Vargjet Numerike - Përmbledhje

20  11  Download (0)

Full text

(1)
(2)

GJIMNAZI “GJON BUZUKU” MATEMATIKË - INFORMATIKË

Punim Seminarik

Vargjet Numerike - Përmbledhje

Punoi :

Artan Gruda

Mentor :

Prof. Afrim Shemsidini

Lënda :

Analizë

Punuar :

Prill, 2014

(3)

HYRJE

Vargjet numerike në përgjithësi si kapitull në Matematikë kanë përdorim

jashtëzakonisht të madh në të gjitha shkencat, pa to shumë kuptime dhe dukuri

nga fizika dhe shkencat e tjera nuk do mund të studioheshin në tërësi. Duke e

ditur rëndësinë e vargjeve, do përkushtohemi në kuptimin e Vargut numerik dhe

shqyrtimin e detyrave nga Vargjet Aritmetike dhe Gjeometrike ndërsa rëndësi

më të madhe do ti kushtojmë studimit të Limitit të vargut i cili si kuptim në

matematikë është fundamental, dhe shumë praktik si në matematikë ashtu

edhe në fusha të tjera.

(4)

KUPTIMI I VARGUT NUMERIK

Fillimisht le të jetë E nën bashkësi e numrave realë, dhe nëse elementet e saj i shkruajmë në një renditje të caktuar :

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … , 𝑎𝑛

fitojmë vargun apo progresionin numerik.

P.sh.: 1, 5, 7, 8, ... , apo 3, 4, 6, 8, ..., janë dy vargje numerike.

Pra, duke iu referuar shembullit të mëparshëm, Varg numerik apo thjesht varg quajmë pasqyrimin nga bashkësia e numrave natyralë në bashkësinë e numrave realë, apo :

𝑎 ∶ 𝑵 → 𝑹

që do të thotë se funksioni i cili çdo numri natyral ia shton numrin real

Elementet 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … , 𝑎𝑛, quhen terma ose kufiza të vargut. Kufiza apo termi 𝑎𝑛 i vargut

quhet term i përgjithshëm i tij, dhe nga këtu themi se vargu konsiderohet i njohur vetëm nëse dihet termi i përgjithshëm. Pra, kufiza 𝑎𝑛 na jep vargun e numrave natyralë 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2, 𝑎3 = 3.. e nëse kërkojmë termin e 42 të vargut, nisemi nga termi i përgjithshëm, ku 𝑎42 =

2 , pra termi i 42 i vargut është 42.

Shembulli 1. Nëse kemi termin e përgjithshëm 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 2 atëherë fitojmë vargun me terma

:

𝑎1 = 2 ∙ 1 + 2 = 2 + 2 = 4

𝑎2 = 2 ∙ 2 + 2 = 4 + 2 = 6 𝑎3 = 2 ∙ 3 + 2 = 6 + 2 = 8 𝑎4 = 2 ∙ 4 + 2 = 8 + 2 = 10

Nga termi i përgjithshëm i përmendur më lartë fitojmë vargun: 4, 6, 8, 10 , ... ,

Shembulli 2. Nëse kemi termin e përgjithshëm 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 1 atëherë fitojmë vargun me terma

:

𝑎1 = 3 ∙ 1 + 1 = 3 + 1 = 4 𝑎2 = 3 ∙ 2 + 1 = 6 + 1 = 7

𝑎3 = 3 ∙ 3 + 1 = 9 + 1 = 10

𝑎4 = 3 ∙ 4 + 1 = 12 + 1 = 13

Nga termi i përgjithshëm i përmendur më lartë fitojmë vargun: 4, 7, 10, 13 ,... , Ku p.sh termi i 50 i këtij vargu është : 𝑎50 = 3 ∙ 50 + 1 = 150 + 1 = 151

Nga shembujt 1 dhe 2 kuptojmë ndërtimin e vargut numerik, bazuar në termin apo kufizën e përgjithshme që na jepet, ku na jep vargun e numrave natyralë (1, 2, 3, 4, ...)

(5)

VARGJET E KUFIZIARA DHE ATO MONOTONE

Nisemi nga përkufizimi se, Vargu është i kufizuar nga sipër (poshtë) në qoftëse egziston numri në mënyrë që : Ndërsa numri quhet kufi i sipërm (i poshtëm) i vargut nga ku themi se vargu i kufizuar nga sipër dhe poshtë quhet varg i kufizuar.

𝑎

𝑛

≤ 𝑀 (𝑎

𝑛

≥ 𝑚), ∀∈ 𝑁

Duke u bazuar në përkufizim shqyrtojmë vargun me termin e përgjithshëm

𝑎

𝑛

=

(−1)

𝑛 𝑛

Termat e këtij vargu janë :

−1,

1

2

, −

1 3

,

1 4

këtu vërejmë se

−1 ≤ 𝑎

𝑛

1

2 që na jep të kuptojmë se vargu i dhënë është varg i kufizuar

Nëse do të shqyrtojmë monotoninë e vargjeve, atëherë do të na hyjë në punë kjo tabelë :

Shembulli 1. Të tregohet se vargu me termin e përgjithshëm 𝑎𝑛 = 𝑛 + 1 është monotono-rritës.

