Probabilidad.Ingeniería.pdf

UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN

ESCUELA ACADÉMICA DE INGENIERÍA AMBIENTAL

Estadística

Mg. ROSA PADILLA CASTRO

UNIDAD VII

Objetivo

Desarrollar

una

comprensión

de

los

conceptos básicos de probabilidad que son

la base necesaria para el estudio de

distribuciones de probabilidad e inferencia

estadística los cuales son base en la toma

de decisiones y mostrar como ciertos tipos

de datos discretos y/o continuos pueden ser

representados

por

tipos

particulares

de

TÉCNICAS DE CONTEO

1. FACTORIAL (n!)

Producto ordenado de los números enteros positivos, desde el que indica el signo factorial, hasta llegar a 1.

Ejemplo:

* Tres factorial 3! = (3) (2) (1) = 6

* n factorial n! = (n) (n-1) ...(3) (2) (1) = (n-1)!n

Por definición 0! = 1 1! = 1

2. PERMUTACIONES (INTERESA EL ORDEN)

Objetos a y b, no es igual que a sea primero y b segundo, esto es (ab) ≠ (ba), hay dos permutaciones

Son todas las ordenaciones diferentes utilizando todos los elementos a la vez.

Ejemplo

Tres elementos 1, 2, 3

TÉCNICAS DE CONTEO

2. PERMUTACIONES (INTERESA EL ORDEN)

Permutaciones con repetición: nPk = nk

Permutaciones sin repetición: nPk =

)! (

!

k n

n

Considere el siguiente ejemplo de ingeniería de transporte:

Se desea conducir un vehículo, en secuencia, desde un punto inicial a cada una de las cinco ciudades, y desea comparar las distancias y las velocidades medias de las diferentes rutas. Cuántas rutas diferentes sería necesario comparar?

5 4 3 2

1,C ,C ,C ,C

TÉCNICAS DE CONTEO

3. COMBINACIONES (NO INTERESA EL ORDEN)

k)!

-(n

k!

n!

C

k!

1)!

-(n

1)!

-k

(n

n(CR)k

Combinaciones sin repetición

Combinaciones con repetición

Ejemplo: De un equipo multidisciplinario, formado por un economista, un ingeniero, un psicólogo ¿Cuántos comités de dos profesionales pueden formarse?

3

2

6

)!

1

)(

1

2

(

1

2

3

)!

2

3

(

!

2

!

3

C

x

x

x

Ejemplo

Para la comida un paciente de un hospital puede elegir una de cuatro carnes, dos de cinco vegetales, y uno de tres postres. ¿Cuántas comidas diferentes puede elegir el paciente, si selecciona el número especificado de cada

grupo?

Solución

¿Son combinaciones o permutaciones?; son combinaciones, por que si se

toman las muestras (carne, vegetal, postre) son iguales, esto es no importa el orden y es sin repetición.

Ejemplo

Para la comida un paciente de un hospital puede elegir una de cuatro carnes, dos de cinco vegetales, y uno de tres postres. ¿Cuántas comidas

diferentes puede elegir el paciente, si selecciona el número especificado de cada grupo?

Solución

¿Son combinaciones o permutaciones?; son combinaciones, por que si se toman las muestras (carne, vegetal, postre) son iguales, esto es no importa el orden y es sin repetición.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

1. La cerradura de la bóveda de un banco consiste en tres discos, cada uno con 30 posiciones, para que la bóveda se abra cuando está cerrada, cada uno de los tres discos debe de estar en la posición correcta.

a) ¿Cuántas “combinaciones de discos” diferentes posibles existen para esta cerradura?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que usted si seleccionó aleatoriamente una posición en cada disco, sea capaz de abrir la bóveda del banco?

2. Un jardinero tiene seis filas disponibles en su jardín para plantar tomates, berenjenas, pimientos, pepinos, frijoles y lechugas. Cada verdura dispondrá únicamente de una fila. ¿Cuántas formas hay de situar estas verduras en su jardín?

