四章

第四章

第四章

第四章

蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟

...24

4.1 数据说明数据说明数据说明数据说明...24 4.2 数据生成过数据生成过程数据生成过数据生成过程程程...25 4.3 模拟结果模拟结果模拟结果模拟结果...26

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IV 4.3.1 定价误差比较...26 4.3.2 模型设定检验...31 4.3.3 参数估计的性质...38

第五章

第五章

第五章

第五章

实证应用

实证应用

实证应用

实证应用

...43

第六章

第六章

第六章

第六章

结论

结论

结论

结论

...46

参考文献

参考文献

参考文献

参考文献

...49

致谢

致谢

致谢

致谢

...52

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V

Table of Contents

Abstract... I

Chapter 1 Introduction...1

Chapetr 2 Asset pricing models ...5

2.1 Beta method ...5

2.2 Stochastic discount factor method ...7

2.3 Relations between beta method and stochastic discount factor method...9

2.3.1 Conversion between beta method and stochastic discount factor method...10

2.3.2 Differences between beta method and stochastic discount factor method...12

Chapter 3 Estimating and testing asset pricing models ...14

3.1 Estimating and testing beta pricing model ...14

3.1.1 Time series regressions ...14

3.1.2 Cross sectional regressions ...15

3.1.3 Summary ...18

3.2 Estimating and testing stochastic discount factor pricing model ...18

3.2.1 GMM: Hansen (1982)...19

3.2.2 Estimating and testing m= −1 b f' ...20

3.2.3 Estimating and testing m= −1 b f'( −E f( )) ...21

3.2.4 Summary ...23

Chapter 4 Simulation...24

4.1 Data description ...24

4.2 Data generating procedure...25

4.3 Simulation results...26

4.3.1 A comparison of pricing error ...26

4.3.2 Alternative pricing model specification test ...31

VI

4.3.3 A comparison of estimators’ properties...38

Chapter 5 Application ...43

Chapter 6 Conclusion ...46

Reference ...49

Acknowledgement...52

VII

图表目录

表 表 表 表4.1 Hansen-Jagannathan Distance比较比较比较比较 (N=6)...29 表 表 表 表4.2 Hansen-Jagannathan Distance比较比较比较比较 (N=25)...30 表 表 表 表4.3 Hansen-Jagannathan Distance比较比较比较比较 (N=100)...30 表 表 表 表4.4 不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验（（（（两阶段两阶段两阶段两阶段OLS估计估计）估计估计）））...32 表 表 表 表4.5 不同资产分组特征下的模型设不同资产分组特征下的模型设不同资产分组特征下的模型设不同资产分组特征下的模型设定检验定检验定检验定检验（（（（两阶段两阶段两阶段两阶段GLS估计估计）估计估计）））...34 表 表 表 表4.6 不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验 (m= −1 b f' ) ...35 表 表 表 表4.7 不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验不同资产分组特征下的模型设定检验 (m= −1 b f'( −E f( ))) ...36 表 表 表 表4.8 不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验（（（（两阶段两阶段两阶段两阶段GLS估计估计）估计估计）））...36 表 表 表 表4.9 不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验 (m= −1 b f' ) ...37 表 表 表 表4.10 不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验不同样本长度的模型设定检验 (m= −1 b f'( −E f( ))) ...37 表 表 表 表4.11 不同估计方法的百分比偏差不同估计方法的百分比偏差不同估计方法的百分比偏差不同估计方法的百分比偏差...39 表 表 表 表4.12 不同定价模型的百分比偏差不同定价模型的百分比偏差不同定价模型的百分比偏差不同定价模型的百分比偏差...41 表 表 表 表4.13 不同定价模型的百分比偏差不同定价模型的百分比偏差不同定价模型的百分比偏差不同定价模型的百分比偏差（（（（部分样本长度部分样本长度部分样本长度部分样本长度））））...42 表 表 表 表5.1 Hansen-Jagannathan Distance比较比较比较比较...44 表 表 表 表5.2 Fama-French三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值（（（（N=6））））...44 表 表 表 表5.3 Fama-French三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值（（（（N=25））））...44 表 表 表 表5.4 Fama-French三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值三因素模型的参数估计值（（（（N=100））））...44 表 表 表 表5.5 Fama-French三因素模型设定检验三因素模型设定检验三因素模型设定检验三因素模型设定检验...45

