integrale-improprii-seminar3

Creating Beamer presentations in Scienti…c WorkPlace

and Scienti…c Word

Impressive slide presentations

MacKichan Software Technical Support

Delete or rename Institute …eld

Proiectul "Didatec", Cod: POSDRU/87/1.3/S/60891

CONVERGENTA SI CALCULUL INTEGRALELOR IMPROPRII

Seminarul 3

SEMINAR AFERENT CURSULUI :

ANALIZA MATEMATICA. CALCUL INTEGRAL

Realizat de

Prof. univ. dr. Alexandru Mihai Bica Universitatea din Oradea

Proiectul "Didatec", Cod: POSDRU/87/1.3/S/60891

CONVERGENTA SI CALCULUL INTEGRALELOR IMPROPRII

Seminarul 3

SEMINAR AFERENT CURSULUI :

ANALIZA MATEMATICA. CALCUL INTEGRAL

Realizat de

Prof. univ. dr. Alexandru Mihai Bica Universitatea din Oradea

Proiectul "Didatec", Cod: POSDRU/87/1.3/S/60891

CONVERGENTA SI CALCULUL INTEGRALELOR IMPROPRII

Seminarul 3

SEMINAR AFERENT CURSULUI :

ANALIZA MATEMATICA. CALCUL INTEGRAL

Realizat de

Prof. univ. dr. Alexandru Mihai Bica Universitatea din Oradea

Continut

De…nitia integralelor improprii

Criterii de convergenta

Metoda de integrare prin parti in integrala improprie

Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii Probleme rezolvate

Continut

De…nitia integralelor improprii

Criterii de convergenta

Metoda de integrare prin parti in integrala improprie

Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii Probleme rezolvate

Probleme propuse

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta

Metoda de integrare prin parti in integrala improprie

Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii Probleme rezolvate

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta

Metoda de integrare prin parti in integrala improprie

Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii

Probleme rezolvate Probleme propuse

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta

Metoda de integrare prin parti in integrala improprie

Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii

Probleme rezolvate

Continut

De…nitia integralelor improprii Criterii de convergenta

Metoda de integrare prin parti in integrala improprie

Metoda de schimbare a variabilei la calculul integralelor improprii Probleme rezolvate

Probleme propuse

Obiective

Dupa parcurgerea si intelegerea acestui material studentul va trebui sa poata:

sa aplice corect studiul convergentei si calculul integralelor improprii folosind de…nitia

sa depisteze si sa aplice corect criteriul de convergenta adecvat …ecarei integrale improprii

sa foloseasca in mod corect metoda de integrare prin parti in contextul integralelor improprii

sa determine schimbarea de variabila adecvata si sa utilizeze corect metoda de integrare prin schimbarea variabilei in contextul

Obiective

Dupa parcurgerea si intelegerea acestui material studentul va trebui sa poata:

sa aplice corect studiul convergentei si calculul integralelor improprii folosind de…nitia

sa depisteze si sa aplice corect criteriul de convergenta adecvat …ecarei integrale improprii

sa foloseasca in mod corect metoda de integrare prin parti in contextul integralelor improprii

sa determine schimbarea de variabila adecvata si sa utilizeze corect metoda de integrare prin schimbarea variabilei in contextul

integralelor improprii

Obiective

Dupa parcurgerea si intelegerea acestui material studentul va trebui sa poata:

sa aplice corect studiul convergentei si calculul integralelor improprii folosind de…nitia

sa depisteze si sa aplice corect criteriul de convergenta adecvat …ecarei integrale improprii

sa foloseasca in mod corect metoda de integrare prin parti in contextul integralelor improprii

sa determine schimbarea de variabila adecvata si sa utilizeze corect metoda de integrare prin schimbarea variabilei in contextul

Obiective

Dupa parcurgerea si intelegerea acestui material studentul va trebui sa poata:

sa aplice corect studiul convergentei si calculul integralelor improprii folosind de…nitia

sa depisteze si sa aplice corect criteriul de convergenta adecvat …ecarei integrale improprii

sa foloseasca in mod corect metoda de integrare prin parti in contextul integralelor improprii

sa determine schimbarea de variabila adecvata si sa utilizeze corect metoda de integrare prin schimbarea variabilei in contextul

integralelor improprii

Convergenta si calculul integralelor improprii cu ajutorul

de…nitiei

De…nitia 1: Fie f :[a, b_{) !}R integrabila Riemann pe[a, u]pentru orice u _{2 (}a, b). Daca exista si este …nita limita

lim u_!b,u<b u Z a f (x)dx

atunci spunem ca functia f este integrabila impropriu pe [a, b)si integrala

b 0_Z a f (x)dx = lim u!b,u<b u Z a f (x)dx

De…nitia 2: Fie f :(a, b_{] !}R integrabila Riemann pe[u, b]pentru orice u _{2 (}a, b). Daca exista si este …nita limita lim

u_!a,u>a b

Z

u

f (x)dx atunci spunem ca functia f este integrabila impropriu pe (a, b]si integrala

b Z a+0 f (x)dx = lim u_!a,u>a b Z u f (x)dx este convergenta. Este inclus aici si cazul in care a= ∞.

De…nitia 3: Fie f : (a, b_{) !}R integrabila Riemann pe [u, u0]pentru orice a<u <u0 <b. Daca exista si este …nita limita lim

u!a,u0_!b

u0

Z

u

f (x)dx atunci spunem ca functia f este integrabila impropriu pe (a, b)si integrala

b 0_Z a+0 f (x)dx = lim u_!a,u0_!b u0 Z u f (x)dx este convergenta.

De…nitia 2: Fie f :(a, b_{] !}R integrabila Riemann pe[u, b]pentru orice u _{2 (}a, b). Daca exista si este …nita limita lim

u_!a,u>a b

Z

u

f (x)dx atunci spunem ca functia f este integrabila impropriu pe (a, b]si integrala

b Z a+0 f (x)dx = lim u_!a,u>a b Z u f (x)dx este convergenta. Este inclus aici si cazul in care a= ∞.

De…nitia 3: Fie f : (a, b_{) !}R integrabila Riemann pe [u, u0]pentru orice a<u <u0 <b. Daca exista si este …nita limita lim

u!a,u0_!b

u0

Z

u

f (x)dx atunci spunem ca functia f este integrabila impropriu pe (a, b)si integrala

b 0_Z

f (x)dx = lim

u0

Z

Criterii de convergenta

Teorema 1 (primul criteriu de comparatie)

Fie f , g :[a, b_{) !}R integrabile Riemann pe[a, u]pentru orice u_{2 (}a, b)

astfel incat 0 f (x) g(x), ₈x _{2 (}a, b]. Daca integrala

b 0_Z

a

g(x)dx

este convergenta atunci si integrala

b 0_Z

a

f (x)dx este convergenta. Daca

integrala

b 0_Z

a

f (x)dx este divergenta atunci si integrala

b 0_Z

a

g(x)dx este divergenta.