EXPERIMENTO

Proceso que puede repetirse y obtener un resultado, llamado espacio muestral:

DETERMINÍSTICO

Bajo las mismas condiciones los resultados son los mismos cuantas veces se repita.

DEFINICIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD

ALEATORIO

Los resultados no se pueden predecir a pesar de repetir bajo las

mismas condiciones

* Suma de dos números naturales.

* Lanzar una piedra desde una determinada altura.

* Lanzar un dado * Concebir un hijo * Lanzar una moneda

A = Sexo de un niño al ser concebido = {H, M} n( ) = 2 B = Observar el número de caras que aparece al lanzar 3 monedas

= {sss, ccc, csc, ccs, ssc, css, scc, scs} n( ) = 8

EVENTO

Experimento

Es la observación de un fenómeno.

Ejemplo:

a. Lanzamiento de un dado correcto

sobre una superficie plana.

b. Evaluación del estado de salud de

una persona.

Tipos de experimento:

Experimento determinístico:

En este

caso la observación del fenómeno nos

conduce a un solo resultado. Ejemplos:

• En el experimento (c) el único resultado es

el vapor.

Tipos de experimentos:

•

EXPERIMENTO ALEATORIO:

Es

aquel

fenómeno

que

bajo

las

mismas

condiciones experimentales se obtienen dos o

más posibles resultados diferentes

Ejemplos:

1

: Evaluar el estado de salud de una persona

elegida al

azar de una población:

s (sano) ó e

(enfermo)

2:

Evaluar el estado de salud de tres personas

elegidas al azar de una población:

(

sss) ó (sse) ó

ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN

EXP. ALEATORIO

:

•

ES

EL

CONJUNTO

DE

TODOS

LOS

POSIBLES

RESULTADOS

DE

UN

EXPERIMENTO ALEATORIO

Ejemplos:

1

= {s , e}

2

= {(sss), (sse), (ses), (ess), (see), (ese),

EVENTO ó SUCESO :

denotado por:

A, B,..

ES UN SUBCONJUNTO DEL ESPACIO MUESTRAL

Ejemplo.-

: Evaluar el estado de salud de tres

personas elegidas al azar de una población. Un

espacio muestral asociado a este experimento es:

: {(sss), (sse), (ses), (ess), (see), (ese), (ees), (eee)}

Definamos los siguientes eventos:

•

A: Que una persona resulte enferma

A={(sse),(ses),(ess)}; n(A)= 3

•

B: Que al menos dos personas resulten enfermas

B={(see),(ese),(ees),(eee) ; n(B)= 4

•

C: Que la segunda persona resulte enferma

… … … … ….

•

D: Que al menos 4 personas resulten enfermas

D={ } = ; n(D) = 0

(EVENTO IMPOSIBLE)

B: Ocurra a lo más un enfermo

(COMPLEMENTO DEL

EVENTO B)

B={(e,s,s),(s,e,s),(s,s,e),(s,s,s) ;

n(B) = 4

•

E: A lo más 3 personas resulten enfermas

E={(sss);(sse);(ses);(ess);(see);(ese);ees);eee)}=

n(E) = n(

) = 8

(EVENTO SEGURO)

•

F: Que las 3 personas resulten sanas

)

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

Nº de resultados favorables

Nº de resultados posibles

B = Obtener 2 caras

n(B) = 3 Yn( ) = 8 ₈

3 ) Ω ( ) ( ) ( n B n B P

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1. P(A) 0 2. 0 < P(A) < 1 3. P( ) = 1

4. Si A y B son mutuamente excluyentes P(A U B) = P(A)+P(B)

En general:

P(A1 U A2 U.... U An) = P(A1)+P(A2)+....+P(An) 5. Probabilidad de la Adición de Eventos

a) Si A y B no son mutuamente excluyentes P(A U B) = P(A)+P(B) - P(A ∩ B)

A B

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

b) Si A, B y C no son mutuamente excluyentes

P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A ∩ B) - P(B ∩ C) - P(A ∩ C) + P(A ∩ B∩ C)

NOTA.-P(A U AC) = P(A) U P(AC) = 1

AXIOMAS DE PROBABILIDAD _B

A C

AC

A

Ejemplo: Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?