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第一章 引言 1

第一章

第一章

第一章

第一章

引言

引言

引言

引言

资产定价理论是现代金融理论的核心内容，已被广泛应用于金融资产的定价 分析以及投资决策等领域，在经济和金融活动中发挥着非常重要的作用。比如， 在公司金融领域中被用于估算企业融资的资本成本，在证券投资中被用于解释资 产期望收益的横截面区别进而比较和评估不同投资基金的表现等。资产定价问题 是近几十年来西方金融理论中发展最快的一个领域。Sharpe (1964) [1]， Lintner (1965) [2]和Black (1972)[3] 提出了资本资产定价模型 (CAPM)，Merton (1973) [4]， 提出了跨期资本资产定价模型 (ICAPM)，Rubinstein (1976) [5]，Lucas (1978) [6] 和Breeden (1979) [7]提出了基于消费需求的资本资产定价模型 (CCAPM)，Ross (1976) [8]提出了套利定价理论 (APT)。上述传统的资本资产定价模型表明，资产 的期望收益是因素风险系数beta值的线性函数。 上述传统的资产定价模型，也被称为 beta 方法定价模型，除套利定价理论 (APT) 外，均必须以市场均衡为前提条件，属于无套利均衡定价模型。均衡定价 模型主要是寻找风险溢价的真正来源，模型主要包括一些影响市场经济结构的宏 观经济变量，其所要求的假设条件严格，比较难于理解。 随着资产定价模型研究的不断深入与发展，新的资产定价方法被提出，即随 机折现因子方法。在资本市场不允许存在套利机会的前提下，或者在无法取得大 规模无风险套利收益的前提下，随机折现因子能对经济中所有资产进行定价。这 可以被理解为 Arrow-Debreu 一般均衡模型在金融市场上的应用。[9]该分析框架 认为，金融资产的价格与其未来的收益可以通过“随机折现因子”联系起来，即 价格等于资产在未来的收益与随机折现因子乘积的期望值。对于随机折现因子的 估算能将线性资产定价模型与非线性资产定价模型都统一于随机折现因子模型 的分析框架，不同的随机折现因子表达式将对应于不同的资产定价模型。与其他 资产定价模型相比，随机折现因子方法更具有一般性，更易于理解，而且几乎不 对金融数据作任何的限定。 在资产定价的实证研究中，无论采用 beta 方法分析框架，还是采用随机折 现因子方法的分析框架，研究比较资产定价模型运用各种不同计量方法的表现是

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第一章 引言

2

一个较为普遍的趋势之一。在beta方法的分析框架下，Fama and MacBeth (1973)

[10]_{提出了资产定价模型的两阶段估计，这是应用最为广泛的参数估计方法。}

Shanken (1992) [11]首先对 Fama-MacBeth 方法的渐近性质进行了研究，之后的 Jagannathan and Wang (1998) [12]对其进行了拓展，比较了两阶段横截面回归和 Fama-MacBeth方法的渐近性质。Chen and Kan (2004) [13]研究了有限样本下两阶 段回归的估计误差，并提供了一些蒙特卡罗模拟的依据。Shanken and Zhou (2007)

[14]_{利用蒙特卡罗模拟的方法比较了}

beta定价模型中的Fama-MacBeth方法，极大 似然估计，广义矩估计方法的有限样本性质和实证表现。Kan, Robotti and Shanken (2009) [15]提出了对于模型误设也稳健的计算风险溢价估计渐近标准差的方法，并 推导出了截面回归样本决定系数 2 R 的渐近分布，同时提出了比较两种模型是否 具有相同的总体 2 R 的检验方法。而国内对 beta定价模型的研究，更多的是将资 产定价模型应用于中国资本市场中以检验其是否能对国内的证券市场进行有效 的定价，如陈浪南和屈文洲 (2000) [16]等。

在随机折现因子的分析框架下，Kan and Robotti (2008) [17]认为把随机折现因 子表示成因素的线性函数时会存在模型设定检验不是和因素的仿射变换无关等 问题，而当其表示成去均值因素的线性函数时问题将得到解决，并提出此时应对 模型设定检验统计量进行修正。Fang, Ren and Yuan (2011) [18]用非参的方法来估 计随机折现因子模型，他们认为，非参方法不仅可以避免非线性模型误设的情形， 还可以为参数估计的局部性质提供更精确的信息。他们的结果表明，非参方法比 其他参数估计表现更优。Farnsworth et al. (2002) [19]，用随机折现因子方法来评价 共同基金的表现。国内对随机折现因子方法的研究非常少，张新 (2003) [9]，肖 辉、吴冲锋 (2004) [20]等对随机折现因子模型理论作过一些介绍。 虽然beta方法和随机折现因子方法被很多研究者应用于各种不同的情形中， 但是，在给定的情形中，通常只运用其中的一种方法。因此，两种方法的优劣比 较显得非常的重要。另外，就像Jagannathan and Wang (2002) [21]所说的，两种方 法的比较非常重要以致于可能改变资产定价模型实证研究的进程。而最近的研究