Teorema 2 (al doilea criteriu de comparatie)

Fie f , g :[a, b_{) !}R pozitive si integrabile Riemann pe[a, u]pentru orice u _{2 (}a, b). Daca exista si este …nita limita

lim u!b,u<b f (x) g(x) =L si L₆₌0, L₆₌∞, atunci integralele b 0_Z a f (x)dx si b 0_Z a g(x)dx sunt simultan convergente sau divergente.

Teorema 3

(a) Fie f : [a, b_{) !}R pozitiva si integrabila Riemann pe [a, u]pentru orice u_{2 (}a, b)si α ₂R pentru care exista lim

x_!b,x<b(b x)

α_f

(x) =L

astfel incat L₆₌0 si L₆₌∞. Daca α <1 atunci integrala

b 0_Z

a

f (x)dx este convergenta, iar daca α 1 atunci este divergenta.

(b) Fie f :(a, b_{] !}R pozitiva si integrabila Riemann pe [u, b] pentru orice u _{2 (}a, b)si α 2R pentru care exista lim

x!a,x>a(x a)

α_{f (x) =L}

astfel incat L ₆₌0 si L₆₌∞. Daca α <1 atunci integrala

b

Z

a+0

f (x)dx este convergenta, iar daca α 1 atunci este divergenta.

Teorema 3

(a) Fie f : [a, b_{) !}R pozitiva si integrabila Riemann pe [a, u]pentru orice u_{2 (}a, b)si α ₂R pentru care exista lim

x_!b,x<b(b x)

α_f

(x) =L

astfel incat L₆₌0 si L₆₌∞. Daca α <1 atunci integrala

b 0_Z

a

f (x)dx este convergenta, iar daca α 1 atunci este divergenta.

(b) Fie f :(a, b_{] !}R pozitiva si integrabila Riemann pe [u, b] pentru orice u_{2 (}a, b)si α 2R pentru care exista lim

x!a,x>a(x a)

α_f

(x) =L astfel incat L₆₌0 si L₆₌∞. Daca α <1 atunci integrala

b

Z

a+0

f (x)dx este convergenta, iar daca α 1 atunci este divergenta.

Teorema 4

Fie f : [a,∞_{) !}R pozitiva si integrabila Riemann pe[a, u]pentru orice u >a si α2R pentru care exista si este …nita limita lim_x

!∞x

α_{f (x) =L.} Daca α>1 atunci integrala improprie

∞

Z

a

f (x)dx este convergenta, iar

daca α 1 si L₆₌0 atunci integrala improprie

∞

Z

a

f (x)dx este divergenta.

Consecinta 5: Integralele improprii de forma

∞

Z

a

P(x)

Q(x)dx,

cu P si Q functii polinomiale cu coe…cienti reali, sunt convergente daca si numai daca polinomul Q nu se anuleaza pe intervalul [a,∞)si

grad Q grad P 2.

Teorema 4

Fie f : [a,∞_{) !}R pozitiva si integrabila Riemann pe[a, u]pentru orice u >a si α2R pentru care exista si este …nita limita lim_x

!∞x

α_{f (x) =L.} Daca α>1 atunci integrala improprie

∞

Z

a

f (x)dx este convergenta, iar

daca α 1 si L₆₌0 atunci integrala improprie

∞

Z

a

f (x)dx este divergenta. Consecinta 5: Integralele improprii de forma

∞

Z

a

P(x)

Q(x)dx,

cu P si Q functii polinomiale cu coe…cienti reali, sunt convergente daca si numai daca polinomul Q nu se anuleaza pe intervalul [a,∞)si

Formula de integrare prin parti in integrala improprie

Teorema 6

Daca f , g :[a, b_{) !}R sunt integrabile Riemann pe[a, u]pentru orice u _{2 (}a, b)si derivabile cu derivata continua pe [a, b)si daca exista si este …nita limita lim

x_!bf (x) g(x), atunci convergenta uneia dintre integralele

de mai jos implica convergenta celeilalte si are loc egalitatea:

b 0_Z a f (x) g0(x)dx = lim x_!bf (x) g(x) f (a) g(a) b 0_Z a f0(x) g(x)dx.

Formula de integrare prin schimbarea variabilei la integrala

improprie

Teorema 7

Fie f : [a, b_{) !}R integrabila Riemann pe [a, u] pentru orice u_{2 (}a, b) si continua pe [a, b). Daca ϕ :[α, β_{) ! [}a, b) este integrabila Riemann pe

[α, u] pentru orice u_{2 (}α, β)si derivabila cu derivata continua pe [α, β)

astfel incat ϕ(α) =a si lim

t_!β,t<β

ϕ(t) =b, atunci convergenta uneia dintre

integralele de mai jos implica convergenta celeilalte si are loc egalitatea:

b 0_Z a f (x)dx = β 0 Z α f (ϕ(t)) ϕ0(t)dt.

Probleme rezolvate

Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie

∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx. Rezolvare:

Se observa ca expresia arctan x_1+x2 de sub integrala se poate scrie in modul

urmator 1 2 2 arctan x 1 1+x2 = 1 2 2 arctan x (arctan x) 0 ₌ 1 2 h (arctan x)2i0 si atunci ∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 1 2 h (arctan x)2i0dx = = 1 2[ulim_!∞(arctan u) 2 (arctan 0)2] = 1 2 ulim_!∞arctan u 2 = π 2 8 .

Probleme rezolvate

Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie

∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx. Rezolvare:

Se observa ca expresia arctan x_1+x2 de sub integrala se poate scrie in modul

urmator 1 2 2 arctan x 1 1+x2 = 1 2 2 arctan x (arctan x) 0 ₌ 1 2 h (arctan x)2i0 si atunci ∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 1 2 h (arctan x)2i0dx = = 1 2[ulim_!∞(arctan u) 2 (arctan 0)2] = 1 2 ulim_!∞arctan u 2 = π 2 8 .

Probleme rezolvate

Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie

∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx. Rezolvare:

Se observa ca expresia arctan x_1+x2 de sub integrala se poate scrie in modul

urmator 1 2 2 arctan x 1 1+x2 = 1 2 2 arctan x (arctan x) 0 ₌ 1 2 h (arctan x)2i0 si atunci ∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 1 2 h (arctan x)2i0dx = = 1 2[ulim_!∞(arctan u) 2 (arctan 0)2] = 1 2 ulim_!∞arctan u 2 = π 2 8 .

Probleme rezolvate

Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie

∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx. Rezolvare:

Se observa ca expresia arctan x_1+x2 de sub integrala se poate scrie in modul

urmator 1 2 2 arctan x 1 1+x2 = 1 2 2 arctan x (arctan x) 0 ₌ 1 2 h (arctan x)2i0 si atunci ∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 1 2 h (arctan x)2i0dx = = 1 2[ulim_!∞(arctan u) 2 (arctan 0)2] = 1 2 ulim_!∞arctan u 2 = π 2 8 .