A = {obeso} B = {hipertenso} A ∩ B = {hipertenso y obeso} A U B = {obeso o hipertenso}

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar un dado.

Tablas de contingencia y diagramas de Venn

Existen varias formas en que puede observarse un espacio muestral particular. El primer método implica asignar los eventos apropiados a una tabla de

clasificaciones cruzadas (tabla de contingencia).

Podemos ver que la tabla de contingencia proporciona una clara presentación del número de resultados posibles de las variables relevantes.

¿Porcentaje de empleados satisfechos con su trabajo?

¿Porcentaje de trabajadores que sienten que no progresan en su organización pero aun así están satisfechos?

Ejemplo: 400 empleados son objeto de estudio a través de una encuesta para medir la satisfacción. Dentro del análisis se determina la siguiente tabla de contingencia.

La segunda forma de presentar el espacio muestral es usando un Diagrama de Venn. Este diagrama representa gráficamente los diversos eventos como

“uniones” e “intersecciones” de círculos.

Para desarrollar un diagrama de Venn, A y B deben estar definidos. No importa qué evento se define como A o B, siempre y cuando seamos consistentes en

• PROBABILIDAD CONDICIONAL P (A/B)

La probabilidad condicional está referida a la posibilidad de que ocurra un

evento (A) dada la condición de que otro evento (B) ya ocurrió. Es decir, en

este caso ya no nos referimos al espacio muestral total, sino al subespacio

conformado por el evento condicional. En este caso el nuevo espacio

muestra es B y la única posibilidad de que ocurra A es que se den ambos.

Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso? A = {ser hipertenso} B = {ser fumador}

Ejemplo: La investigación de las quejas de los consumidores referentes a productos realizada por la Federal Trade Comisión (FTC, Comisión Federal de comercio de Estados Unidos) Ha generado gran interés por parte de los fabricantes en la calidad de sus productos. Un fabricante de procesadores de alimentos realizó un análisis de un gran número de quejas de los consumidores y determinó que entraban en las seis categorías que se muestran en la tabla 2. si se recibe una queja de un consumidor, ¿Qué probabilidad hay de que la causa de la queja sea el aspecto del producto, dado que la queja se origino durante el periodo de garantía?

Solución :

Sea A el evento de que la causa de una queja en particular fue el aspecto del producto, y con B el evento de que la queja se presentó durante el periodo de garantía. Observando la tabla veremos que el (18 + 13 + 32)% = 0.63 % de las quejas se presentaron durante la vigencia de la garantía; por tanto; por tanto, P(B) = 0.63. El porcentaje de quejas debidas a la apariencia que ocurrieron

durante el periodo de garantía (el evento A ∩ B) es el 32%, por tanto, P (A ∩ B) = 0.32.

Con base en estos valores de probabilidad, podemos calcular la probabilidad condicional P(A/B) de que la cusa de una queja sea la causa aspecto, dado que la queja ocurrió durante el periodo de garantía:

Así podemos ver que un poco más de la mitad de las quejas que ocurrieron durante el periodo de garantía se debieron a rayones,

Ejemplo:

*************************************************************** SEXO OCUPACION

Desempleados Empleados TOTAL D D’

*************************************************************** Hombres H 40 460 500 Mujeres H’ 260 140 400 ****************************************************************

TOTAL 300 600 900 ***************************************************************** Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que: a. Esté desempleado

b. Esté desempleado dado que es mujer c. Esté desempleado dado que es varón

SOLUCION:

n(D H’) 260

a. P (D/M) = --- = --- = 0.65 n(H’) 400

Interpretación:

EJEMPLO

:

Se dispone de 110 historias clínicas,

pertenecientes a pacientes masculinos y femeninos

agrupados por su nivel de hemoglobina.