Zgjidhja. Detyrën e shqyrtojmë përmes formës 𝑎𝑛

𝑎𝑛+1

, 𝑝𝑟𝑎𝑛𝑑𝑎𝑗 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶

𝑎

𝑛

𝑎

𝑛+1

=

𝑛 + 1

(𝑛 + 1) + 1

=

𝑛 + 1

𝑛 + 2

< 1,

Dhe themi se vargu është monotono rritës duke u bazuar te 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 Vargu quhet monotono-jozvogëlues në qoftë se :

𝑎

𝑛

≤ 𝑎

𝑛+1

,

∀𝑛 ∈ 𝑁;

quhet monotono-jorritës në qoftë se :

𝑎

𝑛

≥ 𝑎

𝑛+1

,

∀𝑛 ∈ 𝑁;

quhet monotono-rritës në qoftë se :

𝑎

𝑛

< 𝑎

𝑛+1

,

∀𝑛 ∈ 𝑁;

quhet monotono-zvogëlues në qoftë se :

(6)

VARGU ARITMETIK

Për studimin dhe shqyrtimin e vargjeve aritmetike duhet të nisemi nga përkufizimi për vargun numerik, pra një renditje e numrave na jep vargun numerik. Një varg është aritmetik vetëm atëherë kur në mes dy termave ekziston një distancë e njëjtë, apo të nisemi nga përkufizimi ku thuhet se : Vargun e quajmë varg aritmetik nëse ndryshimi i secilit term dhe termit para tij është i njëjtë :

𝑎

𝑛

𝑎

𝑛−1

= 𝑑 , 𝑛 ≥ 2

Numri d quhet ndryshimi apo diferenca e vargut aritmetik.

Si formulë që do na ndihmojë në shqyrtimin e vargjeve aritmetike është:

𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 , 𝑎𝑝𝑜 𝑚𝑢𝑛𝑑 𝑡ë 𝑝ë𝑟𝑑𝑜𝑟𝑒𝑡 𝑒𝑑ℎ𝑒 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+ 𝑑

Shembulli 1. Të shqyrtohet nëse vargu vijues është varg aritmetik dhe të gjendet diferenca d 2, 4, 6, 8, 10

duke u nisur nga përkufizimi kemi :

𝑑 = 𝑎𝑛− 𝑎𝑛−1

𝑑 = 4 − 2 = 2 , 𝑝𝑟𝑎 𝑑 = 2 𝑑 = 6 − 4 = 2 , 𝑝𝑟𝑎 𝑑 = 2 𝑑 = 8 − 6 = 2 , 𝑝𝑟𝑎 𝑑 = 2

shohim se diferenca në këtë varg është e njëjtë mes secilit term, dhe themi se ky varg është aritmetik

E nëse e shqyrtojmë përmes formulës tjetër kemi :

𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 ⟹ 𝑑 =𝑎𝑛− 𝑎1 𝑛 − 1 Nëse nisemi nga 𝑎3 = 6 dhe 𝑎1 = 2

𝑑 =

6−2

3−1

=

4

(7)

Nëse shqyrtojmë shumën e termave të vargut aritmetik, nisur nga : 𝑆1 = 𝑎1 𝑆2 = 𝑎1+ 𝑎2 𝑆3 = 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3 … 𝑆𝑛 = 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ 𝑎4+ ⋯ + 𝑎𝑛

fitohen dy formula të cilat na ndihmojnë në zgjidhjen e detyrave ku kërkohet shuma e disa termave të parë të ndonjë vargu të çfarëdoshëm aritmetik, pra :

𝑆

𝑛

=

𝑛

2

(𝑎

1

+ 𝑎

𝑛

) 𝑑ℎ𝑒 𝑆

𝑛

=

𝑛

2

[2𝑎

1

+ (𝑛 − 1)𝑑]

Pra 𝑆𝑛 quhet edhe shuma e n të pjesshme të vargut aritmetik, ndërsa vargu 𝑆𝑛 quhet vargu i

shumave të pjesshme.

Shembulli 1. Të gjendet shuma e 100 termave të parë të vargut aritmetik 1, 2, 3, 4, ...

Zgjidhja. Shohim se termi apo kufiza e parë e vargut aritmetik të paraqitur më lartë është 1, ndërsa diferenca mes termave është 2. Kështu vazhdojmë dhe e shqyrtojmë përmes formulave të paraqitura më lartë.

𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1+ 𝑎𝑛) ⟹ 𝑆100 = 100

2 (1 + 100) = 50 ∙ 101 = 5050

E nëse e shqyrtojmë përmes formulës së dytë kemi : 𝑆𝑛 =

𝑛

2[2𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑] ⟹ 𝑆100 = 100

2 [2 ∙ 1 + (100 − 1)1] = 50 ∙ 101 = 5050

Pra shohim se në të dyja rastet rezultati është i njëjtë, 5050, dhe themi se shuma e 100 termave të parë të vargut 1, 2, 3, 4 ... është 5050

(8)

VARGU GJEOMETRIK

Nëse shqyrtojmë vargun gjeometrik atëherë nisemi nga përkufizimi për vargun të i cili thotë se vargu 𝑎𝑛është varg gjeometrik nëse herësi i cilit do term dhe i termit para tij është numër i njëjtë q. Pra :