Probleme rezolvate

Problema 1: Folosind de…nitia, sa se calculeze integrala improprie

∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx. Rezolvare:

Se observa ca expresia arctan x_1+x2 de sub integrala se poate scrie in modul

urmator 1 2 2 arctan x 1 1+x2 = 1 2 2 arctan x (arctan x) 0 ₌ 1 2 h (arctan x)2i0 si atunci ∞ Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 arctan x 1+x2 dx =_ulim_!∞ u Z 0 1 2 h (arctan x)2i0dx = = 1 2[ulim_!∞(arctan u) 2 (arctan 0)2] = 1 2 ulim_!∞arctan u 2 = π 2 8 . MSI Tech Support (Institute) Beamer presentations in SWP and SW 03/06 13 / 29

Problema 2 : Sa se studieze convergenta integralei improprii 1 0 Z 0 sin x p 1 x2dx.

Rezolvare: Caracterul impropriu este dat de capatul superior x =1 in vecinatatea caruia functia de sub integrala devine nemarginita. Intrucat

[0, 1] [0, π], functia de sub integrala este pozitiva si aplicand primul criteriu de comparatie obtinem:

0 _psin x 1 x2

1

p

1 x2, 8x 2 [0, 1].

Deoarece integrala improprie

1 0_Z

0 1

p

1 x2dx este convergenta, deducem ca si

Problema 2 : Sa se studieze convergenta integralei improprii 1 0 Z 0 sin x p 1 x2dx.

Rezolvare: Caracterul impropriu este dat de capatul superior x =1 in vecinatatea caruia functia de sub integrala devine nemarginita. Intrucat

[0, 1] [0, π], functia de sub integrala este pozitiva si aplicand primul criteriu de comparatie obtinem:

0 _psin x 1 x2

1

p

1 x2, 8x 2 [0, 1].

Deoarece integrala improprie

1 0_Z

0 1

p

1 x2dx este convergenta, deducem ca si

integrala din enunt este convergenta.

Problema 2 : Sa se studieze convergenta integralei improprii 1 0 Z 0 sin x p 1 x2dx.

Rezolvare: Caracterul impropriu este dat de capatul superior x =1 in vecinatatea caruia functia de sub integrala devine nemarginita. Intrucat

[0, 1] [0, π], functia de sub integrala este pozitiva si aplicand primul criteriu de comparatie obtinem:

0 _psin x 1 x2

1

p

1 x2, 8x 2 [0, 1].

Deoarece integrala improprie

1 0_Z

0 1

p

1 x2dx este convergenta, deducem ca si

Problema 2 : Sa se studieze convergenta integralei improprii 1 0 Z 0 sin x p 1 x2dx.

Rezolvare: Caracterul impropriu este dat de capatul superior x =1 in vecinatatea caruia functia de sub integrala devine nemarginita. Intrucat

[0, 1] [0, π], functia de sub integrala este pozitiva si aplicand primul criteriu de comparatie obtinem:

0 _psin x 1 x2

1

p

1 x2, 8x 2 [0, 1].

Deoarece integrala improprie

1 0_Z

0 1

p

1 x2dx este convergenta, deducem ca si

integrala din enunt este convergenta.

Problema 3 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx, ε 0.

Rezolvare: Caracterul impropriu al integralei este cauzat de ambele capete de integrare cand ε=0, iar pentru ε₆₌0 doar de capatul superior. Din acest motiv vom studia problema prin discutie dupa ε. In cazul ε =0 vom scrie ∞ Z 0 arctan x x2 dx = 1 Z 0 arctan x x2 dx+ ∞ Z 1 arctan x x2 dx

Problema 3 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx, ε 0.

Rezolvare: Caracterul impropriu al integralei este cauzat de ambele capete de integrare cand ε=0, iar pentru ε₆₌0 doar de capatul superior. Din acest motiv vom studia problema prin discutie dupa ε.

In cazul ε=0 vom scrie ∞ Z 0 arctan x x2 dx = 1 Z 0 arctan x x2 dx+ ∞ Z 1 arctan x x2 dx

Problema 3 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx, ε 0.

Rezolvare: Caracterul impropriu al integralei este cauzat de ambele capete de integrare cand ε=0, iar pentru ε₆₌0 doar de capatul superior. Din acest motiv vom studia problema prin discutie dupa ε. In cazul ε =0 vom scrie ∞ Z 0 arctan x x2 dx = 1 Z 0 arctan x x2 dx+ ∞ Z 1 arctan x x2 dx

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala ∞ Z 1 1

x2₊₁dx este convergenta, din

lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = lim x_!∞ x2+1 x2 _xlim_!∞arctan x = π 2

deducem in baza acestui criteriu ca si

∞

Z

1 arctan x

x2 dx este convergenta.

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x!0,x>0x

αarctan x

x2 = _x!lim_0,x>0arctan x _x!lim_0,x>0x

α 2

este …nita doar pentru α 2 deducem ca integrala

1

Z

0 arctan x

x2 dx este

divergenta. Deci, in cazul ε=0 integrala

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx este divergenta.

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala ∞ Z 1 1

x2₊₁dx este convergenta, din

lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = lim x_!∞ x2+1 x2 _xlim_!∞arctan x = π 2

deducem in baza acestui criteriu ca si

∞

Z

1 arctan x

x2 dx este convergenta.

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x!0,x>0x

αarctan x

x2 = _x!lim_0,x>0arctan x _x!lim_0,x>0x

α 2

este …nita doar pentru α 2 deducem ca integrala

1

Z

0 arctan x

x2 dx este

divergenta. Deci, in cazul ε=0 integrala

∞

Z

ε

arctan x

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala ∞ Z 1 1

x2₊₁dx este convergenta, din

lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = lim x_!∞ x2+1 x2 _xlim_!∞arctan x = π 2

deducem in baza acestui criteriu ca si

∞

Z

1 arctan x

x2 dx este convergenta.

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x!0,x>0x

αarctan x

x2 = _x!lim_0,x>0arctan x _x!lim_0,x>0x

α 2

este …nita doar pentru α 2 deducem ca integrala

1

Z

0 arctan x

x2 dx este

divergenta. Deci, in cazul ε=0 integrala

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx este divergenta.

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala ∞ Z 1 1

x2₊₁dx este convergenta, din

lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = lim x_!∞ x2+1 x2 _xlim_!∞arctan x = π 2

deducem in baza acestui criteriu ca si

∞

Z

1 arctan x

x2 dx este convergenta.