M F

Estado (Masculino) (Femenino) Total

A (Anémico)

50

30

80

(Normal)

10

20

30

Total

60

50

110

Dado que la historia clínica corresponde a un paciente

anémico, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?

SOLUCION

n(F A)

30

P(F/A) = --- = --- =

0.375

n(A)

80

VARIABLE ALEATORIA

Es una variable cuyo valor es un número determinado por el resultado de un experimento aleatorio, se denota por letras mayúsculas: X, Y, Z... y sus valores individuales por su correspondiente letra minúscula, si X (es una variable

aleatoria) v.a., entonces sus valores son: X1,X2,..., Xn

Si a cada valor de la variable aleatoria le asociamos su probabilidad obtenemos la distribución de probabilidad de dicha variable.

Ejemplo: Sea un experimento el lanzamiento de una moneda 2 veces y anotemos los resultados obtenidos en la cara superior.

Podemos definir la variable aleatoria Y como el número de caras obtenido en los 2 lanzamientos. Así, los valores que toma la variable pueden ser 0, 1, 2

dependiendo de los resultados del experimento.

ESPACIO MUESTRAL VARIABLE ALEATORIA CC

CS SC SS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

VARIABLE ALEATORIA Y

PROBABILIDAD P(Y)

0 1 2

1/4 2/4 1/4

TOTAL 1

Variable aleatoria discreta: Distribución Binomial Distribución Poissón

Distribución Hipergeométrica

Variable aleatoria continua: Distribución Normal Distribución T- Student

Distribución chi- cuadrado Distribución F- Snedecor

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta distribución considera variables que se obtienen a partir de la repetición de

un experimento simple, conocido como experimento Bernoulli. Este experimento

tiene únicamente dos resultados posibles llamados “éxito” o “fracaso”.

La distribución binomial, asigna probabilidades a la variable aleatoria definida

como el número de éxitos obtenidos en el total de repeticiones del experimento.

La función que asigna dichas probabilidades es:

o acumulativ ino térm x -n x n x n x X) P(X individual término x -n x n x f(X) X) P(X

q

P

C

q

P

C

Donde p es la probabilidad de éxito, q la diferencia de p n = número de ensayos

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Los supuestos de la distribución binomial son:

1. La variable, en cada repetición, sólo toma dos valores 2. Las repeticiones son independientes

3. La probabilidad de éxito es constante 4. Todas las repeticiones son idénticas

Si un experimento cumple con estas cuatro condiciones, podemos utilizar la

Distribución Binomial para asignar probabilidades a sus resultados.

Ejemplo.- Estos experimentos aleatorios Son:

* Lanzamiento de una moneda al aire : Cara o sello

* Nacimiento de un ser humano con respecto al sexo: Hombre o Mujer * Estado de salud de una persona: Sano o enfermo

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Uso de la tabla Binomial:

Muchas veces la aplicación de la fórmula binomial resulta sumamente larga y

tediosa, sobre todo cuando n es muy grande, entonces es muy práctico

utilizar la tabla estadística de la distribución Binomial.

Ejemplo

Generalmente el 40 % de los alumnos desaprueban un examen de

estadística. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 20,

desaprueben:

a) Exactamente 10 alumnos

b) 5 o más alumnos

c) Más de 10 alumnos

d) Menos de 10 alumnos

e) 10 o menos alumnos

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Solución:

a) Exactamente 10 alumnos desaprueben: x = 10, n = 20 Tablas estadísticas de Pedro Díaz, Pág.19 localizamos:

n x .01 .02 ... .40 .45 .50 x

. . . . 10 . . .

0+ 0+ ……… .

. .

098 145 176 . . . 10 . . .