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛

= 𝑞, 𝑞 ≠ 0, 𝑎

𝑛

≠ 0, ∀𝑛 ∈ 𝑁

Sikur edhe te vargu aritmetik, dhe te kuptimi i vargjeve numerike , 𝑎𝑛 quhet term i përgjitshëm edhe tek vargu gjeometrik. Dhe qartazi ai konsiderohet i njohur vetëm atëherë kur është dhënë termi i përgjithshëm i tij. Edhe vargu gjeometrik mund të jepet me një

formulë :

𝑎

𝑛+1

= 𝑞 ∙ 𝑎

𝑛

, 𝑛 ∈ 𝑁,

𝑛 > 1

Ku, numri q quhet herës i vargut gjeometrik

Shembulli 1. Të shqyrtohet nëse vargu vijues është varg gjeometrik dhe të gjendet herësi q 2, 4, 8, 16

Zgjidhja. Duke u nisur nga përkufizimi kemi :

𝑎

𝑛+1

= 𝑞 ∙ 𝑎

𝑛

⟹ 𝑞 =

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛

𝑞 =4

2= 2, 𝑑 = 2 𝑞 =8

4= 2, 𝑑 = 2

Shohim se herësi q është i njëjtë dhe themi se vargu është gjeometrik.

Shembulli 2. Të shqyrtohet nëse vargu vijues është varg gjeometrik dhe të gjendet herësi q

2, 1,

1

2

,

1

4

, …

Zgjidhja. Duke u nisur nga përkufizimi kemi :

𝑎

𝑛+1

= 𝑞 ∙ 𝑎

𝑛

⟹ 𝑞 =

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 𝑞 =1 2= 1 2, 𝑞 = 1 2 𝑞 = 1 2 1 = 1 2, 𝑞 = 1 2

Themi se vargu i paraqitur më lartë është varg gjeometrik, me herës 𝑞 =1

(9)

Te vargu gjeometrik vlen edhe një formulë e cila përdoret për gjetjen e n termave të vargut gjeometrik, dhe thuhet se termi i përgjithshëm i vargut gjeometrik, me termin e parë 𝑎𝑛 dhe

me herësin q, është :

𝑎

𝑛

= 𝑎

1

∙ 𝑞

𝑛−1

Shembulli 1. Të gjendet termi i përgjithshëm i vargut gjeometrik nëse termi i 4 i tij është 16, dhe i dyti është 4. Po ashtu të gjenden termi i 7 dhe termi i 20 .

Nga të dhënat që na janë paraqitur në detyrë rrjedh se : {

𝑎

4

= 𝑎

1

∙ 𝑞

3

= 16

𝑎

2

= 𝑎

1

∙ 𝑞 = 4

⟹ 𝑎1𝑞3 𝑎1𝑞 = 14 4 ⟹ 𝑞 = 2 Pra,

𝑎

1

=

16 23

= 2

Prandaj

𝑎

𝑛

= 𝑎

1

∙ 𝑞

𝑛−1

⟹ 2 ∙ 2

𝑛−1

= 2

𝑛

, 𝑝𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖 𝑖 𝑝ë𝑟𝑔𝑗 ë𝑠ℎ𝑡ë 2

𝑛

prej ku gjejmë edhe

𝑎

7

= 2

7

= 128

dhe

𝑎

20

= 2

7

= 12058624

Nëse shqyrtojmë shumën e termave të vargut gjeometrik fillimisht kemi :

𝑆

𝑛

= 𝑎

1

+ 𝑎

1

𝑞 + 𝑎

1

𝑞

2

+ 𝑎

1

𝑞

3

+ ⋯ + 𝑎

1

𝑞

𝑛−1

nga ku fitojmë dy barazime, pres të cilëve fitojmë formulën

𝑆𝑛 =𝑎1 ∙𝑞

𝑛− 1

𝑞 − 1 , 𝑞 ≠ 1 𝑎𝑝𝑜 𝑆𝑛 =𝑎1 ∙

1 − 𝑞𝑛 1 − 𝑞

Shembulli 1. Nëse për vargun gjeometrik duhet se termi i parë është 5, dhe herësi 2, të gjendet shuma e 3 termave të parë

Zgjidhja. Nisemi nga formula e dhënë më lartë dhe zëvendësojmë :

𝑆𝑛 =𝑎1 ∙𝑞 𝑛 − 1 𝑞 − 1 ⟹𝑆3 =5 ∙ 23− 1 2 − 1 = 2∙ 8 − 1 1 = 14, pra shuma e 3 termave të parë të vargut është 𝑆3 = 14

(10)

Shembulli 2. Nëse për vargun gjeometrik duhet se termi i parë është 5, q= 2, 𝑆𝑛 = 155 të gjendet n

Zgjidhja. Nisemi nga formula e dhënë më lartë dhe zëvendësojmë :

𝑆𝑛 =𝑎1 ∙𝑞 𝑛 − 1 𝑞 − 1 155 = 5 ∙2 𝑛− 1 2 − 1 31 =2 𝑛− 1 1 2𝑛 = 32 2𝑛 = 25 𝑛 = 5 pra numri i termave është 5

(11)