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x!0,x>0x

αarctan x

x2 = _x!lim_0,x>0arctan x _x!lim_0,x>0x

α 2

este …nita doar pentru α 2 deducem ca integrala

1

Z

0 arctan x

x2 dx este

divergenta. Deci, in cazul ε=0 integrala

∞

Z

ε

arctan x

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala ∞ Z 1 1

x2₊₁dx este convergenta, din

lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = lim x_!∞ x2+1 x2 _xlim_!∞arctan x = π 2

deducem in baza acestui criteriu ca si

∞

Z

1 arctan x

x2 dx este convergenta.

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x!0,x>0x

αarctan x

x2 = _x!lim_0,x>0arctan x _x!lim_0,x>0x

α 2

este …nita doar pentru α 2 deducem ca integrala

1 Z 0 arctan x x2 dx este divergenta.

Deci, in cazul ε=0 integrala

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx este divergenta.

iar pentru a doua integrala aplicam al doilea criteriu de comparatie. Astfel, stiind ca integrala ∞ Z 1 1

x2₊₁dx este convergenta, din

lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = lim x_!∞ x2+1 x2 _xlim_!∞arctan x = π 2

deducem in baza acestui criteriu ca si

∞

Z

1 arctan x

x2 dx este convergenta.

Pentru prima integrala aplicam Teorema 3 b) si deoarece limita lim

x!0,x>0x

αarctan x

x2 = _x!lim_0,x>0arctan x _x!lim_0,x>0x

α 2

este …nita doar pentru α 2 deducem ca integrala

1 Z 0 arctan x x2 dx este ∞

In cazul ε>0, deoarece lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = π 2 folosind al doilea criteriu de comparatie deducem ca

integrala improprie

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx este convergenta pentru ε>0. Vom calcula integrala in acest

caz utilizand metoda de integrare prin parti (a se vedea Teorema 6). Astfel,

∞ Z ε arctan x x2 dx = ∞ Z ε arctan x 1 x 0 dx = lim x!∞arctan x 1 x arctan ε 1 ε ∞ Z ε 1 x 1 x2₊₁dx = 1 ε arctan ε+ ∞ Z ε dx x(x2₊₁₎.

In cazul ε>0, deoarece lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = π 2

folosind al doilea criteriu de comparatie deducem ca integrala improprie

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx este convergenta pentru ε>0. Vom calcula integrala in acest

caz utilizand metoda de integrare prin parti (a se vedea Teorema 6). Astfel,

∞ Z ε arctan x x2 dx = ∞ Z ε arctan x 1 x 0 dx = lim x!∞arctan x 1 x arctan ε 1 ε ∞ Z ε 1 x 1 x2₊₁dx = 1 ε arctan ε+ ∞ Z ε dx x(x2₊₁₎.

In cazul ε>0, deoarece lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = π 2

folosind al doilea criteriu de comparatie deducem ca integrala improprie

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx este convergenta pentru ε>0. Vom calcula integrala in acest

caz utilizand metoda de integrare prin parti (a se vedea Teorema 6). Astfel,

∞ Z ε arctan x x2 dx = ∞ Z ε arctan x 1 x 0 dx = lim x!∞arctan x 1 x arctan ε 1 ε ∞ Z ε 1 x 1 x2₊₁dx = 1 ε arctan ε+ ∞ Z ε dx x(x2₊₁₎.

In cazul ε>0, deoarece lim x_!∞ arctan x x2 1 x2₊₁ = π 2

folosind al doilea criteriu de comparatie deducem ca integrala improprie

∞

Z

ε

arctan x

x2 dx este convergenta pentru ε>0. Vom calcula integrala in acest

caz utilizand metoda de integrare prin parti (a se vedea Teorema 6). Astfel,

∞ Z ε arctan x x2 dx = ∞ Z ε arctan x 1 x 0 dx = lim x!∞arctan x 1 x arctan ε 1 ∞ Z ₁ x 1 x2₊₁dx = 1 arctan ε+ ∞ Z _dx x(x2₊₁₎.

La calculul integralei

∞

Z

ε

dx

x(x2₊₁₎ vom descompune functia de sub integrala

in fractii simple 1 x(x2₊₁₎ = a x + bx+c x2₊₁ = (a+b)x2+cx+a x(x2₊₁₎ .

Prin identi…care se obtine a=1, b= 1, c =0 si atunci

∞ Z ε dx x(x2₊₁₎ = ∞ Z ε 1 xdx 1 2 ∞ Z ε 2x x2₊₁dx =ln x p x2₊₁ j ∞ ε = lim x!∞ln x p x2₊₁ ln ε p ε2+1 =ln lim x!∞ x p x2₊₁ ln ε p ε2+1 .

La calculul integralei

∞

Z

ε

dx

x(x2₊₁₎ vom descompune functia de sub integrala

in fractii simple 1 x(x2₊₁₎ = a x + bx+c x2₊₁ = (a+b)x2+cx+a x(x2₊₁₎ .

Prin identi…care se obtine a=1, b= 1, c =0 si atunci

∞ Z ε dx x(x2₊₁₎ = ∞ Z ε 1 xdx 1 2 ∞ Z ε 2x x2₊₁dx =ln x p x2₊₁ j ∞ ε = lim x!∞ln x p x2₊₁ ln ε p ε2+1 =ln lim x!∞ x p x2₊₁ ln ε p ε2+1 .

La calculul integralei

∞

Z

ε

dx

x(x2₊₁₎ vom descompune functia de sub integrala

in fractii simple 1 x(x2₊₁₎ = a x + bx+c x2₊₁ = (a+b)x2+cx+a x(x2₊₁₎ .

Prin identi…care se obtine a=1, b= 1, c =0 si atunci

∞ Z ε dx x(x2₊₁₎ = ∞ Z ε 1 xdx 1 2 ∞ Z ε 2x x2₊₁dx =ln x p x2₊₁ j ∞ ε = lim x!∞ln x p x2₊₁ ln ε p ε2+1 =ln lim x!∞ x p x2₊₁ ln ε p ε2+1 .

Astfel, deoarece ln lim x_!∞ x p x2₊₁ =ln 1=0, obtinem: ∞ Z ε arctan x x2 dx = 1 ε arctan ε ln ε p ε2+1 , pentru ε₆₌0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice

1 0 Z 1+0 dx p 1 x4.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

1 Z 1 dx p 1 x4 = 0 Z 1 dx p 1 x4 + 1 Z 0 dx p 1 x4

iar la prima integrala aplicam Teorema 3 b) si la cea de a doua, Teorema 3 a).

Astfel, deoarece ln lim x_!∞ x p x2₊₁ =ln 1=0, obtinem: ∞ Z ε arctan x x2 dx = 1 ε arctan ε ln ε p ε2+1 , pentru ε₆₌0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice

1 0 Z 1+0 dx p 1 x4.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

1 Z 1 dx p 1 x4 = 0 Z 1 dx p 1 x4 + 1 Z 0 dx p 1 x4

iar la prima integrala aplicam Teorema 3 b) si la cea de a doua, Teorema 3 a).