中，也有些文献试图比较 beta 方法和随机折现因子方法在有限样本中的表现，

这也正是本文研究的问题所在。

首次对beta方法和随机折现因子方法进行比较的是Kan and Zhou (1999) [22]，

第一章 引言

3

他们对比了使用 GMM 参数估计方法的随机折现因子和使用传统的极大似然法

估计的CAPM。实证结果表明，随机折现因子的参数估计精度很差，它所估计的

风险溢价标准差是传统方法的40倍，因此，Kan and Zhou (1999) 认为，随机折 现因子方法的表现比 beta 方法差。Jagannathan and Wang (2002) 认为 Kan and Zhou (1999) 的结果是错误的：首先，他们忽略了随机折现因子方法与CAPM方 法所对应的待估计参数意义不一定相同的事实，他们并没有对估计的参数进行转 化以使两种方法能进行比较；其次，在对风险溢价进行估计时，他们忽略了有关 因素均值和方差的信息。一旦上述的两个问题都解决后，Jagananathan and Wang (2002) 的研究得出，在风险溢价的估计精度方面，两种方法具有相同的精度， 在设定检验能力方面，两种方法近似相同。Cochrane (2005) [23]将按照公司规模分 组的资产数量N等于10的检验资产组合数据应用于CAPM模型进行分析，结果 表明两种方法产生的标准差，t-统计量相同，而且在模型设定检验中，

χ

2检验说 明定价误差共同为零，也支持两种方法的表现是一样的观点。 上述文献都是基于 beta 方法和随机折现因子方法在单因素定价模型中的应

用。而多因素定价模型的情况又是如何呢？Lozano and Rubio (2010) [24]利用历史

数据，实证研究了 beta 方法和随机折现因子方法在单因素定价模型和多因素定

价模型应用中的表现。他们的结果表明，随机折现因子模型（第一阶段广义矩估

计法）的定价误差比beta方法（OLS）的定价误差小，而随机折现因子模型（第

二阶段广义矩估计法）的定价误差却比beta方法（GLS）的定价误差大。同时他

们的研究结果认为上述Jagananathan and Wang (2002) 和Cochrane (2005) 的结论

——两种方法的参数估计性质表现一样，只在单因素定价模型CAPM中才成立，

在多因素定价模型中，beta方法反而会表现得比随机折现因子方法好。

本文认为Lozano and Rubio (2010) 的实证结论可能依赖于特定的历史数据

区间。为了更科学合理地探讨 beta 方法和随机折现因子方法的有限样本表现和

性质，本文采用文献中常用于研究有限样本性质的蒙特卡罗模拟方法，将 beta

方法和随机折现因子方法分别应用于单因素定价模型 CAPM 和多因素定价模型

——Fama-French三因素模型以及Lozano and Rubio (2010) 的包含超额市场收益

率，公司账面市值比和惯性因素的三因素模型（下文简称为 RUH），同时借鉴

Lozano and Rubio (2010) 采用大量的检验资产组合来比较beta方法和随机折现

第一章 引言 4 因子方法在单因素和多因素定价模型中的有限样本表现。本文的有限样本性质主 要包含三方面：首先是定价误差，它是资产定价研究中关注的一个非常重要的因 素，如果某一具体的资产定价模型具有很好的定价能力，那么，该模型的定价误 差将足够的小；其次是模型设定检验；最后是参数估计的性质。 本文的内容总共分为六章，包括本章的引言、beta方法和随机折现因子方法 下资产定价模型介绍、参数估计与检验、蒙特卡罗模拟分析、实证应用以及结论。 各章节的内容大致如下： 第一章：引言，简要概述 beta 方法和随机折现因子方法的研究现状，介绍 本文的研究问题及研究意义，并对本文的研究思路进行说明； 第二章：资产定价模型，主要介绍 beta 方法分析框架下资产定价模型和随 机折现因子方法分析框架下资产定价模型，以及二者的联系与区别； 第三章：参数估计与检验，主要介绍本文蒙特卡罗模拟计算时要应用的参数 估计方法和相关的检验统计量分布； 第四章：蒙特卡罗模拟，包括本文采用的相关数据说明，数据生成过程介绍 以及模拟结果分析。其中，模拟分析的内容分为三部分：定价误差，模型设定检 验和参数估计性质； 第五章：实证应用，将Fama-French三因素模型应用于对按公司规模和公司 价值交叉分组的资产组合进行定价，对比 beta 方法和随机折现因子方法下各种 参数估计方法的实证表现； 第六章：结论，对本文的分析结果进行归纳总结。