SHEMBUJ

𝑇ë 𝑠ℎ𝑞𝑦𝑟𝑡𝑜ℎ𝑒𝑡 𝑛ë𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑗𝑒𝑡 𝑗𝑎𝑛ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑗𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘𝑒 𝑑ℎ𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑎𝑗 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑎 𝑑 1. 2, 3, 4, 5, 6, … 1. 𝑉𝑎𝑟𝑔𝑢 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑠𝑖 𝑞ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑎 𝑛𝑑ë𝑟𝑚𝑗𝑒𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑒 𝑛𝑗𝑒𝑗𝑡ë, 𝑝𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑎𝑛− 𝑎𝑛−1 = 𝑑 , 𝑘𝑒𝑚𝑖 𝑑 = 3 − 2 = 1 , 𝑑 = 4 − 3 = 1, 𝑑 = 5 − 4 = 1, 𝑝𝑟𝑎 𝑑 = 1 2. − 10, −8, −6, −4, … 2. 𝑉𝑎𝑟𝑔𝑢 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑠𝑖 𝑞ë 𝑒𝑑ℎ𝑒 𝑘ë𝑡𝑢 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑎 𝑛𝑑ë𝑟𝑚𝑗𝑒𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡 𝑑ℎ𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑖𝑗 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑒 𝑛𝑗ë𝑗𝑡ë, 𝑑𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑠ℎ𝑜ℎ𝑖𝑚 𝑠𝑒 ∶ 𝑑 = −8 − (−10) = −8 + 10 = 2 3. 3, 5, 8, 10, 12, … 3. 𝐾𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑔 𝑛𝑢𝑘 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑠𝑖 𝑞ë 𝑛𝑢𝑘 𝑝𝑙𝑜𝑡ë𝑠𝑜𝑛 𝑘𝑢𝑠ℎ𝑡𝑖𝑛 𝑛𝑔𝑎 𝑖 𝑐𝑖𝑙𝑖 𝑑𝑒𝑙 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑝ë𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘, 𝑝𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑎 𝑑 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑒 𝑛𝑑𝑟𝑦𝑠ℎ𝑚𝑒 , 𝑑 = 5 − 3 = 2 ; 𝑑 = 8 − 5 = 3 4. 3 2, 2, 5 2, 3, 7 2, … 4. 𝑉𝑎𝑟𝑔𝑢 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑠𝑖 𝑞ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑒 𝑛𝑗ë𝑗𝑡ë, 𝑝𝑟𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑎𝑛− 𝑎𝑛−1 = 𝑑 ⟹ 𝑑 = 2 − 3 2= 1 2, 𝑑 = 5 2− 2 = 1 2 , 𝑝𝑟𝑎 𝑑 = 1 2 5. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑎16, 𝑛ë𝑠𝑒 𝑎1= 4, 𝑑 = 5. 5. 𝑃𝑟𝑎 𝑔𝑗𝑖𝑡ℎ𝑛𝑗ë 𝑑𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑝ë𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘, 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 𝑛𝑔𝑎 𝑘𝑢 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛 𝑒 𝑐𝑎𝑘𝑡𝑢𝑎𝑟 ∶ 𝑎16 = 4 + 15 ∙ 5 = 4 + 75 = 79, 𝑝𝑟𝑎 𝑎16 = 79 6. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑎17, 𝑛ë𝑠𝑒 𝑎1= −10 , 𝑑 = −3. 6. 𝑃𝑟𝑎 𝑔𝑗𝑖𝑡ℎ𝑛𝑗ë 𝑑𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑝ë𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘, 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑎17 = 4 + 16 ∙ (−3) = −10 − 48 = −58, 𝑝𝑟𝑎 𝑎17 = −58 7. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑎12, 𝑛ë𝑠𝑒 𝑎1= 2, 𝑑 = 1 3. 7. 𝑃𝑟𝑎 𝑔𝑗𝑖𝑡ℎ𝑛𝑗ë 𝑑𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑝ë𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘, 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑎12 = 2 + 11 ∙ (1 3) = 2 + 11 3 = 17 3 , 𝑝𝑟𝑎 𝑎17 = 17 3

(12)

8. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 5, 9, 13, 17, … 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑎16 8. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔 𝑠ℎ𝑜ℎ𝑖𝑚 𝑠𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖 𝑓𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑎𝑝𝑜 𝑎1 = 5, 𝑛𝑑ë𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑎 𝑑 = 4, 𝑑ℎ𝑒 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑎16 = 5 + 15 ∙ 4 = 5 + 60 = 65, 𝑝𝑟𝑎 𝑎16 = 65 9. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 − 15, −10, −5, 0, … 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑎25 9. 𝑇𝑒 𝑘𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑔 𝑠ℎ𝑜ℎ𝑖𝑚 𝑠𝑒 𝑎1 = −15, 𝑛𝑑ë𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑 = 5, 𝑝𝑟𝑎𝑛𝑑𝑎𝑗 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë ∶ 𝑎25 = −15 + 24 ∙ 5 = −15 + 120 = 105, 𝑝𝑟𝑎 𝑎25= 105 10. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑛𝑢𝑚𝑟𝑖 𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 𝑛ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 − 5, −1, 3, 7, … , 115. 10. 𝑁ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë 𝑛𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑎1 = −5 𝑑ℎ𝑒 𝑎𝑛 = 115, 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑑ℎ𝑒 𝑒 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛 𝑑 = −1 − (−5) = 5 − 1 = 4. 𝐷𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 , 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 115 = −5 + (𝑛 − 1)4 115 = −5 + 4𝑛 − 4 124 = 4𝑛 𝑛 =124 4 , 𝑝𝑟𝑎 𝑛 = 31 11. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑛𝑢𝑚𝑟𝑖 𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 𝑛ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 14, 29, 44, 59, … , 89. . 11. 𝑁ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë 𝑛𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑎1 = 14 𝑑ℎ𝑒 𝑎𝑛 = 89, 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑑ℎ𝑒 𝑒 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛 𝑑 = 29 − 14 = 15. 𝐷𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 , 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 89 = 14 + (𝑛 − 1)15 89 = 14 + 15𝑛 − 15 90 = 15𝑛 𝑛 =90 15, 𝑝𝑟𝑎 𝑛 = 6 12. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑛𝑢𝑚𝑟𝑖 𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 𝑛ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘1 2, 0, − 1 2, −1, … , − 27 2 12. 𝑁ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë 𝑛𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑎1 = 14 𝑑ℎ𝑒 𝑎𝑛 = 89, 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑑ℎ𝑒 𝑒 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛 𝑑 = 0 −1 2 = − 1 2. 𝐷𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 , 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ −27 2 = 1 2+ (𝑛 − 1)(− 1 2) −27 2 = 1 2− 1 2𝑛 + 1 2 −27 2 = 1 − 1 2𝑛

(13)

−1 2𝑛 = − 29 2 /∙ (−2) 𝑝𝑟𝑎 , 𝑛 = 29 13. 𝐽𝑎𝑛ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑎1 = 3, 𝑎𝑛 = −53. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑑 𝑑ℎ𝑒 𝑆29 13. 𝐷𝑢𝑘𝑒 𝑝ë𝑟𝑑𝑜𝑟𝑢𝑟 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑛 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 , 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛, 𝑝𝑟𝑎 ∶ −53 = 3 + (29 − 1)𝑑 −53 = 3 + 28𝑑 −56 = 28𝑑 𝑑 = −2 𝑃𝑎𝑠𝑡𝑎𝑗 𝑝ë𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑠 𝑆𝑛 =𝑛 2(𝑎1+ 𝑎𝑛)𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑠ℎ𝑢𝑚ë𝑛 𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒. 𝑆29 = 29 2 (3 − 53) = 29 2 (−50) = 29 ∙ (−25) = −725, 𝑝𝑟𝑎 𝑠ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑒 29 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 𝑡ë 𝑝𝑎𝑟ë ë𝑠ℎ𝑡ë − 729 14. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 3, 5, 7, … , 33 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑆16 14. 𝑁ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë 𝑛𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑎1 = 3, 𝑑ℎ𝑒 𝑎𝑛 = 33, 𝑝ë𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑠 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑆16 𝑆16= 16 2 (3 + 33) = 8 ∙ 36 = 288, 𝑝𝑟𝑎 𝑠ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑒 16 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 𝑡ë 𝑝𝑎𝑟ë ë𝑠ℎ𝑡ë 288 15. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘1 2, 1, 3 2, … , 9 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑆18 15. 𝑁ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë 𝑛𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑎1 =1 2, 𝑑ℎ𝑒 𝑎𝑛 = 9, 𝑝ë𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑠 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑆18 𝑆18= 18 2 ( 1 2+ 9) = 9 ∙ 19 2 = 85,5 𝑎𝑝𝑜 851 2, 𝑝𝑟𝑎 𝑠ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑒 16 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 𝑡ë 𝑝𝑎𝑟ë ë𝑠ℎ𝑡ë 85 1 2 16. Ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑎𝑛= 5 − 𝑛, 𝑔𝑗𝑒𝑗 𝑆19 16. 𝑁ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë 𝑛𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑎𝑛 = 5 − 𝑛 , 𝑝ë𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑠 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑆18 17. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑎𝑛 𝑑ℎ𝑒 𝑛, 𝑛ë𝑠𝑒 𝑎1 = 2, 𝑑 = 5, 𝑆𝑛 = 245 17. 𝐴𝑡ëℎ𝑒𝑟ë 𝑑𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑆𝑛 =𝑛 2[2𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑], 𝑒 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑛 . 𝑃𝑟𝑎 ∶ 245 = 𝑛 2[2 ∙ 2 + (𝑛 − 1)5] 245 = 𝑛 2[4 + 5𝑛 − 5] 245 = 𝑛 2[5𝑛 − 1] /∙ 2 490 = 𝑛2− 𝑛 𝑛2− 𝑛 − 490 = 0, 𝑛1,2 = 1 ± √1 + 8900 10 = 1 + 99 10 , 𝑑ℎ𝑒 𝑛 = 10 , 𝑝𝑎𝑠𝑖 𝑧𝑔𝑗𝑖𝑑ℎ𝑗𝑎 𝑡𝑗𝑒𝑡ë𝑟 𝑛𝑢𝑘 𝑛𝑎 𝑗𝑒𝑝 𝑛𝑢𝑚ë𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑦𝑟𝑜𝑟

(14)