Astfel, deoarece ln lim x_!∞ x p x2₊₁ =ln 1=0, obtinem: ∞ Z ε arctan x x2 dx = 1 ε arctan ε ln ε p ε2+1 , pentru ε₆₌0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice

1 0 Z 1+0 dx p 1 x4.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

1 Z 1 dx p 1 x4 = 0 Z 1 dx p 1 x4 + 1 Z 0 dx p 1 x4

iar la prima integrala aplicam Teorema 3 b) si la cea de a doua, Teorema 3 a).

Astfel, deoarece ln lim x_!∞ x p x2₊₁ =ln 1=0, obtinem: ∞ Z ε arctan x x2 dx = 1 ε arctan ε ln ε p ε2+1 , pentru ε₆₌0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice

1 0 Z 1+0 dx p 1 x4.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

1 Z 1 dx p 1 x4 = 0 Z 1 dx p 1 x4 + 1 Z 0 dx p 1 x4

iar la prima integrala aplicam Teorema 3 b) si la cea de a doua, Teorema 3 a).

Astfel, deoarece ln lim x_!∞ x p x2₊₁ =ln 1=0, obtinem: ∞ Z ε arctan x x2 dx = 1 ε arctan ε ln ε p ε2+1 , pentru ε₆₌0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice

1 0 Z 1+0 dx p 1 x4.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

1 Z 1 dx p 1 x4 = 0 Z 1 dx p 1 x4 + 1 Z 0 dx p 1 x4

iar la prima integrala aplicam Teorema 3 b) si la cea de a doua, Teorema 3 a).

Astfel, deoarece ln lim x_!∞ x p x2₊₁ =ln 1=0, obtinem: ∞ Z ε arctan x x2 dx = 1 ε arctan ε ln ε p ε2+1 , pentru ε₆₌0.

Problema 4 : Sa se studieze convergenta integralei eliptice

1 0 Z 1+0 dx p 1 x4.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

1 Z 1 dx p 1 x4 = 0 Z 1 dx p 1 x4 + 1 Z 0 dx p 1 x4

iar la prima integrala aplicam Teorema 3 b) si la cea de a doua, Teorema 3 a).

Astfel, lim x_! 1,x> 1(1+x) α 1 p 1 x4 =x_! lim1,x> 1 (1+x)α p (1+x) (1 x) (1+x2₎ = = lim x_! 1,x> 1 1 p (1 x) (1+x2₎ x_! lim1,x> 1(1+x) α (1+x) 12 ₌ 1 2

pentru α= 1₂ <1 si deducem ca integrala improprie

0 Z 1 dx p 1 x4 este

convergenta. Pentru cealalta integrala procedand analog,

lim x_!1,x<1(1 x) α 1 p 1 x4 =x_!lim1,x<1 (1 x)α (1 x) 12 p (1+x) (1+x2₎ α=12 = 1 2, deducem ca integrala 1 Z 0 dx p

1 x4 este convergenta. Ambele integrale …ind

Astfel, lim x_! 1,x> 1(1+x) α 1 p 1 x4 =x_! lim1,x> 1 (1+x)α p (1+x) (1 x) (1+x2₎ = = lim x_! 1,x> 1 1 p (1 x) (1+x2₎ x_! lim1,x> 1(1+x) α (1+x) 12 ₌ 1 2

pentru α= 1₂ <1 si deducem ca integrala improprie

0 Z 1 dx p 1 x4 este

convergenta. Pentru cealalta integrala procedand analog,

lim x_!1,x<1(1 x) α 1 p 1 x4 =x_!lim1,x<1 (1 x)α (1 x) 12 p (1+x) (1+x2₎ α=12 = 1 2, deducem ca integrala 1 Z 0 dx p

1 x4 este convergenta. Ambele integrale …ind

convergente, si integrala din enunt va … convergenta.

Astfel, lim x_! 1,x> 1(1+x) α 1 p 1 x4 =x_! lim1,x> 1 (1+x)α p (1+x) (1 x) (1+x2₎ = = lim x_! 1,x> 1 1 p (1 x) (1+x2₎ x_! lim1,x> 1(1+x) α (1+x) 12 ₌ 1 2

pentru α= 1₂ <1 si deducem ca integrala improprie

0 Z 1 dx p 1 x4 este convergenta.

Pentru cealalta integrala procedand analog,

lim x_!1,x<1(1 x) α 1 p 1 x4 =x_!lim1,x<1 (1 x)α (1 x) 12 p (1+x) (1+x2₎ α=12 = 1 2, deducem ca integrala 1 Z 0 dx p

1 x4 este convergenta. Ambele integrale …ind

Astfel, lim x_! 1,x> 1(1+x) α 1 p 1 x4 =x_! lim1,x> 1 (1+x)α p (1+x) (1 x) (1+x2₎ = = lim x_! 1,x> 1 1 p (1 x) (1+x2₎ x_! lim1,x> 1(1+x) α (1+x) 12 ₌ 1 2

pentru α= 1₂ <1 si deducem ca integrala improprie

0 Z 1 dx p 1 x4 este

convergenta. Pentru cealalta integrala procedand analog,

lim x_!1,x<1(1 x) α 1 p 1 x4 =x_!lim1,x<1 (1 x)α (1 x) 12 p (1+x) (1+x2₎ α=1₂ = 1 2, deducem ca integrala 1 Z 0 dx p

1 x4 este convergenta. Ambele integrale …ind

convergente, si integrala din enunt va … convergenta.

Astfel, lim x_! 1,x> 1(1+x) α 1 p 1 x4 =x_! lim1,x> 1 (1+x)α p (1+x) (1 x) (1+x2₎ = = lim x_! 1,x> 1 1 p (1 x) (1+x2₎ x_! lim1,x> 1(1+x) α (1+x) 12 ₌ 1 2

pentru α= 1₂ <1 si deducem ca integrala improprie

0 Z 1 dx p 1 x4 este

convergenta. Pentru cealalta integrala procedand analog,

lim x_!1,x<1(1 x) α 1 p 1 x4 =x_!lim1,x<1 (1 x)α (1 x) 12 p (1+x) (1+x2₎ α=1₂ = 1 2, 1 Z dx

Ambele integrale …ind convergente, si integrala din enunt va … convergenta.

Astfel, lim x_! 1,x> 1(1+x) α 1 p 1 x4 =x_! lim1,x> 1 (1+x)α p (1+x) (1 x) (1+x2₎ = = lim x_! 1,x> 1 1 p (1 x) (1+x2₎ x_! lim1,x> 1(1+x) α (1+x) 12 ₌ 1 2

pentru α= 1₂ <1 si deducem ca integrala improprie

0 Z 1 dx p 1 x4 este

convergenta. Pentru cealalta integrala procedand analog,

lim x_!1,x<1(1 x) α 1 p 1 x4 =x_!lim1,x<1 (1 x)α (1 x) 12 p (1+x) (1+x2₎ α=1₂ = 1 2, deducem ca integrala 1 Z 0 dx p

1 x4 este convergenta. Ambele integrale …ind

convergente, si integrala din enunt va … convergenta.