20 10 ……… 117 159 176 10

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Solución

a) 5 o más alumnos desaprueben (términos acumulativos)

En la pág 26 de la tabla estadística localizamos n = 20, x = 5, p = .40

P(X 0.949, la probabilidad de que desaprueben 5 o más alumnos es de 94.9%

b) Más de 10 alumnos. P(x > 10) = P (x 11) = 0.128 = 12.8%

c) Menos de 10 alumnos: P (x < 10) = 1 – P (x 10) = 1 – 0.245 = 0.775 = 77.5% d) 10 o menos alumnos: P (x 10) = 1 – P (x 11) = 1 – 0.128 = 0.872 = 87.2%

e) Entre 6 y 10 alumnos. P( 6 x 10) = P(x 6) – P(x 11) = 0.874 – 0.128 = 0.746 La probabilidad de que desaprueben entre 6 y 10 alumnos es de 74.6%

Propiedades de la distribución Binomial

La media aritmética, la desviación estándar y la varianza en una distribución binomial, se obtiene a través de:

MEDIA: = n x p

DESVIACIÓN ESTÁNDAR:

VARIANZA: σ2 _{= n.p.q}

q p n

DISTRIBUCIÓN POISSON

Otra distribución a considerar debido, a su importancia, es la distribución de Poisson. Proporciona un modelo para la frecuencia relativa de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área, volumen, etc.

Ejemplo. El número de trabajos nuevos presentados a una computadora en un minuto dado.

Al igual que la distribución binomial, esta distribución considera la repetición de un experimento simple. La diferencia, en este caso, es que el número de

repeticiones es muy grande y la probabilidad de éxito es muy pequeña. La función que asigna dichas probabilidades es:

!

)

(

x

λ

e

x

X

P

x λ

Donde x = 0, 1, 2, … y > 0 es una constante. e = 2.718 , constante

DISTRIBUCIÓN POISSON

1. El número promedio de ocurrencias de eventos en una unidad de medida

(intervalo de tiempo, una región específica, volumen, etc.) es conocido e igual

a

2. La ocurrencia de los eventos continuos son independientes.

3. La media aritmética, la desviación estándar y la varianza en una distribución

de Poisson, se obtiene a través de:

MEDIA : =

DESVIACIÓN ESTÁNDAR :

VARIANZA : 2 ₌

4. Si n es bastante grande : = n . p

DISTRIBUCIÓN POISSON

98.4%

0.984

!

0

1

.

0

)

0

(

e

X

P

Supóngase que el 2 % de la población en promedio sean zurdos. Hallar la probabilidad que en 100 personas haya:

a) 3 o más zurdos.

P = 2 % = 0.02, n = 100 = (0.02)(100) = 2

P (x 3) = 1 - P ( x 2 ) = 1 - 0.677 = 0.323 = 32.3 % b) exactamente 3 zurdos

c) 3 o menos zurdos

Ejemplo 2:

Suponga que el manuscrito de un texto de ingeniería tiene un total de 50 errores en las 500 páginas del material. Los errores están distribuidos aleatoriamente a lo largo del texto. Cuál es la probabilidad de que:

Una página seleccionada aleatoriamente no tenga errores. Solución

DISTRIBUCIÓN POISSON

Cuando n es relativamente grande y p pequeña, la probabilidades binomiales y poisson se relacionan.

Donde los términos binomiales individuales se reemplazan por los

correspondientes valores de Poisson con λ = np

REGLA PRÁCTICA

i) Si n 20 ; p 0.05

ii) Si n 100, la aproximación es generalmente excelente a condición de que

np 10

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

El experimento consiste en extraer al azar y sin sustitución n elementos de un conjunto de N elementos, r de los cuales son S (éxitos) y (N – r) de los cuales F (fracasos).

El tamaño de la muestra n es grande en comparación con el número N de elementos de la población , es decir , n/N > .05

La variable aleatoria hipergeométrica y es el número de resultados S en la muestra de n elementos.