𝑘ë𝑠ℎ𝑡𝑢 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑛ë 𝑔𝑗𝑒𝑡𝑗𝑒𝑛 𝑒 𝑎𝑛 𝑝ë𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑠 𝑆𝑛 = 𝑛 2(𝑎1+ 𝑎𝑛), 𝑑ℎ𝑒 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 245 =10 2 (2 + 𝑎𝑛) 245 = 5(2 + 𝑎𝑛) 245 = 10 + 5𝑎𝑛 𝑎𝑛 = 235 5 , 𝑝𝑟𝑎 𝑎𝑛 = 47 18. 𝑇ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑡 𝑎1, 𝑑 𝑛ë𝑠𝑒 𝑎2+ 𝑎5− 𝑎4 = 10, 𝑎1+ 𝑎6 = 17 18. 𝐷𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑏𝑎𝑧𝑢𝑎𝑟 𝑔𝑗𝑖𝑡ℎ𝑛𝑗ë 𝑛ë 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖𝑛 𝑒 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑠𝑖 𝑑ℎ𝑒 𝑛ë 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑛 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 , 𝑧𝑏ë𝑟𝑡ℎ𝑒𝑗𝑚ë 𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑎𝑡 𝑞ë 𝑗𝑎𝑛ë 𝑛ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë , 𝑝𝑟𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑒1 ∶ 𝑎1+ 𝑑 + 𝑎1+ 4𝑑 − 𝑎1− 3𝑑 = 10 𝑒2 ∶ 𝑎1+ 𝑎1+ 5𝑑 = 17 𝑟𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑙𝑜𝑗𝑚ë 𝑒𝑘𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑡 𝑑ℎ𝑒 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑞𝑒𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 ∶ {𝑎1+ 3𝑑 = 10 /∙ (−2) 2𝑎1+ 5𝑑 = 17 , { −2𝑎1− 6𝑑 = −20 2𝑎1+ 5𝑑 = 17 , fitojmë d=3 𝑁𝑔𝑎 𝑒𝑘𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑖 2𝑎1+ 5𝑑 = 17, 𝑧ë𝑣𝑒𝑛𝑑ë𝑠𝑜𝑗𝑚ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛 𝑑ℎ𝑒 𝑓𝑖𝑡𝑜𝑗𝑚ë 𝑎1 = 16 ∶ 2𝑎1+ 5𝑑 = 17 2𝑎1− 15 = 17 2𝑎1 = 32 𝑎1 = 16 19. 𝑇ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑡 𝑎𝑛, 𝑑 𝑛ë𝑠𝑒 𝑎1 = 4, 𝑆21= 1134 19. 𝑁𝑖𝑠𝑒𝑚𝑖 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑆𝑛 =𝑛 2(𝑎1+ 𝑎𝑛) , 𝑑ℎ𝑒 𝑧ë𝑣𝑒𝑛𝑑ë𝑠𝑜𝑗𝑚ë ∶ 1134 =21 2 (4 + 𝑎𝑛) /∗ 2 2268 = 21(4 + 𝑎𝑛) 2268 = 84 + 21𝑎𝑛 2184 = 21𝑎𝑛 𝑎𝑛 = 2184 21 , 𝑝𝑟𝑎 𝑎𝑛 = 104 𝐾ë𝑠ℎ𝑡𝑢 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑑ℎ𝑒 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛 𝑑, 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 ∶ 104 = 4 + (21 − 1)𝑑 104 = 4 + 20𝑑 100 = 20𝑑 𝑑 = 5

(15)

20. 𝑇ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑡 𝑎𝑛, 𝑑 𝑛ë𝑠𝑒 𝑎1 = 7, 𝑆13 = 403 20. 𝑁𝑖𝑠𝑒𝑚𝑖 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑆𝑛 =𝑛 2(𝑎1+ 𝑎𝑛) , 𝑑ℎ𝑒 𝑧ë𝑣𝑒𝑛𝑑ë𝑠𝑜𝑗𝑚ë ∶ 403 =13 2 (7 + 𝑎𝑛) /∗ 2 806 = 91(7 + 𝑎𝑛) 806 = 91 + 13𝑎𝑛 715 = 13𝑎𝑛 𝑎𝑛 = 715 13 , 𝑝𝑟𝑎 𝑎𝑛 = 55 𝐾ë𝑠ℎ𝑡𝑢 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑑ℎ𝑒 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛 𝑑, 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 ∶ 55 = 7 + (13 − 1)𝑑 58 = 7 + 12𝑑 51 = 12𝑑 𝑑 = 4 21. 𝑇ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑛 𝑎𝑛, 𝑑 𝑡ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑛ë𝑠𝑒 𝑗𝑎𝑛ë 𝑑ℎë𝑛ë ∶ a) 𝑎1 = −45, n = 32, 𝑆𝑛 = 0 0 =32 2 (−45 + 𝑎𝑛) 0 = 16(−45 + 𝑎𝑛) /: 16 0 = −45 + 𝑎𝑛 𝑎𝑛 = 45, , 𝑝ë𝑟 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑡𝑢𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑠𝑖 𝑣𝑖𝑗𝑜𝑛 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 45 = −45 + 30𝑑 90 = 30𝑑 𝑑 = 3 22. 𝑇ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑛 𝑎1, 𝑑 𝑡ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑛ë𝑠𝑒 𝑗𝑎𝑛ë 𝑑ℎë𝑛ë ∶ a) 𝑎𝑛= 21, n = 7, 𝑆𝑛 = 105