Problema 5 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

1+0

1

xpx2 ₁dx.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 2 Z 1 1 xpx2 ₁dx+ ∞ Z 2 1 xpx2 ₁dx.

Pentru studiul primei integrale vom aplica Teorema 3 b), iar pentru a doua integrala vom face uz de Teorema 4. Astfel,

lim x_!1,x>1(x 1) α 1 xpx2 ₁ =x_!lim1,x<1 (x 1)α xpx 1 px+1 α=1₂ = _p1 2 si prima integrala este convergenta.

Problema 5 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

1+0

1

xpx2 ₁dx.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 2 Z 1 1 xpx2 ₁dx+ ∞ Z 2 1 xpx2 ₁dx.

Pentru studiul primei integrale vom aplica Teorema 3 b), iar pentru a doua integrala vom face uz de Teorema 4. Astfel,

lim x_!1,x>1(x 1) α 1 xpx2 ₁ =x_!lim1,x<1 (x 1)α xpx 1 px+1 α=1₂ = _p1 2 si prima integrala este convergenta.

Problema 5 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

1+0

1

xpx2 ₁dx.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 2 Z 1 1 xpx2 ₁dx+ ∞ Z 2 1 xpx2 ₁dx.

Pentru studiul primei integrale vom aplica Teorema 3 b), iar pentru a doua integrala vom face uz de Teorema 4. Astfel,

lim x_!1,x>1(x 1) α 1 xpx2 ₁ =x_!lim1,x<1 (x 1)α xpx 1 px+1 α=1₂ = _p1 2 si prima integrala este convergenta.

Problema 5 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

1+0

1

xpx2 ₁dx.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 2 Z 1 1 xpx2 ₁dx+ ∞ Z 2 1 xpx2 ₁dx.

Pentru studiul primei integrale vom aplica Teorema 3 b), iar pentru a doua integrala vom face uz de Teorema 4. Astfel,

lim x_!1,x>1(x 1) α 1 xpx2 ₁ =x_!lim1,x<1 (x 1)α xpx 1 px+1 α=1₂ = _p1 2 si prima integrala este convergenta.

Problema 5 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

1+0

1

xpx2 ₁dx.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 2 Z 1 1 xpx2 ₁dx+ ∞ Z 2 1 xpx2 ₁dx.

Pentru studiul primei integrale vom aplica Teorema 3 b), iar pentru a doua integrala vom face uz de Teorema 4. Astfel,

lim (x 1)α 1 p = lim (x 1) α p p α= 1 2 = _p1

Problema 5 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

∞

Z

1+0

1

xpx2 ₁dx.

Rezolvare: Vom descompune integrala in modul urmator

∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 2 Z 1 1 xpx2 ₁dx+ ∞ Z 2 1 xpx2 ₁dx.

Pentru studiul primei integrale vom aplica Teorema 3 b), iar pentru a doua integrala vom face uz de Teorema 4. Astfel,

lim x_!1,x>1(x 1) α 1 xpx2 ₁ =x_!lim1,x<1 (x 1)α xpx 1 px+1 α=1₂ = _p1 2 si prima integrala este convergenta.

Apoi, lim x!∞x α 1 xpx2 ₁ α=2 = lim x!∞ x p x2 ₁ =1

pentru α=2>1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

∞

Z

1 1

xpx2 ₁dx este convergenta. Pentru calculul

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t. Atunci

corespondenta dintre capetele de integrare este

x =1_!t =1 si x =∞_!t=0 si dx = ϕ0(t)dt = _t12 dt, obtinand ∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 0 Z 1 1 t2 dt 1 t q 1 t 2 1 = 1 Z 0 dt p 1 t2.

Apoi, lim x!∞x α 1 xpx2 ₁ α=2 = lim x!∞ x p x2 ₁ =1

pentru α=2>1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta.

Deci, integrala improprie

∞

Z

1 1

xpx2 ₁dx este convergenta. Pentru calculul

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t. Atunci

corespondenta dintre capetele de integrare este

x =1_!t =1 si x =∞_!t=0 si dx = ϕ0(t)dt = _t12 dt, obtinand ∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 0 Z 1 1 t2 dt 1 t q 1 t 2 1 = 1 Z 0 dt p 1 t2.

Apoi, lim x!∞x α 1 xpx2 ₁ α=2 = lim x!∞ x p x2 ₁ =1

pentru α=2>1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx este convergenta. Pentru calculul acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t. Atunci

corespondenta dintre capetele de integrare este

x =1_!t =1 si x =∞_!t=0 si dx = ϕ0(t)dt = _t12 dt, obtinand ∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 0 Z 1 1 t2 dt 1 t q 1 t 2 1 = 1 Z 0 dt p 1 t2.

Apoi, lim x!∞x α 1 xpx2 ₁ α=2 = lim x!∞ x p x2 ₁ =1

pentru α=2>1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

∞

Z

1 1

xpx2 ₁dx este convergenta. Pentru calculul

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7).

Alegem schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t. Atunci

corespondenta dintre capetele de integrare este

x =1_!t =1 si x =∞_!t=0 si dx = ϕ0(t)dt = _t12 dt, obtinand ∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 0 Z 1 1 t2 dt 1 t q 1 t 2 1 = 1 Z 0 dt p 1 t2.

Apoi, lim x!∞x α 1 xpx2 ₁ α=2 = lim x!∞ x p x2 ₁ =1

pentru α=2>1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

∞

Z

1 1

xpx2 ₁dx este convergenta. Pentru calculul

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t.

Atunci corespondenta dintre capetele de integrare este

x =1_!t =1 si x =∞_!t=0 si dx = ϕ0(t)dt = _t12 dt, obtinand ∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 0 Z 1 1 t2 dt 1 t q 1 t 2 1 = 1 Z 0 dt p 1 t2.

Apoi, lim x!∞x α 1 xpx2 ₁ α=2 = lim x!∞ x p x2 ₁ =1

pentru α=2>1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

∞

Z

1 1

xpx2 ₁dx este convergenta. Pentru calculul

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t. Atunci

corespondenta dintre capetele de integrare este

x =1_!t =1 si x =∞_!t =0 si dx = ϕ0(t)dt = _t12 dt, obtinand ∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 0 Z 1 1 t2 dt 1 t q 1 t 2 1 = 1 Z 0 dt p 1 t2.

Apoi, lim x!∞x α 1 xpx2 ₁ α=2 = lim x!∞ x p x2 ₁ =1

pentru α=2>1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

∞

Z

1 1

xpx2 ₁dx este convergenta. Pentru calculul

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t. Atunci

corespondenta dintre capetele de integrare este

x =1_!t =1 si x =∞_!t =0 si dx = ϕ0(t)dt = _t12 dt, obtinand ∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 0 Z 1 1 t2 dt 1 t q 1 t 2 1 = 1 Z 0 dt p 1 t2.