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第二章 资产定价模型 5

第二章

第二章

第二章

第二章

资产定价模型

资产定价模型

资产定价模型

资产定价模型

传统的资产定价理论，如Sharpe (1964)， Lintner (1965) 和Black (1972) 的 资 本 资 产 定 价 模 型 (CAPM)，Merton (1973) 的 跨 期 资 本 资 产 定 价 模 型 (ICAPM)，Rubinstein (1976)，Lucas (1978) 和Breeden (1979) 的基于消费需求的 资本资产定价模型 (CCAPM)，Stephen Ross (1976) 的套利定价理论 (APT) 都表

明资产的期望收益是资产的 beta 值与相应的一些共同因素的线性函数。在金融 文献中，基于“传统方法”或者“beta 方法”的回归被大量的应用于检验上述 关系。在所谓的“beta 方法”中，资产的收益可以用一个回归模型来表示，而 其理论含义则是通过对该模型参数的假设检验。[25] 随着资产定价模型研究的不断深入与发展，新的资产定价方法被提出，即随 机折现因子方法，并且线性的资产定价模型和众多非线性资产定价模型都可以统 一于随机折现因子方法的分析框架。不同的随机折现因子表达式将对应于不同的 资产定价模型。这一分析框架激发了一系列仅仅基于随机折现因子公式的实证检 验。这种随机折现因子方法在最近的金融文献中变得尤为流行。

2.1 Beta

方法资产定价模型

方法资产定价模型

方法资产定价模型

方法资产定价模型

很多资产定价文献的实证研究都采用了线性定价模型的期望收益-beta 表示 法。以 i t R 代表资产i在t期的总收益率，γ 表示无风险收益率，f_j表示总体经济 的风险因子j ( j=1, 2,…,K₎，则该表达式为：[23] ,1 1 ,2 2 , ( _ti) _{i i i K K}, 1, 2, , . E R = +

γ β λ β λ

+ + +⋯

β λ

i= … N _(2.1) 其中，

β

_{i j,} =cov(R fi, _j) var(f_j)，衡量了证券i的收益对因素 f_j的敏感度；λ_j 是因素j的风险溢价。 若总体经济因素 f_t是交易资产组合收益率，我们称其为交易性因素。Sharpe (1964) 实证研究资本资产定价模型 (CAPM) 中所用到的股票价值加权组合收 益率就是这种交易性因素的例子。当然，也有些总体经济因素 f_t是非交易性因素，

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第二章 资产定价模型

6

如 Chen, Roll and Ross (1986) 中用到的行业生产增长率和通货膨胀率，以及 Breeden, Gibbons and Litzenberger (1989) 将人均消费增长率作为一个因素。

如果因素为交易性资产的超额收益率，风险溢价将等于因素均值。在这种约 束下，我们可以用因素的样本均值来估计因素的风险溢价。但是，如果因素不是 交易性的，以上结论将不成立。本文考虑的总体经济因素包括交易性和非交易性 因素。[21] 在实证中，β定义为如下收益对多个因素的时间序列回归模型的系数： ,1 1, ,2 2, , , , 1, 2, , , 1, 2, , i i t i i t i t i K K t t R = +

α β

f +

β

f + +⋯

β

f +

ε

i= … N t= … T _(2.2) 其中，α_i是截距项， i t ε 是扰动项或者随机误差，其均值为0，与因素 f 无关。 若采用资产的超额收益 i t r ，则上述表达式为： ,1 1 ,2 2 , ( )_ti _{i i i K K}, 1, 2, , . E r =

β λ β λ

+ + +⋯

β λ

i= … N _(2.3) 以 µ =E f( )_t 表 示 因 素 的 均 值 ， Ω 表 示 因 素 的 协 方 差 ， 定 义 1 [ ( ) '] N K E r ft t β µ − × ≡ − Ω ，以资产的超额收益率为被解释变量，式(2.2)、(2.3)可以 分别写成如下矩阵形式： t t t r = +φ β f +ε (2.4) ( )t ' E r =β λ (2.5) 在等式(2.5)beta表达式下的资产定价模型设定对时间序列回归模型(2.4)的截 距项φ加入了以下的约束条件，φ =(λ µ β− ) 。将该截距项的约束式带入时间序 列回归模型(2.4)，我们得到： ( ) t t t r = λ µ− + f β ε+ (2.6) 其中，E( )ε_t =0 ,_N E(ε_tf_t')=0_{N K×} . Beta 方法就是用 beta 模型(2.5)，以及时间序列因素模型(2.6)来估计因素的 风险溢价。

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