Nisemi nga formula 13 = −5 + (𝑛 − 1), dhe zë𝑣𝑒𝑛𝑑ë𝑠𝑜𝑗𝑚ë ∶ 105 = 7

2(𝑎1+ 21) /∗ 2 210 = 7(𝑎1+ 21) 210 = 147 + 7𝑎1 63 = 7𝑎1

(16)

𝑎1 =63 7 , 𝑝𝑟𝑎 𝑎1 = 9, 𝑝ë𝑟 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑡𝑢𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐ë𝑛 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑠𝑖 𝑣𝑖𝑗𝑜𝑛 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 21 = 9 + 6𝑑 12 = 6𝑑 𝑑 = 2 23. 𝑇ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑛 𝑛, 𝑆𝑛 𝑡ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑛ë𝑠𝑒 𝑗𝑎𝑛ë 𝑑ℎë𝑛ë ∶ a) 𝑎1 = −5, d = 3, 𝑎𝑛 = 13 𝑁𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑞ë 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑗 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑡ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑡 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎1+ (𝑛 − 1)𝑑 13 = −5 + (𝑛 − 1)3 13 = −5 + 3𝑛 − 3 13 = −8 + 3𝑛 21 = 3𝑛 𝑛 = 7, 𝑘ë𝑠ℎ𝑡𝑢 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑑ℎ𝑒 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑆7 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑆𝑛 = 𝑛 2(𝑎1+ 𝑎𝑛) 𝑆𝑛 =𝑛 2(𝑎1+ 𝑎𝑛) = 7 2(−5 + 13) = 7 2(8) = 7 ∗ 4 = 28 24. 𝑁ë 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑖𝑛 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑎1 𝑑ℎ𝑒 𝑆8 𝑛ë𝑠𝑒 𝑞 = 1 2, 𝑑ℎ𝑒 𝑎8 = 3 𝑀𝑒 𝑞ë 𝑛𝑎 ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑑ℎë𝑛ë 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖 𝑖 𝑡𝑒𝑡ë 𝑑ℎ𝑒 ℎ𝑒𝑟ë𝑠𝑖, 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑎1, 𝑝𝑟𝑒𝑗 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑠 𝑎1 =𝑎8 𝑞7 = 3 1 128 = 3 ∙ 128 = 384, 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑎𝑗 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑠ℎ𝑢𝑚ë𝑛. 𝑝ë𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑆𝑛 = 𝑎1∙1 − 𝑞 𝑛 1 − 𝑞 = 384 ∙ 1 −12 8 1 −12 = 765 25. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑎1 = 2, 𝑞 = 3. 𝑇ë 𝑔𝑗𝑒𝑛𝑑𝑒𝑡 𝑆8 . 𝑃ë𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑠 𝑆𝑛 = 𝑎1∙1 − 𝑞 𝑛 1 − 𝑞 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑠ℎ𝑢𝑚ë𝑛 ∶ 𝑆8 = 2 ∙1 − 2 8 1 − 2 = 2 ∙ 1 − 256 −1 = 2 ∙ 255 = 510, 𝑝𝑟𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑖 𝑔𝑗𝑒𝑡𝑢𝑟 𝑆8, 𝑠ℎ𝑢𝑚ë𝑛 𝑒 𝑡𝑒𝑡ë 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 𝑡ë 𝑝𝑎𝑟ë 𝑡ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑡 26. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑡ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑛 𝑎1, 𝑞, 𝑑ℎ𝑒 𝑛 , 𝑛ë𝑠𝑒 ∶ 𝑎) 𝑎7− 𝑎5= 48, 𝑎6− 𝑎4 = 24 𝐷𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑏𝑎𝑧𝑢𝑎𝑟 𝑛ë 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚 𝑑ℎ𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑛 𝑎𝑛 = 𝑎1∙ 𝑞𝑛−1, 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑑ℎ𝑒 𝑖 𝑧𝑏ë𝑟𝑡ℎ𝑒𝑗𝑚ë 𝑡ë 𝑑𝑦 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑧𝑖𝑚𝑒𝑡 𝑎1∙ 𝑞6− 𝑎1∙ 𝑞4 = 48 𝑑ℎ𝑒 𝑎1∙ 𝑞5− 𝑎1∙ 𝑞3= 24

(17)

𝑝𝑟𝑒𝑗 𝑘𝑢 𝑚𝑎𝑟𝑟𝑖𝑚 𝑡ë 𝑝ë𝑟𝑏𝑎𝑠ℎ𝑘ë𝑡 𝑎1 𝑑ℎ𝑒 𝑞 , 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑎𝑗 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑎1𝑞4(𝑞2−1) 𝑎1𝑞3(𝑞2−1)