Apoi, lim x!∞x α 1 xpx2 ₁ α=2 = lim x!∞ x p x2 ₁ =1

pentru α=2>1 si deducem ca si a doua integrala este convergenta. Deci, integrala improprie

∞

Z

1 1

xpx2 ₁dx este convergenta. Pentru calculul

acestei integrale vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7). Alegem schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t. Atunci

corespondenta dintre capetele de integrare este

x =1_!t =1 si x =∞_!t =0 si dx = ϕ0(t)dt = _t12 dt, obtinand ∞ Z 1 1 xpx2 ₁dx = 0 Z 1 1 t2 dt 1 t q 1 t 2 1 = 1 Z 0 dt p 1 t2.

Desi integrala la care s-a ajuns este de asemenea improprie, aceasta se va calcula folosind de…nitia:

1 Z 0 dt p 1 t2 =u_!lim1,u<1 u Z 0 dt p

1 t2 =u_!lim1,u<1arcsin t j u 0=

π

2. Problema 6 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

1 0_Z

0

ln 1

1 x dx.

Rezolvare: Vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7) alegand schimbarea de variabila data de notatia _{1 x}1 =et. Acest lucru este posibil deoarece pentru x _{2 [}0, 1)functia f (x) = _{1 x}1

este bijectiva, strict crescatoare si derivabila cu derivata continua. Astfel, 1

1 x =e

t

Desi integrala la care s-a ajuns este de asemenea improprie, aceasta se va calcula folosind de…nitia:

1 Z 0 dt p 1 t2 =u_!lim1,u<1 u Z 0 dt p

1 t2 =u_!lim1,u<1arcsin t j u 0=

π

2.

Problema 6 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

1 0_Z

0

ln 1

1 x dx.

Rezolvare: Vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7) alegand schimbarea de variabila data de notatia _{1 x}1 =et. Acest lucru este posibil deoarece pentru x _{2 [}0, 1)functia f (x) = _{1 x}1

este bijectiva, strict crescatoare si derivabila cu derivata continua. Astfel, 1

1 x =e

t

()x =1 e t,

Desi integrala la care s-a ajuns este de asemenea improprie, aceasta se va calcula folosind de…nitia:

1 Z 0 dt p 1 t2 =u_!lim1,u<1 u Z 0 dt p

1 t2 =u_!lim1,u<1arcsin t j u 0=

π

2. Problema 6 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

1 0_Z

0

ln 1

1 x dx.

Rezolvare: Vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7) alegand schimbarea de variabila data de notatia _{1 x}1 =et. Acest lucru este posibil deoarece pentru x _{2 [}0, 1)functia f (x) = _{1 x}1

este bijectiva, strict crescatoare si derivabila cu derivata continua. Astfel, 1

1 x =e

t

Desi integrala la care s-a ajuns este de asemenea improprie, aceasta se va calcula folosind de…nitia:

1 Z 0 dt p 1 t2 =u_!lim1,u<1 u Z 0 dt p

1 t2 =u_!lim1,u<1arcsin t j u 0=

π

2. Problema 6 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

1 0_Z

0

ln 1

1 x dx.

Rezolvare: Vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7) alegand schimbarea de variabila

data de notatia _{1 x}1 =et. Acest lucru este posibil deoarece pentru x _{2 [}0, 1)functia f (x) = _{1 x}1

este bijectiva, strict crescatoare si derivabila cu derivata continua. Astfel, 1

1 x =e

t

()x =1 e t,

Desi integrala la care s-a ajuns este de asemenea improprie, aceasta se va calcula folosind de…nitia:

1 Z 0 dt p 1 t2 =u_!lim1,u<1 u Z 0 dt p

1 t2 =u_!lim1,u<1arcsin t j u 0=

π

2. Problema 6 : Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integrala improprie

1 0_Z

0

ln 1

1 x dx.

Rezolvare: Vom utiliza formula de schimbare a variabilei (a se vedea Teorema 7) alegand schimbarea de variabila data de notatia _{1 x}1 =et. Acest lucru este posibil deoarece pentru x _{2 [}0, 1)functia f (x) = _{1 x}1

dx =e tdt si corespondenta dintre capetele de integrare este: x =0_!t =0, x=1_!t =∞. Atunci, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt

si integrand prin parti se obtine

∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 t e t 0dt = lim t_!∞te t ∞ Z 0 e t dt.

Aplicand teorema lui l’Hôpital la calculul limitei, lim t_!∞te t = lim t_!∞ t et =_tlim_!∞ 1 et =0, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 e t dt = (lim t_!∞ 1 et 1) =1.

dx =e tdt si corespondenta dintre capetele de integrare este: x =0_!t =0, x=1_!t =∞. Atunci, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt

si integrand prin parti se obtine

∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 t e t 0dt = lim t_!∞te t ∞ Z 0 e t dt.

Aplicand teorema lui l’Hôpital la calculul limitei, lim t_!∞te t = lim t_!∞ t et =_tlim_!∞ 1 et =0, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 e t dt = (lim t_!∞ 1 et 1) =1.

dx =e tdt si corespondenta dintre capetele de integrare este: x =0_!t =0, x=1_!t =∞. Atunci, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt

si integrand prin parti se obtine

∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 t e t 0dt = lim t_!∞te t ∞ Z 0 e t dt.

Aplicand teorema lui l’Hôpital la calculul limitei, lim t_!∞te t = lim t_!∞ t et =_tlim_!∞ 1 et =0, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 e t dt = (lim t_!∞ 1 et 1) =1.

dx =e tdt si corespondenta dintre capetele de integrare este: x =0_!t =0, x=1_!t =∞. Atunci, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt

si integrand prin parti se obtine

∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 t e t 0dt = lim t_!∞te t ∞ Z 0 e t dt.

Aplicand teorema lui l’Hôpital la calculul limitei, lim t_!∞te t = lim t_!∞ t et =_tlim_!∞ 1 et =0, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 e t dt = (lim t_!∞ 1 et 1) =1.

dx =e tdt si corespondenta dintre capetele de integrare este: x =0_!t =0, x=1_!t =∞. Atunci, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt

si integrand prin parti se obtine

∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 t e t 0dt = lim t_!∞te t ∞ Z 0 e t dt.

Aplicand teorema lui l’Hôpital la calculul limitei, lim t_!∞te t = lim t_!∞ t et =_tlim_!∞ 1 et =0, 1 0_Z 0 ln 1 1 x dx = ∞ Z 0 te tdt = ∞ Z 0 e t dt = (lim t_!∞ 1 et 1) =1.

Problema 7 : Sa se calculeze integrala: I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2.

Rezolvare: Evitand calculele laborioase generate de descompunerea in fractii simple, vom utiliza schimbarea de variabila x = ϕ(t) =tg(t).