,..., ) ( , 0 , )

( y Máximo n N r

n N y n r N y r y P La distribución de probabilidad es:

Donde:

N = Nº total de elementos

r = Nº de resultados de S en los N elementos

n = Nº de elementos extraídos

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

• La media y la varianza de una variable aleatoria

hipergeométrica son, respectivamente,

)

1

(

)

(

)

(

;

2 2

N

N

n

N

n

r

N

r

N

Ejemplo:

Se realiza un experimento para seleccionar un catalizador

apropiado para la producción comercial de etilendiamina

(EDA), un producto que se utiliza en jabones. Suponga que un

ingeniero químico selecciona al azar tres catalizadores para

probarlos dentro de un grupo de 10 catalizadores, seis de los

cuales tienen baja acidez y cuatro de los cuales son muy

ácidos.

a. Calcule la probabilidad de que no se escogerá un catalizador

muy ácido.

b. Calcule la probabilidad de que se escoja exactamente un

catalizador muy ácido.

Solución: N = 10, n = 3, r = 4, entonces:

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:

•Caracteres morfológicos: de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, .ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...

•Caracteres fisiológicos: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

•Caracteres sociológicos: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

•Caracteres psicológicos: por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...

•Valores estadísticos muestrales: la media.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

2

1

)

(

e

x

f

FUNCIÓN DE DENSIDAD

ianza típica Desv media var .

2 _{x abscisa}

e 2.7182 1416 .

3

N( , ): para cada valor de y tendremos una función de densidad distinta, por lo tanto la expresión N ( , 2_{) representa una familia de distribuciones normales.}

DISTRIBUCIÓN NORMAL

x

dx

e

x

X

P

X

F

,

2

1

)

(

)

(

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

• Puede tomar cualquier valor (- , + )

• Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media • La distribución es simétrica.

• Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro , que es la

DISTRIBUCIÓN NORMAL

TIPIFICACIÓN O ESTANDARIZACIÓN

Característica de la distribución normal tipificada (reducida,

estándar)

•No depende de ningún parámetro

DISTRIBUCIÓN NORMAL

MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES

Por ejemplo:

P(Z 2.75) = 0.99702

Por ejemplo:

P(Z > 1.40) = 1- P(Z 1.40) = 1 – 0.91924 = 0.08076 Otra forma de cálculo: P(Z > 1.40) = P (Z - 1.40)

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo de aplicación

Suponga que un consultor estaba investigando el tiempo que emplearon los obreros de una planta automotriz en montar una parte específica después de su entrenamiento para realizar la tarea usando un enfoque de aprendizaje individual.

El consultor determinó que el tiempo en segundos invertido por los obreros entrenados con este método para montar la parte se distribuirá normalmente con una media de 75 segundos y una desviación estándar de 6 segundos. Cuál es la probabilidad de que un obrero fabril seleccionado aleatoriamente pueda montar la parte en:

a. menos de 62 segundos

b. En menos de 75 segundos o en más de 81 segundos c. Entre 75 y 81 segundos

d. En más de 81 segundos

e. ¿Cuántos segundos debe transcurrir antes de que el 50% de los obreros monten la parte?

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Aproximación a la normal de la ley binomial

Se puede demostrar (teorema central del límite) que una v.a. discreta con distribución binomial, se puede aproximar mediante una distribución normal si n es suficientemente grande y p no está ni muy próximo a 0 ni a 1. Como el valor esperado y la varianza de X son respectivamente np y npq, El convenio que se suele utilizar para poder realizar esta aproximación es:

Ejemplo

DISTRIBUCIÓN NORMAL

a) La v.a. que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es

Realizar los cálculos con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen números combinatorios de gran tamaño, y potencias muy elevadas. Por ello utilizamos la aproximación normal de X, teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea aceptable

Así aproximando la v.a. discreta binomial X, mediante la v.a. continua normal

DISTRIBUCIÓN NORMAL

b) También es necesario calcular P(X = 60). Esta probabilidad se calcula exactamente como:

Para calcular la probabilidad buscada. Por ejemplo, podemos aproximar P (X = 60 ) por el valor de la función de densidad de XN en ese punto, la