=

48 24

𝑎1𝑞4 𝑎1𝑞3

= 2

𝑞 = 2 ,

27. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑡ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑛 𝑛 , 𝑛ë𝑠𝑒 ∶ 𝑎) 𝑎1 = 2, 𝑎𝑛 = 1458, q = 3 𝑁𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑒 𝑝𝑎𝑟ë 𝑎𝑛 = 𝑎1∙ 𝑞𝑛−1 𝑘𝑒𝑚𝑖, 1458 = 2 ∙ 3𝑛−1 /: 2 729 = 3𝑛−1 36 = 3𝑛−1 6 = 𝑛 − 1 𝑛 = 7 28. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑡ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑛 𝑎𝑛, 𝑑ℎ𝑒 𝑛 , 𝑛ë𝑠𝑒 ∶ 𝑎) 𝑎1 = 7, 𝑞 = 3, 𝑆𝑛 = 847 𝑑𝑢𝑘𝑒 𝑢 𝑛𝑖𝑠𝑢𝑟 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝ë𝑟 𝑠ℎ𝑢𝑚ë 𝑡𝑒𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑗𝑒𝑡 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘𝑒 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 847 = 7 ∙1 − 3 𝑛 1 − 3 121 = 1 − 3 𝑛 −2 −242 = 1 − 3𝑛 3𝑛 = 243 , 𝑘𝑢 243 = 35 𝑛 = 5 𝑀ë 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑎𝑗 𝑔𝑗𝑒𝑗𝑚ë 𝑎𝑛 𝑡ë 𝑘ë𝑟𝑡𝑘𝑢𝑎𝑟 𝑛ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë 𝑑𝑢𝑘𝑒 𝑧ë𝑣𝑒𝑛𝑑ë𝑠𝑢𝑎𝑟 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 ⟹ 𝑎 𝑛 = 7 ∙ 35 = 7 ∗ 243 = 1701, 𝑝𝑟𝑎 𝑎𝑛 = 1701 29. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑡ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑛 𝑎1, 𝑑ℎ𝑒 𝑆𝑛 , 𝑛ë𝑠𝑒 ∶ 𝑎) 𝑎𝑛 = 128, 𝑞 = 2, 𝑛 = 7 𝐸𝑑ℎ𝑒 𝑛ë 𝑘ë𝑡ë 𝑑𝑒𝑡𝑦𝑟ë, 𝑛𝑖𝑠𝑒𝑚𝑖 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑒 𝑝𝑎𝑟ë 𝑞ë 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑔𝑎 𝑝ë𝑟𝑘𝑢𝑓𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑝ë𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑔𝑗. 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 ⟹ 𝑎 1 = 𝑎𝑛 𝑞𝑛−1 , 𝑎1 = 128 26 = 2 , 𝑝𝑟𝑎 𝑎2 = 2. 𝐾ë𝑠ℎ𝑡𝑢 𝑣𝑎𝑧ℎ𝑑𝑜𝑗𝑚ë 𝑝ë𝑟 𝑡ë 𝑔𝑗𝑒𝑡𝑢𝑟 𝑠ℎ𝑢𝑚ë𝑛 𝑆7 𝑒 𝑐𝑖𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑡𝑜ℎ𝑒𝑡 𝑚𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎1∙1 − 𝑞 𝑛 1 − 𝑞

(18)

𝑆7 = 2 ∙1 − 2 6 1 − 2 𝑆7 = 2 ∙1 − 64 −1 𝑆7 = 2 ∙ 63 𝑆7 = 126, 𝑝𝑟𝑎 𝑠ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑒 7 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑣𝑒 𝑡ë 𝑝𝑎𝑟ë ë𝑠ℎ𝑡ë 𝑆7= 126 30. 𝑁ë 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑡ë 𝑛𝑗𝑒ℎ𝑠𝑜ℎ𝑒𝑛 𝑎𝑛, 𝑑ℎ𝑒 𝑆𝑛 , 𝑛ë𝑠𝑒 ∶ a) 𝑎1 = 2, q = −4, n = 4 𝑁ë𝑠𝑒 𝑛𝑖𝑠𝑒𝑚𝑖 𝑛𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝ë𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑔𝑢𝑛 𝑔𝑗𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘, 𝑘𝑒𝑚𝑖 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 ⟹ 𝑎𝑛 = 2 ∙ (−4)3 = 2 ∙ (−64) = −128 , 𝑝𝑟𝑎 𝑎𝑛 = −128 𝑁𝑑ë𝑟𝑠𝑎 𝑝ë𝑟 𝑙𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑗𝑒𝑛 𝑒 𝑠ℎ𝑢𝑚ë𝑠, 𝑝ë𝑟𝑑𝑜𝑟𝑖𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙ë𝑛 ∶ 𝑆𝑛 = 𝑎1∙1 − 𝑞 𝑛 1 − 𝑞 𝑆4 = 2 ∙1 − (−4) 4 1 − (−4) = 2 ∙ 1 − 256 1 + 4 = 2 ∙ −255 5 = 2 ∙ 51 = 102

(19)

LITERATURA

1. Matematika 11

Gjimnazi Matematikë- Informatikë / Minir Efendija, Qamil Haxhibeqiri, Ramadan Limani Peje : Dukagjini , Qershor 2005

2. Wikipedia – Enciklopedia e Lirë www.sq.wikipedia.org

(20)

Përmbajtja

Kuptimi i vargut numerik ... 4

Vargjet e kufizuara dhe ato monotone ... 5

Vargu Aritmetik ... 6

Kuptimi I vargut aritmetik ... 6

Shuma e termave te vargu aritmetik... 7

Vargu Gjeometrik ... 8

Kuptimi I vargut gjeometrik... 8

Shuma e termave te vargu gjeometrik ... 9

Përmbledhje e detyrave ... 11

Figure

Updating...

References

Updating...

Related subjects :