Atunci, dx = (tg(t))0dt = 1+tg2_{(t) dt si corespondenta intre}

capetele de integrare este: x =0_!t =0, x =∞_!t = π

2. Astfel, I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2 = π 2 Z 0 1+tg2(t) dt (1+tg2_(t))2 = π 2 Z 0 1 1+tg2_(t)dt = π 2 Z 0 cos2tdt

si integrala la care s-a ajuns nu este improprie. Deci, integrala initiala este convergenta si valoarea sa este

I = π 2 Z 0 cos2tdt = π 2 Z 0 1+cos 2t 2 dt = t 2 j π 2 0 + sin 2t 4 j π 2 0= π 4.

Problema 7 : Sa se calculeze integrala: I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2.

Rezolvare: Evitand calculele laborioase generate de descompunerea in fractii simple, vom utiliza schimbarea de variabila

x = ϕ(t) =tg(t).

Atunci, dx = (tg(t))0dt = 1+tg2_{(t) dt si corespondenta intre}

capetele de integrare este: x =0_!t =0, x =∞_!t = π

2. Astfel, I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2 = π 2 Z 0 1+tg2(t) dt (1+tg2_(t))2 = π 2 Z 0 1 1+tg2_(t)dt = π 2 Z 0 cos2tdt

si integrala la care s-a ajuns nu este improprie. Deci, integrala initiala este convergenta si valoarea sa este

I = π 2 Z 0 cos2tdt = π 2 Z 0 1+cos 2t 2 dt = t 2 j π 2 0 + sin 2t 4 j π 2 0= π 4.

Problema 7 : Sa se calculeze integrala: I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2.

Rezolvare: Evitand calculele laborioase generate de descompunerea in fractii simple, vom utiliza schimbarea de variabila x = ϕ(t) =tg(t).

Atunci, dx = (tg(t))0dt = 1+tg2_{(t) dt si corespondenta intre}

capetele de integrare este

: x =0_!t =0, x =∞_!t = π 2. Astfel, I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2 = π 2 Z 0 1+tg2(t) dt (1+tg2_(t))2 = π 2 Z 0 1 1+tg2_(t)dt = π 2 Z 0 cos2tdt

si integrala la care s-a ajuns nu este improprie. Deci, integrala initiala este convergenta si valoarea sa este

I = π 2 Z 0 cos2tdt = π 2 Z 0 1+cos 2t 2 dt = t 2 j π 2 0 + sin 2t 4 j π 2 0= π 4.

Problema 7 : Sa se calculeze integrala: I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2.

Rezolvare: Evitand calculele laborioase generate de descompunerea in fractii simple, vom utiliza schimbarea de variabila x = ϕ(t) =tg(t).

Atunci, dx = (tg(t))0dt = 1+tg2_{(t) dt si corespondenta intre}

capetele de integrare este: x =0_!t =0, x =∞_!t = π

2. Astfel, I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2 = π 2 Z 0 1+tg2(t) dt (1+tg2_(t))2 = π 2 Z 0 1 1+tg2_(t)dt = π 2 Z 0 cos2tdt

si integrala la care s-a ajuns nu este improprie. Deci, integrala initiala este convergenta si valoarea sa este

I = π 2 Z 0 cos2tdt = π 2 Z 0 1+cos 2t 2 dt = t 2 j π 2 0 + sin 2t 4 j π 2 0= π 4.

Problema 7 : Sa se calculeze integrala: I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2.

Rezolvare: Evitand calculele laborioase generate de descompunerea in fractii simple, vom utiliza schimbarea de variabila x = ϕ(t) =tg(t).

Atunci, dx = (tg(t))0dt = 1+tg2_{(t) dt si corespondenta intre}

capetele de integrare este: x =0_!t =0, x =∞_!t = π

2. Astfel, I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2 = π 2 Z 0 1+tg2(t) dt (1+tg2_(t))2 = π 2 Z 0 1 1+tg2_(t)dt = π 2 Z 0 cos2tdt

si integrala la care s-a ajuns nu este improprie. Deci, integrala initiala este convergenta si valoarea sa este

I = π 2 Z 0 cos2tdt = π 2 Z 0 1+cos 2t 2 dt = t 2 j π 2 0 + sin 2t 4 j π 2 0= π 4.

Problema 7 : Sa se calculeze integrala: I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2.

Rezolvare: Evitand calculele laborioase generate de descompunerea in fractii simple, vom utiliza schimbarea de variabila x = ϕ(t) =tg(t).

Atunci, dx = (tg(t))0dt = 1+tg2_{(t) dt si corespondenta intre}

capetele de integrare este: x =0_!t =0, x =∞_!t = π

2. Astfel, I = ∞ Z 0 dx (x2₊₁₎2 = π 2 Z 0 1+tg2(t) dt (1+tg2_(t))2 = π 2 Z 0 1 1+tg2_(t)dt = π 2 Z 0 cos2tdt

si integrala la care s-a ajuns nu este improprie. Deci, integrala initiala este convergenta si valoarea sa este

I = π 2 Z 0 cos2tdt = π 2 Z 0 1+cos 2t 2 dt = t 2 j π 2 0 + sin 2t 4 j π 2 0= π 4.

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 _I = 1 2 Z 0 dx x ln2_x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁ = ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 _I = 1 2 Z 0 dx x ln2_x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁ = ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

x = ϕ(t) = 1_t).

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 _I = 1 2 Z 0 dx x ln2_x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁ = ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 _I = 1 2 Z 0 dx x ln2_x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁ = ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

x = ϕ(t) = 1_t).

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x,

Raspuns:I = _{ln 2}1 , (integrare prin parti)

3 I₁ = ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x,

Raspuns:I = _{ln 2}1 , (integrare prin parti)

3 I₁ = ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

x = ϕ(t) = 1_t).

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:

I = _{ln 2}1 , (integrare prin parti)

3 I₁ = ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁ = ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

x = ϕ(t) = 1_t).

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁= ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁= ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

x = ϕ(t) = 1_t).

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁= ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns: I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁= ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃; I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

x = ϕ(t) = 1_t).

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁= ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2 =ln 1+ p 5

2 ,(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁= ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2=ln 1+ p 5 2 ,

(Indicatie: se utilizeaza schimbarea de variabila x = ϕ(t) = 1_t).

Probleme propuse

Sa se studieze convergenta si in caz a…rmativ sa se calculeze integralele improprii. Raspunsurile oferite se recomanda a … folosite in scop de veri…care: 1 I = 1 2 Z 0 dx x ln x, Raspuns: divergenta. 2 I = 1 2 Z 0 dx x ln2x, Raspuns:I = 1

ln 2, (integrare prin parti)

3 I₁= ∞ Z 0 dx x3₊₁, Raspuns:I1 = ₃2πp₃;I2= ∞ Z 2 dx xpx2₊₁, Raspuns: I2=ln 1+ p